专题08 锐角三角函数（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题08 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．A 9．B 10．C 11．D 12．D 13．A 14．【答案】. 【详解】试题分析：先求出特殊角的三角函数,再按照实数的混合运算,进行计算. 试题解析:原式= =． =. 考点：特殊角的三角函数. 15．【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】 解： 16．【答案】1 【分析】 此题主要考查了特殊角三角函数的混合运算．直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案． 【详解】 解： ． 17．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】 解： ． 18．【答案】60 【详解】分析：根据特殊角三角函数值，可得答案． 详解：由锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是60度， 故答案为60． 点睛：本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 19．【答案】0． 【分析】 根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】 原式＝ ＝ ＝0． 【点睛】 本题考查三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】 解： 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 22．【答案】 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值代入求值即可． 【详解】 解： ． 23．【答案】如图所示 【分析】 此题考查了尺规作角平分线，特殊角的三角函数值， 作出的平分线交于点D即为所求，，即可得到． 【详解】 如图所示，点D即为所求． 由作图得， ∴． 24．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，将特殊角的三角函数值代入进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 ． 25．【答案】 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】 解：原式 【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 26．【答案】 【详解】试题分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可. 试题解析： ===. 27．【答案】（1） 证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线；     （2）6      【分析】 （1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2，记与交点为，连接，过作于，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 【点睛】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 28．【答案】． 【分析】 本题考查了实数的运算，先计算乘方，特殊角的三角函数值，二次根式，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解： ． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊三角函数值的混合运算． （1）直接代入特殊角的三角函数值计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的性质化简，再算加减． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 30．【答案】 【分析】 本题考查锐角三角函数，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由勾股定理及逆定理可证明为等腰直角三角形，则题目可求． 【详解】 解：连接，由勾股定理得： ， ∴， ，且， ∴． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值混合运算，涉及特殊角的正弦、余弦及正切值，二次根式混合运算等知识，先求出特殊角的正弦、余弦及正切值，再由二次根式乘法运算及加减运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】 解： ． 32．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形．     （2），      【分析】 本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理以及求锐角的余弦值． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得证； （2）过点作于点，勾股定理求得，进而可得，在中，勾股定理求得，进而求得，；在中，勾股定理求得，再根据余弦的定义，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 即的值为． 33．【答案】1 【分析】 连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案． 【详解】 解：连接AB， 由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝， ∴AB＝AO，， ∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形， ∴， 故答案为：1． 【点睛】 此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 34．【答案】钝 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由非负数的性质可知，且，可求出的度数，再根据三角形内角和定理求，从而判断三角形类型． 【详解】 解：∵ ∴，， ∴，， ∵ 都是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝． 35．【答案】（1）①②（2） 【分析】 （1）① 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ② 由等腰三角形的性质及勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （2）连接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由正弦函数得设，，勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：（1）①，， ， 于点D，于点E， ， ， ， ， ， 解得：； ②，， ， ， F是的中点， ，， ， ， ， 解得：； （2）如图，连接， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 可设，则， ， ， ∴，， ， ， 解得：， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 36．【答案】 【分析】 作交于，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设，，，则，，由比例可得，即可求得的最小值． 【详解】 解：作交于， ∵，， ∴，， 则， ∵， ∴，    由三角形外角可知，， ∴， ∴， ∴， 设，，，则，， ∴，整理得：，即：， ∵， ∴， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形，二次函数等知识，根据，得，再证是解决问题的关键． 37．【答案】（1）（2）（3） 【分析】 （1）设，由勾股定理得，即可求解； （2）设，由勾股定理得，求出，由平行线的判定及性质得，由正切函数得，即可求解； （3）过作交的延长线于，由相似三角形的判定得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】 解：（1）由翻折得： ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 故的长为； （2）设， 由折叠得， ， ， ， 解得：， ， ，， ， ， 在中， ， ； （3）过作交的延长线于， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数等；掌握折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数，能熟练利用勾股定理求解，并能构建全等三角形是解题的关键． 考点02 解直角三角形 1．C 2．C 3．C 4．C 5．A 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 7．【答案】AB＝4，∠A＝30°，∠B＝60° 【分析】 由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可． 【详解】 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2， ∴AB＝＝4， ∵tanA＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． 【点睛】 本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答． 8．【答案】 【分析】 先根据正弦函数的定义求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求出的值． 【详解】 解：在Rt中，， ， 即， ， ， ． 【点睛】 本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形基本知识，属于中考常考题型． 9．【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数、三角形的面积计算公式是解题的关键．过点C作，垂足为点利用特殊角的三角函数分别求出，从而求出，再根据三角形的面积公式计算三角形的面积即可． 【详解】 解：如图，过点C作，垂足为点 ，， ，， ， ， ，  ． 10．【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查解直角三角形，解题的关键是求出，的长度． （1）设，，所以，，由可求出，从而可求出答案． （2）过点作于点，由于是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值． (1) 小问详解： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 过点作于点， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 由（1）可知：， ， ， ． 11．【答案】（1） 证明：连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线；      （2）      【分析】 本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形： （1）连接，证明，推出即可； （2）连接，解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．【答案】，． 【分析】 本题主要考查了解直角三角形，根据可以求出，利用勾股定理求出，根据正弦的定义可知，利用特殊角的三角函数即可得到的度数． 【详解】 解：在中，， ， ， ， 在中，， ． 13．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质和锐角三角函数的知识；通过菱形对角线的性质得出的长度，再通过的正弦值得出菱形边长，勾股定理求得，进而可得的长，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】 解：四边形是菱形，与交于点， 与互相垂直平分， ， ， ， ． 菱形的面积为 故答案为：． 14．【答案】西安鼓楼的高度约为 【分析】 本题考查了三角函数的应用、相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 延长交于点，在中，由，用含的代数式表示，由可得对应边成比例，进而可求出． 【详解】 解：如图，延长交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，即，解得， 西安鼓楼的高度约为． 15．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵在中，，，． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 如图，取的中点，连接、，作交的延长线于， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解． 【详解】 解：连接，取中点，连接，以为直径作， ∵， ∴， ∴， ∴点，在上， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴时，最小，即最小，如图： ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）过点A作轴于E，由三角函数可求，，即可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）根据同角的余角相等得到，根据三角函数得到，进而得到，即可得到点P的坐标． (1) 小问详解： 解：如图1，过点A作轴于E， ∵， ∴，， ∴点； (2) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为； (3) 小问详解： 解：如图， ∵P是x轴上的一点，是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即点P的坐标为． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值即可求出结果． 【详解】 解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 19．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：过点F作交的延长线于点M，交于点K．则，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明，再证，推出，再证，，代入可得的值． 【详解】 解：问题情境： 三角板中，， ． 四边形是矩形， ， ， 由题意知， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 变式探究： 如图，过点F作，垂足为H， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 拓展应用： 如图，过点F作交的延长线于点M，交于点K． ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ，， ． 【点睛】 本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．【答案】（1），；     （2）关于的函数表达式为，此时的面积为．      【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）画出符合题意的图形，利用直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的性质得到,过点作于点,过点作,交的延长线于点,利用全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质求得,,再利用三角形的面积公式解答即可得出结论：由知：,则点为的外接圆的圆心，利用求临界值的方法求得当点关于直线的对称点为在的外接圆上时的值，连接交于点,则垂直平分,即,利用轴对称的性质，直角三角形的边角关系定理解答求得值，代入式即可. (1) 小问详解： 解：，，为等腰直角三角形， ，， ， 为的中点， ， ， 为等腰直角三角形，, , , ， 为等腰直角三角形，, ,， ， , , 为的中点， , ， , ， ,,， , , 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由（1）知， , ， 如图，过点作于点,过点作,交的延长线于点, , ， , , ， 在和中, , , ，, ， 四边形为矩形, , ， ， 是线段上一个动点，， 时， 关于的函数表达式为， 由知：, 点为的外接圆的圆心， 当点关于直线的对称点为在的外接圆上时，如图， ， 连接交于点,则垂直平分,即, , , ， ， , , ， 或， 或， 由知，， ， , 此时的面积为． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识点，添加活当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）由四边形是矩形，可得，推出，可得； （2）过点F作于H，则，可得，得出，进而求得，再由四边形是矩形，可得，即可求得答案； （3）以F为顶点作，其中边交于点P，交的延长线于点M，可得，推出，再根据平行四边形性质和等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】 解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点F作于H，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，以F为顶点作，其中边交于点P，交的延长线于点M． 四边形是平行四边形， ，，． ，． 又， ． ，． ，， ． ． ． ，，， ，． ，． ． 又，， ， 即． ． 小路与之间的数量关系为． 【点睛】 本题主要考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键． 22．【答案】 【分析】 过点G作，在中，，，，从而求出，证明，得出，证明，设，则，，从而得，根据，得出，根据，得出，从而得，，再根据，求出，即可求解． 【详解】 解：过点G作， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23．【答案】 【分析】 作 于，因为，，则可求，故点在直线上运动，其中直线在直线上方，且与的距离为 ，作关于直线 的对称点，连接，则最小值即为，周长的最小值为，因为，故利用勾股定理求出长度即可． 【详解】 解：作 于 ， 在 中，，即 设 ，则 ，由 得 (负值舍掉)， ∴， 故点在直线上运动，其中直线在直线上方，且与的距离为 ， ∵在平行四边形中， ∴， ∴的周长为， 作关于直线 的对称点 ，则 ，所以 ， 当共线时最小，最小值为， 故周长的最小值为， 作于M，作， ∵在平行四边形 中， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质，三角函数，对称求最值，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 24．【答案】（1）；（2）存在，最小值为， 【分析】 （1）作点A关于的对称点，连接，，，当共线时，有最小值，最小值为的长，根据对称点的性质结合勾股定理即可得解； （2）延长交于点，则，可求，，过点D作对称点为，连接，则，，，作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，由于，则当点三点共线时，取等，由于，则当点三点共线时，取等，故当点共线时，取得最小值，为，可求，，过点作于，过作于点，，，，则，，故在中，由勾股定理求得，即可求解最值；延长交于点，由，得到，则，继而求解． 【详解】 解：（1）作点A关于的对称点，连接，，， 根据对称可知：，，， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴，， 根据对称可知：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）存在最小值，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作对称点为，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，如图： ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∴当点共线时，取得最小值，为，如图： ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 过点作于，过作于点， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴最小值为：． 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 则由勾股定理得， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形，角直角三角形的性质，矩形的判定与性质，难度较大，综合性很强，关于最值问题涉及“将军饮马”和“定弦定角”． 25．【答案】（1）如图所示，直线即为所求； （2）存在最小值，最小值为 【分析】 （1）根据平行四边形是中心对称图形可得点P经过对称中心即可作图； （2）连接，过点作于点，可证明四边形为矩形，则，在中，由，求得，连接交于点，连接交于点，由矩形和等腰的对称性可得五边形为轴对称图形，则，，在中，由勾股定理得，可求得，而四边形的面积与四边形的面积相等，故小路经过凉亭且恰好平分空地的面积，可求，则，作的外接圆，即为，连接，过点O作于点，并延长交延长线于点，则，，可求，，则，，再在中，由勾股定理得，根据，知，即可求解最小值． 【详解】 解：（）连接交于点，连接作直线， ∵点为平行四边形的对称中心， 又∵平行四边形是中心对称图形， ∴该直线将平行四边形的面积等分； （2）存在最小值，理由如下：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则 ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 连接交于点，连接交于点， 由矩形和等腰的对称性可得五边形为轴对称图形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴，， ∴， ∵点为矩形的对称中心， ∴四边形的面积与四边形的面积相等， ∴小路经过凉亭且恰好平分空地的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 作的外接圆，即为，连接，过点O作于点，并延长交延长线于点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，难度很大，解决第二问在于识别“定边定角”模型． 26．【答案】（1） （2）18 （3）存在，， 【分析】 （1）过点O作于点D，并延长交于点E，解直角三角形得出，，求出，，最后利用三角形的面积公式即可求出结果； （2）作、，交的延长线于点，证明，得出（设为），与的面积相等，进而说明四边形的面积正方形的面积，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； （3）先证明为等边三角形 ，得出，，然后证明，得出，作的外接圆，圆心为点，连接，，，过作垂线交于，交于，过作垂线交于，过作延长线的垂线，垂足为，得出，，说明，得出当与重合时最大为，进而得出，然后求出的最小值以及此时的即可． 【详解】 解：（1）过点O作于点D，并延长交于点E，如图所示： 当点C在点E处时，点C到的距离最大，的面积最大， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴面积的最大值为：； （2）如图，作、，交的延长线于点， ， 四边形为矩形，， ， ， 在与中， ， ， （设为），与的面积相等， 四边形的面积正方形的面积， 由勾股定理得：， 而， ， ∴， ∴正方形的面积为18， ∴四边形的面积为18； （3）连接，，如图所示： 四边形为菱形，， ∴，， 为等边三角形 ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， 作的外接圆，圆心为点，连接，，， ，， ， ， 过作垂线交于，交于， 过作垂线交于，过作延长线的垂线，垂足为， ，为矩形，， ，， 即：， 当与重合时最大为， ， ， ， 的最小值为： ， 的最小值为：， 此时， ． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，添加适当辅助线，熟练掌握相关的判定与性质是解题的关键． 考点03 应用举例 1．A 2．【答案】 【分析】 本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，由定义得，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 3．【答案】（1）点D到地平线的距离为4米；     （2）大树的高度是米．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点D作于点H，则，    由题意知米， 斜面CF的坡比为， ， 设米，则米， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 米， 点D到地平线的距离为4米； (2) 小问详解： 解：如图2，过点D作于点G，设米，    由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的解， 米， 答：大树的高度是米． 4．【答案】（1）钢条AB的长为381cm；     （2）钢条DE的长为185cm．      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质以及解直角三角形即可求解； （2）在直角△BDE中，解直角三角形即可求解． (1) 小问详解： 解：∵在等腰△ABC中，AD⊥BC． ∴BC＝2BD＝600， ∴BD＝300． ∵∠ABC＝38°， ∴． 答：钢条AB的长为381cm； (2) 小问详解： 解：∵DE⊥AB于点E．BD＝300． ∴． 答：钢条DE的长为185cm． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．【答案】大楼的高度约为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 6．【答案】城墙的高度为米 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．过点C作于H，在中，解直角三角形求出，根据相似三角形的判定和性质求出，即可求得． 【详解】 解：如图，过点C作于H， ， 四边形是矩形， （米）， 在中， （米）， ， ， ，即， 解得：， （米）， 城墙的高度为米 7．【答案】14m 【分析】 本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 易证得，进而得到，在中，根据，求出的长，再利用解答即可． 【详解】 解：由题意可得，， 在中，， ， 在中，， ， ， 最远点A与最近点B之间的距离为14m． 8．【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； (2) 小问详解： 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 9．【答案】（1）秋千绳索的长度为尺；     （2）该秋千的长度约为米．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识点， (1) 设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可； (2) 在和中，解直角三角形得到,代入计算即可求得答案； 熟练掌握其性质并把实际问题转化为直角三角形问题是解决此题的关键． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，尺，尺， 尺， 在中，由勾股定理得：, ,解得， 答：秋千绳索的长度为尺； (2) 小问详解： 解：由题可知，， 在中，, , 同理，, , , , ， 答：该秋千的长度约为米． 10．【答案】该风力发电机塔杆的高度约为23米 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用，理解坡度的定义和解直角三角形的方法是解题关键．延长，交延长线于点，则，先根据坡度的定义和勾股定理可求出的长，从而可得的值，再证出，从而可得，然后在中，利用正弦的定义可求出的长，在中，利用正弦的定义可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】 解：如图，延长，交延长线于点， 由题意得：， ∵斜坡的长为10米，其坡度为2， ∴， 设米，则米， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， 又∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：该风力发电机塔杆的高度约为23米． 11．【答案】8米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，交直线于点，容易证出四边形是矩形，则有，米，再利用正切的定义可得，设米，表示出、的长，再证得，得到，解出的值，得到的长即可解答． 【详解】 解：如图，过点作交延长线于点，交直线于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，米， 在中，， ， 设米，则米， 米，米， 由题意得，，， ， ， ，即， 解得：， （米）， 山楂树顶到山脚下的垂直距离为8米． 12．【答案】（1）米     （2）约19米      【分析】 （1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解； （2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解． (1) 小问详解： 解：过点A作于H，如图所示： ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， 则， ，解得：， ， 坡顶A到地面的距离为米． (2) 小问详解： 解：延长交于D，如图所示： ，， ， ∴， 四边形是矩形，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 在中，， 即，解得：， 古塔的高度约19米． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 13．【答案】米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，先根据正切的定义求得，再求得的长，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：由题可知，， ∴米， ∴米， 由题意知，，， ∴， ∴，即， ∴米， 答：太平寺塔的高度为米． 项目式学习名称 测量底部不能到达的古塔高度 学习工具 测倾器、平面镜、皮尺 步骤一    在塔底的水平线的点B处安装测倾器，测出塔顶端G的仰角． 步骤二    在水平线上沿方向从点B处前进到点D处，并在点E处放置平面镜，此时在太阳光下同学恰好在平面镜中看到塔顶点G． 测量说明 点B，D，E，F在同一水平线上，于点B，于点D，于点F，平面镜（大小忽略不计）用点E表示． 测量数据 测倾器高米，A处测得塔顶端G的仰角为，同学前进的距离米，同学的眼睛距地面米，平面镜放置位置离她的距离米．（，，） 14．【答案】23米 【分析】 本题考查解直角三角形测高，涉及矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，过点作于点，如图所示，先由矩形的判定得到四边形是矩形，进而由矩形性质求出相关线段长，再由三角形相似的判定得到，进而得到，在中，解直角三角形即可得到答案，熟记矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，是解决问题的关键． 【详解】 解：过点作于点，如图所示： ，，， ， 四边形是矩形， 米，米． 由题意得， 又， ， ，即， ， 在中，，， ， ， 解得米， 答：古塔的高度约为23米． 15．【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴．     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． （1）先证出四边形是平行四边形，得到即可； （2）利用等腰三角形可得，即可； （3）参考上述思路构造平行四边形，过M、D作的平行线，将转化成，再求得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过M、D作的平行线， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 当时，最小， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故钢丝绳长度的最小值为． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据可证，根据相似三角形的性质可知，从而求出的长度，根据求出大楼的高度． 【详解】 解：如下图所示，过点作，交于点， 由题意可知，， 则， 又，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 17．【答案】 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； 【详解】 解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在中，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在中，三边，，满足，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若的三边长均扩大3倍，则的值（     ） A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断 7．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）在中，，，，那么的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  8．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）计算的值为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在中，，，，那么的值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  10．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，在中，若，则下列等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，，于点，点为的中点，连接，若，，则的长为（　　） A.  B. 2 C. 3 D.  13．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则的值为（       ） A. 3 B.  C. 2 D.  14．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）计算：． 15．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）计算：； 16．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）计算：． 17．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）计算：． 18．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）已知锐角满足，则锐角的度数是　　　　　　度 19．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）计算：cos230°+sin230°﹣tan45°． 20．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）计算：． 21．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）计算 （1） （2） 22．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）计算：． 23．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 24．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）计算：． 25．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）计算：． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°． 27．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 28．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）计算：． 29．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）计算： （1） （2） 30．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为　　　　　　　　． 31．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）计算：． 32．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点在边上，满足，连接．若，，求的长及的值． 33．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是　　　　　　． 34．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）在中，都是锐角，若满足，则是　　　　　角三角形． 35．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）【问题探究】（1）如图1，在中，，于点D，于点E，F是的中点，连接、，交于点G，，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【问题解决】（2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，是某校一块劳动实践基地的示意图，图中，，的中点D处有一个出口，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在上取点E，的延长线上取点F，过F作交的延长线于点M，并将和区域规划为幼苗种植区，根据规划要求，，，为了精准预算，学校需要知道与的数量关系，请你帮助学校计算出的值． 36．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为　　　　　　　　　　． 37．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点E是上一点，将沿着翻折，点B恰好落在边上的点D处，连接，若，．求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，过点B作交于点G，交于点F，求的值； 【实践应用】 （3）某地南部地区地势复杂，沟壑纵横，丘陵峁梁交错，如图3，是当地一块待建设的三角形区，，为改善这块区域的水土流失现象，环境保护部门根据地势特点，分区域对三角形区域进行修建梯田、植树造林等措施的建设．，，是三条明显的沟壑，点G，D在上，点E在上，其中区域与区域是关于沟壑对称的区域，点F为沟壑，沟壑的交叉处，且点F恰好为沟壑的中点，已知，，求的值． 考点02 解直角三角形 1．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在中，于点D，E是的中点，，，则的值是（     ） A.  B. 4 C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（       ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 4．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在等腰中，，过点C作于点D，以为边作正方形，点E在上，与边交于点G．若，，则的长为（   ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． （1）求的长； （2）求的值． 7．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）（多选）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 8．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）在Rt中，，求及的值． 9．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在中，，，，求的面积． 10．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在是边上的中线，过点作，垂足为点，若． （1）求的面积； （2）求的正切值． 11．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，是的直径，是的弦，点是上一点，连接，，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 12．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在中，，，，过点作的垂线，垂足为，求的度数及的长． 13．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）某数学小组进行实践活动，利用数学知识测量西安鼓楼的高度．如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在处利用测角仪测得鼓楼顶端的仰角为，沿方向移动至点，放置标杆，的顶端和鼓楼顶端的影子末端重合于点．已知，，点在同一直线上，且所有点在同一平面内．求西安鼓楼的高度．（参考数据：） 15．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点A．若，且直线与x轴的夹角为． （1）求点A的坐标． （2）求反比例函数的表达式． （3）P是x轴上的一点，当是以为斜边的直角三角形时，求出点P的坐标． 18．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在中，，，，D是线段上一点(不与端点B,C重合)，连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 20．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在等腰直角中，是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角为的中点，连结． （1）【特值尝试】若，则___________，___________； （2）设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为，当在的外接圆上时，求此时的面积． 21．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）【问题提出】 如图，在矩形中，点E、G分别是边，上的点，连接，过点E作的垂线，垂足为E，与矩形的边交于点F，连接，且． （1）如图①，若点F在边上，则线段与的数量关系为________； （2）如图②，若点F在边上，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，某校计划在校园内修建一块平行四边形的绿化带，经测量，，．工人师傅在边上选定一点E作为灌溉设备的安装点，其中．对绿化带进行分区规划，需要在边上确定一点F，在边上确定一点G．沿与铺设小路，且．为了合理购买材料，需知道小路与之间的数量关系．请根据以上条件，求小路与之间的数量关系． 22．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在中，，，，点E为边上一点，过E作，点D为边上一点，连接，，以，为邻边作矩形，若，点F在内部，则长度为　　　　　　． 23．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，已知线段，在下方作，使得，点为射线上一动点，连接，以、为一组邻边作平行四边形，连接，则周长的最小值为　　　　　　　　． 24．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）【问题初探】（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______； 【应用拓展】（2）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形，经测量，．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃在边上．为保证整体设计美观实用，要求，且满足．为了给学生提供休息区域，计划在边上建造凉亭和两条小路及．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭到点的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 25．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）问题探究 （）点为平行四边形内一点，请过点画一条直线，使它将平行四边形的面积等分． 问题解决 （）如图，某公园有一空地，即五边形．经测量，，，，，，．空地内部准备修建一条笔直的小路和一座凉亭，点在边上，点在边上，小路经过凉亭且恰好平分空地的面积，满足，点为公园的入口处，请问凉亭到公园入口的距离是否存在最小值，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 26．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）（1）如图1，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，，，点是上一点，则面积的最大值为______． （2）如图2，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积． （3）如图3，菱形是一个广场示意图，其中菱形边长为120米，，市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区，这块四边形区域需要满足，，，则这块四边形区域的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此时线段的长，若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，斜坡，则斜坡的坡度为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，一山坡的坡度，则该坡角的度数　　　　　　． 3．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为已知斜坡的坡比为点E，C，B在同一水平线上    （1）求点D到地平线的距离． （2）求大树的高度参考数据：，， 4．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）（多选）如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC．经测量，钢条AD⊥BC，BC＝600cm，∠B＝38°．（精确到1cm，参考数据：sin 38°≈0.616，cos 38°≈0.788，tan 38°≈0.781） （1）求钢条AB的长． （2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求DE的长． 5．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 6．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）小明和小亮相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，CD是城墙外的一棵树，小明首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，小亮在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合，即点C、E、G在同一直线上．小亮的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：，，） 7．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角是，识别到最近点B的俯角是，该摄像头安装在距地面6m高的点C处（即），．求最远点A与最近点B之间的距离．（参考数据：，，）． 8．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 9．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 10．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆的高度进行了测量．塔杆安装在斜坡上，且垂直于地面．利用无人机分别在点和点处观察塔杆的顶端，发现恰好满足，．已知点在点的正上方，，米，斜坡的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 11．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡上有一棵山楂树，他想测量一下山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下： 测量对象 山楂树 测量工具 平面镜、皮尺、测倾器 测量方案 ①身高米小华站在点的位置，让同伴移动平面镜至点处，此时小华在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米；②测量平面镜至山脚下的距离米；③小华又站在处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角． 测量示意图 请根据以上测量报告中的数据，帮助小华求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数，参考数据：） 12．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为． （1）求坡顶A到地面的距离； （2）计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 13．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）太平寺塔，为八角九层密檐式砖塔，整个塔体斗拱繁密，形体别致，显得特别秀丽，是陕西关中地区遗存的标准宋塔之一．某数学兴趣小组测量该塔的高度（底部不可达）的活动报告如下： 活动目的 测量太平寺塔的高度 测量工具 皮尺、无人机 活动说明 如图，在阳光下，他们在太平寺塔的影子顶端处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点出发走了24米到达点处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在处测得点的俯角为，，，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量方案示意图 求太平寺塔的高度．（参考数据：，，） 项目式学习名称 测量底部不能到达的古塔高度 学习工具 测倾器、平面镜、皮尺 步骤一    在塔底的水平线的点B处安装测倾器，测出塔顶端G的仰角． 步骤二    在水平线上沿方向从点B处前进到点D处，并在点E处放置平面镜，此时在太阳光下同学恰好在平面镜中看到塔顶点G． 测量说明 点B，D，E，F在同一水平线上，于点B，于点D，于点F，平面镜（大小忽略不计）用点E表示． 测量数据 测倾器高米，A处测得塔顶端G的仰角为，同学前进的距离米，同学的眼睛距地面米，平面镜放置位置离她的距离米．（，，） 14．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）请根据以上信息，求古塔的大致高度（精确到1米）． 15．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）问题探究：如图1，在等边中，， 点M， N分别在边上， 且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． （1）证明：． （2）求的度数． 问题解决： （3）如图2，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3所示，是等腰三角形，四边形是矩形，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．求钢丝绳的长度最小值． 16．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，小亮正在测量大楼的高度．他在距离大楼的点处竖立一根长为的标杆，并调整自己的位置站在点处，此时他的眼睛、标杆顶点和大楼顶点三点共线．已知，小亮的眼睛距离地面的高度．求大楼的高度． 17．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在中，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了解直角三角形的相关运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、在中，，故该选项不符合题意； B、在中，，故该选项符合题意； C、在中，，故该选项不符合题意； D、在中，，故该选项不符合题意； 故选：B 2．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先利用勾股定理求出，再根据正切函数的定义求解． 【详解】 解：∵中，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 【点睛】 本题考查勾股定理、解直角三角形、二次根式分母有理化等，解题的关键是掌握正切函数的定义． 3．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在中，三边，，满足，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数． 先判断三角形的形状，再根据，求解即可． 【详解】 解：∵， 令， ， ， ∴是直角三角形， ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线可得，，进而得，然后利用锐角三角函数进行计算即可解答． 【详解】 解：在，是斜边上的中线，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】 解：如图： 在中，，， ． 故选：B． 6．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若的三边长均扩大3倍，则的值（     ） A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断 【答案】A 【分析】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得所得的三角形与原三角形相似，从而可得的大小没有发生变化，即可解答． 【详解】 解：∵的边长都扩大3倍， ∴所得的三角形与原三角形相似， ∴的大小没有发生变化， ∴的值不变， 故选：A． 7．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）在中，，，，那么的值等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了锐角三角函数关系，根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 【详解】 解：如图所示： 在中，，，， ， ． 故选：D． 8．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）计算的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 直接根据特殊角三角函数值可得答案． 【详解】 解：， 故选：A． 9．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在中，，，，那么的值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 本题考查锐角三角函数的定义，在中利用余弦的定义得，再代入数据计算即可． 【详解】 解：在中，． 故选：B． 10．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，在中，若，则下列等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的三角函数定义，解题的关键是明确正弦、余弦、正切的对边、邻边与斜边的对应关系；根据三角函数定义逐一判断各选项的表达式是否正确． 【详解】 解：在中，，则 A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：C． 11．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角函数的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识点，设与的交点为，过B点作于点E，先求出，设，则，然后用含x的代数式表示出，的长，进而即可得解，正确得出是解决此题的关键． 【详解】 解：如图，设与的交点为，过B点作于点E， 由图知，， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ， 由图知，， ， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得，， 根据三角形的面积公式可得，， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 12．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，，于点，点为的中点，连接，若，，则的长为（　　） A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】D 【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据正切的定义，可求的长，在中，应用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解， 本题考查了，等腰三角形三线合一，正切的定义，勾股定理，直角三角形斜边中线，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】 解：∵，于点， ∴，， ∴，即：，解得：， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 13．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则的值为（       ） A. 3 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 先根据菱形的性质，，，再利用勾股定理可得，根据线段和差可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】 解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）计算：． 【答案】. 【详解】试题分析：先求出特殊角的三角函数,再按照实数的混合运算,进行计算. 试题解析:原式= =． =. 考点：特殊角的三角函数. 15．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）计算：； 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】 解： 16．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）计算：． 【答案】1 【分析】 此题主要考查了特殊角三角函数的混合运算．直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案． 【详解】 解： ． 17．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】 解： ． 18．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）已知锐角满足，则锐角的度数是　　　　　　度 【答案】60 【详解】分析：根据特殊角三角函数值，可得答案． 详解：由锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是60度， 故答案为60． 点睛：本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 19．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）计算：cos230°+sin230°﹣tan45°． 【答案】0． 【分析】 根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】 原式＝ ＝ ＝0． 【点睛】 本题考查三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 20．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】 解： 21．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 22．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值代入求值即可． 【详解】 解： ． 23．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示 【分析】 此题考查了尺规作角平分线，特殊角的三角函数值， 作出的平分线交于点D即为所求，，即可得到． 【详解】 如图所示，点D即为所求． 由作图得， ∴． 24．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，将特殊角的三角函数值代入进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 ． 25．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）计算：． 【答案】 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】 解：原式 【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 26．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°． 【答案】 【详解】试题分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可. 试题解析： ===. 27．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线；     （2）6      【分析】 （1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2，记与交点为，连接，过作于，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 【点睛】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 28．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）计算：． 【答案】． 【分析】 本题考查了实数的运算，先计算乘方，特殊角的三角函数值，二次根式，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解： ． 29．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊三角函数值的混合运算． （1）直接代入特殊角的三角函数值计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的性质化简，再算加减． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 30．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查锐角三角函数，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由勾股定理及逆定理可证明为等腰直角三角形，则题目可求． 【详解】 解：连接，由勾股定理得： ， ∴， ，且， ∴． 故答案为：． 31．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值混合运算，涉及特殊角的正弦、余弦及正切值，二次根式混合运算等知识，先求出特殊角的正弦、余弦及正切值，再由二次根式乘法运算及加减运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】 解： ． 32．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点在边上，满足，连接．若，，求的长及的值． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形．     （2），      【分析】 本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理以及求锐角的余弦值． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得证； （2）过点作于点，勾股定理求得，进而可得，在中，勾股定理求得，进而求得，；在中，勾股定理求得，再根据余弦的定义，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 即的值为． 33．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案． 【详解】 解：连接AB， 由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝， ∴AB＝AO，， ∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形， ∴， 故答案为：1． 【点睛】 此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 34．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）在中，都是锐角，若满足，则是　　　　　角三角形． 【答案】钝 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由非负数的性质可知，且，可求出的度数，再根据三角形内角和定理求，从而判断三角形类型． 【详解】 解：∵ ∴，， ∴，， ∵ 都是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝． 35．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）【问题探究】（1）如图1，在中，，于点D，于点E，F是的中点，连接、，交于点G，，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【问题解决】（2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，是某校一块劳动实践基地的示意图，图中，，的中点D处有一个出口，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在上取点E，的延长线上取点F，过F作交的延长线于点M，并将和区域规划为幼苗种植区，根据规划要求，，，为了精准预算，学校需要知道与的数量关系，请你帮助学校计算出的值． 【答案】（1）①②（2） 【分析】 （1）① 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ② 由等腰三角形的性质及勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （2）连接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由正弦函数得设，，勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：（1）①，， ， 于点D，于点E， ， ， ， ， ， 解得：； ②，， ， ， F是的中点， ，， ， ， ， 解得：； （2）如图，连接， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 可设，则， ， ， ∴，， ， ， 解得：， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；掌握等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 36．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作交于，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设，，，则，，由比例可得，即可求得的最小值． 【详解】 解：作交于， ∵，， ∴，， 则， ∵， ∴，    由三角形外角可知，， ∴， ∴， ∴， 设，，，则，， ∴，整理得：，即：， ∵， ∴， 即：的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形，二次函数等知识，根据，得，再证是解决问题的关键． 37．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点E是上一点，将沿着翻折，点B恰好落在边上的点D处，连接，若，．求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，过点B作交于点G，交于点F，求的值； 【实践应用】 （3）某地南部地区地势复杂，沟壑纵横，丘陵峁梁交错，如图3，是当地一块待建设的三角形区，，为改善这块区域的水土流失现象，环境保护部门根据地势特点，分区域对三角形区域进行修建梯田、植树造林等措施的建设．，，是三条明显的沟壑，点G，D在上，点E在上，其中区域与区域是关于沟壑对称的区域，点F为沟壑，沟壑的交叉处，且点F恰好为沟壑的中点，已知，，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 （1）设，由勾股定理得，即可求解； （2）设，由勾股定理得，求出，由平行线的判定及性质得，由正切函数得，即可求解； （3）过作交的延长线于，由相似三角形的判定得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】 解：（1）由翻折得： ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 故的长为； （2）设， 由折叠得， ， ， ， 解得：， ， ，， ， ， 在中， ， ； （3）过作交的延长线于， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数等；掌握折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数，能熟练利用勾股定理求解，并能构建全等三角形是解题的关键． 考点02 解直角三角形 1．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在中，于点D，E是的中点，，，则的值是（     ） A.  B. 4 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，设，则，根据求出BD的长，从而求出CD的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】 解：， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， ， 在中，， 是的中点， ， ， ， 故选：C 2．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 连接，根据垂直平分线的性质得，，继而得到，，利用勾股定理得到长，结合题意可知为等腰直角三角形，，进而得解． 【详解】 连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点 ， 又 在直角中，由勾股定理得： ∵中，，， ∴为等腰直角三角形 ∴， 故选：C 3．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（       ）． A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 4．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在等腰中，，过点C作于点D，以为边作正方形，点E在上，与边交于点G．若，，则的长为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先在中，利用设出和的长度，再结合及勾股定理求出、、的具体值，接着根据正方形性质得到、的长度和的关系，从而推出，最后利用相似三角形的性质求出的长度． 【详解】 解：∵在中，， ∴设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和定理，并能灵活运用是解题的关键． 5．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查三角函数的计算，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先根据直角三角形的性质，求出、和的关系，再根据，求出和的关系，最后根据正切函数的定义即可求出的值． 【详解】 解：在中，，， ，． ， ， ， 即的值为． 故选：A． 6．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 7．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）（多选）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 【答案】AB＝4，∠A＝30°，∠B＝60° 【分析】 由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可． 【详解】 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2， ∴AB＝＝4， ∵tanA＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． 【点睛】 本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答． 8．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）在Rt中，，求及的值． 【答案】 【分析】 先根据正弦函数的定义求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求出的值． 【详解】 解：在Rt中，， ， 即， ， ， ． 【点睛】 本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形基本知识，属于中考常考题型． 9．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数、三角形的面积计算公式是解题的关键．过点C作，垂足为点利用特殊角的三角函数分别求出，从而求出，再根据三角形的面积公式计算三角形的面积即可． 【详解】 解：如图，过点C作，垂足为点 ，， ，， ， ， ，  ． 10．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在是边上的中线，过点作，垂足为点，若． （1）求的面积； （2）求的正切值． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查解直角三角形，解题的关键是求出，的长度． （1）设，，所以，，由可求出，从而可求出答案． （2）过点作于点，由于是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值． (1) 小问详解： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 过点作于点， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 由（1）可知：， ， ， ． 11．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，是的直径，是的弦，点是上一点，连接，，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线；      （2）      【分析】 本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形： （1）连接，证明，推出即可； （2）连接，解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在中，，，，过点作的垂线，垂足为，求的度数及的长． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查了解直角三角形，根据可以求出，利用勾股定理求出，根据正弦的定义可知，利用特殊角的三角函数即可得到的度数． 【详解】 解：在中，， ， ， ， 在中，， ． 13．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质和锐角三角函数的知识；通过菱形对角线的性质得出的长度，再通过的正弦值得出菱形边长，勾股定理求得，进而可得的长，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】 解：四边形是菱形，与交于点， 与互相垂直平分， ， ， ， ． 菱形的面积为 故答案为：． 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）某数学小组进行实践活动，利用数学知识测量西安鼓楼的高度．如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在处利用测角仪测得鼓楼顶端的仰角为，沿方向移动至点，放置标杆，的顶端和鼓楼顶端的影子末端重合于点．已知，，点在同一直线上，且所有点在同一平面内．求西安鼓楼的高度．（参考数据：） 【答案】西安鼓楼的高度约为 【分析】 本题考查了三角函数的应用、相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 延长交于点，在中，由，用含的代数式表示，由可得对应边成比例，进而可求出． 【详解】 解：如图，延长交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，即，解得， 西安鼓楼的高度约为． 15．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵在中，，，． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 如图，取的中点，连接、，作交的延长线于， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解． 【详解】 解：连接，取中点，连接，以为直径作， ∵， ∴， ∴， ∴点，在上， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴时，最小，即最小，如图： ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 17．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点A．若，且直线与x轴的夹角为． （1）求点A的坐标． （2）求反比例函数的表达式． （3）P是x轴上的一点，当是以为斜边的直角三角形时，求出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）过点A作轴于E，由三角函数可求，，即可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）根据同角的余角相等得到，根据三角函数得到，进而得到，即可得到点P的坐标． (1) 小问详解： 解：如图1，过点A作轴于E， ∵， ∴，， ∴点； (2) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为； (3) 小问详解： 解：如图， ∵P是x轴上的一点，是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即点P的坐标为． 18．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在中，，，，D是线段上一点(不与端点B,C重合)，连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值即可求出结果． 【详解】 解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：过点F作交的延长线于点M，交于点K．则，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明，再证，推出，再证，，代入可得的值． 【详解】 解：问题情境： 三角板中，， ． 四边形是矩形， ， ， 由题意知， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 变式探究： 如图，过点F作，垂足为H， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 拓展应用： 如图，过点F作交的延长线于点M，交于点K． ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ，， ． 【点睛】 本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在等腰直角中，是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角为的中点，连结． （1）【特值尝试】若，则___________，___________； （2）设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为，当在的外接圆上时，求此时的面积． 【答案】（1），；     （2）关于的函数表达式为，此时的面积为．      【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）画出符合题意的图形，利用直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的性质得到,过点作于点,过点作,交的延长线于点,利用全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质求得,,再利用三角形的面积公式解答即可得出结论：由知：,则点为的外接圆的圆心，利用求临界值的方法求得当点关于直线的对称点为在的外接圆上时的值，连接交于点,则垂直平分,即,利用轴对称的性质，直角三角形的边角关系定理解答求得值，代入式即可. (1) 小问详解： 解：，，为等腰直角三角形， ，， ， 为的中点， ， ， 为等腰直角三角形，, , , ， 为等腰直角三角形，, ,， ， , , 为的中点， , ， , ， ,,， , , 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由（1）知， , ， 如图，过点作于点,过点作,交的延长线于点, , ， , , ， 在和中, , , ，, ， 四边形为矩形, , ， ， 是线段上一个动点，， 时， 关于的函数表达式为， 由知：, 点为的外接圆的圆心， 当点关于直线的对称点为在的外接圆上时，如图， ， 连接交于点,则垂直平分,即, , , ， ， , , ， 或， 或， 由知，， ， , 此时的面积为． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识点，添加活当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）【问题提出】 如图，在矩形中，点E、G分别是边，上的点，连接，过点E作的垂线，垂足为E，与矩形的边交于点F，连接，且． （1）如图①，若点F在边上，则线段与的数量关系为________； （2）如图②，若点F在边上，，，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，某校计划在校园内修建一块平行四边形的绿化带，经测量，，．工人师傅在边上选定一点E作为灌溉设备的安装点，其中．对绿化带进行分区规划，需要在边上确定一点F，在边上确定一点G．沿与铺设小路，且．为了合理购买材料，需知道小路与之间的数量关系．请根据以上条件，求小路与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）由四边形是矩形，可得，推出，可得； （2）过点F作于H，则，可得，得出，进而求得，再由四边形是矩形，可得，即可求得答案； （3）以F为顶点作，其中边交于点P，交的延长线于点M，可得，推出，再根据平行四边形性质和等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】 解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点F作于H，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，以F为顶点作，其中边交于点P，交的延长线于点M． 四边形是平行四边形， ，，． ，． 又， ． ，． ，， ． ． ． ，，， ，． ，． ． 又，， ， 即． ． 小路与之间的数量关系为． 【点睛】 本题主要考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键． 22．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，在中，，，，点E为边上一点，过E作，点D为边上一点，连接，，以，为邻边作矩形，若，点F在内部，则长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点G作，在中，，，，从而求出，证明，得出，证明，设，则，，从而得，根据，得出，根据，得出，从而得，，再根据，求出，即可求解． 【详解】 解：过点G作， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，已知线段，在下方作，使得，点为射线上一动点，连接，以、为一组邻边作平行四边形，连接，则周长的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作 于，因为，，则可求，故点在直线上运动，其中直线在直线上方，且与的距离为 ，作关于直线 的对称点，连接，则最小值即为，周长的最小值为，因为，故利用勾股定理求出长度即可． 【详解】 解：作 于 ， 在 中，，即 设 ，则 ，由 得 (负值舍掉)， ∴， 故点在直线上运动，其中直线在直线上方，且与的距离为 ， ∵在平行四边形中， ∴， ∴的周长为， 作关于直线 的对称点 ，则 ，所以 ， 当共线时最小，最小值为， 故周长的最小值为， 作于M，作， ∵在平行四边形 中， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质，三角函数，对称求最值，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 24．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）【问题初探】（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______； 【应用拓展】（2）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形，经测量，．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃在边上．为保证整体设计美观实用，要求，且满足．为了给学生提供休息区域，计划在边上建造凉亭和两条小路及．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭到点的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）存在，最小值为， 【分析】 （1）作点A关于的对称点，连接，，，当共线时，有最小值，最小值为的长，根据对称点的性质结合勾股定理即可得解； （2）延长交于点，则，可求，，过点D作对称点为，连接，则，，，作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，由于，则当点三点共线时，取等，由于，则当点三点共线时，取等，故当点共线时，取得最小值，为，可求，，过点作于，过作于点，，，，则，，故在中，由勾股定理求得，即可求解最值；延长交于点，由，得到，则，继而求解． 【详解】 解：（1）作点A关于的对称点，连接，，， 根据对称可知：，，， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴，， 根据对称可知：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）存在最小值，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作对称点为，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴作的外接圆，记为，连接，过点O作于点H，如图： ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∵， ∴当点三点共线时，取等， ∴当点共线时，取得最小值，为，如图： ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 过点作于，过作于点， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴最小值为：． 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 则由勾股定理得， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形，角直角三角形的性质，矩形的判定与性质，难度较大，综合性很强，关于最值问题涉及“将军饮马”和“定弦定角”． 25．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）问题探究 （）点为平行四边形内一点，请过点画一条直线，使它将平行四边形的面积等分． 问题解决 （）如图，某公园有一空地，即五边形．经测量，，，，，，．空地内部准备修建一条笔直的小路和一座凉亭，点在边上，点在边上，小路经过凉亭且恰好平分空地的面积，满足，点为公园的入口处，请问凉亭到公园入口的距离是否存在最小值，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图所示，直线即为所求； （2）存在最小值，最小值为 【分析】 （1）根据平行四边形是中心对称图形可得点P经过对称中心即可作图； （2）连接，过点作于点，可证明四边形为矩形，则，在中，由，求得，连接交于点，连接交于点，由矩形和等腰的对称性可得五边形为轴对称图形，则，，在中，由勾股定理得，可求得，而四边形的面积与四边形的面积相等，故小路经过凉亭且恰好平分空地的面积，可求，则，作的外接圆，即为，连接，过点O作于点，并延长交延长线于点，则，，可求，，则，，再在中，由勾股定理得，根据，知，即可求解最小值． 【详解】 解：（）连接交于点，连接作直线， ∵点为平行四边形的对称中心， 又∵平行四边形是中心对称图形， ∴该直线将平行四边形的面积等分； （2）存在最小值，理由如下：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则 ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 连接交于点，连接交于点， 由矩形和等腰的对称性可得五边形为轴对称图形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴，， ∴， ∵点为矩形的对称中心， ∴四边形的面积与四边形的面积相等， ∴小路经过凉亭且恰好平分空地的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 作的外接圆，即为，连接，过点O作于点，并延长交延长线于点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，难度很大，解决第二问在于识别“定边定角”模型． 26．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）（1）如图1，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，，，点是上一点，则面积的最大值为______． （2）如图2，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积． （3）如图3，菱形是一个广场示意图，其中菱形边长为120米，，市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区，这块四边形区域需要满足，，，则这块四边形区域的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此时线段的长，若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）18 （3）存在，， 【分析】 （1）过点O作于点D，并延长交于点E，解直角三角形得出，，求出，，最后利用三角形的面积公式即可求出结果； （2）作、，交的延长线于点，证明，得出（设为），与的面积相等，进而说明四边形的面积正方形的面积，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； （3）先证明为等边三角形 ，得出，，然后证明，得出，作的外接圆，圆心为点，连接，，，过作垂线交于，交于，过作垂线交于，过作延长线的垂线，垂足为，得出，，说明，得出当与重合时最大为，进而得出，然后求出的最小值以及此时的即可． 【详解】 解：（1）过点O作于点D，并延长交于点E，如图所示： 当点C在点E处时，点C到的距离最大，的面积最大， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴面积的最大值为：； （2）如图，作、，交的延长线于点， ， 四边形为矩形，， ， ， 在与中， ， ， （设为），与的面积相等， 四边形的面积正方形的面积， 由勾股定理得：， 而， ， ∴， ∴正方形的面积为18， ∴四边形的面积为18； （3）连接，，如图所示： 四边形为菱形，， ∴，， 为等边三角形 ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， 作的外接圆，圆心为点，连接，，， ，， ， ， 过作垂线交于，交于， 过作垂线交于，过作延长线的垂线，垂足为， ，为矩形，， ，， 即：， 当与重合时最大为， ， ， ， 的最小值为： ， 的最小值为：， 此时， ． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，添加适当辅助线，熟练掌握相关的判定与性质是解题的关键． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，斜坡，则斜坡的坡度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，因为，所以，由勾股定理得，然后通过坡度概念即可求解，掌握坡度的概念是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴斜坡的坡度为， 故选：． 2．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，一山坡的坡度，则该坡角的度数　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，由定义得，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为已知斜坡的坡比为点E，C，B在同一水平线上    （1）求点D到地平线的距离． （2）求大树的高度参考数据：，， 【答案】（1）点D到地平线的距离为4米；     （2）大树的高度是米．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点D作于点H，则，    由题意知米， 斜面CF的坡比为， ， 设米，则米， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 米， 点D到地平线的距离为4米； (2) 小问详解： 解：如图2，过点D作于点G，设米，    由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的解， 米， 答：大树的高度是米． 4．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）（多选）如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC．经测量，钢条AD⊥BC，BC＝600cm，∠B＝38°．（精确到1cm，参考数据：sin 38°≈0.616，cos 38°≈0.788，tan 38°≈0.781） （1）求钢条AB的长． （2）为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF，已知DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求DE的长． 【答案】（1）钢条AB的长为381cm；     （2）钢条DE的长为185cm．      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质以及解直角三角形即可求解； （2）在直角△BDE中，解直角三角形即可求解． (1) 小问详解： 解：∵在等腰△ABC中，AD⊥BC． ∴BC＝2BD＝600， ∴BD＝300． ∵∠ABC＝38°， ∴． 答：钢条AB的长为381cm； (2) 小问详解： 解：∵DE⊥AB于点E．BD＝300． ∴． 答：钢条DE的长为185cm． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 6．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）小明和小亮相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，CD是城墙外的一棵树，小明首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，小亮在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合，即点C、E、G在同一直线上．小亮的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：，，） 【答案】城墙的高度为米 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．过点C作于H，在中，解直角三角形求出，根据相似三角形的判定和性质求出，即可求得． 【详解】 解：如图，过点C作于H， ， 四边形是矩形， （米）， 在中， （米）， ， ， ，即， 解得：， （米）， 城墙的高度为米 7．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角是，识别到最近点B的俯角是，该摄像头安装在距地面6m高的点C处（即），．求最远点A与最近点B之间的距离．（参考数据：，，）． 【答案】14m 【分析】 本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 易证得，进而得到，在中，根据，求出的长，再利用解答即可． 【详解】 解：由题意可得，， 在中，， ， 在中，， ， ， 最远点A与最近点B之间的距离为14m． 8．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． (1) 小问详解： 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； (2) 小问详解： 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 9．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 【答案】（1）秋千绳索的长度为尺；     （2）该秋千的长度约为米．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识点， (1) 设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可； (2) 在和中，解直角三角形得到,代入计算即可求得答案； 熟练掌握其性质并把实际问题转化为直角三角形问题是解决此题的关键． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，尺，尺， 尺， 在中，由勾股定理得：, ,解得， 答：秋千绳索的长度为尺； (2) 小问详解： 解：由题可知，， 在中，, , 同理，, , , , ， 答：该秋千的长度约为米． 10．（24-25学年九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末）风力发电作为一种清洁、可再生的能源，正逐步成为全球范围内的重要产业．周末某校数学兴趣小组对一架风力发电机的塔杆的高度进行了测量．塔杆安装在斜坡上，且垂直于地面．利用无人机分别在点和点处观察塔杆的顶端，发现恰好满足，．已知点在点的正上方，，米，斜坡的长为10米，其坡度为2．求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度约为23米 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用，理解坡度的定义和解直角三角形的方法是解题关键．延长，交延长线于点，则，先根据坡度的定义和勾股定理可求出的长，从而可得的值，再证出，从而可得，然后在中，利用正弦的定义可求出的长，在中，利用正弦的定义可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】 解：如图，延长，交延长线于点， 由题意得：， ∵斜坡的长为10米，其坡度为2， ∴， 设米，则米， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， 又∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：该风力发电机塔杆的高度约为23米． 11．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡上有一棵山楂树，他想测量一下山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下： 测量对象 山楂树 测量工具 平面镜、皮尺、测倾器 测量方案 ①身高米小华站在点的位置，让同伴移动平面镜至点处，此时小华在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米；②测量平面镜至山脚下的距离米；③小华又站在处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角． 测量示意图 请根据以上测量报告中的数据，帮助小华求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】8米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，交直线于点，容易证出四边形是矩形，则有，米，再利用正切的定义可得，设米，表示出、的长，再证得，得到，解出的值，得到的长即可解答． 【详解】 解：如图，过点作交延长线于点，交直线于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，米， 在中，， ， 设米，则米， 米，米， 由题意得，，， ， ， ，即， 解得：， （米）， 山楂树顶到山脚下的垂直距离为8米． 12．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为． （1）求坡顶A到地面的距离； （2）计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）米     （2）约19米      【分析】 （1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解； （2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解． (1) 小问详解： 解：过点A作于H，如图所示： ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， 则， ，解得：， ， 坡顶A到地面的距离为米． (2) 小问详解： 解：延长交于D，如图所示： ，， ， ∴， 四边形是矩形，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 在中，， 即，解得：， 古塔的高度约19米． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 13．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）太平寺塔，为八角九层密檐式砖塔，整个塔体斗拱繁密，形体别致，显得特别秀丽，是陕西关中地区遗存的标准宋塔之一．某数学兴趣小组测量该塔的高度（底部不可达）的活动报告如下： 活动目的 测量太平寺塔的高度 测量工具 皮尺、无人机 活动说明 如图，在阳光下，他们在太平寺塔的影子顶端处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点出发走了24米到达点处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在处测得点的俯角为，，，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量方案示意图 求太平寺塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，先根据正切的定义求得，再求得的长，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：由题可知，， ∴米， ∴米， 由题意知，，， ∴， ∴，即， ∴米， 答：太平寺塔的高度为米． 项目式学习名称 测量底部不能到达的古塔高度 学习工具 测倾器、平面镜、皮尺 步骤一    在塔底的水平线的点B处安装测倾器，测出塔顶端G的仰角． 步骤二    在水平线上沿方向从点B处前进到点D处，并在点E处放置平面镜，此时在太阳光下同学恰好在平面镜中看到塔顶点G． 测量说明 点B，D，E，F在同一水平线上，于点B，于点D，于点F，平面镜（大小忽略不计）用点E表示． 测量数据 测倾器高米，A处测得塔顶端G的仰角为，同学前进的距离米，同学的眼睛距地面米，平面镜放置位置离她的距离米．（，，） 14．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）请根据以上信息，求古塔的大致高度（精确到1米）． 【答案】23米 【分析】 本题考查解直角三角形测高，涉及矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，过点作于点，如图所示，先由矩形的判定得到四边形是矩形，进而由矩形性质求出相关线段长，再由三角形相似的判定得到，进而得到，在中，解直角三角形即可得到答案，熟记矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，是解决问题的关键． 【详解】 解：过点作于点，如图所示： ，，， ， 四边形是矩形， 米，米． 由题意得， 又， ， ，即， ， 在中，，， ， ， 解得米， 答：古塔的高度约为23米． 15．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）问题探究：如图1，在等边中，， 点M， N分别在边上， 且，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． （1）证明：． （2）求的度数． 问题解决： （3）如图2，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图3所示，是等腰三角形，四边形是矩形，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．求钢丝绳的长度最小值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴．     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． （1）先证出四边形是平行四边形，得到即可； （2）利用等腰三角形可得，即可； （3）参考上述思路构造平行四边形，过M、D作的平行线，将转化成，再求得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，过M、D作的平行线， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 当时，最小， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故钢丝绳长度的最小值为． 16．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，小亮正在测量大楼的高度．他在距离大楼的点处竖立一根长为的标杆，并调整自己的位置站在点处，此时他的眼睛、标杆顶点和大楼顶点三点共线．已知，小亮的眼睛距离地面的高度．求大楼的高度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据可证，根据相似三角形的性质可知，从而求出的长度，根据求出大楼的高度． 【详解】 解：如下图所示，过点作，交于点， 由题意可知，， 则， 又，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 17．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； 【详解】 解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $