精品解析：四川省泸县第五中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋期八年级第一次定时训练 数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 在中，边的对角是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，5 C. 5，6，12 D. 4，6，8 3. 如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 图中直角三角形的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如图，在中，是边上的中线，于点，，，则的面积为（ ） A. 7.5 B. 8 C. 15 D. 30 6. 如图，，，是的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 的六个元素如图所示，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲、乙 B. 丙 C. 乙、丙 D. 乙 9. 在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，平分交于，若，则的面积等于（ ）． A. 3 B. 6 C. 12 D. 2 11. 如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的外角，的平分线，交于P，，，则下列结论中正确的有（ ） ①；②平分；③；④． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）． 13. 在中，，，则________． 14. 在中， 是 边上的中线，，，则与的周长之差为__________． 15. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中，，若，则的度数为______． 16. 如图，，若，，则的长度是______． 17. 如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为________． 三、本大题共2个小题，每题8分，共16分． 18. 如图，点，，，是同一直线上的四点，，，求的度数． 19. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 22. 如图，在中，，，， （1）在边上求作一点P，使得P到边的距离等于P到AB的距离（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长 四、本大题共3个小题，每小题12分，共36分． 23. 将长方形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两个全等的和（如图2），再将这两个三角形摆放成如图3，使B，F，C，D在同一条直线上． （1）求证：； （2）设分别交于P，M，若，证明：． 24. 已知：线段、相交于点，连接、． （1）如图，求证：； （2）如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； （3）如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 25. （1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期八年级第一次定时训练 数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分．考试时间共120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 在中，边的对角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，5 C. 5，6，12 D. 4，6，8 【答案】D 【解析】 【分析】选取最长线段，验证其余两条较短线段的长度和大于最长线段长度，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，能组成三角形，故选项D符合题意． 3. 如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 4. 图中直角三角形的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义：直角三角形的三个内角中一个角等于90度，即可进行判断． 【详解】解：图中直角三角形有、、、，共4个． 5. 如图，在中，是边上的中线，于点，，，则的面积为（ ） A. 7.5 B. 8 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形面积公式求出的面积，再根据中线性质，，求出面积． 【详解】解：，， ． 是边上的中线， ，与等底同高，面积相等． ． 6. 如图，，，是的外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可． 【详解】解：根据题意可知． 7. 如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 的六个元素如图所示，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲、乙 B. 丙 C. 乙、丙 D. 乙 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：甲：中的角的对边是a，而甲中三角形的角的对边是b，故甲中三角形和不全等； 乙：利用可证明乙中三角形与全等，符合题意； 丙：利用可证明丙中三角形与全等，符合题意； 故选项C符合题意． 9. 在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示： 以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 10. 如图，在中，，，平分交于，若，则的面积等于（ ）． A. 3 B. 6 C. 12 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等， 构造中边上的高，进而计算面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵平分，且，， ∴， ∴． 11. 如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定定理，可证，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】由题意知，，， 在和中， ∴， ∴， 故选：． 12. 如图，的外角，的平分线，交于P，，，则下列结论中正确的有（ ） ①；②平分；③；④． A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． ①过点作于点，根据角平分线的性质定理进行判断即可； ②根据角平分线的判定定理进行判断即可； ③根据条件证明，，即可得出结论； ④根据全等三角形得出相等的角，证明，令，则，最后利用线段和差进行判定即可． 【详解】解：①如图所示，过点作于点， ∵，的平分线，交于P，且，， ∴， 故①正确； ②∵，且，， ∴点在的平分线上， ∴平分， 故②正确； ③如图所示， ∵，， ∴， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 故③正确； ④如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 令，则， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的选项为①②③④， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）． 13. 在中，，，则________． 【答案】##27度 【解析】 【详解】解：∵三角形的内角和为， ∴， ∵，， ∴． 14. 在中， 是 边上的中线，，，则与的周长之差为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：依题意画出示意图，如下． 是边上的中线， ， 和周长的差为． ，， 和周长的差为． 15. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ． 16. 如图，，若，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等得到，进一步推导得，结合已知线段长度计算即可． 【详解】解：， ， ，即， ，，且， ， ， ． 17. 如图，在中，，，是的角平分线，于D．则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，利用证明，得出，，从而将转化为，当时面积最大． 【详解】解：延长交的延长线于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， 在中，，， 当时，取最大值， 的最大值为． 三、本大题共2个小题，每题8分，共16分． 18. 如图，点，，，是同一直线上的四点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的外角性质可得的度数，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分． 20. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴． 21. 已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴． 22. 如图，在中，，，， （1）在边上求作一点P，使得P到边的距离等于P到AB的距离（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长 【答案】（1）解∶如图，点P即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，交于点，点即为所求； （2）设，由角平分线性质得；利用大三角形面积拆分为两个小三角形面积，列方程求解． 【小问1详解】 作图：略； 【小问2详解】 解：过点作于． 平分，（），， ． 设，则，． ， ． 四、本大题共3个小题，每小题12分，共36分． 23. 将长方形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两个全等的和（如图2），再将这两个三角形摆放成如图3，使B，F，C，D在同一条直线上． （1）求证：； （2）设分别交于P，M，若，证明：． 【答案】（1） 证明：由长方形的性质得，， ∴， ， ， ， ； （2） 证明：如图，连接， ， ， ． 在和中， ， ， ． ． ∴． 【解析】 【分析】（1）利用长方形的性质证明，得出相等的角，然后利用直角三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论； （2）连接，根据条件证明和，得出相等边，然后利用线段的和差即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了长方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，线段的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 24. 已知：线段、相交于点，连接、． （1）如图，求证：； （2）如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； （3）如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ； （2） （3） ． 理由：，， ，， 由（1）可得，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得，，得出，代入数据即可求解； （3）由三等分线的定义可得，，由（1）可得，代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 和的平分线和相交于点， ，， 由（1）可得，， ， ，， ； 【小问3详解】 略 25. （1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）．证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $