精品解析：湖南省多所学校(湖南师范大学附属中学等)2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025年下学期高二期中考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，学生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即． 故选：C. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，求得两复数，按运算法则进行计算. 【详解】在复平面内，复数对应的点分别为， 则， 得． 故选： 3. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点. 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确. 故选：C. 4. 在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量相等列方程，进而求得正确答案. 【详解】依题意，向量，在上的投影向量相等， 所以，则，即， 所以. 故选：B 5. 高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高（　　） A. 多4.8厘米 B. 多5.6厘米 C. 多7.2厘米 D. 多8.4厘米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意计算出全班的平均身高进行比较. 【详解】设男生平均身高为，女生平均身高为，则， 总体平均身高为， 则男生的平均身高减全班的平均身高为， 故男生的平均身高比全班的平均身高多4.8厘米． 故选： 6. 已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线所过的定点，再利用两点间的距离公式进行计算. 【详解】直线， 即， 由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为． 故选： 7. 若函数为奇函数，为偶函数，则（　　） A. 的最小值为，无最大值 B. 的最大值为，无最小值 C. 的最小值为，最大值为 D. 既没有最小值，也没有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性得到，，即可求出解析式，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 即，， 解得． 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，无最大值． 故选：A 8. 椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义得到，，再根据抛物线的定义求出点的坐标，利用两点间距离公式得到方程，即可求出，即离心率. 【详解】因为抛物线的焦点为，则抛物线方程可写为， 若，则， 由椭圆的定义得，所以，， 由抛物线的定义得，所以点的横坐标， 代入抛物线方程得，， 所以，即， 所以. 所以椭圆的离心率. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期为 B. C. 在单调递增 D. 在的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简函数的解析式，根据函数性质逐项分析即可. 【详解】, 对于A，故A正确； 对于B的对称轴方程为: ， 即， 当时，关于对称， 即，故B正确； 对于C，由， 得的单调递增区间为， 但不是上述区间的子集，故C错误； 对于 故D正确． 故选： 10. 已知曲线，则（　　） A. 曲线表示一个圆 B. 点在曲线上 C. 曲线被直线截得的弦长为 D. 曲线与所有平行于轴的直线都有交点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的一般方程可判定A，代入点可判定B，联立直线和曲线方程，求得交点坐标，再利用两点间的距离公式计算可判定C，联立直线和曲线方程求解可判定D. 【详解】对于A，由圆的一般方程可知，圆的方程中无项， 故A错误； 对于B，代入点得， 因此点在曲线上，故B正确； 对于C，联立， 整理得， 因此直线与曲线的交点分别为， 弦长为，故C错误； 对于D，设与轴平行的直线为， 联立， 整理得，， 故正确． 故选： 11. 若四面体各棱长为1或2，但不是正四面体，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体有可能是正三棱锥 B. 四面体中长为1的棱最多有4条 C. 若四面体恰有两条棱长为1，则有且仅有2条棱所在的直线互相垂直 D. 四面体体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：当四面体的底面边长均为1，侧棱长均为2时，该四面体为正三棱锥，故A正确； 对于B：假设四面体中长为1的棱有4条，如图， 分三种情况讨论： 若底面有一条边长为1，不妨设，则侧棱长均为1， 此时，构不成三角形，该情况不成立； 若底面有两条边长为1，不妨设，此时，构不成三角形，该情况不成立， 若底面三条边均为1，则侧棱有一条为1，不妨设，此时， 构不成三角形，该情况不成立， 所以四面体中长为1的棱不可能有4条，故B错误； 对于C：若两条相邻的棱长为1，则构不成三角形，该情况不成立； 所以两条为1的棱只能为对棱，不妨设，其余四边长为2， 此时所有的三角形三边均分别为，故共顶点的两边均不垂直， 如图以点为原点，直线为轴建立空间直角坐标系： 则，，设， 则，两式相减得：，所以， 所以， 因为，所以， 解得，所以， 所以，，，， ，， 所以， ， ， 故，此时有且仅有2条棱所在的直线互相垂直，所以C选项正确； 对于D：根据B选项可知四面体的六条棱长可能为一条棱长为1，其余为2；两条棱长为1，其余为2； 或三条棱长为1，三条棱长为2；易知第一种情况体积最大，不妨设，其他棱长为2， 如图建立空间直角坐标系： 则，，设， 则，两式相减得：，所以， 所以， 因为，所以， 解得，所以， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 又， 所以四面体体积为， 所以四面体体积的最大值为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 13. 已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得圆必经过原点，圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大，进一步求解即可. 【详解】圆是以圆上一点为圆心， 所以圆必经过原点， 又因为圆经过原点， 所以圆与圆交于原点，设为． 当圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大， 此时，而， 所以． 故答案为：. 14. 若，，且对任意实数均有．则满足条件的有序实数对的个数为________． 【答案】3 【解析】 【分析】结合恒成立，分析函数与图象的位置关系，确定和的可能取值即可. 【详解】要让对于任意实数均成立，只需函数与图象重合或为的常函数. 当函数与图象重合时， 所以，由于，可以取，； 当为的常函数时，，此时可以取. 综上，满足条件的有序实数对的个数为3个（，，）. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）证明：； （2）若为边上一点，的面积是的面积的两倍，，求的周长． 【答案】（1） 根据正弦定理，由 可得：， 即． 在中，有， 可以得到：， 即. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简条件，进一步计算即可. （2）根据条件得到，利用，两角余弦值相反建立方程，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 有. 由， 可得：， 即， 解得：， 所以的周长为. 16. 在直角坐标系中，过圆上任意一点作轴的垂线段为垂足．当点在圆上运动时，总有，设点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设点，，利用的中点在圆上建立方程； （2）联立直线和曲线方程，利用三角形面积公式建立方程，解出即可. 【小问1详解】 设点，点， 则点． 由是的中点得：. 因为点在圆上，所以 将代入方程得：． 故的方程为：. 【小问2详解】 设直线的方程为：， ，， 联立， 得 解得；，所以或 所以直线的方程为或. 17. 已知等差数列满足，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）， （2）证明:由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； 【小问2详解】 略. 18. 如图，在四棱锥中，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设是三棱锥外接球球面上的一动点，求的最小值． 【答案】（1） 如图所示，在平面内，取的中点， 连接，，，， 因为，由勾股定理得， 所以， 在中，由， 得. 在中，， 所以， 由， 平面, 得平面，又平面， 所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证明; （2）建立空间直角坐标系，按照空间向量面面角的计算公式进行计算； （3）根据条件求得球心坐标及外接球半径，在平面内取一点，满足，进行向量转化，进一步计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线为轴，轴， 建立如图所示的坐标系，易知轴平行于， 则， ， 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则， ， 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设球心为，半径为，易知， 在中，，解得， 所以 在平面内取一点，满足， 即 ， 解得，则， ， 又因为 ， 又， 则 19. 已知双曲线：的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 【答案】（1）； （2）（i）数列为等比数列，故，， 过作直线，， 由消去并化简得， 其中，所以. ， 所以，. 过作直线， 同理可求得，. 所以直线的方程为， 直线的方程令，得， ， ，， . 因，故，即是等比数列. （ii） 由，，得. 的面积. 设， 由于， 由对勾函数单调性，当或时，， 当时，， 设，则单调递增，， 故. 求和得. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率和过定点的条件，联立方程求得双曲线方程； （2）(i)通过直线与双曲线的中点坐标，推导直线与轴交点的坐标，结合等比数列的定义证明为等比数列； （ii）先用写出的表达式，对于含的部分，单独求出其最大值，最后由等比数列求和即可证明. 【小问1详解】 双曲线的离心率为2，故，结合得. 双曲线过点，代入得，结合， 得，故，. 双曲线的方程为. 【小问2详解】 (i) 略 (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高二期中考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，学生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数（　　） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量，在上的投影向量相等，则的值为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 5. 高二某班有30名男生和20名女生，男生的平均身高比女生的平均身高多12厘米，则男生的平均身高比全班的平均身高（　　） A. 多4.8厘米 B. 多5.6厘米 C. 多7.2厘米 D. 多8.4厘米 6. 已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 7. 若函数为奇函数，为偶函数，则（　　） A. 的最小值为，无最大值 B. 的最大值为，无最小值 C. 的最小值为，最大值为 D. 既没有最小值，也没有最大值 8. 椭圆的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期为 B. C. 在单调递增 D. 在的值域为 10. 已知曲线，则（　　） A. 曲线表示一个圆 B. 点在曲线上 C. 曲线被直线截得的弦长为 D. 曲线与所有平行于轴的直线都有交点 11. 若四面体各棱长为1或2，但不是正四面体，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体有可能是正三棱锥 B. 四面体中长为1的棱最多有4条 C. 若四面体恰有两条棱长为1，则有且仅有2条棱所在的直线互相垂直 D. 四面体体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则________． 13. 已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为___________． 14. 若，，且对任意实数均有．则满足条件的有序实数对的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）证明：； （2）若为边上一点，的面积是的面积的两倍，，求的周长． 16. 在直角坐标系中，过圆上任意一点作轴的垂线段为垂足．当点在圆上运动时，总有，设点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，且的面积为，求直线的方程． 17. 已知等差数列满足，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 18. 如图，在四棱锥中，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设是三棱锥外接球球面上的一动点，求的最小值． 19. 已知双曲线：的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $