湖南省湘潭市2026-2027学年高二上学期期中考试数学自编卷（范围：必修一二、选必一）

湖南省湘潭市2026-2027学年高二上学期期中考试自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A C B C C BC CD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据不等式的解法，求得不等式解集，结合充分条件必要条件的定义即得. 【详解】由不等式，解得，又由，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．C 【分析】根据正弦定理理解三角形，根据边角关系，可得答案. 【详解】由正弦定理，可得，则，由，则， 由，则或. 故选：C. 3．A 【详解】 故函数是奇函数. 故答案为A. 4．A 【分析】由题意可知当平面时有两个极限状态，第一是为的角平分线时，此时，第二是点与点重合时，此时，由此可得答案 【详解】易知要满足平面有两个极限状态，第一是为的角平分线时，此时，第二是点与点重合时，此时；故， 则实数的最大值为1， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：此题考查立体几何中的动点问题，解题的关键是当平面时有两个极限状态，分别求出值，从而可得的范围，进而可得结果，属于中档题 5．C 【分析】依据奇函数的单调性和锐角三角形两内角的关系即可比较大小. 【详解】奇函数在上单调递减，则在上单调递减， 即奇函数在上单调递减 由为锐角三角形的两个内角，且， 可得，，即 选项A：由，，，可得，, 则，无法比较两者大小，判断错误； 选项B：由，，，可得，, 则，无法比较两者大小，判断错误； 选项C：由可得， 即，且，则.判断正确； 选项D：由可得， 即，且，则.判断错误. 故选：C 6．B 【分析】将不等式整理成关于的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意可将不等式整理成关于的一次函数， 由一次函数性质可知，即； 解得，综合可得； 故选：B 7．C 【分析】由三角函数恒等变换的应用可得函数，然后对函数求导，利用函数的单调性可得函数的最值. 【详解】 令为减函数，且 所以当时，，从而， 当时，，从而， 故. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，考查学生分析问题的能力及计算能力，属于中档题. 8．C 【分析】①通过平行线求异面直线所成角；②先求点P的轨迹再求DP的最小值；③先由面面平行的性质作出截面再求截面的周长；④先找外接球的球心再求球的体积. 【详解】对于①，， 在中即为异面直线与所成的角， ， 异面直线与所成的角的余弦值为．故①错误； 对于②，取的中点的中点，取的中点，连接，，， ， 同理可得， 又面，面，面，面， 面，面， 又，面， 面面， 又面，面， 轨迹为线段， 在中，过作，此时取得最小值， 在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， 如图，在中，．故②正确； 对于③，过点的平面截正方体， 平面平面，则过点的平面必与、各交于一点， 设过点的平面必与与分别交于、， 过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得， 如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形， 如图以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，， ，，，， ，， ，解得， ，， ，， 在中，，，，同理：， 在中，，，，同理： 在中，，， ， 即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故③正确； 对于④，如图所示，取的中点，则，过作， 且使得，则为三棱锥的外接球的球心， 所以为外接球的半径， 在中，， ，则， ．故④正确， 故选：C． 9．BC 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由可得，解得， 因为，，， 因此，不等式的一个必要不充分条件是BC选项. 故选：BC. 10．CD 【分析】举特例，可判断选项AB，利用向量和数量积求夹角判断选项C；利用三角形重心的性质以及平面向量的运算即可求解判断选项D． 【详解】若，可满足，，但不一定成立，A选项错误； 若，可满足，但不满足存在唯一实数使得，B选项错误； 由，两边平方得， ，得，即， 则非零向量与共线且反向，C选项正确； 若是的重心，如图所示，   ，D选项正确. 故选：CD 11．ABD 【分析】对于A，由题可证，则即异面直线与所成角或其补角，在，利用余弦定理的推论即可求；对于B，可证平面，得到点到平面的距离即点到平面的距离是定值即可说明三棱锥的体积是定值；对于C，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，得出余弦值，利用基本不等式求最值即可判断；对于D，利用空间向量垂直的坐标表示可判断. 【详解】对于A，连接, 因，可得四边形为平行四边形，则, 故即异面直线与所成角或其补角， 设正方体的棱长为2，则, 在中，由余弦定理，， 因，则，即异面直线与所成角为，故A正确； 对于B， 因，可得，则， 又平面,平面,则平面， 故点到平面的距离即点到平面的距离是定值， 且的面积也是定值，故三棱锥的体积是定值，即B正确； 对于C，以为原点建立空间直角坐标系，不妨取正方体边长为2， 则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 又 ，当时等号同时成立， 所以二面角的余弦值不可能为，故C错误； 对于D，，当直线与所成角为时， ， 此时点则点处，不符合题意，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】利用对数运算由求解. 【详解】因为 所以， 又， 所以， ， ， 故答案为： 13． 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为． 故答案为：. 14．/ 【分析】设，，先由的面积求出，，再根据平面向量的线性运算求出，进而得到，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以． 由，可得． 因为P为CD上一点，所以设，， 则， 因为，所以，解得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 15．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，化简得到，再由，结合诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解； （2）根据题意，利用诱导公式，求得，再由题设条件和三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由， 若，可得. （2）解：由，可得， 因为是第三象限角，可得，所以. 17．(1)当为第二象限角时，，当为第三象限角时，； (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简函数，然后利用同角三角函数平方关系求解即可； （2）由条件得，然后根据诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）， 又因为，所以，即，所以为第二或第三象限角， 当为第二象限角时，，， 当为第三象限角时，，； （2），即，， 由，得 . 18．（1）；（2）. 【分析】（1）利用同角公式中的平方关系直接计算作答. （2）由给定条件，求出，再利用齐次式法计算作答. 【详解】（1）因，且为第三象限角，所以. （2）由得，所以. 19．(1) (2) 设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故. (3) 【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案； （2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论； （3）根据棣莫弗定理与1在复数域内的三次方根的求解过程，即可求出64在复数域内的6次方根，再代入计算模长即可得到结果. 【详解】（1）由于，故， 则. （2）略 （3）记， 由棣莫弗定理得， 从而得，所以， 所以64在复数域内的6次方根为 ， ，， ， 设，其中， 代入计算可得，，即取值构成的集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘潭市2026-2027学年高二上学期期中考试自编卷 数学试题 （时间：120分钟 分值：150） 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在中，已知，，，则角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 3．是 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4．已知中，，，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面；若恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知奇函数在上递减，为锐角三角形的两个内角，且，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则f（x）的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．设，不等式的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若是的重心，则 11．如图，在正方体中，为线段上（异于两点）的一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当为线段中点时，异面直线与所成角为 B．三棱锥的体积是定值 C．二面角的余弦值可能为 D．异面直线与所成角不可能为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知试用表示___________． 13．设，则动点P的轨迹方程为________． 14．如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．已知. (1)若，求的值； (2)若是第三象限角，且，求的值. 17．已知. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 18．(1)已知，且为第三象限角，求的值 (2)已知，计算的值 19．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中，. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $