专题04数轴上的动点问题10大题型48题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题04 数轴上的动点问题 基础·固本强基 题型1 数轴上点的平移与位置确定 题型2 动点运动后的距离计算（重点） 题型3 数轴上的中点与对称问题 提升·进阶突破 题型4 单动点运动与距离变化（重点） 题型5 双动点的相向、相背运动（重难点） 题型6 动点的追及与相遇问题（重难点） 题型7 分段运动与往返运动（难点） 拔高·压轴破难 题型8 多动点运动与位置关系变化（难点） 题型9 动点与中点、距离的动态综合（重难点） 题型10 动点与绝对值最值综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴上点的平移与位置确定（共5小题） 【模型】向右平移加、向左平移减：点 A 表示数 a，右移 m 个单位后为 a+m，左移后为 a-m。 【步骤】① 写出起点表示的数；② 按方向加减平移量；③ 得到终点表示的数。 【易错】向左平移是减法，与数的正负无关；平移按"单位长度"计，别把图上格数与单位长度混为一谈。 1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点， ∴点表示的数为． 2．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 3．（2026·湖北十堰·一模）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是1，向左移动2个单位对应的数是，只有B正确． 4．（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 5．（2026·四川广元·二模）如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得， 故此时该点对应的数是． 题型2 动点运动后的距离计算（共5小题） 【模型】距离 = 两点所表示数之差的绝对值；运动问题先"用时间 t 表示每个点的位置"。 【步骤】① 设运动时间为 t；② 写出动点表示的数（起点 ± 速度×t）；③ 代入 |a-b| 求距离。 【易错】速度与时间的单位要统一；向左运动是"减"，不能一律用加。 6．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）点P在数轴上表示的数是，将点P移动7个单位长度后所得的点表示的数是（   ） A．4或 B．10或 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键要注意分类讨论． 分将点向右移和向左移两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当点向左移动7个单位长度时，点表示的数为； 当点向右移动7个单位长度时，点表示的数为； 综上所述，点表示的数为4或， 故选：A． 7．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上，点A表示的数是，点P从点A出发，沿着数轴移动4个单位长度，点Q从原点O出发沿着数轴的正方向移动6个单位长度，此时P、Q两点间的距离是______． 【答案】5或13 【分析】分点P向数轴正方向和负方向移动，两种情况分别求出点P和点Q表示的数，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：当点P向数轴正方向移动4个单位长度时，则点P表示的数为， 当点P向数轴负方向移动4个单位长度时，则点P表示的数为， ∵点Q从原点O出发沿着数轴的正方向移动6个单位长度， ∴点Q表示的数为， ∴P、Q两点间的距离是或， 故答案为：5或13． 【点睛】本题主要考查了求数轴上两点的距离，熟知数轴上两点距离公式和利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 8．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知数轴上两点A，B分别表示和0． (1)A，B两点之间的距离是多少个单位长度？ (2)一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，4秒后，点P与点A的距离是多少个单位长度？ 【答案】(1)6 (2)2或10 【分析】（1）数轴上两点的距离等于两点所对应数的差的绝对值，若两点分别对应数a、b，则距离为． （2）先计算动点P运动的总路程，然后分情况讨论点P的运动方向，运动方向分为向左和向右两种，分别计算对应P点对应的数，再计算与点A的距离． 【详解】（1）解：， 答：A，B两点之间的距离是6个单位长度． （2）点P运动路程：， 当点P向右运动时，，点P表示的数是4， 此时点P与点A的距离是， 当点P向左运动时，，点P表示的数是， 此时点P与点A的距离是， 综上，点P与点A的距离是2或10个单位长度． 9．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【答案】(1)2；1 (2)3；2 (3) (4) 【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键． （1）点从数轴上表示的点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （3）根据题意得出规律：第次移动后点表示的数是，； （4）根据移动规律得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （2）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （3）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 10．（19-20七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知是数轴(是原点)上的三点，点表示的数是点与点的距离为点与点的距离为．    （1）写出数轴上两点表示的数； （2）若点移动后与点的距离为求点与点的距离． 【答案】（1）A：-10，B：2；（2）36或4 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离可得点A、点B所表示的数； （2）分点B移动后在点A的左侧，和点B移动后在点A的右侧，两种情况分别求解． 【详解】解：（1）∵点C表示的数是6，BC=4，AB=12，且点A、点B在点C左边， ∴点B表示的数为：6-4=2，点A表示的数为：6-4-12=-10， 即数轴上A点表示的数为-10，数轴上B点表示的数为2； （2）若点B移动后在点A的左侧， 则点B表示的数为：-10-20=-30， 则点B与点C的距离为：6-（-30）=36； 若点B移动后在点A的右侧， 则点B表示的数为：-10+20=10， 则点B与点C的距离为：10-6=4． 【点睛】本题考查了数轴，解题关键是掌握数轴上两点之间距离的计算方法． 题型3 数轴上的中点与对称问题（共5小题） 【模型】中点表示的数 = (a+b)÷2；对称关系：B 与 A 关于 M 对称 → b=2m-a。 【步骤】① 用中点公式（或对称关系）列式；② 代入已知数；③ 解出未知数并画图验证。 【易错】中点公式是"先相加再除以 2"，别算成"大减小再除 2"（那是半距离）；对称问题画图最直观。 11．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，需考虑点B在点A左右两侧两种情况． 【详解】解：设点B表示的数为 ∵点A表示的数是，， ∴根据数轴上两点间距离公式，得，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴点B表示的数为或， 故选：C． 12．（21-22七年级上·河南平顶山·期末）如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 13．（24-25九年级下·河北邢台·期中）在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，根据线段的中点M所表示的数为A、B对应数值和的一半解答即可． 【详解】解：点M所对应的数为， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为_______． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键．先由点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称得出点A表示的数为，点C表示的数为，，再根据得出，进而即可得解． 【详解】解：∵将点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称， ∴点A表示的数为，点C表示的数为，， 设点B表示的数为b， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：5或 ． 提升·进阶突破 题型4 单动点运动与距离变化（共5小题） 【模型】动点到定点的距离 = |动点位置 - 定点位置|，随时间先变小、经过定点后变大。 【步骤】① 用 t 表示动点位置；② 列出距离的绝对值式子；③ 分析 t 取何值时距离取得最值或等于指定值。 【易错】绝对值方程 |a+vt-m|=d 去绝对值后是两个方程，漏一个就少一个解；"距离最小"一般发生在动点经过定点时。 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 17．（23-24六年级上·山东烟台·期中）点为数轴上表示的点，当点沿数轴以每秒3个单位长的速度移动4秒到达点时，点所表示的有理数为______． 【答案】或10 【分析】本题考查了数轴，数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加．此题注意考虑两种情况：可以向左移或向右移． 【详解】∵点A为数轴上的表示的点， ①当点A沿数轴向左移动4秒时，点B所表示的有理数为； ②当点A沿数轴向右移动4秒时，点B所表示的有理数为． 故答案为：或10． 18．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 19．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1) (2)5，8 (3)5或11 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 20．（18-19七年级上·辽宁沈阳·期末）如图,数轴上两点A、B所表示的数分别为-3、1. (1)写出线段AB的中点M所对应的数； (2)若点P从B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动,运动时间为秒: ①用含的代数式表示点P所对应的数； ②当BP=2AP时,求值． 【答案】（1）-1；（2）①1-2x；②x=或x=4． . 【分析】（1）根据中点的公式计算可得； （2）①根据两点间的距离公式求解可得；②分P运动到A、B之间和运动到BA的延长线上两种情况，根据“BP=2AP”列出方程，解之可得． 【详解】解：（1）线段AB的中点M所对应的数为 =-1； （2）①点P对应的数为1-2x； ②若P运动到A、B之间，则1-（1-2x）=2[1-2x-（-3）]，解得x=； 若P运动到BA的延长线上时，则1-（1-2x）=2[-3-（1-2x）]，解得x=4． 综上，当BP=2AP时，x=或x=4． 【点睛】本题考查数轴，掌握数轴上两点的距离公式：若点A表示a，点B表示b时，AB=|xb-xa|． 题型5 双动点的相向、相背运动（共5小题） 【模型】相向而行距离按"速度和"缩小，相背而行距离按"速度和"增大——类比行程问题。 【步骤】① 分别用 t 表示两点位置；② 相向：初始距离-(v₁+v₂)t；相背：初始距离+(v₁+v₂)t；③ 令距离为 0 求相遇时刻。 【易错】两动点各自的方向别弄反；相遇后若继续运动距离会重新变大，题目有后续时要分段讨论。 21．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，点的运动速度为3个单位长度/秒，运动到3秒时，两点相距15个单位长度．（速度单位：1个单位长度/秒）    (1)求点运动的速度； (2)设、两点运动时间为，当时，求点表示的数和点表示的数并在数轴上表示出来； (3)若、两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴运动，运动的速度不变，相向而行，问经过多少秒，、两点之间相距5个单位长度． 【答案】(1)2 (2)；12 (3)5秒或7秒 【分析】（1）运用运动到3秒时，算出A点运动后的位置，再根据两点相距15个单位长度解答即可； （2）根据（1）算出各自的运动路程即可； （3）根据相遇前和相遇后、两点之间相距5个单位长度分类讨论即可； 【详解】（1）运动到3秒时，A点运动到， 因为两点相距15个单位长度，故运动后B点对应的数：， 故B点的速度为：个单位长度/秒； （2）当时， 点运动路程为：个单位长度 ；点运动路程为：个单位长度； 点表示的数为： ，点表示的数为：12；    （3）相遇前、两点之间相距5个单位长度时，； 相遇后、两点之间相距5个单位长度时，； 故问经过5秒或7秒时，两点之间相距5个单位长度． 【点睛】该题主要考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间距离，解题的关键是结合数轴进行分析． 22．（20-21七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为－12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒．N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是___ _； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8．则t的值是__ __． 【答案】（1）4， ；（2）， 【分析】（1）先求出A、B两点间的距离，再利用相遇问题求相遇时间的方法求出时间，再确定点P的位置； （2）分情况讨论，相遇之前距离为8和相遇之后距离为8，用路程除以速度和求时间． 【详解】解：（1）点A、B在数轴上表示的数分别是-12和8，， 两只蚂蚁相向而行，相遇的时间（秒）， M经过4秒爬行了个单位长度， ，点P在数轴上表示的数是-4， 故答案是：4，-4； （2）①两只蚂蚁相遇之前距离为8， 此时两只蚂蚁走过的路程和， 所用时间（秒）， ②两只蚂蚁相遇之后距离为8， 此时两只蚂蚁走过的路程和， 所有时间（秒）， 故答案是：，． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是利用相遇问题的方法求解数轴上的动点问题． 23．（18-19七年级上·福建泉州·期中）如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.    (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 【答案】（1）；（2）120秒；（3）运动73.3或100秒时PQ距离为200. 【分析】(1)根据求数轴上两点之间的距离的方法计算. (2)根据追及问题的计算公式，路程差=速度差时间，直接计算或者列方程解答即可. (3)首先要想到问题P，Q两点的距离为200有两种情况，即P，Q相遇之前和相遇之后，再根据相遇问题的计算公式，路程和=甲运动路程+乙运动路程，路程=速度时间，直接计算或者列方程解答. 【详解】（1）由题意得，，所以点A所对应的数. （2）点 P 与点 Q 运动的路程差为 600，速度差为 5，故， 则120秒后P、Q两点重合. 另解：假设运动 x 秒时 P、Q 重合， 则有.解得 (3)PQ 距离为 200 时有两种情况： 相遇前（Q 在 P 的右边）： 相遇后（P 在Q的右边）： 故运动73.3或100秒时PQ距离为 200. 【点睛】本题结合数轴考查了两点之间的距离，还有追及问题和相遇问题，点的运动问题一定要思考清楚其整个运动过程，化动为静，找到其符合题意的时刻，再寻找数量关系解答. 24．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 【答案】(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据题意可知点C在线段上，且在点A的右侧，然后根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （3）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （4）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解出P，Q两点间的距离，根据数轴判断两点之间的位置关系． 【详解】（1）解：． （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为． （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴． （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧． 25．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 题型6 动点的追及与相遇问题（共5小题） 【模型】追及：同向、快者追慢者，追上时"位置相等"，即 a+v₁t=b+v₂t。 【步骤】① 用 t 写出两点的位置表达式；② 追上或相遇 → 位置相等列方程；③ 解出 t 并检验合理性。 【易错】同向作差、反向作和，先画示意图再列式；解出的 t 为负或不合题意时要舍去。 26．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 27．（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 【答案】(1)40 (2)52 (3)20秒或40秒 【分析】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间． （1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数； （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，分类讨论： ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，逐项求解即可． 【详解】（1）解：M点对应的数是； （2）由数轴，得A、B两点距离为， ∴两只蚂蚁相遇时间为秒， ∴点C对应的数为． （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，依题意，得 ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前， ， 解得，   ②蚂蚁P追上蚂蚁Q后， ， ． 答：当它们运动20秒或40秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度． 28．（26-27七年级上·吉林·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1) (2)①；②秒，相遇点为；③或 【分析】（1）由数轴上两点之间距离的表示方法求解即可； （2）①由题意表示出点表示的数，代入计算即可；②由相向而行的行程问题公式列式求解即可得到点相遇的时间，再由相遇时间计算点（或点）运动距离即可得出相遇点表示的数；③根据题意，分两种情况，由行程问题的公式列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， ； （2）解：①设运动时间为秒， 由题意可得，点表示的数为；点表示的数为， 当时，；， 则点表示的数分别为； ②由题意可知，点相向而行，则相遇时所花时间为（秒）； 方法一：若以点来计算，相遇点在点右侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； 方法二：若以点来计算，相遇点在点左侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； ③根据题意，两点相距个单位长度有两种情况： 相遇前，两点合走个单位长度，用时（秒）； 相遇后，两点合走个单位长度，用时（秒）； 综上所述，运动时间的值为或． 29．（23-24七年级上·广东韶关·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为6，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出点表示的数__________，点表示的数__________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，点运动几秒时追上点，并求出此时表示的数； (3)若为的中点，为的中点．点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，请求出线段的长． 【答案】(1)； (2) (3)运动时，长度不会发生变化， 理由:①当在A，之间，（如图） 则 ②当在左侧时，（如图） ∴运动时，长度是恒定的，为定值5 【分析】（1）根据点A的坐标减去点B的坐标等于的长度，可求得点B的坐标；同理根据点A的坐标减去点P的坐标等于运动距离，可求得点P的坐标． （2）与（1）类似，先求出点R的坐标为，然后令与点P的坐标相等，可列出等式：，求解t值；然后将t值代入． （3）分点P运动到AB之间与点P运动点B的左侧，两种情况分别讨论． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，，，即 ∴ ∴点B表示的数是： 依题意有： ∴ 即点P表示的数是 故答案为： （2）解：根据题意可得： 解得： 即点运动5秒时追上点R 当时， 点表示的数为 （3）略 【点睛】本题考查数轴上动点问题，解题的关键是结合动点路程问题得到两点距离或点的坐标，注意分类讨论． 30．（19-20七年级上·四川达州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，A是数轴上位于点B右侧的一点，且AB=26动点P从A点出发，每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>s）秒. (1)数轴上点B表示的数______点P表示的数______(用含 t 的代数式表示) (2)若M为AP的中点N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是______. (3)动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2? (4)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q? 【答案】（1）-18，8-5t；（2）13；（3）秒或4秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（4）点P运动13秒时追上点Q. 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边总比左边的数大及数轴上两点间的距离公式即可得点B表示的数及点P表示的数；（2）分点P在点B左边和右边两种情况，利用数轴上两点间的距离公式可求出BP、AP的长，根据中点的定义可得出PM、PN的长，即可求出MN的长；（3）利用两点间距离公式求出PQ的长即可；（4）分别求出点P、点Q表示的数，根据追上时P、Q表示的数相同即可得答案. 【详解】（1）∵A是数轴上位于点B右侧的一点，且AB=26， ∴点B表示的数为8-26=-18， ∵点P从A向左运动，速度为每秒5个单位长度， ∴点P表示的数为：8-5t， 故答案为-18，8-5t （2）①如图，当点P在点B右边时， ∵AP=5t， ∴BP=26-5t， ∵M、N分别为AP、BP的中点， ∴PM=t，PN==13-t， ∴MN=PM+PN=t+13-t=13， ②如图，当点P在点B左边时， ∵AP=5t， ∴BP=5t-26， ∵M、N分别为AP、BP的中点， ∴PM=t，PN==t-13， ∴MN=PM-PN=t-(t-13)=13， 综上所述：MN的长为13. 故答案为13 （3）∵点P从A向左运动，速度为每秒5个单位长度，点Q从B向右运动，速度为2个单位长度， ∴点P表示的数为8-5t，点Q表示的数为-18+2t， ∴PQ==2，即=2， ∴26-7t=2或26-7t=-2， 解得：t=或t=4， ∴秒或4秒时P、Q之间的距离恰好等于2. （4）∵P、Q都向左运动，速度分别为每秒5个单位长度和3个单位长度， ∴点P表示的数为8-5t，点Q表示的数为-18-3t， ∵点P追上点Q时，P、Q表示的数相同， ∴8-5t=-18-3t， 解得：t=13. 答：点P运动13秒时追上点Q. 【点睛】本题考查数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴的性质及两点间距离公式是解题关键. 题型7 分段运动与往返运动（共5小题） 【模型】运动方向或速度改变就分段：每段"该段起点 + 速度×该段时间"，上一段的终点是下一段的起点。 【步骤】① 按折返点、变速点分段；② 逐段写出位置表达式；③ 判断目标时刻落在哪一段，代入求解。 【易错】先算到达折返点的时刻，确认目标时刻在哪一段再列式，不能全程套一个式子；折返后速度方向取反。 31．（18-19七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知数轴上点A对应的数是20，点B对应的数是﹣30，甲从A点出发以每秒1个单位长度的速度匀速运动，乙从B出发以每秒3个长度单位的速度匀速运动，若甲乙两人同时出发 （1）若甲和乙在数轴上运动3秒后， ①它们相距最远时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 ②它们距离最近时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 （2）若甲和乙同时向右，出发多少秒后，甲和乙相距20个长度单位？ （3）若甲和乙进行匀速往返跑训练，甲从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……；乙从B点起跑，到达A点后，立即转身跑向B点，到达B点后，又立即转身跑向A点……；两人同时出发，问：起跑后两人第二次相遇的时间是多少？ 【答案】（1）①23，-39；②-21，17；（2）15或35；（3）37.5s 【分析】（1）①当它们相距最远时，甲和乙背道而驰，即甲沿数轴正方向爬行，乙沿数轴负方向爬行，由此分别求出它们所在的位置对应的数；②当它们相距最近时，乙追赶甲，它们同向而行，即甲和乙都沿数轴正方向爬行，由此分别求出它们所在的位置对应的数； （2）分两种情况进行讨论； （3）第二次相遇时，两人路程和是3×50=150. 【详解】∵甲从A点出发以每秒1个单位长度的速度爬行，乙从B点出发以每秒3个单位长度的速度运动，若它们同时出发运动3秒，∴甲运动路程：1×3=3， 乙运动路程：3×3=9， ①当它们相距最远时，甲和乙背道而驰，即甲沿数轴正方向爬行，乙沿数轴负方向爬行， 此时甲所在的位置对应的数为20+3=23，乙所在的位置对应的数为−30−9=−39； ②当它们相距最近时，乙追赶甲，它们同向而行，即甲和乙都沿数轴正方向爬行，此时甲所在的位置对应的数为20-3=17，乙所在的位置对应的数为−30+9=-21. （2）设t秒后，甲和乙相距20个长度单位. 由题意可知，当乙未追上甲，S甲=t，S乙=3t， S乙-S甲=50-20， 即3t-t=30，得t=15. 当乙追上甲并超过甲20个单位时，S乙-S甲=50+20 即3t-t=70，得t=35. 当t=15或35. （3）设x秒时两人第二次相遇， （3+1）x=3×50 x=37.5（s） 答：第二次相遇时需要37.5s. 【点睛】本题考查的知识点是数轴的应用，解题的关键是熟练的掌握数轴的应用. 32．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数a，b； (2)点P从A点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2020次后，求P点表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知， ∵，， ∴； （2）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2020次后，求P点表示的数为． 33．（22-23七年级下·广东惠州·开学考试）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2， ∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得： ， 解得． 则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． 34．（18-19七年级上·四川成都·阶段检测）已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为−1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值． （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由． （3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】（1）−1，5，2；（2）存在，最小值为6，x可以取的整数值有−1、0、1、2、3、4、5；（3）48 【分析】（1）根据数轴上的两点距离公式和中点公式列式求解即可； （2）分类讨论点P分别在点A左侧、点A、点B之间、点B右侧时分别求出，进行比较即可求出最小值； （3）设经过t分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多6，列出方程，求出t的值，即为点P的运动时间，再乘以点P运动的速度，即可得点P所经过的总路程． 【详解】解：（1）∵点A、 B对应的数分别为−1，5， ∴，即点A、B的距离为6； ∵点P到点A、B的距离相等，则P为AB中点， 则有：，所以； （2）数轴上存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小， 当点P在点A左侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PA+AB=2PA+6， 当点P在点A、点B之间时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=AB=6， 当点P在点B右侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PB+AB=2PA+6， 所以当点P在点A、点B之间时（含点A、点B），点P到点A、B的距离之和最小，最小值为6， 点A、点B之间的整数值有−1、0、1、2、3、4、5，即为x可以取的整数值； （3）设经过t分钟点A与点B重合，依题意得： −1+3t=5+2t+6，解得：t=12， 所以4t=4×12=48， 所以点P所经过的总路程是48个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离和中点、路程问题；题目较长，比较复杂，读题是一个难点，所以解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 35．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【分析】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【详解】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 拔高·压轴破难 题型8 多动点运动与位置关系变化（共4小题） 【模型】多个动点各自表示位置 → 谁左谁右随时间变化，按"追上、超过的时刻"分段讨论。 【步骤】① 分别写出各点位置；② 求出关键时刻（追上、相遇的时刻）；③ 按关键时刻分段讨论位置关系与距离。 【易错】不讨论先后关系直接列绝对值会漏解；去绝对值前必须先确定该段内两数的大小关系。 36．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 37．（23-24七年级上·重庆·阶段检测）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】(1)①②或5 (2) (3)①，，②不变，2 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得； ②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②如果，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）∵， ∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，   的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小， 所以，当时，最小值是3． 故答案为：； （3）①∵是最大的负整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2． 理由如下： ∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 38．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是a，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求的值； (2)求的长； (3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据多项式的次数和常数项的定义，即可进行解答； （2）用点A到原点的距离加上点B到原点的距离即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，将和的长度表示出来，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵多项式，次数为30，常数项为， ∴． （2）∵， ∴点A表示，点B表示30， ∴． （3）∵经过t秒后，点P运动到数对应的点， 点A运动到数对应的点， 点B运动到数对应的点， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 或， 则， 解得：． 综上：或． 【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法． 39．（20-21七年级上·广东广州·期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）求AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 【答案】（1）3；（2）存在，或；（3）不变，值为． 【分析】（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a，b的值，最后根据已知的关系式即可求出AB； （2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x，再分别表示出对应的PA、PB、PC，最后代入关系式PA＋PB＝PC即可解答； （3）由于运动时间为t秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间可表示出AB和BC，再计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值． 【详解】解：（1）∵|a＋2|＋（b﹣1）2＝0， 又∵|a＋2|≥0，（b﹣1）2≥0， ∴a＋2＝0，b﹣1＝0. ∴a＝﹣2，b＝1. ∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|， ∴AB＝|﹣2﹣1|＝3 答：AB的长为3； （2）存在点P，使得PA＋PB＝PC． 设点P对应的数为x， 当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|﹣x|＝﹣x． ∵PA＋PB＝PC， ∴﹣2﹣x＋1﹣x＝﹣x． 解得：x＝﹣． 当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1， ∴PA＝|﹣2﹣x|＝x＋2， PB＝|1﹣x|＝1﹣x， PC＝|﹣x|＝﹣x． ∴x＋2＋1﹣x＝﹣x． 解得：x＝﹣． 当点P在点B 的右侧时，PA＋PB＞PC，不合题意． 综上，点P对应的数为﹣或﹣； （3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． 由（1）知：AB＝3， 由（2）知：BC＝﹣1＝， ∴AB﹣BC＝． ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动， 同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动， ∴AB＝t＋3＋4t＝5t＋3. ∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动， ∴BC＝（9﹣4）t＋（﹣1）＝5t＋． ∴AB﹣BC＝（5t＋3）﹣（5t＋）＝． ∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变． ∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为． 【点睛】本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值符号，再结合已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键． 题型9 动点与中点、距离的动态综合（共4小题） 【模型】动点运动时其中点也在动：中点位置 = 两动点位置之和的一半。 【步骤】① 用 t 表示两个动点的位置；② 用中点公式写出中点位置；③ 化简后分析中点的运动速度与方向。 【易错】两点同速同向时中点不动、反向时中点速度是速度差的一半；先化简中点表达式再下结论。 40．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 【答案】(1)10，1 (2)或或 (3)当时，；当时， 【分析】kkk本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）分点Q向左运动和返回运动两种情况，根据两点间距离公式列方程求解； （3）分点向左运动和返回运动两种情况，先求出、表示的数，再利用距离公式计算MN的长度． 【详解】（1）解：表示的数为，点表示的数为6， 中点表示的数是 故答案为：10，1； （2）解：当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当点返回到点时，， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或或时，两点间距离为3． （3）解：点为的中点，点为的中点， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ． ∴当时，；当时，． 41．（20-21七年级上·四川绵阳·阶段检测）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x． (1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值； ②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①2秒中后点P为线段的中点；②或 【分析】(1)分计算即可． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 根据点P为线段的中点，得到，化简计算即可． ②分两种情况计算求解即可． 【详解】（1）因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x，P到A点、B点距离的和为10， 当时，则， 解得， 符合题意； 当时，则， 解得， 符合题意； 当时，则， 不符号题意， 故或． （2）①根据题意,点B表示的数为，点A表示的数为，点P表示的数为， 因为点P为线段的中点， 所以， 解得． ②因为数轴上A、B两点对应的数分别为和4， 所以， 当时， 则， 解得． 当时， 则， 解得． 当或时，点P为线段的三等分点． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，线段的中点即线段上一点把线段分成相等的两条相等，线段的三等分点，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 42．（17-18七年级上·江西南昌·期末）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度． （1）写出、两点所对应的数； （2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数； （3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值． 【答案】（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不变化，6 【分析】（1）直接根据实数与数轴上各点的对应关系求出A，B表示的数即可； （2）设点C表示的数为c，再根据点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于c的方程，求出c的值即可； （3）设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t，再根据点P是NO的中点用t表示出PO的长，再求出PO-AM的值即可． 【详解】（1）∵数轴上点A在原点左边，到原点的距离为4个单位长度，点B在原点的右边，从点A走到点B，要经过16个单位长度， ∴点A表示-4，点B表示12； （2）设点C表示的数为c， ∵点C到点B的距离是点C到原点的距离的3倍， ∴|c-12|=3|c|， ∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3； （3）不变化． 设运动时间为t秒，则AM=t，NO=12+2t， ∵点P是NO的中点， ∴PO=6+t， ∴PO-AM=6+t-t=6， ∴PO-AM的值没有变化． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与全体实数是一一对应关系是解答此题的关键． 43．（17-18七年级上·北京·期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为9，BC=6，AB=18. （1）数轴上点A表示的数为______；点B表示的数为______. （2）若动点P从A出发沿数轴匀速向右运动，速度为每秒6个单位，M为AP中点，设运动时间为t（t>0）秒，则数轴上点M表示的数为____________；（用含t的式子表示） （3）若动点P、Q同时从A、C出发，分别以6个单位长度每秒和3个单位长度每秒的速度，沿数轴匀速向右运动.N在线段PQ上，且，设运动时间为t（t>0）秒，则数轴上点N表示的数为____________（用含t的式子表示）. 【答案】（1）-15，3；（2）-15+3t；（3）5t-7 【详解】试题分析：（1）求出AO，OB的长即可解决问题． （2）求出OM、ON的长即可解决问题． （3）先求出PQ的长，再算出PN的长，即可得出结论． 试题解析：解：（1）∵OC=9，BC=6，∴OB=3，∴点B表示的数是3．∵AB=18，OB=3，∴AO=15，∴点A表示的数是﹣15． （2）数轴上点M表示的数为3t﹣15； （3）由题意得：PQ=15+3+6+3t-6t=24－3t，PN=PQ=8－t，∴点N表示的数是：－15+6t+8－t=5t－7． 点睛：本题考查了列代数式、数轴等知识，解题的关键是理解数轴的定义，在原点左边的数表示负数，原点表示0，原点右边的数表示正数，属于中考常考题型． 题型10 动点与绝对值最值综合（共5小题） 【模型】动点 P 到若干定点的距离之和最小 → P 落在最中间两定点之间（含端点）时最小。 【步骤】① 标出所有定点；② 让动点落在中间两点之间求最小值；③ 结合动点的运动范围检验能否取到。 【易错】最小值对应的 t 往往是一段范围而非唯一值；若动点运动范围有限，必须先检验最小值点是否在范围内。 44．（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 【答案】（1）；； （2）线段的长度不变，长度为7； （3）0 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）根据题意，t秒后，点运动的路程为，点表示的数为； （2）分两种情况讨论：①当点P在线段上；②当点P在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可； （3）当点P追上T的时间．当Q追上T的时间．当Q追上P的时间，推出当时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）根据题意，秒后，点运动的路程为；点表示的数为； 故答案为：；； （2）线段的长度不变，理由如下： ①当点P在线段上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； ②当点P在线段的延长线上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； 所以线段的长度不变，是7． （3）当点P追上T的时间， 当Q追上T的时间， 当Q追上P的时间， ∴当时，位置如图， ∴． 45．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 46．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示． 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 ；若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于 ； 联系拓广： （2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点两点之间，则 ； ②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则等于 ． 【答案】（1）5，，1或；（2）①6；②或 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值的概念的应用，理解绝对值的几何意义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值可求数轴上任意两点间的距离；由可列出关于x的方程求解即可； （2）①点P在点M、N两点之间时，即为M、N两点之间的距离；②由动点P的位置不同分情况进行讨论求解． 【详解】解：（1）由阅读材料可知： 数轴上有理数与对应的两点之间的距离为； 数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ∵ ∴ ∴或 ∴或； 故答案为：5，，1或． （2）①∵点是数轴上的三点，点M表示的数为4，点表示的数为，点在点两点之间，动点表示的数为． ∴； ②∵ ∴， ①如图：当点P在点N左侧时， ∴，解得： ； ②如图：当点P在点之间时， ∴，解得：； ③当点P在点M右侧时 ∴，解得： （不合题意舍去）． ∴综上所述，或． 故答案是：①6；②或． 47．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 【答案】(1)60 (2)或5 (3)7 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解； （2）分在点左边，、都在、中间，点在、中间，在点右边，和、都在点右边四种情况讨论，列出相应方程即可求解； （3）， 可推出，进而求出即可求解． 【详解】（1）∵， ∴点到、两点的距离的和为60， 故答案为：60； （2）若在点左边，则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得：， 若、都在、中间，此时距离和为，不符合题意， 若点在、中间，在点右边， 则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得， 若、都在点右边，此时仅点与点的距离，不符合题意： 综上所述，当或5时，满足题意． （3）由前面可知，， ∵已知 当时，有最大值： 综上所述，的最大值为7． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据、相对的位置关系分类． 48．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 【答案】(1)， (2)①3；②4；③3 (3)①4或6秒；②或6 【分析】（1）将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，则中点表示的数为，根据M点表示的数为，N点表示的数为，计算求解即可； （2）①由绝对值的几何意义求解作答即可；②由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7，由，可知满足条件的所有整数为，然后求和计算即可；③由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离；当时，取最小值，当且时，，此时，取最小值； （3）①设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为，依题意得，，则，计算求解即可；②设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为，则，，依题意得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合， ∴中点表示的数为， ∴M点表示的数为，N点表示的数为， 故答案为：，； （2）①解：由题意知，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和6的点之间的距离， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的最小值为3； 故答案为：3； ②解：由题意知，，表示数轴上表示的点，到数轴上表示和的点之间的距离为7， ∵， ∴满足条件的所有整数为， ∴满足条件的所有整数的和是， 故答案为：4； ③解：由题意知，表示数轴上表示与2两点之间的距离；表示数轴上表示与3两点之间的距离；表示数轴上表示与4两点之间的距离； 同理（2）①，当时，取最小值， 当且时，， ∴当时，取最小值； （3）①解：设经过秒P与A的距离是2个单位长度，则点表示的数为， 依题意得，， ∴， 解得，或， ∴经过4或6秒P与A的距离是2个单位长度； ②解：设经过秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍，则点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， ∴， ∴， 解得，或， ∴经过或6秒时，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍， 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识，熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，绝对值方程是解题的关键． $专题04 数轴上的动点问题 基础·固本强基 题型1 数轴上点的平移与位置确定 题型2 动点运动后的距离计算（重点） 题型3 数轴上的中点与对称问题 提升·进阶突破 题型4 单动点运动与距离变化（重点） 题型5 双动点的相向、相背运动（重难点） 题型6 动点的追及与相遇问题（重难点） 题型7 分段运动与往返运动（难点） 拔高·压轴破难 题型8 多动点运动与位置关系变化（难点） 题型9 动点与中点、距离的动态综合（重难点） 题型10 动点与绝对值最值综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴上点的平移与位置确定（共5小题） 【模型】向右平移加、向左平移减：点 A 表示数 a，右移 m 个单位后为 a+m，左移后为 a-m。 【步骤】① 写出起点表示的数；② 按方向加减平移量；③ 得到终点表示的数。 【易错】向左平移是减法，与数的正负无关；平移按"单位长度"计，别把图上格数与单位长度混为一谈。 1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2026·湖北十堰·一模）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 4．（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2026·四川广元·二模）如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 题型2 动点运动后的距离计算（共5小题） 【模型】距离 = 两点所表示数之差的绝对值；运动问题先"用时间 t 表示每个点的位置"。 【步骤】① 设运动时间为 t；② 写出动点表示的数（起点 ± 速度×t）；③ 代入 |a-b| 求距离。 【易错】速度与时间的单位要统一；向左运动是"减"，不能一律用加。 6．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）点P在数轴上表示的数是，将点P移动7个单位长度后所得的点表示的数是（   ） A．4或 B．10或 C． D．4 7．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上，点A表示的数是，点P从点A出发，沿着数轴移动4个单位长度，点Q从原点O出发沿着数轴的正方向移动6个单位长度，此时P、Q两点间的距离是______． 8．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知数轴上两点A，B分别表示和0． (1)A，B两点之间的距离是多少个单位长度？ (2)一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，4秒后，点P与点A的距离是多少个单位长度？ 9．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 10．（19-20七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知是数轴(是原点)上的三点，点表示的数是点与点的距离为点与点的距离为．    （1）写出数轴上两点表示的数； （2）若点移动后与点的距离为求点与点的距离． 题型3 数轴上的中点与对称问题（共5小题） 【模型】中点表示的数 = (a+b)÷2；对称关系：B 与 A 关于 M 对称 → b=2m-a。 【步骤】① 用中点公式（或对称关系）列式；② 代入已知数；③ 解出未知数并画图验证。 【易错】中点公式是"先相加再除以 2"，别算成"大减小再除 2"（那是半距离）；对称问题画图最直观。 11．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 12．（21-22七年级上·河南平顶山·期末）如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    13．（24-25九年级下·河北邢台·期中）在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为________． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 15．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为_______． 提升·进阶突破 题型4 单动点运动与距离变化（共5小题） 【模型】动点到定点的距离 = |动点位置 - 定点位置|，随时间先变小、经过定点后变大。 【步骤】① 用 t 表示动点位置；② 列出距离的绝对值式子；③ 分析 t 取何值时距离取得最值或等于指定值。 【易错】绝对值方程 |a+vt-m|=d 去绝对值后是两个方程，漏一个就少一个解；"距离最小"一般发生在动点经过定点时。 16．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 17．（23-24六年级上·山东烟台·期中）点为数轴上表示的点，当点沿数轴以每秒3个单位长的速度移动4秒到达点时，点所表示的有理数为______． 18．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 20．（18-19七年级上·辽宁沈阳·期末）如图,数轴上两点A、B所表示的数分别为-3、1. (1)写出线段AB的中点M所对应的数； (2)若点P从B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动,运动时间为秒: ①用含的代数式表示点P所对应的数； ②当BP=2AP时,求值． 题型5 双动点的相向、相背运动（共5小题） 【模型】相向而行距离按"速度和"缩小，相背而行距离按"速度和"增大——类比行程问题。 【步骤】① 分别用 t 表示两点位置；② 相向：初始距离-(v₁+v₂)t；相背：初始距离+(v₁+v₂)t；③ 令距离为 0 求相遇时刻。 【易错】两动点各自的方向别弄反；相遇后若继续运动距离会重新变大，题目有后续时要分段讨论。 21．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，点的运动速度为3个单位长度/秒，运动到3秒时，两点相距15个单位长度．（速度单位：1个单位长度/秒）    (1)求点运动的速度； (2)设、两点运动时间为，当时，求点表示的数和点表示的数并在数轴上表示出来； (3)若、两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴运动，运动的速度不变，相向而行，问经过多少秒，、两点之间相距5个单位长度． 22．（20-21七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为－12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒．N的速度为3个单位长度/秒． （1）运动 秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是___ _； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8．则t的值是__ __． 23．（18-19七年级上·福建泉州·期中）如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600.    (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 24．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 25．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 题型6 动点的追及与相遇问题（共5小题） 【模型】追及：同向、快者追慢者，追上时"位置相等"，即 a+v₁t=b+v₂t。 【步骤】① 用 t 写出两点的位置表达式；② 追上或相遇 → 位置相等列方程；③ 解出 t 并检验合理性。 【易错】同向作差、反向作和，先画示意图再列式；解出的 t 为负或不合题意时要舍去。 26．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 27．（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 28．（26-27七年级上·吉林·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 29．（23-24七年级上·广东韶关·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为6，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出点表示的数__________，点表示的数__________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，点运动几秒时追上点，并求出此时表示的数； (3)若为的中点，为的中点．点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，请求出线段的长． 30．（19-20七年级上·四川达州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，A是数轴上位于点B右侧的一点，且AB=26动点P从A点出发，每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>s）秒. (1)数轴上点B表示的数______点P表示的数______(用含 t 的代数式表示) (2)若M为AP的中点N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是______. (3)动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2? (4)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q? 题型7 分段运动与往返运动（共5小题） 【模型】运动方向或速度改变就分段：每段"该段起点 + 速度×该段时间"，上一段的终点是下一段的起点。 【步骤】① 按折返点、变速点分段；② 逐段写出位置表达式；③ 判断目标时刻落在哪一段，代入求解。 【易错】先算到达折返点的时刻，确认目标时刻在哪一段再列式，不能全程套一个式子；折返后速度方向取反。 31．（18-19七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知数轴上点A对应的数是20，点B对应的数是﹣30，甲从A点出发以每秒1个单位长度的速度匀速运动，乙从B出发以每秒3个长度单位的速度匀速运动，若甲乙两人同时出发 （1）若甲和乙在数轴上运动3秒后， ①它们相距最远时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 ②它们距离最近时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 （2）若甲和乙同时向右，出发多少秒后，甲和乙相距20个长度单位？ （3）若甲和乙进行匀速往返跑训练，甲从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……；乙从B点起跑，到达A点后，立即转身跑向B点，到达B点后，又立即转身跑向A点……；两人同时出发，问：起跑后两人第二次相遇的时间是多少？ 32．（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）a，b分别是数轴上两个不同点A，B所表示的有理数，且，，A，B两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数a，b； (2)点P从A点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2020次后，求P点表示的数． 33．（22-23七年级下·广东惠州·开学考试）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 34．（18-19七年级上·四川成都·阶段检测）已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为−1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值． （2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由． （3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 35．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 拔高·压轴破难 题型8 多动点运动与位置关系变化（共4小题） 【模型】多个动点各自表示位置 → 谁左谁右随时间变化，按"追上、超过的时刻"分段讨论。 【步骤】① 分别写出各点位置；② 求出关键时刻（追上、相遇的时刻）；③ 按关键时刻分段讨论位置关系与距离。 【易错】不讨论先后关系直接列绝对值会漏解；去绝对值前必须先确定该段内两数的大小关系。 36．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 37．（23-24七年级上·重庆·阶段检测）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    38．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是a，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点A与点B之间的距离记作． (1)求的值； (2)求的长； (3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值． 39．（20-21七年级上·广东广州·期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|． （1）求AB的长； （2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 题型9 动点与中点、距离的动态综合（共4小题） 【模型】动点运动时其中点也在动：中点位置 = 两动点位置之和的一半。 【步骤】① 用 t 表示两个动点的位置；② 用中点公式写出中点位置；③ 化简后分析中点的运动速度与方向。 【易错】两点同速同向时中点不动、反向时中点速度是速度差的一半；先化简中点表达式再下结论。 40．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 41．（20-21七年级上·四川绵阳·阶段检测）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x． (1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10． (2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）． ①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值； ②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由． 42．（17-18七年级上·江西南昌·期末）已知数轴上点在原点的左边，到原点的距离为4，点在原点右边，从点走到点，要经过16个单位长度． （1）写出、两点所对应的数； （2）若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的3倍，求对应的数； （3）已知点从点开始向右出发，速度每秒1个单位长度，同时从点开始向右出发，速度每秒2个单位长度，设线段的中点为，线段的值是否会发生变化？若会，请说明理由，若不会，请求出求其值． 43．（17-18七年级上·北京·期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为9，BC=6，AB=18. （1）数轴上点A表示的数为______；点B表示的数为______. （2）若动点P从A出发沿数轴匀速向右运动，速度为每秒6个单位，M为AP中点，设运动时间为t（t>0）秒，则数轴上点M表示的数为____________；（用含t的式子表示） （3）若动点P、Q同时从A、C出发，分别以6个单位长度每秒和3个单位长度每秒的速度，沿数轴匀速向右运动.N在线段PQ上，且，设运动时间为t（t>0）秒，则数轴上点N表示的数为____________（用含t的式子表示）. 题型10 动点与绝对值最值综合（共5小题） 【模型】动点 P 到若干定点的距离之和最小 → P 落在最中间两定点之间（含端点）时最小。 【步骤】① 标出所有定点；② 让动点落在中间两点之间求最小值；③ 结合动点的运动范围检验能否取到。 【易错】最小值对应的 t 往往是一段范围而非唯一值；若动点运动范围有限，必须先检验最小值点是否在范围内。 44．（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 45．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 46．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示． 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为； 在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为 ；若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于 ； 联系拓广： （2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点两点之间，则 ； ②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则等于 ． 47．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 48．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______． (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值=_______． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____． ③当______时，取最小值． (3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ $