2.1 等式性质与不等式性质专项训练（8大题型51题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题01 等式性质与不等式性质（8大题型51题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　不等式性质的理解与命题判断（常考点） 题型二　由不等式性质直接比较大小（常考点） 题型三　作差法比较代数式的大小（重点） 题型四　利用不等式性质求取值范围（重点） 题型五　配凑法求代数式的取值范围（难点） 题型六　充分必要条件与不等式性质（常考点） 题型七　不等式的证明与比较（解答）（重点） 题型八　不等式性质的综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　不等式性质的理解与命题判断（共6小题） 【知识积累】 基本性质：不等式两边加（减）同一个实数，不等号方向不变；乘（除）正数方向不变，乘（除）负数方向改变。 常见误区： 不能推出 （需同号或同正）； 不能直接约去 （ 可能为 ）。 判断方法：正确的用性质证明，错误的举反例。 【典例】 1．当时，下列不等式恒成立的是（    ）（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用特殊值法排除错误的选项即可确定正确的不等式. 【详解】当时，满足，不满足，选项A错误； 当时，满足， 不满足，也不满足，选项B、D错误； ，则，，则， 由不等式的性质可得，选项C正确. 【变式训练】 2．下列命题正确的是（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】选项：由可知分母，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数， 不等号方向不变，可得，正确； 选项：计算两个分式的差：， 由，可得，因此差为正，即，错误； 选项：取，满足， 此时，即，不满足 错误， 选项：取，满足， 此时，即，不满足，错误. 3．已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ）（25-26高一下·广西柳州·期末） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 4．下列命题正确的是（    ）（25-26高一上·安徽黄山·期中） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或举反例法判断ABC；利用作差法比较大小，判定D． 【详解】对于A，若，满足，此时，故A错误； 对于B，若，满足，此时，故B错误； 对于C，若，则有，所以，故C正确； 对于D，由于，则， 所以，故D错误． 故选：C 5．若，则（   ）（25-26高一上·河南郑州·期中） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】由题知，所以，A错误； 因为，所以，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：D． 6．下列命题正确的是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】本题考查不等式的基本性质，可通过性质推导、作差法、特殊值法逐个判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，不等式两边除以一个正数，不等式方向不变，正确； 对于B，，所以，正确； 对于C，若，，则，正确； 对于D，若，则，错误. 题型二　由不等式性质直接比较大小（共7小题） 【知识积累】 同向相加：， ；同向不等式可以相加，一般不能相减、相乘。 倒数：同号时，取倒数变号，如 。 乘方：两边都正（或都负）时才能比较平方的大小。 【典例】 7．已知，下列不等式成立的是（      ）（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，故， 所以，故D错误. 【变式训练】 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（   ）（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明或举出反例即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误. 对于B，当，满足，但是，故B错误. 对于C，，所以，同时除以正数，不等号方向不变，所以，故C正确. 对于D，当时，，不满足题意，故D错误. 9．下列选项正确的是（   ）（26-27高一上·河北·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于，当时，；当时，由，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得，综上，正确. 对于，由，不等式两边同乘正数得；两边同乘正数得，所以，正确. 对于，举反例：取，满足，但，此时，错误. 对于，用作差法：，由，可知，差值大于 0，即，正确. 10．若，则下列不等式错误的是（    ）（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】要判断当时，哪个不等式错误，需结合不等式的性质（如乘法，加法性质，作差比较法等）对每个选项分析. 【详解】对于选项A：若为负数（如，满足），则此时，与矛盾. 若为一正一负（如，满足），则，此时，也与矛盾. 因此，时，不总是成立，A选项错误； 对于选项B：若为正数，为负数（如，满足）， 此时，，. 因此，时，不总是成立，B选项错误； 对于选项C：对于任意实数，因此（分母恒正）. 又， 所以即因此C选项正确； 对于选项D：， 已知故，又， 故分子. 若，则，故， 因此，即成立； 若，且，（例如），分母， 此时差值大于，即，原不等式不成立； 若，（即）；分母此时差值小于，原不等式成立. 因此该不等式并不恒成立，是错误的. 11．已知，，则下列说法正确的是（     ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值法判断即可. 【详解】选项A：由可得，即. 当时，，即，A错误. 选项B：当时，，此时，不满足，B错误. 选项C：因为，所以，C正确. 选项D：由，得，因此，D错误. 12．下列不等式中成立的是（    ）（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） A．若则 B．若则 C．若则 D．若，，则 【答案】D 【分析】结合不等式的基本性质，逐一推导或用特殊值法验证各选项，排除错误选项得到正确结论. 【详解】对选项A：当时，，故不成立，A错误； 对选项B：若，同乘得；同乘得，即，B错误； 对选项C：若，，不等式两边同除以，得，C错误； 对选项D：由，则，因为，两同向正数不等式相加得，故，两边同乘，得，D正确. 13．若，则下列各式正确的是（     ）（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以，则，故A，B正确； 因为，所以，故C错误； 若，则不成立，故D错误. 题型三　作差法比较代数式的大小（共7小题） 【知识积累】 作差法：比较 与 ，计算 ，再因式分解或配方，判断符号。 配方常用：，。 注意条件：题目给出 等条件时，变形后要代入条件定号。 【典例】 14．设，则（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较与的大小，对差式配方后结合平方数的非负性判断差的符号. 【详解】易知 ； 又，， 因此，即， 当且仅当且时等号成立. 【变式训练】 15．若，，则，的大小关系是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】， 故 16．已知，且，则下列不等式正确的是（    ）（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且可得，且 因为，所以 又因为，所以， 所以 17．已知，，记，，则与的大小关系是（    ）（24-25高一上·湖北武汉·期末） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 18．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ）（26-27高一上·河北保定·阶段检测） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【分析】设两次油价，分别求出两种加油方案的均价，用作差法比较大小. 【详解】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 19．，，，则，，，由大到小的顺序是（     ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用作差法比较判断即可. 【详解】由，得，. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. 综上，即. 20．已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ）（25-26高一上·上海闵行·期末） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，且得出，根据不等式性质得出. 【详解】由题可知， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，可化为， 因为，所以， 又因为，所以 所以C正确； 对于D，设，则，故D错误. 故选：C. 题型四　利用不等式性质求取值范围（共7小题） 【知识积累】 两端同时运算：由 ，两边乘正数 得 ；乘负数要变号。 商的范围：由 、 的范围求 时，注意 的正负和能否取到端点。 结果写法：取值范围写成不等式或集合，如 。 【典例】 21．若，，则的范围是（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，，则. 【变式训练】 22．已知，，则的取值范围为_______．（26-27高一上·重庆永川·阶段检测） 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 23．已知，，，则实数的取值范围为________．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 【答案】 【分析】设目标表达式为已知两个式子的线性组合，得到，分别算出两部分取值范围后同向相加得到t的范围． 【详解】设，则，解得， 故， 由，得， 由，得， 故，即实数的取值范围为． 24．（1）已知，，求，的取值范围；（26-27高一上·甘肃平凉·阶段检测） （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）（2）根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，， 故， 即， （2）由于，， 故. 25．若，，，则的取值范围是______.（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） 【答案】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以， 所以满足. 26．已知，且，则的最大值是________．（25-26高一下·广东·期末） 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 27．已知，，则的取值范围为_____________________．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） 【答案】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 由不等式的同向相加法则可知， 所以的取值范围为. 题型五　配凑法求代数式的取值范围（共7小题） 【知识积累】 配凑思想：设所求式为 ，把它写成 的形式，解出 、。 步骤：由已知的 、（或 、）的范围，分别乘 、 再相加。 端点：注意原不等式是“”还是“”，最终范围的端点能否取到要一致。 【典例】 28．已知，，则的取值范围是（   ）（26-27高一上·河北·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法及不等式的性质计算即可得解. 【详解】设， 则有，解得， 因为，，所以， 所以. 【变式训练】 29．已知实数x，y满足，且，则的取值范围是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法将目标函数转化为已知范围的两个线性表达式的线性组合，再利用不等式性质计算取值范围. 【详解】设（）， 则， 所以 ， 解得， 因此， 由，得，由，得， 根据不等式同向可加性，可得， 故的取值范围为. 30．若实数，满足，，则（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最大值是9 【答案】C 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD. 【详解】对于A，由，，两式相加得，即，故A错误； 对于B，由，得，又， 两式相加得，所以，故B错误； 对于C，D，设， 由，解得，即． 因为，所以，又，所以，故C正确，D错误． 31．已知，，则的取值范围是（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法将目标式表示为已知两个线性表达式的线性组合，再结合不等式的基本性质求解取值范围. 【详解】设，， 将右侧展开整理得： ， 则有 ，解得，， 因此 . 已知，， 得，， 根据不等式同向可加性，将两式相加得 . 32．若，，则的取值范围是（     ）（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法将目标式表示为已知的与的线性组合，结合不等式的同向可加性求解取值范围. 【详解】设，其中为实数， 所以，故，解得， 所以， 因为，所以， 又，则， 所以，即. 33．已知，，则的取值范围为______.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可 【详解】因为，， 由 . 34．已知，，则的取值范围是______（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） 【答案】 【分析】利用待定系数法将表示为与的线性组合，结合不等式的性质求解其取值范围. 【详解】设（）， 则， 故有 ，解得 ， 因此， 由，得 ①； 由，得 ②； 将①和②相加，得， 即的取值范围为. 题型六　充分必要条件与不等式性质（共6小题） 【知识积累】 定义法：分别判断 与 ；举反例说明推不出。 集合法：把 、 写成数集，用包含关系判断充分、必要。 由范围推范围：小范围推出大范围时，“小”是“大”的充分不必要条件。 【典例】 35．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ）（26-27高一上·福建三明·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，所以或或， 所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B，由，得，当时，满足，但是不成立， 反过来，当时，满足，但是不成立， 所以是的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，由，所以， 所以是的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，所以是的充要条件，故D错误. 【变式训练】 36．设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ）（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分别判断能否推出、能否推出即可得到结论. 【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 37．已知R，则“”是“”的（    ）（24-25高一上·福建宁德·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 38．已知，，，则是的（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先利用不等式性质求线性式范围，证充分；再举反例（或集合 / 线性规划）否定必要性即可. 【详解】①∵ ，∴ ， ∴，即：， ∴，充分性成立； ②举反例：取， 此时 ，满足 ，即成立； 但，，不满足， 故 ，必要性不成立； ∴是的充分不必要条件. 39．下列说法中正确的有（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．命题“p：，”则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．若a，，则是的充分不必要条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【分析】根据命题否定判断A选项，根据充分必要条件的定义举反例判断B，C选项，根据二次方程的韦达定理判断D选项. 【详解】选项A，原命题的否定为，A正确； 选项B，取，满足但，充分性不成立； 取，满足但，必要性不成立，B错误； 选项C，取，满足但，充分性不成立，C错误； 选项D，关于的方程有一正一负根”的充要条件为，根据方程可得， 所以“关于的方程有一正一负根”的充要条件为，D正确. 40．已知，则下列结论正确的是（    ）（25-26高一上·重庆·期末） A．若，则 B．“，”是“”成立的充分不必要条件 C．“”是“”的必要条件 D．若，，则 【答案】BD 【分析】逐一分析每个选项，利用不等式性质、充分必要条件定义及反例法判断正误. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，由，时一定有，充分性成立，由，如，，推不出，，必要性不成立， 因此“，”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，“”，如，，推不出“”，所以C错误； 对于D，由，得，又，所以，即，故D正确. 故选：BD 题型七　不等式的证明与比较（解答）（共4小题） 【知识积累】 作差比较： 配方或因式分解后定号，即可比较 与 。 分式比较：通分后看分子、分母的符号；注意字母的取值范围。 求范围：与选择、填空同样用两端运算或配凑法，书写要有关键步骤。 【典例】 41．根据题意，求解下列问题：（26-27高一上·河南开封·阶段检测） (1)比较与的大小关系． (2)已知，，求的范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为． 所以．      （2）由得①， 又因为②， 得，故． 当且仅当，时，， 当且仅当，时，． 综上，的范围为． 【变式训练】 42．（1）已知，比较与的大小；（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测） （2）已知，，求和的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）通过对差的正负性判断来确定两个式子的大小关系; （2）根据不等式的基本性质进行计算. 【详解】（1）作差得：， 即：， ，又恒成立， （2）， 又 综上， 43．（1）若，，，试比较与的大小；（26-27高一上·河北·阶段检测） （2）比较两个代数式的大小：与． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可求解， （2）利用作差法，结合配方以及平方的性质即可求解. 【详解】（1）．     因为，，所以，， 所以．    因为，所以，     又，，所以，所以， 所以，   所以，即．     （2） ．    因为，，所以， 所以． 44．比较下列各题中两个代数式值的大小.（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1) 与 ; (2) 与 (). 【答案】(1) （当 时取等号）. (2). 【分析】（1）利用作差法，由配方法判断其符号即可； （2）利用作差法，分解因式判断其符号即可； 【详解】（1）作差：. 因为 恒成立，所以 （当 时取等号）. （2）作差：. 因为 ，所以 ，，，. 因此 ，所以 . 题型八　不等式性质的综合问题（共7小题） 【知识积累】 新定义：先把 、“糖水不等式”等翻译成普通不等式，再求解。 多问综合：先求简单的范围，再求比值、乘积等；配凑时把目标式线性表出。 整数解个数：绝对值不等式的解集是两端之间的全体实数时，先求端点再数中间的整数。 【典例】 45．已知，，2，3，4，5，且，记，其中表示，，，这k个数中最大的数，则A的最小值是（   ）（25-26高一上·北京西城·期末） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，，，构造等式成立的对称情况求解即可. 【详解】由题意可得，，，，， 因为，若让，则有，，， 即，， 代入可得，，因为，即，所以， 所以，即， 同理，所以，即，又因为，所以，，解得， 所以A的最小值是. 故选：B. 【变式训练】 46．已知正数，满足，则下列四个说法正确的个数有（    ）（25-26高一上·辽宁大连·期中） ①；②；③；④ A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】D 【分析】将给定等式变形，借助平方数为非负数放缩，结合不等式性质逐个判断即得. 【详解】由为正数，，得， 则，解得，当且仅当时取等号，②正确； ，当且仅当时取等号，③正确； ，当且仅当时取等号，①正确； ，当且仅当时取等号，④正确， 所以给定四个说法正确的个数有4个. 故选：D 47．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ）（25-26高一上·江苏苏州·期中） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 48．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______．（25-26高一上·浙江杭州·期中） 【答案】9 【分析】令，根据 的定义，通过配凑系数法，结合条件 ，求得的最小值； 【详解】令，则． 为非负实数，且， ，． 且当时， 的最小值为9. 49．设为两两不同的实数，若，则___________.（25-26高一上·浙江杭州·期中） 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解以及对等式性质的运用，解题的关键思路是通过对已知等式进行变形，构造出关于k的方程，进而求解k的值. 【详解】因为，所以 ① 同理可得 ②， ③； 由①得到 ④ 由②得到 ⑤ 由④、⑤得到，即；同理得   所以，化简得到 因为为两两不同的实数，所以 ，所以，得到 ； 故答案为： 50．若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______.（25-26高一上·上海·期中） 【答案】 【分析】通过分类讨论解绝对值不等式，结合整数解个数的边界分析，利用不等式的参数范围求解， 【详解】显然， 当时，由可得， 解得，所以 当时，由可得， 所以 当时，由可得， 解得，所以 综上：不等式的解集为 因为共有2025个整数解，所以， 解得，所以， 故这2025个整数解只能为254，255，…，2278， 所以，解得； 所以的取值范围是． 故答案为： 51．已知，．（23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测） (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题01 等式性质与不等式性质（8大题型51题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　不等式性质的理解与命题判断（常考点） 题型二　由不等式性质直接比较大小（常考点） 题型三　作差法比较代数式的大小（重点） 题型四　利用不等式性质求取值范围（重点） 题型五　配凑法求代数式的取值范围（难点） 题型六　充分必要条件与不等式性质（常考点） 题型七　不等式的证明与比较（解答）（重点） 题型八　不等式性质的综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　不等式性质的理解与命题判断（共6小题） 【知识积累】 基本性质：不等式两边加（减）同一个实数，不等号方向不变；乘（除）正数方向不变，乘（除）负数方向改变。 常见误区： 不能推出 （需同号或同正）； 不能直接约去 （ 可能为 ）。 判断方法：正确的用性质证明，错误的举反例。 【典例】 1．当时，下列不等式恒成立的是（    ）（24-25高一上·山东烟台·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 2．下列命题正确的是（    ）（26-27高一上·北京东城·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ）（25-26高一下·广西柳州·期末） A． B． C． D． 4．下列命题正确的是（    ）（25-26高一上·安徽黄山·期中） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若，则（   ）（25-26高一上·河南郑州·期中） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 题型二　由不等式性质直接比较大小（共7小题） 【知识积累】 同向相加：， ；同向不等式可以相加，一般不能相减、相乘。 倒数：同号时，取倒数变号，如 。 乘方：两边都正（或都负）时才能比较平方的大小。 【典例】 7．已知，下列不等式成立的是（      ）（26-27高一上·新疆喀什·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（   ）（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 9．下列选项正确的是（   ）（26-27高一上·河北·阶段检测） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若，则下列不等式错误的是（    ）（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） A． B． C． D． 11．已知，，则下列说法正确的是（     ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 12．下列不等式中成立的是（    ）（26-27高一上·陕西商洛·阶段检测） A．若则 B．若则 C．若则 D．若，，则 13．若，则下列各式正确的是（     ）（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测） A． B． C． D． 题型三　作差法比较代数式的大小（共7小题） 【知识积累】 作差法：比较 与 ，计算 ，再因式分解或配方，判断符号。 配方常用：，。 注意条件：题目给出 等条件时，变形后要代入条件定号。 【典例】 14．设，则（    ）（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 15．若，，则，的大小关系是（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D．不确定 16．已知，且，则下列不等式正确的是（    ）（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测） A． B． C． D． 17．已知，，记，，则与的大小关系是（    ）（24-25高一上·湖北武汉·期末） A． B． C． D．与的大小关系不确定 18．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ）（26-27高一上·河北保定·阶段检测） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 19．，，，则，，，由大到小的顺序是（     ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 20．已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ）（25-26高一上·上海闵行·期末） A． B． C． D． 题型四　利用不等式性质求取值范围（共7小题） 【知识积累】 两端同时运算：由 ，两边乘正数 得 ；乘负数要变号。 商的范围：由 、 的范围求 时，注意 的正负和能否取到端点。 结果写法：取值范围写成不等式或集合，如 。 【典例】 21．若，，则的范围是（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 22．已知，，则的取值范围为_______．（26-27高一上·重庆永川·阶段检测） 23．已知，，，则实数的取值范围为________．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 24．（1）已知，，求，的取值范围；（26-27高一上·甘肃平凉·阶段检测） （2）已知，，求的取值范围. 25．若，，，则的取值范围是______.（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） 26．已知，且，则的最大值是________．（25-26高一下·广东·期末） 27．已知，，则的取值范围为_____________________．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） 题型五　配凑法求代数式的取值范围（共7小题） 【知识积累】 配凑思想：设所求式为 ，把它写成 的形式，解出 、。 步骤：由已知的 、（或 、）的范围，分别乘 、 再相加。 端点：注意原不等式是“”还是“”，最终范围的端点能否取到要一致。 【典例】 28．已知，，则的取值范围是（   ）（26-27高一上·河北·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 29．已知实数x，y满足，且，则的取值范围是（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 30．若实数，满足，，则（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最大值是9 31．已知，，则的取值范围是（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A． B． C． D． 32．若，，则的取值范围是（     ）（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测） A． B． C． D． 33．已知，，则的取值范围为______.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测） 34．已知，，则的取值范围是______（26-27高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测） 题型六　充分必要条件与不等式性质（共6小题） 【知识积累】 定义法：分别判断 与 ；举反例说明推不出。 集合法：把 、 写成数集，用包含关系判断充分、必要。 由范围推范围：小范围推出大范围时，“小”是“大”的充分不必要条件。 【典例】 35．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ）（26-27高一上·福建三明·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 36．设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ）（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 37．已知R，则“”是“”的（    ）（24-25高一上·福建宁德·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．已知，，，则是的（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 39．下列说法中正确的有（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．命题“p：，”则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．若a，，则是的充分不必要条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 40．已知，则下列结论正确的是（    ）（25-26高一上·重庆·期末） A．若，则 B．“，”是“”成立的充分不必要条件 C．“”是“”的必要条件 D．若，，则 题型七　不等式的证明与比较（解答）（共4小题） 【知识积累】 作差比较： 配方或因式分解后定号，即可比较 与 。 分式比较：通分后看分子、分母的符号；注意字母的取值范围。 求范围：与选择、填空同样用两端运算或配凑法，书写要有关键步骤。 【典例】 41．根据题意，求解下列问题：（26-27高一上·河南开封·阶段检测） (1)比较与的大小关系． (2)已知，，求的范围； 【变式训练】 42．（1）已知，比较与的大小；（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测） （2）已知，，求和的取值范围． 43．（1）若，，，试比较与的大小；（26-27高一上·河北·阶段检测） （2）比较两个代数式的大小：与． 44．比较下列各题中两个代数式值的大小.（26-27高一上·河南周口·阶段检测） (1) 与 ; (2) 与 (). 题型八　不等式性质的综合问题（共7小题） 【知识积累】 新定义：先把 、“糖水不等式”等翻译成普通不等式，再求解。 多问综合：先求简单的范围，再求比值、乘积等；配凑时把目标式线性表出。 整数解个数：绝对值不等式的解集是两端之间的全体实数时，先求端点再数中间的整数。 【典例】 45．已知，，2，3，4，5，且，记，其中表示，，，这k个数中最大的数，则A的最小值是（   ）（25-26高一上·北京西城·期末） A． B． C． D． 【变式训练】 46．已知正数，满足，则下列四个说法正确的个数有（    ）（25-26高一上·辽宁大连·期中） ①；②；③；④ A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 47．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ）（25-26高一上·江苏苏州·期中） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 48．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______．（25-26高一上·浙江杭州·期中） 49．设为两两不同的实数，若，则___________.（25-26高一上·浙江杭州·期中） 50．若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______.（25-26高一上·上海·期中） 51．已知，．（23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测） (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $