学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（陕西专用，范围：新教材北师大版九上第1～4章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 3．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列说法正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是正方形 C．若，则是菱形 D．若，则是矩形 6．（新考法）已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 7．某商店销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天少售出2件．设售价上涨x元，要使该商品每天的利润为2200元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点是正方形内部的一点，为等边三角形，连接并延长交于点，的度数为（     ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 10．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 11．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 12．如图，在一块长为、宽为的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间的三个矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为，则通道的宽度为____． 13．如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 14．如图，点E是矩形内一动点，且，，．连接，分别取，的中点M、N，连接MN，则线段长度的最小值为_________． 三、解答题：本题共12小题，共78分。其中：15-20每题5分，21题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题12分。 15．配方法解方程：． 16．选择合适的方法解方程：． 17．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）． 18．如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 19．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 20．已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 21.画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 22．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 23．【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺 测量示意图及说明    说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度； 24．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 25．如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 26．数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． 【探究提炼】 （1）________； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 2 3 4 5 个 C A D 夕 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.1:5 10.3.2 11.7 12.2 13.a+3) 14.V10-1 三、解答题：本题共12小题，共78分。其中：15-20每题5分，21题6分，22-23题每题7分，24-25题每 题8分，26题12分。 15.【答案】x=1+6,x=1-v6(或-6+) 【详解】解：x2-2x-5=0, x2-2x+1-6=0, :（-1=6,2分) :-l6政-l=-6 =1+6,与=1-6（或-6+刊.5分） 1 16.【答案】=3，为=-2 【详解】解：3x2+5x-2=0, (x+2)(3x-1)=0 ,2分) .3x-1=0或x+2=0, =3,52=-2;(5分) 17.【答案】如图所示：点P即为所求， 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (5分) 18.【答案】证明：：DE⊥CE,∠ACE=90°， .∠DEC=90°， ∴.∠ACB+∠DCE=∠D+∠DCE=90°，(2分) .∠ACB=∠D,(3分) 又，∠B=∠DEC=90°， ∴.△ABCACED.(5分) 19.【答案】50 【详解】解：设班级学生人数为x人， 依题意，得： x(x-1)=2450 2分) ∴.x2-x-2450=0, :(x-50x+49)=0 解得： x=50为32=-49 (舍去)，(4分) ∴.班级学生人数为50人.(5分) 20.【答案】k=3,方程的另一个根为-3 【详解】解：，x=1是方程x2+2x-k=0的一个根， ∴.1+2-k=0. 解得：k=3,(2分) 则方程为x2+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 x+3=0或x-1=0, 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=-3x2=1 则方程的另一个根为-3.(5分) 21.【答案】画出的主视图、左视图、俯视图如图， (6分) 主视图 左视图俯视图 22.【答案】(1)如图：点P的位置即为所求： P(-5,-1) B B △OA,B2 (2)如图： 即为所求 8-2a,-2b) P(-5,-1) 【详解】(1)解：如图：点P的位置即为所求； 1分) △OAB, (2)解：如图： 即为所求. YA B. (5分) 6 (备注：位似中心和位似图形的作图各2分) 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：△04A与01B的位似比为2：1,60MB内有一点Pa),在△04B内的-点为B, :B(-2a-2b) 7分) 23. 【答案】18.4m 【详解】解：如图，过点D作DG⊥BC交EF于点H,交BC于点G, B :DGIIAB,AD⊥AB,EF⊥AB,BC⊥AB, DG⊥BC, ∴，四边形AEHD和四边形EBGH都是矩形， .AE=DH =0.5m,HG=BE=20.5m,BG=EH=AD=1.6m, ∴.FH=EF-EH=0.4m,DG=DH+HG=2lm,(2分) ,EF⊥AB,BC⊥AB, :EFlIBC, ·△OHFOADGC,(3分) DG CG 21 CG DHFH,即0.5=0.4，(5分) 解得：CG=16.8m,(6分) BC=BG+CG=1.6+16.8=18.4(m) 旗杆的长度 (7分) 24.【答案】(1)20%；(2)15米 【详解】(1)解：设这个增长率为x,由题意得： 250(1+x)2=360 解得：-520%，专= 1 11 5(舍去) 答：这个增长率为20%.(3分) 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：设场地的宽AB为y米，则BC的长 65+2x2-3y)米， y(65+2×2-3y)=360 由题意得： 整理得： y2-23y+120=0 (5分) 因式分解，得0-8(0y-15)=0 y=8y2=15 解得： 当y=8时，长为69-3×8=45米， 因为45>35，超过了墙长，不符合题意，舍去.(7分) 当y=15时，长为69-3×15=24米， 因为24<35，符合墙长限制，符合题意. 答：场地的宽AB为15米.(8分) 25.【答案】①见详解，@27 【详解】(1)证明：：BD平分∠ABC, :∠ABD=∠DBC :ADI‖BC, ∴.∠ADB=∠DBC, .∠ABD=∠ADB,(2分) .∴.AB=AD 又AB=BC, .AD=BC,(3分) ∴四边形ABCD是平行四边形. AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形.(4分) (2)解：四边形ABCD是菱形， 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·AB=BC=CD=AD'BO=DO: AO-CO-AC.ACLBD 2 .∠B0C=90°. ∠ABC=60°， ∴.△ABC为等边三角形，(5分) .'AC=BC=4. 0-c0-号4c=2 :B0=VBC2-CO°=25 .0D=23 ,(7分) .BC=CE,BO=DO, ∴.DE=2C0=4,C0∥DE, .∠BDE=∠BOC=90°， :0E=D02+DE=25+4=2万.(8分) 26.【答案】(1)45：(2 C0=6cm:(3)存在， △MND 4V3m2 面积的最小值为 【详解】解：(I)四边形ABCD是正方形， .∠ACH=∠BCA=45°， ,PH⊥AC, .∠PHC=90°-∠ACH=45°； 故答案为：45；(2分) (2)如图，连接D,由折叠可知：QP=QD,∠PH0=∠DH0,∠POH=∠D0H, G B 由(1)得∠PHC=45 ∠QHD=∠PHD=180-∠Pc=67.5 2 2 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设PH与AC相交于点I, :∠PCI=∠HCI=45°，∠PCH=90°， ∴.Rt△PCH是等腰直角三角形，又PH⊥AC, ∴.PI=HⅢ， .QC是PH的垂直平分线， ..OP=OH ∴.QH=QD .∠QHD=∠QDH=67.5° ∴.∠CQD=180°-∠QDC-∠QCD=180°-67.5°-45°=67.5° ∴.∠CQD=∠CDQ ∴.CQ=CD=6(cm) (6分) (3)存在， 理由：如图，过点N作NE⊥BC,垂足为E,过点N作NF⊥CD,垂足为F, BEM C:∠BCD=60° ∴.∠ENF=360°-∠NFC-∠NEC-∠BCD=120°， 在菱形ABCD中，AC是∠BCD的角平分线，∠BCD=6O°，NE=F, :NM=ND·.RtANEM≌RtANFD(HL)·∠ENM=∠FND ∴.∠ENM+∠MNF=∠MNF+∠FND .∠DNM=∠EWF=120° 过点N作NK⊥MD于点K, :MN=ND,÷MK=DK=MD. 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠MND=120,∴∠NDM=∠NMD=300,NK=2MW, 2 NMNNKMD4NK 4 怀= MD 整理得 6 =0-w=ngn=浮n :SAMND= 6 12 ∴当MD最小时，△MND面积最小，即MD⊥BC时，△MND面积最小， ∠BCD=60°， .∠MDC=30°， ~菱形草坪ABCD的边长为32m, .MC-DC-1m, :.MD=DC2-MC2=163(m) 8语n-906j-,3) 12分) 818 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 ．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 3．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列说法正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是正方形 C．若，则是菱形 D．若，则是矩形 6．（新考法）已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 7．某商店销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天少售出2件．设售价上涨x元，要使该商品每天的利润为2200元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点是正方形内部的一点，为等边三角形，连接并延长交于点，的度数为（     ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 10．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 11．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 12．如图，在一块长为、宽为的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间的三个矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为，则通道的宽度为____． 13．如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 14．如图，点E是矩形内一动点，且，，．连接，分别取，的中点M、N，连接MN，则线段长度的最小值为_________． 三、解答题：本题共12小题，共78分。其中：15-20每题5分，21题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题12分。 15．配方法解方程：． 16． 选择合适的方法解方程：． 17．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）． 18．如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 19．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 20．已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 21.画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 22．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 23．【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺 测量示意图及说明    说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度； 24．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 25．如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 26．数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． 【探究提炼】 （1）________； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由．    / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 : 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.A][B][CJ[D] 5.[A][B][C][D] 2-AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 9 10 11. 12. 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共12个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(5分) 16.(5分) 17.(5分) B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(5分) 20.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 主视图 左视图 俯视图 22.(7分) X B 23.(7分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) LLL1111111111111111111111 A D B C 25.(8分) D O》 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) A D A G H B B M C 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断方程是否为整式方程，再结合未知数个数和最高次数筛选选项． 【详解】解：A、方程含两个未知数，不符合要求； B、方程中未知数最高次数为1，不符合要求； C、方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为2，符合要求； D、方程的分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 2．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 3．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵四条线段，，和是成比例线段， ∴， ∴， ∴． 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原方程二次项系数为1，移项后两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解： ． 5．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列说法正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是正方形 C．若，则是菱形 D．若，则是矩形 【答案】D 【分析】根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A、若，则，故是矩形，故本选项不符合题意； B、若，则是菱形，故本选项不符合题意； C、若，无法证明是菱形，故本选项不符合题意； D、若，则是矩形，故本选项符合题意． 6．（新考法）已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系，找出符合即的图形． 【详解】解：A、选项中，即，不符合题意； B、选项中，即，即，符合题意； C、选项中，即，不符合题意； D、选项中，即，不符合题意． 7．某商店销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每天可售出100件；售价每上涨1元，每天少售出2件．设售价上涨x元，要使该商品每天的利润为2200元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：涨价后每件利润为元，涨价后每天的销售量为件， 根据总利润为2200元，列方程得． 8．如图，点是正方形内部的一点，为等边三角形，连接并延长交于点，的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质推出，则可推出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．已知与相似，且相似比为，则与的周长比为___________ ． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质“相似三角形的周长比等于相似比”求解即可． 【详解】解：与相似，相似比为， 与的周长比为． 10．如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解： ， ， ，，， ， ． 11．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在一块长为、宽为的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间的三个矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为，则通道的宽度为____． 【答案】2 【分析】结合图形列代数式，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可． 【详解】解：设通道的宽为，则， 根据题意得， 整理得， 解得，(不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 13．如图，中两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是_____________ （用含a的式子表示） 【答案】 【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出B、C间的横坐标的长度，、C间的横坐标的长度，再根据位似比列式计算即可得解． 【详解】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为，、C间的横坐标的长度为， ∵与的位似比为， ∴， 解得：． 14．如图，点E是矩形内一动点，且，，．连接，分别取，的中点M、N，连接MN，则线段长度的最小值为_________． 【答案】 【分析】取的中点O，连接，连接，，根据，三角形中位线定理，解答即可． 【详解】解：取的中点O，连接， ，， ， 连接，， 矩形，， ， ∵， 当三点共线时，取得最小值， ∴， ∴，     ∴的最小值为，     ∵，的中点M、N， ∴， ∴当取得最小值时，    随之取得最小值， ∴． 三、解答题：本题共12小题，共78分。其中：15-20每题5分，21题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题12分。 15．配方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ∴，（2分） ∴或， ∴，．（5分） 16．选择合适的方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ，（2分） 或， ，；（5分） 17．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图所示：点P即为所求， （5分） 【分析】作出AB的垂直平分线，可得BP＝AP，则∠PBA＝∠BAP，进而得出△BPA∽△BAC． 18．如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∴，（2分） ∴，（3分） 又∵， ∴．（5分） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 19．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：，（2分） ∴， ∴， 解得：，（舍去），（4分） ∴班级学生人数为人．（5分） 20．已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】把代入，求出，进而得出方程，再利用因式分解法解方程即可求出方程的另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：，（2分） 则方程为， ， 或， ，， 则方程的另一个根为．（5分） 21.画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】画出的主视图、左视图、俯视图如图， （6分） 【分析】本题考查了三视图，从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．根据观察的几何体画出图形即可． 22．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；．（1分） （2）解：如图：即为所求． （5分） （备注：位似中心和位似图形的作图各2分） （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴．（7分） 23．【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺 测量示意图及说明    说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度； 【答案】 【分析】过点D作交于点H，交于点G，则，，由题意得到，从而有，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作交于点H，交于点G， ∵，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴，，（2分） ∵，， ∴， ∴，（3分） ∴，即，（5分） 解得：，（6分） ∴旗杆的长度．（7分） 24．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】(1)；(2)米 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【详解】（1）解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为．（3分） （2）解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得：（5分） 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去．（7分） 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米．（8分） 25．如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，，最后根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：平分， ． ， ， ，（2分） ． 又， ，（3分） 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形．（4分） （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形，（5分） ∴， ∴， ∴， ∴，（7分） ∵，， ∴，， ∴， ∴．（8分） 26．数学活动课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接、、．若点P的位置恰好使得． 【探究提炼】 （1）________； （2）求的长； 【类比迁移】 （3）如图2，某学校有一块边长为的菱形空地，其中．现打算在空地中修建步道，，，，使得点M在上，点N在上，且．请问步道，，所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）45；（2）；（3）存在，面积的最小值为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据垂直定义和三角形的内角和定理求解即可； （2）连接，由折叠可知：，，，再求得，设与相交于点，证明是的垂直平分线，得到，则，根据等腰三角形的判定与性质可得结论； （3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则根据四边形的内角和为求得，根据菱形的性质和角平分线的性质定理得到，进而证明，进而根据全等三角形的性质得到，过点作于点，然后根据等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，当最小时，面积最小，即时，面积最小，进而利用菱形的性质和直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； 故答案为：45；（2分） （2）如图，连接，由折叠可知：，，， 由（1）得 设与相交于点， ，， ∴是等腰直角三角形，又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ；（6分） （3）存在， 理由：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 在菱形中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， 当最小时，面积最小，即时，面积最小， ， ， 菱形草坪的边长为， ， ， ．（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 日 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂☐ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂][][/1 4保持卡面清洁。不要折桑、不要弄破 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共24分) 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.AlIBUICUID] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 11 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共12个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(5分) 16.(5分) 17.(5分) B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 18.(5分) D 19.(5分) 20.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 主视图 左视图 俯视图 22.(7分) B 23.(7分) D A E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) ih1111 A D B C 25.(8分) 0 O B E 请径颗的域或管落，卧域柔效！ 26 (12分) D G Q H B P B M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！