湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期期中数学自编模拟卷

长沙市2026-2027高二上学期期中模拟卷自编卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则的非空真子集的个数为(    ) A. B. C. D. 2.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 5.已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某校某年级为了测试该年级名学生的数学水平，组织了一次数学测试，将这名学生的成绩分成了六组，分别为，，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    ) A. 该年级学生成绩落在的人数为 B. 该年级学生成绩的第一四分位数为分 C. 该年级学生成绩的中位数和众数均为分 D. 该年级学生成绩的平均分为分 10.在平面直角坐标系中，下列说法正确的是(    ) A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B. 已知，，若直线与线段有公共点，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 11.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知实数、满足，，则的取值范围为           13.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为          ． 14.已知点，分别在直线与上，且，，，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹构成曲线． 求曲线的方程及轨迹； 设点是曲线上的任意一点，求的取值范围． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为的中点，且． 求证： 平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知抛物线：，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于不同的两点，，且． 求抛物线的方程； 若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标． 18.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且． Ⅰ求的实轴长与虚轴长之积的最大值． Ⅱ若过点的直线与的右支交于，两点，直线与轴交于点，的内切圆与边相切于点，且． (ⅰ)求的方程 (ⅱ)记的内切圆面积为，的内切圆面积为，求的取值范围． 19.本小题分 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线，均不与轴垂直． 求椭圆的方程； 若，求的方程； 记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市2026-2027高二上学期期中模拟卷自编卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则的非空真子集的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线与双曲线位置关系，考查充分条件，必要条件的判断，属于基础题． 当直线与双曲线只有一个公共点时，分两种情况讨论即可． 【解答】 解：联立方程，整理为， 当，即时，有个解，即有一个公共点， 若时，，所以当直线与曲线有一个公共点时，或，所以是直线与曲线仅有一个公共点的充分不必要条件． 3.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：． 4.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查双曲线的渐近线方程，属于基础题． 根据条件得到，又，所以，从而求出渐近线方程． 【解答】 解：由题意可知，又， 所以， 双曲线的焦点在轴上， 所以渐近线方程为 故选C． 5.已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图所示： ，， 结合图象可知，直线的斜率的取值范围是， 则直线的倾斜角的取值范围为． 故选：． 6.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题． 由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离最大时，而当直线与垂直时最大，求出的最大值，进而求出弦长的最小值． 【解答】 解：由圆的方程可得圆心坐标，半径，且点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 当最大时最小，当直线与所在的直线垂直时最大，这时， 所以最小的弦长， 故选B． 7.已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，为中档题． 设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解． 【解答】 解：设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又点在直线上，所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选：． 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题． 作，垂足为，由，可得，点为的中点．，由，可得，利用勾股定理即可得出． 【解答】 解：如图所示，作，垂足为． ， ，点为的中点． ，． ，， ， ． ， 化简可得：， ，， 解得． 故选A． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某校某年级为了测试该年级名学生的数学水平，组织了一次数学测试，将这名学生的成绩分成了六组，分别为，，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    ) A. 该年级学生成绩落在的人数为 B. 该年级学生成绩的第一四分位数为分 C. 该年级学生成绩的中位数和众数均为分 D. 该年级学生成绩的平均分为分 【答案】ABD  【解析】对于，由频率分布直方图可得，该年级学生成绩落在的频率为， 则该年级学生成绩落在的人数为，故A正确 对于，第一四分位数即分位数， 由频率分布直方图可得，前两个区间的频率之和恰为，故B正确 对于，由频率分布直方图可知， 该年级学生成绩落在的频率最大， 故该年级学生成绩的众数为分， 又由选项A知， 设中位数为，则，， 即中位数为分，故C错误 对于，该年级学生成绩的平均分为分，故D正确． 10.在平面直角坐标系中，下列说法正确的是(    ) A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B. 已知，，若直线与线段有公共点，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查直线斜率公式的应用，截距式方程、直线与圆的位置关系的判断及求参、点到直线的距离，属于中档题． 根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果． 【解答】 解：对于，当一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在，两条直线垂直， 但两条直线的斜率的乘积为不成立，故A错误 对于，已知，，若直线与线段有公共点， 直线方程可化为，直线过定点， ，， 结合图象可知直线的斜率， 所以故B正确 对于，当所求直线在两坐标轴上的截距都为时，直线的方程为：，满足要求 当所求直线在两坐标轴上的截距都不为时，设方程为， 代入得，，故方程为， 所以直线的方程为或，故C错误 对于，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离为，即，解得，故D正确． 故选BD． 11.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想，考查运算求解能力，属于较难题． 令，化为直线的一般方程，利用圆心到直线的距离小于等于半径求得的范围判断；同理可判断；求出圆上的点到原点距离的最大值的平方判断；求出过原点且与圆有交点的直线的斜率的最大值判断． 【解答】 解：由，得， 令，即，由直线与圆有交点得， 解得， 的最大值为，故A正确； 圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的距离的最大值为， 可得的最大值为，故B正确； 设过原点的直线的斜率为，直线方程为，由直线与圆有交点得， 解得，即的最大值为，故C错误； 令，即，由直线与圆有交点得，解得， 则的最大值为，故D错误． 故选CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知实数、满足，，则的取值范围为           【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用不等式的性质求取值范围，属于基础题． 由，利用不等式的性质即可求解． 【解答】 解：设， 故解得 故， 而， 故 则的取值范围为． 故答案为． 13.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形面积与基本不等式的综合应用，属于中档题． 先由三角形面积公式得到，再利用基本不等式即可解得． 【解答】  解：由， 得， 得，即． 所以， 当且仅当时取等号． 故答案为． 14.已知点，分别在直线与上，且，，，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】略 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹构成曲线． 求曲线的方程及轨迹； 设点是曲线上的任意一点，求的取值范围． 【答案】设，由得， 整理得，即， 曲线是的轨迹以为圆心，半径为的圆； 由题可设，，， 所以，其中， 所以当时，有最小值， 当时，有最大值， 所以的取值范围为．   【解析】本题主要考查求动点的轨迹和动点最值的问题，属于中档题． 采用直接法求轨迹方程，直接设点，代入化简变形即可得到曲线的方程； 因为点是圆上的点，所以可以利用三角换元的方法求取值范围． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为的中点，且． 求证： 平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】证明  如图，连接交于，连接， 因为底面是矩形，所以是的中点，又因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 解  由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则有 所以取， 记直线与平面所成的角为， 则 故直线与平面所成角的正弦值为．   【解析】略 17.本小题分 已知抛物线：，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于不同的两点，，且． 求抛物线的方程； 若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标． 【答案】解：由抛物线方程，得，两点所在的直线方程为 则，故．  抛物线的方程为． 由题意直线不与轴垂直，设直线的方程为，，， 联立，消去，得． ，，， ， ， 又，， ， ， 解得或，而， 此时， 直线的方程为， 故直线过定点．   【解析】本题考查抛物线中的定点、定值、定直线问题，抛物线的标准方程，属于中档题． 由题意可得直线方程，进而可得，可求得值，即可得答案． 设直线的方程为，，，联立直线与抛物线，根据根与系数的关系可得，表达式，根据，可得，代入计算，即可求得值，分析即可得答案． 18.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且． Ⅰ求的实轴长与虚轴长之积的最大值． Ⅱ若过点的直线与的右支交于，两点，直线与轴交于点，的内切圆与边相切于点，且． (ⅰ)求的方程 (ⅱ)记的内切圆面积为，的内切圆面积为，求的取值范围． 【答案】解：Ⅰ设的半焦距为， 因为，所以， 由题可知，的实轴长为，虚轴长为， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的实轴长与虚轴长之积的最大值为； Ⅱ设的内切圆分别与，相切于点，，如图： 由切线长定理可知，，， 因为， 所以 ， 即，， 所以， 则的方程为； 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，， ，，与圆分别相切于点，，， 由切线长定理可得 ， 因为，所以，， 所以是的右顶点， 因为轴，所以点的横坐标为， 同理可求得点的横坐标也为， 设直线的倾斜角为， 则，， 在，中， 有，， 易知， 设，则， 则， 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间上的值域是， 故的取值范围是  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线，均不与轴垂直． 求椭圆的方程； 若，求的方程； 记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】解：由椭圆过点，焦距为， 得，解得 故椭圆的方程为． 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则， 故 ， 解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线经过点，不符合题意，舍去， 所以当时，的方程为， 证明：直线，均不与轴垂直， 所以，，则且， 所以 ， 所以为定值．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $