专题07 相似（期中真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期

专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．C 3．C 4．D 5．D 6．C 7． 8．C 9．B 10．B 11．A 12．A 13．A 14．C 15．C 16．A 17．A 18．C 19．D 20．A 21．C 22．D 23．A 24．C 25．D 26．【答案】12 【分析】 本题考查了比例线段，根据四条线段，，，成比例，得，再代入，，，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∴ ∵，，， 得， 解得， 故答案为：12． 27．【答案】14 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比即可求解． 【详解】 解：∵四边形四边形，且， ∴周长比为， ∵四边形的周长为4， 则四边形的周长为． 故答案为：14． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键． 根据比例的基本性质进行化简，代入求值即可． 【详解】 解：由可得， ∴． 故答案为：． 29．【答案】9 【分析】 本题主要考查了成比例线段，先根据比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d的值． 【详解】 解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， 解得． 故答案为：9． 30．【答案】度 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．根据相似多边形的对应角相等结合四边形内角和等于即可求解． 【详解】 解：∵四边形四边形， ∴， 又∵，，， 则． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查比例的性质和分式的约分，利用比例的性质构建a与b的关系是解题关键． 由已知比例设参数表示和，代入目标表达式化简即可． 【详解】 解：由，设（），则， ∴． 故答案为：． 32．【答案】28 【分析】 本题考查了比例线段，根据，得，结合四边形的周长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为， 故答案为：28． 33．【答案】度 【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边形的对应角相等”，即可求解． 【详解】 解：∵四边形四边形．若， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，设，则，，，再代入分式进行求值即可． 【详解】 解：设，则，，， ∴． 35．【答案】（或） 【分析】 本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．相似多边形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比，因此的值即为周长比． 【详解】 解：因为五边形五边形， 所以相似比等于周长比，即， 因此对应边与的比也为． 故答案为：． 36．【答案】4 【分析】根据题意表示出x，y的值，进而代入求出答案． 【详解】∵，∴设x=2a，则y=3a，∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题的关键． 37．【答案】，， 【分析】 本题考查了比例的性质．设，则，，，代入得到关于k的方程，解出k的值，进而即可求解． 【详解】 解：设， 则，，， ， ， 解得， ，，． 38．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的公式． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵点C是靠近点A的一个黄金分割点， ∴， 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】 ∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 则， 故答案为： 41．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】 解：∵五边形五边形，且， 所以相似比为． 根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，即 故答案为． 42．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质．根据比的性质设，代入求解即可． 【详解】 解：， 设， ， 故答案为：． 43．【答案】15 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】 解：∵四边形四边形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为15， 故答案为：15． 44．【答案】6 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】 解：∵五边形与五边形相似，周长比为， ∴，即 ∴． 故答案为：． 45．【答案】8 【分析】 本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代入求值即可． 【详解】 解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 本题考查了相似图形的性质． 根据线段比等于相似比作答即可． 【详解】 解：∵四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．【答案】 【分析】 本题考查比例的性质，关键是由比例的基本性质得到． 由比例的基本性质得到，然后代入，即可求值． 【详解】 解：， ，即， 将代入． 故答案为：． 48．【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】 解：点P为唢呐的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 49．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得，结合代入求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 则 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 51．【答案】 【分析】 本题考查比例的基本性质，利用设k法是解题的关键． 由，得到，设  ，则，，然后代入求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 设  ，则，， ． 52．【答案】 【分析】 根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】 由题意知 米， ， ， 米， 故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 53．【答案】，，． 【分析】 本题主要考查了比例的性质、求代数式的值等知识点，根据条件设，则，再代入求得k的值是解题的关键． 设，则，然后代入得到关于k的方程并求解，进而完成解答． 【详解】 解：设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，，． 54．【答案】 【分析】 本题考查比例的性质、代数式求值等知识点，掌握比例的性质是解题的关键． 设比例常数为，用表示、、，然后代入所求分式计算即可． 【详解】 解：设（），则，，． 代入得：． 故答案为：． 55．【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质．由可设，再代入即可解答． 【详解】 解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：6． 考点02 平行线分线段成比例 1．C 2．B 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．A 9．B 10．A 11．B 12．B 13．D 14．A 15．C 16．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解． 【详解】 解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．根据三角形的面积公式可得，进而求出答案． 【详解】 解：如图，过点作轴，垂足为，     ∵轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 19．【答案】6 【分析】 本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出，再根据由平行截线列出比例式求解． 【详解】 解：，， ． ， ． ，，， ， ， 的长为． 21．【答案】4 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，先根据已知得到 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 22．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 答：的长为． 23．【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ． 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）2      【分析】 本题考查切线的判定、圆周角定理、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握有关性质定理，灵活应用数形结合的思想是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理证得，根据角平分线的性质证得，进而证得，则，进而证得，从而得出结论； （2）过点O作于点F，证得四边形是矩形，进而证得，根据平行线的性质得到，从而得到，在中，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点O作于点F， 则， 四边形是矩形， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 在中，． 24．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴． 25．【答案】4 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出． 【详解】 解：，， ，， ，，， ， ， 26．【答案】6 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明． 连接，过点作于．证明，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可． 【详解】 解：如图，连接，过点作于． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．A 3．C 4．D 5．C 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．C 13．B 14．A 15．C 16．D 17．A 18．B 19．B 20．B 21．A 22．C 23．B 24．B 25．C 26．B 27．A 28．B 29．D 30．D 31．【答案】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】 略 32．【答案】如图所示： 【分析】 根据相似三角形的判定即可画图． 【详解】 解：作MP⊥AB于点P， 则点P即为所求作的点． ∵ABC等边三角形 ∴△MPB∽△AMC． 本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 33．【答案】如图所示： 【分析】 本题考查了尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，先理解题意，分析要使得，目前已有，故过点B作，交于点，即可作答． 【详解】 解：依题意，过点B作，交于点， ∵，， ∴． 34．【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．① 两角分别相等的两个三角形相似；② 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③ 三边成比例的两个三角形相似． 作交于点E即可． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 35．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】 解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 36．【答案】 【分析】 先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，同样的方法可得出，然后根据线段的和差即可得． 【详解】 解：在矩形中，， ， 在和中， ， ， ，即， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 37．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识．设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得，根据相似比可得最终结果． 【详解】 解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ∵， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 38．【答案】解：如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角的尺规作图法，熟记相似三角形的判定是解题的关键．尺规作即可． 【详解】 略 39．【答案】如图，点即为所求. 【分析】 本题考查作图相似变换，解题的关键是若，则，根据作一个角等于已知角的方法，作，交于点即可． 【详解】 解：略． 40．【答案】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】 略 41．【答案】如图，过点A作AD⊥BC于D，AD为所作． 【分析】 过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由一个图形放大或缩小得到，解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似进行作图． 42．【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了作垂线，相似三角形的判定． 以点为圆心，作的垂线交于点即可． 【详解】 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴． 43．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 44．【答案】如图，点E即为所求． 【分析】 本题考查了作图—相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定，根据作一个等于已知角的作图方法，在的内部，作，交于点，再由即可得到． 【详解】 略 45．【答案】如图，点E即为所求； 或 【分析】 本题考查相似三角形的判定，尺规作图—作一个角等于已知角，根据两角对应相等的两个三角形相似，作或，即可． 【详解】 略 46．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据，可得，由对顶角相等得，则，根据相似三角形的性质即可求解，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 47．【答案】如图所示，即为所求： 【分析】 此题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定．如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据． 根据矩形性质可以证明，利用尺规作，交于，得到，即可使得． 【详解】 解：作，交于． 48．【答案】解：如图，点E即为所求． 【分析】 本题考查作图——相似变换，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 作，根据“两组角对应相等的两个三角形相似”，找到点E即可． 【详解】 略 49．【答案】如图，点F即为所求作． 由作图可知：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定．由得到，因此作使，得或其它对应相等的一组角即可得到与相似． 【详解】 略 50．【答案】 【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．过点作于点，交于点，则，根据四边形是正方形得到，，证明四边形是矩形，得到，证明,求出，得到，即可求出答案． 【详解】 解：过点作于点，交于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， 是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 51．【答案】如图，点即为所求， 【分析】 此题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，作，即可证明即可得到结论． 【详解】 解：如图，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 52．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）由三角形的面积可求得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．【答案】6 【分析】 延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，由，得出，，继而求得，从而得到，再证明出即可求解． 【详解】 解：延长交的延长线于点，    四边形是菱形， ，， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∵， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解． 54．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，再证明，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 55．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴；     （2）4      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 56．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，证明是等腰三角形，从而可知，再证明，，利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】 解：设与交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 57．【答案】如图所示： 【分析】 以点D为角的顶点，角的一条边，作，交于点E，即可得出答案． 【详解】 解：以点D为角的顶点，角的一条边，作，交于一点E，则为所求作的三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形相似的判定，作一个角等于已知角，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作一个角等于已知角及三角形相似的判定方法． 58．【答案】（1） 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 （1）先证明，进而得到，再由两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，结合题中，即可判定四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形，则，再由相似三角形的判定定理得到，得到相似比，代值求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查四边形综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟记矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 59．【答案】（1） 证明：四边形是正方形，， ， ， ．     （2）10      【分析】 （1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是正方形， ． 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键. 60．【答案】（1） 证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴．     （2） 证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．【答案】（1）；（2）150；（3）播撒这片四边形空地共需要元． 【分析】 （1）首先根据旋转的性质得到，然后得到，求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）首先证明出得到，设，则，，，然后根据勾股定理求出，，，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）在下方作等边，连接，得到，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，将绕点B顺时针旋转得到，过点D作交于点G，证明出是等边三角形，得到，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求解即可． 【详解】 解：（1）∵绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴这块木板截取正方形后剩余部分的面积为150； （3）如图，在下方作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 如图所示，将绕点B顺时针旋转得到，过点D作交于点G． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ， ， ∵每平米绿植80元， ∴（元）．， ∴播撒这片四边形空地共需要元． 【点睛】 此题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 62．【答案】21.5米 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由求出，再由求出，即可求解． 【详解】 解：，， ， ， ， ，即， ． ，， ， ， ， ，即， ， 答：该雕像的高度为21.5米． 63．【答案】如图所示，点E为所求： 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，作一个角等于已知角，根据相似三角形的判定即可得出结果，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． 【详解】 解：∵， ∴． 64．【答案】点D即为所作求： 【分析】 本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 作平分线，交于D即可． 【详解】 由作图可知：是平分线， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 65．【答案】米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，设，则，再证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ， 解得， ∴米， 答：的高度为米． 66．【答案】如图，点即为所求， 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定以及尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定定理和尺规作角的方法是解题的关键．要在上找一点，使与相似且，需利用相似三角形的判定，先确定线段的比例关系，再通过尺规作图作，交于即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 67．【答案】（1）；（2） 【分析】 先求出，，证明和相似得，由此可得出的长； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据的面积为得，则，在中，分别求出，，再证明和相似得，则，进而得，然后再根据三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】 解：在中，，，，， ， 由勾股定理得：， 于点E， ， 又， ， ， ， 故答案为：； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， 在中，，，， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 68．【答案】见解析 【分析】 本题考查了作图-相似变换，作一个角等于已知角，过点B作即可． 【详解】 解：作图如图所示： 69．【答案】证明：在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴． 【分析】 本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质可，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】 略 71．【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）先证明，然后依据相似三角形的判断定理进行证明即可； （2）依据相似三角形的性质列方出求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 72．【答案】 【分析】 过点A作AM⊥BC于M，先根据菱形的性质和勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得到，，然后证明△AME∽△FGA，得到，由此求出AB的长从而得到AF的长，最后在直角三角形AGF中利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，过点A作AM⊥BC于M， ∴∠AMB=∠AME=90°， ∴ ∵∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∴， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是菱形，F为AD的中点，FG⊥AE，∠B=60° ∴，∠BAD=120°，∠AGF=90°， ∵∠BAM=30°， ∴∠MAD=∠BAD-∠BAM=90°， ∴∠MAE+∠MEA=∠MAE+∠FAG=90°， ∴∠MEA=∠GAF， 又∵∠AME=∠FGA=90°， ∴△AME∽△FGA， ∴即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于利用相似三角形的性质求出AB的长． 73．【答案】（1） 证明：为等边三角形 ， 又      （2）3.5      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质． （1）根据为等边三角形，可知，从而求得，再求得，即可证得； （2）由（1）知，可得，即可求得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等边三角形， ． ， ． ， ，即． ． ． 74．【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，由正方形的性质可得，，可证明四边形是矩形，得到，证明，得到；设，，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵M，N是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 75．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）10      【分析】 本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 76．【答案】（1）t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）四边形与的面积不能相等， 理由如下： 作于H，如图， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当四边形与的面积相等时， ，即， ∴， 整理得，此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【分析】 （1）先利用勾股定理计算出AC=10，由于∠PCQ=∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC=∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到 ；当∠PQC=∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到，然后分别解方程求出t的值即可； （2）作PQ⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH=，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S△ABC=2S△CPQ，利用三角形面积公式得到2••6•8，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等． 【详解】 （1）在R中，， ∵， ∴当时，，则，即，解得； 当时，，则，即，解得； ∴t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2） 略 【点睛】 此题考查相似三角形的判定．解题关键在于熟练应用相似比计算线段的长． 77．【答案】如图，点M即为所求．（答案不唯一） 【分析】 本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定． 作线段的垂直平分线交于M即可． 【详解】 解：证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 78．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）6      【分析】 （1）依据题意，由，则，又，可得，从而可得，进而可以得解； （2）由点E为的中点，得，结合可得，故，又，，则，从而，结合，可得，进而可以得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能找出相似三角形是关键． 79．【答案】（1）12     （2） 证明：∵AB=4，AE=2，AC=8， ∴==，==， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴．      【分析】 （1）由线段的和差关系可求出CE的长，由可证明，根据相似三角形的性质即可求出CD的长； （2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明． (1) 小问详解： 解：∵AE=2，AC=8， ∴， ∵， ∴∠A=∠DCE ，∠ABE=∠D， ∴， ∴=， 即=， ∴CD=12． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 80．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理. （1）证明，得到，由中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）的结论求出，再利用勾股定理即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 81．【答案】（1）或     （2）存在，      【分析】 本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． （1）分和分别讨论即可； （2）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (2) 小问详解： 存在，理由如下： 如图，过P作，垂足为E，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 82．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ；     （2）3      【分析】 （1）因为四边形是平行四边形，可知，，又因为，，可知，可求证； （2）因为，可知，因为是直角三角形，由勾股定理可知即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是平行四边形， 由（1），知； ， 即， ∵，， ． 在中，，，， ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的相关性质以及直角三角形勾股定理应用是解题的关键． 83．【答案】存在，的长度为或 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设，则，再证明，根据相似三角形的性质求出的值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：存在． 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴在边上存在点，使得，此时的长度为或． 84．【答案】（1） 证明：在中，，于点， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ． 85．【答案】证明：， ． ， ． 在和中， ，， ． 【分析】 本题考查三角形的高，等边对等角，相似三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 先证明，再证明，则，即可解答． 【详解】 略． 86．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质. 根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简计算，即可作答． 【详解】 解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， 故答案为：． 87．【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】 略 88．【答案】（1） 证明：∵等边三角形 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）先由等边三角形得到，则，再证明，即可证明相似； （2）根据等边三角形的性质以及三角形的外角性质可得，再由相似三角形得到，则，即可求解的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 89．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定及性质；过点作轴交于，相似三角形的判定及性质，由反比例函数比例系数的几何意义得，即可求解． 【详解】 解：过点作轴交于点， 点是的中点， ， ， 轴， ， ， ， ， 设反比例函数的关系式为（）， ， ， ， 解得， 反比例函数的关系式为， 故答案为：． 90．【答案】 【分析】 如图所示，过点Q作于Q，先证明得到，进而证明，得到，则，证明四边形是矩形，得到，，证明， 求出，证明，求出，则． 【详解】 解：如图所示，过点Q作于Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 91．【答案】（1） 相似，理由如下： 在中，是斜边的中线， ， ， ， ；     （2）9      【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角，可得，结合，即可得证； （2）由（1）可知，，那么，可得，接着证明，然后利用对应边成比例即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 92．【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由点坐标可表示、的坐标，从而可表示出、、的长，分和两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值． (1) 小问详解： 解：∵与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； ∵抛物线经过点，， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知直线解析式为， ∵为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，， ∴，， ∴，， ， ∵相似，且， ∴或， 当时，则有， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 综上可知当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 93．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形和全等三角形的综合应用，同时涉及勾股定理和最值问题．本题综合性较强，能合理构建出全等三角形以及转化线段是学生解决本题的关键．先构建出，转化，即可利用三角形三边关系得出，进一步根据以及勾股定理进行分析即可． 【详解】 解：将移动至，使与、与分别重合， 则，，, ， 当三点共线时，, ， , , ，， ， 此时, ， 在中由勾股定理可得， ， ． 故答案为：． 94．【答案】（1） 如图，即为所求， 90     （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ；     （3）或      【分析】 （1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； (1) 小问详解： 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 95．【答案】（1）① 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， ∴． ②；（2）90米 【分析】 （1）① 根据和均为等腰直角三角形得出，且，从而得到，证明出；② 由得，紧接着推出，从而求得的度数； （2）在上取点G，连接，，使，得出的度数，利用三角形的外角定义推出，由，得出，利用“”证明，得出，，从而推导出，，根据已知条件由，证明，得到，设，则，根据勾股定理求得x的值，并求得和的长度并最终求得的长度． 【详解】 解：（1）① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． （2）如图，在上取点G，连接，，使， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 则，即， ∴， 由，得：， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即，解得，（舍去）， 即米，米， ∴米． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形外角的定义． 96．【答案】（1）；（2）；（3）点到点的距离为米 【分析】 （1）由正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，为等腰直角三角形，即可得解； （2）在上取点，使得，连接，证明，得出，求出，，再由勾股定理得出，进而得出，即可得解； （3）在上截取，连接，证明得出，，由菱形的性质可得，，，求出，过点作，交的延长线于点，则，求出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理得，证明得出，过点作于点，则，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）如图，在上取点，使得，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． （3）如图，在上截取，连接， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ，， ， ， 如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， 如图，过点作于点，则， ， ， 由勾股定理得：，即， ， 点到点的距离为米． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活与运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 97．【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【分析】 （1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】 解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】 本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 98．【答案】（1）①∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴（）， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由（1）① 知 ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）米，米． 【分析】 （1）① 利用菱形的性质，得到，，结合公共边，证明，从而得出．② 先由菱形对边平行得，，进而得到相似三角形，再结合① 中，通过相似三角形的性质证明． （2）连接，利用菱形性质和得出和是等边三角形，求出的长度，再根据求出、的长度，结合平行关系得到相似三角形，求出、的长度，进而得到的长度． 【详解】 解：（1）① 略 ② 略 （2）连接，交于点， ∵菱形花园的边长为米，， ∴米，和都是等边三角形，，， ∴米，米， ∵， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵是等边三角形，，米， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 由（）② 知， ∴米， ∴米． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 99．【答案】 【分析】 先通过线段比例和公共角证明三角形相似，得出垂直关系，从而确定点的轨迹为以为直径的圆；再利用中位线定理求出的长度；最后根据三角形三边关系求出的最小值． 【详解】 解：如图，取的中点O，连接、， 在中，，，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即， ∴． ∵ 是中点，是中点， ∴ 是的中位线， ∴ ． 根据三角形三边关系， ∴ 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定和三角形三边关系是解题的关键． 100．【答案】（1）证明： ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【分析】 本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作辅助线构造正方形是解答本题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）解：设的长为单位“1”． 点分别是正方形的边的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 如图，作于点交的延长线于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ， ，， ∴四边形是正方形， ， 在Rt中，由勾股定理得：， 如图，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 101．【答案】（1） 证明：连接,如图, , ，, 为的外角， ， , , ；     （2）的半径为      【分析】 连接,根据“同圆的半径相等”得,根据“等边对等角”得,根据“一条弧所对的圆周角等干它所对的圆心角的一半”得,从而由已知可得,根据“内错角相等，两直线平行”得出证明； 连接、,根据“直径所对的圆周角是直角”、“切线垂直于过切点的半径”和“同角的余角相等”可得：,根据“两角对应相等的三角形相似”证明,可得：,设的半径为,则、,根据“平行于三角形的一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似”可得,从而得到,过点作于点,由垂径定理得,在中，由勾股定理得,由可得,从而得到关于的方程，求出即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接、,如图， 是的直径， , 是的切线，是的直径， , , , , , , ， , , , 设的半径为,则,, ， , , , , 过点作于点,如上图， ,, 在中，由勾股定理，得， 由,得, ,整理，得, 解得：或(负值不合题意，舍去), 的半径为． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确作出辅助线是解决此题的关键． 102．【答案】7 【分析】 此题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识， 推导出及是解题的关键．由平行四边形的性质推导出，则，而，所以，求得，则，由，得，则，所以，再证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平行四边形的面积为24， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 103．【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）根据，得出四边形是平行四边形，进而根据角平分线的定义与平行线的性质得，即可得出，进而得证； （2）先证明则，进而根据平行线的性质得出，即可得到，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵平分，点P是上一点， ∴ ∵四边形是菱形； ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） 104．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）的最小值为；（3）的最短长度为分米 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，垂线段最短； （1）根据得出，，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作于点，即与重合时，最小，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）连接并延长，交于，证明，，根据相似三角形的性质结合已知条件得出，根据勾股定理求得，根据当时，有最小值，此时，，证明，进而根据相似三角形的性质求得，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）解：∵点为矩形对角线上的动点， ∴当时，最小， 如图2，过点作于点，即与重合时，最小， 在矩形中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即的最小值为． （3）解：如图3，连接并延长，交于， 在正方形中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，可得点在上运动， ∴当时，有最小值，此时，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故的最短长度为分米． 105．【答案】如图：以A为顶点作，延长交于D，此时． ∵，， ∴． 【分析】 本题主要考查了尺规作图、相似三角形的判定等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：以A为顶点作，延长交于D，即可完成作图． 【详解】 略 106．【答案】2 【分析】 如图，过点作，使，连接，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到与的关系，则当取最小值时，最小；所以当，由于垂线段最短，此时最小，接着利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可得出结论． 【详解】 解：如图，过点作，使，连接， 则为等腰直角三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴当取最小值时，最小． ∴当时，此时最小． ∵， ∴， ， ， ， ∴的最小值为 2 ． 故答案为：2． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键． 107．【答案】（1）；（2）． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边即可解答； （2）如图：过点B作交于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，进而求得的长即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）如图：过点B作交于点E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴． 108．【答案】（1）① 见解析；② 见解析；（2），理由见解析 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． （1）① 先证明，推导出，证明，则，即可解答； ② 推导出，则同理得：，得到，即可解答； （2）连接，过点作于点，先证明，推导出，得到，求出，得到，继而证明是等腰直角三角形，且，可推导出四边形是矩形，得到，则，即可解答． 【详解】 （1）证明：①四边形是正方形， ， ， ∴ ． ②， ， 四边形是正方形， ， ， ， 同理得：， ． （2）解：，理由如下： 如图3，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 109．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由可得、，易证，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再证明可得，然后代入数据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 110．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点A作，过点D作，则，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）过点A作，过点D作，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由（2）知， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 111．【答案】（1）； （2），理由如下： 过点作于点，如图， 则， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， 由旋转得：，，，， ，， 又， ， ，， ， ， 即； （3） 【分析】 本题考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，再证得∽，利用相似三角形性质即可求得答案； （2）过点作于点，由旋转得：，，，，可证得≌，利用全等三角形性质即可求得答案； （3）延长交于点，连接，，设交于点，由旋转得，，，可证得，，，，即可求得答案． 【详解】 （1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由旋转得：，，， ， ， （2）略 （3）如图，连接，， 由旋转得，，， ， 是的中线，， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 112．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形． 过D作，交于点H，则，那么，，然后证明，则，求出，然后求出，最后由勾股定理求解． 【详解】 解：如图，过D作，交于点H， ∴，， ∴ ∵D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 113．【答案】（1）①， ②证明：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ； （2）小路的长为米 【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）① 由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证； ② 同理可证，可得，同① 证明，即可得证； （2）过作交的延长线于，过作交于，过作交于，可得在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，由等腰三角形的判定及性质得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，同理可证，求出的长，即可求解． 【详解】 （1）①解：，， ， ， ， ， 故答案为：； ②略 （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米，， 米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：米， 是定值，且米是定值， 在直线上运动，且， 当时，取得最小值， 此时与重合， 米， 米， 故当仿古长廊最短时，小路的长度为米． 114．【答案】（问题情境）5，；（变式探究）；（拓展应用）16 【分析】 （问题情境）根据和是两个等边三角形，得出，则，证明，即可得出． （变式探究）如图，延长交于点，根据四边形是平行四边形，，，得出，根据是等边三角形，得出，则，是等边三角形，得出，，证明，得出，即可求出． （拓展应用）将顺时针旋转至，连接，则，证明，得出，设，连接，根据，得出，根据，得出，证明三点共线，再证明，即可证出，则，求出，得出点在以点为圆心，4为半径的圆上运动，如图，作点E作，根据，得当时，最大，求解即可． 【详解】 解：（问题情境）∵和是两个等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5，． （变式探究）解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （拓展应用）解：将绕点A顺时针旋转至，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 点在以点为圆心，4为半径的圆上运动，如图，作点E作， 则， 当时，最大， 此时，． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，确定点E的运动轨迹． 115．【答案】 【分析】 由题作，构造，结合正方形性质，将所求转换：，再证明，确定，由直径所对角为直角确定动点F轨迹，由此确定FD的最小值HD，再根据勾股定理计算即可得解． 【详解】 解：作交AE于点F，如图， ， ， 又， AD正方形边长设为2a， ， ， 又， ， ， 点F在以AB为直径画圆为直径的半圆上，如图所示， 要求的最小值，AD是定值，当且仅当F点在DG上H点时时DF有最小值，此时有最小值， ，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，由直角三角形画圆确定点的运动轨迹，勾股定理；能根据题意作辅助线，构造相似三角形，将所求转换出来是本题的关键． 116．【答案】（1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【分析】 （1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】 解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】 本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． 117．【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】 （1）证明得，即可求解； （2）过D作交于H，证明，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）取的中点O，再把绕点O逆时针旋转至，使，构造，即可求出的长度，利用勾股定理求出，再根据三边关系可以知道，即可得解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：12； （2）如图，过D作交于H， ∴，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取中点O，连接，则， 将绕点O逆时针旋转得到，且，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是以G为圆心，长为半径的圆弧上， 连接，则， 当且仅当，F、C、G三点共线时取等号， ∵，， ∴， ∴， 过G作于点M，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即最小值为． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 118．【答案】（1）12； （2）解：，理由如下： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴，即，（负值已舍） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质，构造相似三角形． （1）根据正方形的性质，得到，进而得到，推出，据此求解即可； （2）同法利用相似三角形的判定和性质得到，推出，证明，得到即可． 【详解】 （1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 119．【答案】（1）①； ②证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ∴ ， ，， ， 点P为的中点， 是的中位线， ， 在中，由勾股定理得 ，即 （2） 【分析】 （1）① 证明四边形是平行四边形得到，再证明，得到，则可得到；② 证明得到，证明是的中位线，得到，由勾股定理得，据此可证明结论； （2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 （1）①解：如图1，过点C作，交于点F， ∵四边形是正方形 ，，， ， ∵ 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； ② 略 （2）解：设的长为单位“1”． 点分别是正方形的边的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 如图，作于点交的延长线于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ， ，， ∴四边形是正方形， ， 在Rt中，由勾股定理得：， 如图，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 120．【答案】（1）； （2）点P为线段的中点，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是线段的中点； （3）小桥的最小值为． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）连接，根据题意及角平分线的定义，证明，得到，进而证明，得到，即可解答； （3）利用勾股定理求得，证明，求得，利用直角三角形的性质和三角形中位线定理求得，，，设，，证明和，求得，，联立得，在上取点，使，作于点，证明，得到，推出，得到的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】 解：（1）∵等边的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 作于点，作于点， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∴，， 在上取点，使，作于点， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵矩形空地， ∴， ∵，， ∴在同一直线上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，又， ∴，即小桥的最小值为． 【点睛】 本题考查考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．【答案】A 【分析】 本题考查平行四边形中求线段长，涉及平行四边形性质、相似三角形的性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的性质是解决问题的关键． 先由平行四边形性质得到，再由相似三角形性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】 解：的对角线相交于点，， ， ， ， 则， ， 解得， 故选：A． 2．C 3．C 4．2 5．【答案】1或 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【详解】 解：设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为：1或． 6．【答案】9 【分析】 本题考查相似三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】 解：∵，且， ∴， 则， 解得． 故答案为9． 7．【答案】（2，0）或（，0） 【分析】 设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】 解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 8．【答案】 【分析】 根据题意可知△A1BD∽△ABC，又根据已知条件“图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5”可得与的面积比为4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最终求出． 【详解】 ∵根据题意“把沿边平移到的位置”， ∴AC∥A1D，故判断出△A1BD∽△ABC， ∵图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5， ∴与的面积比为4∶9， ∴A1B∶AB=2∶3， ∵， ∴A1B=， ∴=AB－A1B=4－=． 故答案为． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 9．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ① 当时，， ∴，即， 解得：， ② 当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 10．【答案】（1） 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 11．【答案】 【分析】 此题考查了相似三角形的性质、一元一次方程的应用． 根据两个相似三角形的周长之比是得到两个相似三角形的周长之比是，设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是，根据面积之差是50列方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵两个相似三角形的周长之比是， ∴两个相似三角形的周长之比是， 设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是， 则， 解得， ∴， 即这两个三角形中较小三角形的面积是． 故答案为： 12．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，又，则，掌握相似三角形性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，二次根式的计算，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键．由题意可得，再结合相似三角形的性质，得出，即可求出的长． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】 解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 2．【答案】3.6m． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质得，，再说明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案． 【详解】 解：由题易得：四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：木杆的高度为． 3．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理求得，然后利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高． 【详解】 解：在中，，， ∴， ，， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 4．【答案】路灯的高度为 【分析】 本题考查的是相似三角形的应用，先证明可得，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴路灯的高度为． 5．【答案】牌坊的高度11米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出，证明，得出，然后代入数据求解即可． 【详解】 解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即牌坊的高度11米． 6．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键．根据已知条件易证，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求的长度． 【详解】 解：根据题意得， ， ，即， （）． 故答案为：． 7．【答案】楼房的高度为10米 【分析】 本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】 解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 8．【答案】 【分析】 过点作，再证明，根据三角形相似性质即可求解． 【详解】 如图所示：过点作， ， 设，则， （倾角器测量角度一样） ， ， ， ， ， ． 【点睛】 考查了相似三角形性质的应用，解题关键是证明熟练应用相似三角形的性质． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 10．【答案】这段河流的宽度为 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质综合，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例求得，从而可得．再证明，根据相似三角形的性质列出比例求得． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这段河流的宽度为． 11．【答案】旗杆的高度为6米 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质． 证明，得到，进而求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】 解：，， ， 由题意得， ， ，即， ， ，， ， ， ， ，即， 解得， 答：旗杆的高度为6米． 12．【答案】树的高度为． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，过作于点，交于点，则，又，，，所以，，得出四边形是矩形，所以，，，，然后证明，所以，即，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，过作于点，交于点，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴树的高度为． 13．【答案】文峰木塔的高度约为20.8米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识． 证明得，即① ，由由勾股定理得，进而求出② ，联立① ② 可求出的值． 【详解】 解：， ， ， ， ，即① ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ② ， 联立① ② 得：， 解得， 文峰木塔的高度约为20.8米． 14．【答案】塔高为米 【分析】 本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】 解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， ， ， ， ， ， 米， 米， ， 解得：米， 答：塔高为米． 15．【答案】凌霄塔的高度为40米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】 解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， 米，米，米， ， 米， 米， 米， ，， ， ， ， ， 米， 凌霄塔的高度为40米． 16．【答案】树的高度为 【分析】 本题考查的是相似三角形的应用，根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】 解：根据题意可得：，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：树高为． 17．【答案】9.5米 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； 过点作于点，交于点，进而求得，根据，得出，根据相似三角形的性质，列出比例式求得，进而即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于点，交于点． 依题意，得， ． ， ， ， 即， 解得． ， 城楼的高度为（米）． 18．【答案】秦始皇雕像的高度为14米 【分析】 本题考查了相似三角形的实际应用，能够找出相似三角形是解题的关键．根据题意先证，根据相似三角形的性质并推理得到，再证，根据相似三角形的性质并推理得到，将上面两个式子联立求解即可得解． 【详解】 解：由题意得：， ，，， ， ，即， ，① ，， ， 又， ， ，即，② 联立① ② 得， 解得， 秦始皇雕像的高度为14米． 考点06 位似 1．【答案】D 【分析】 本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】 解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 2．D 3．D 4．C 5．C 6．（1）如图，为所作．      （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 7．【答案】解：如图所示： 【分析】 本题考查作图-位似变换，连接、、，分别取它们的中点即为、、． 【详解】 略 8．【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于8， ∴的面积为． 故答案为： 9．【答案】解：如图，即为所求： 【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的性质和位似比，把M、N的横纵坐标都分别除以得到它们对应点P、Q的坐标，再描出，然后顺次连接O、P、Q即可．． 【详解】 略 10．【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可得； （2）结合相似三角形的面积比等于相似比的平方进行作答即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得与的相似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 11．【答案】（−2，1）或（2，−1） （2，−1）或（−2，1） 【分析】 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】 解：∵以O为位似中心，将△EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，E（−4，2）， ∴点E′的坐标为（−4×，2×）或（−4×（−），2×（−）），即（−2，1）或（2，−1）， 故答案为：（−2，1）或（2，−1）． 【点睛】 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 12．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形；      （2）1      【分析】 本题主要考查了作位似图形，相似三角形的性质， 对于（1），连接，并延长至，使，同理得到点，再依次连接可得答案； 对于（2），先求出，再根据相似比可得面积比，进而得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 13．【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质计算，即可得出点A的坐标． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴相似比为， ∵，且点A在第二象限， 则， 则点A的坐标是， 故答案为：． 14．【答案】（1） 如图，即为所求； ．     （2）      【分析】 本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由位似图形的性质可得：； 15．【答案】（1） 如图，即为所求． ，     （2）9：1      【分析】 本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 16．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题考查作图-位似变换，相似的性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：与的相似比为， 与的面积比为， 即与的面积比为． 故答案为：． 17．【答案】（1） 如图所示：即为所求；         （2） 如图所示：即为所求；         （3）      【分析】 此题主要考查了作图位似变换，坐标与图形变化—轴对称： （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）利用点和的坐标特征得到位似比为2，连接并延长至点使得，同理得到点，顺次连接即可得到； （3）根据相似三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知，，， 与的相似比， 故答案为：． 18．【答案】（1） 如图所示，即为所求作的三角形．      （2）12      【分析】 本题主要考查了坐标系中画位似图形，利用网格求三角形面积，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用网格求三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据题意得：的面积为：． 19．【答案】（1） 解：如图，即为所作；      （2）；4      【分析】 本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用关于原点为位似中心的点的坐标特征，给点的横纵坐标都乘以，得到点的坐标，然后描点顺次连接即可； （2）根据网格特点和三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点的坐标是； 的面积． 故答案为：；4． 20．【答案】（1）如图所示：即为所求；      （2），      【分析】 本题主要考查了位似作图，相似三角形的性质、根据位似的性质求点的坐标，三角形的面积； （1）根据位似图形的作图方法解答即可． （2）根据位似图形的性质得出，先求得，根据与相似比是；得出面积比为，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，点为位似中心，与相似比是； ∴ ∵，与相似比是； ∴ 故答案为：，． 21．【答案】如图，即为所求，点A、B的对应点、的坐标分别为，． 【分析】 此题考查了位似图形的作图和点的坐标．根据位似图形的作法找到点，顺次连接得到，再写出点A、B的对应点、的坐标即可． 【详解】 略 22．【答案】（1） 如图是所求的三角形．      （2）点的坐标是，的坐标是．      【分析】 本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用位似变换的性质得出对应点的位置即可； （2）直接利用（1）中的图形得出对应点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：延长到，使得，延长到，使得，再连接， ∴就是所求的三角形． (2) 小问详解： 解：∴点的对应点的坐标是， 点的对应点的坐标是． 23．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了位似图形、相似三角形的性质． (1) 分别连接、、并延长，到点、、，使、、，连接点、、，得到即为所求； (2) 由作图可知与的相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的面积比为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：与的相似比为， ， 故答案为：． 24．【答案】如图所示． 【分析】 本题考查了画位似图形，理解题意，根据位似图形的性质，分别找出点、、的对应点、、，顺次连接，即可求解． 【详解】 略 25．【答案】（1） 解：如图，即为所求． ．     （2）      【分析】 本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 26．【答案】如图， 【分析】 本题考查了作位似图形，位似图形的性质，分别确定点的对应点关于的位似对应点、、，再顺次连接、、即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 ∵与的相似比为，，，， ∴点的对应点关于的位似对应点、、，顺次连接、、即可， ∴即为所求． 27．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，根据题意得到和是位似图形是解题的关键． 根据题意可得和是位似图形，位似中心为原点，再由位似图形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵O，A，C三点在同一直线上， ∴和是位似图形，位似中心为原点， ∵， ∴点C的横纵坐标均等于点A的横纵坐标的倍， ∵， ∴点C的坐标为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）已知线段是成比例线段，其中，则的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（     ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 7．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为　　　　　　　　厘米． 8．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则之间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为（       ） A.  B. 8 C. 10 D. 12 10．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）下列图形，一定相似的是（       ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 12．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）若，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 14．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（     ）． A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 15．（九·陕西汉中南郑区·期末）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C，D两点都是的黄金分割点，若，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的长度为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 18．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）下列各组图形中，不是相似图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）已知，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 22．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序依次为6，4，m，2，若这四条线段是成比例线段，则m的值是（     ） A.  B. 2 C. 4 D. 3 23．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，已知四边形四边形，，，则的长是（       ）． A. 6 B.  C.  D. 4 25．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）若四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为　　　　　　． 27．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）已知，则　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，四边形四边形，则的度数为　　　　　　　　　　°． 31．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）若，则　　　　　． 32．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为　　　　　　 ． 33．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，四边形四边形．若，，，则的度数为　　　　　　． 34．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）已知，求的值． 35．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为　　　　　． 36．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知，则的值是　　　　　　　　　　　　　　. 37．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）已知：．当时，求a、b、c的值． 38．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则为　　　　　　　　　　　　　．（结果保留根号） 39．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如果（都不等于零），那么　　　　　． 40．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积之比为　　　　　　　　　　　． 42．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若，则的值是　　　　　　． 43．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为　　　　　　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，五边形与五边形相似，且五边形与五边形的周长之比为．若，则的长为　　　　　　． 45．（九·陕西汉中南郑区·期末）线段a，b，c，d是成比例线段，若，则　　　　　　　　． 46．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若，则的长为　　　　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如果，那么的值为　　　　　　． 48．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）唢呐是一种中国传统双簧木管乐器，拥有其独特的气质与音色．它的外部结构因符合黄金分割比例使人产生视觉上的美感．如图，一个中号唢呐利用黄金分割法将其分为和两部分，其中点P为唢呐的黄金分割点，即．已知的长约为，则的长约为　　　　　　． 49．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，且，若，则的长为　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是　　　　　　　　　　（结果保留根号）． 51．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）已知，，求的值． 52．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走　　　　　　　　　　　　米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 53．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）已知：，且．求a、b、c的值． 54．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）已知，则的值为　　　　　　　． 55．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）若，则　　　　　． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在中，、分别是边、上的点，且，．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，直线、、被直线、所截，且，若，，则的长为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，，，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，，与相交于点G，若，，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在四边形中，点、分别在边、上，连接，．若，，则的长为（　　） A. 16 B. 18 C. 6 D. 12 8．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（     ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 9．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，，，，，则的长度为（     ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 3 10．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，则的值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  11．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，直线，直线和分别与直线相交于点和点，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，已知，，，那么的长等于（ ） A.  B.  C.  D.  13．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　） A.  B.  C. 3 D. 2 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，，，若，则的长为（     ）． A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 15．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是(     ) A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，已知直线，若，，，则的长为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点 B在x轴的负半轴上，直线 与 y轴交于点C ，若 的面积为 18，则 k的值为　　　　　． 18．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 19．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 20．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，直线，分别交m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，，求的长． 21．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，直线，，，那么的值是　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 23．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点A作交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，，求的长． 25．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在和中，点E、G、F分别在边AB、AC、AD上，连接EG、GF，，，已知，，，求的值． 26．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（     ） A. 1.5 B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点，且．若，，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，点在的边上，添加一个条件可判断，下列不满足的条件是（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，D是的边上一点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C.  D.  12．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，小明从路灯底部处，向前走了5米到达处（即米），在处发现自己在路灯下的影子的长是2米，已知，，点A、D、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，如果小明的身高为1.6米（即米），那么路灯灯泡离地面的高度为（       ） A. 8.5米 B. 7.5米 C. 5.6米 D. 4.6米 13．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在矩形中，，点在边上，，连接与交于点，则的长是（     ） A.  B.  C.  D. 4 14．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，点为正方形的边上一点，连接，过点作，连接，若，，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交于点，点分别是边上的点，连接，若，则的值为（　　） A.  B.  C. 3 D.  18．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（     ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 18 19．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 20．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，点D，E分别是边，的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（     ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 22．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点E．已知，，，则的长为（     ） A.  B. 7 C.  D. 6 23．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在菱形中，延长至点，使得，连接交边于点．若，则菱形的周长为（　　） A. 30 B. 24 C. 20 D. 12 25．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在正方形中，对角线交于点O，点P是边上一个动点，于点G，交于点E，于点H，交于点F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 26．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，的中线、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 27．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）下列说法中，正确的是（       ） A. 任意两个等边三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个矩形都相似 28．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在矩形中，，，若是边的中点，连接，过点作于点，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C. 的面积的面积 D. 四边形的面积的面积 30．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 32．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，已知等边三角形ABC，点M为BC边的中点，连接AM，请利用直尺和圆规在边AB上找一点P，使得△MPB∽△AMC．（保留作图痕迹，不写做法） 33．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，已知正方形，为延长线上一点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 34．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在等腰中，，为边上一点，连接，请你用尺规作图法在上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 35．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：　　　　　　　　　　　　（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 36．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝　　　． 37．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 39．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使.（保留作图痕迹，不写作法） 40．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 41．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 42．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在中，，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不与作法，保留作图痕迹） 43．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是　　　　　　．（写出一个条件即可） 44．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在中，点是边上的中点，请用尺规作图的方法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 45．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 46．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长． 47．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，为矩形的对角线，请利用尺规作图法在对角线上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 48．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在中，点D在边上．请用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 49．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法在边上找一点F，连接，使得与相似． (不写作法，保留作图痕迹) 50．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在正方形中，是上的一点，且，连接，是的中点，，则的值为　　　　　　． 51．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在中，，点在斜边上，连接．请用尺规作图法，在求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 52．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作于点，若的面积为24，，求的长． 53．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为　　　　　　． 54．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作于点，若，，则的长为　　　　　． 55．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 56．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在菱形中，点E为边上一点，过点E作于点H，交的延长线于点F，若，则的值为　　　　　　． 57．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，已知等边，D为边上一点，请用尺规作图法，在线段上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 58．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在四边形中，，，对角线相交于点，过点作于点，延长交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 59．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 60．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： （1）； （2）． 61．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）【问题提出】 （1）如图1，点E是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为36，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即）中截取一个正方形，点在边上，点在边上，点在边上，若，求这块木板截取正方形后剩余部分的面积； 【问题解决】（3）如图3，为了增加城市绿化面积，某施工队要给一片四边形空地播撒绿植，每平米绿植需花费80元．已知四边形土地中，，，，若为等边三角形，求播撒这片四边形空地共需花费多少元？ 62．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，为11米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计） 63．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）已知中，点D为边上的一点．求作边上的一点E，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 64．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 65．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 66．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，已知，点是边上一点，且，请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与相似，且．（保留作图痕迹，不写作法） 67．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）问题提出 （1）如图1，在中，，点D在上，于点若，，，则的长为______． 问题解决 （2）如图2，有一块三角形试验田，面积为为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素，最终扩建为三角形试验田经实际测量可得，，，，求扩建后三角形试验田的面积． 68．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，点为矩形的边的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 69．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 70．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，过点C作，交的延长线于点F．请用尺规作图法在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 71．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，平分交于点D，点E在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若．求的长． 72．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE于点G，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 　　　． 73．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，是等边三角形，点D，E分别在边，的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 74．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，M，N是正方形的边的中点，点E在上，，交于点F，若，则正方形的边长为　　　　　． 75．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，点，分别在的边，上，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 76．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （2）在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 77．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 78．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． （1）求证：； （2）若，求的长度． 79．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）（多选）如图，，AC与BD交于点E，且AB=4，AE=2，AC=8． （1）求CD的长； （2）求证：． 80．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在中，，点在边上，且，连接，点在线段上，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 81．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似： （2）点、在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 82．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 83．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，在正方形中，，点在上，且，在边上是否存在点，使得，若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 84．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 85．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为上一点，连接并延长交于点F，且有．求证：． 86．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，D是的中点，，且．若，则的长为　　　　　　． 87．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 88．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在等边三角形中，点 D，E 分别在线段的延长线上．已知，，． （1）求证：； （2）求的度数． 89．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为　　　　　　． 90．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，若，则　　　　　． 91．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在中，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． （1）与相似吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 92．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，． （1）求点的坐标和抛物线的解析式； （2）为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 93．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时，　　　　　　　　　　　． 94．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 90     （2） 证明：过P作于C， 95．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）问题探究 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F． ①求证：． ②求的度数． 问题解决 （2）如图2，某公园有一块四边形空地，连接，．已知，，米，公园的负责人计划对该空地进行重新规划利用，沿，修两条具有观赏价值的休闲通道（通道的宽度忽略不计），其余空地种植花草．设计要求，，求四边形空地边的长． 96．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点在边上，连接，以为边在右侧作等腰直角，，点在边上，且，连接、．则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，点在边上，连接，点是矩形外一点，连接、、，若，，求的值； 【问题解决】 （3）在学校的劳动教育实践基地中，该校计划在一块菱形空地（如图3）上规划种植区并搭建遮阳棚．该菱形空地的边长为米，，为了更好地适应不同作物的光照需求，工作人员决定在边上选取一点，并以为边向右侧搭建一个等腰三角形形状的遮阳棚，其中，且遮阳棚的顶角．遮阳棚的边界与边交于点，且．请根据上述劳动实践中的设计要求，求出点到点的距离． 97．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则          度，线段与线段的位置关系是          ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 98．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）（1）如图，已知四边形是菱形，点是对角线上一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，连接． 【探究证明】 ①求证：； ②求证：； 【衍生拓展】 （2）如图，某小区规划修建一条穿越菱形花园的步道，以方便小区居民赏花，步道与的延长线在点处交汇，与的交汇点设置为休息处，已知菱形花园的边长为米，是菱形花园的一条步道，将步道与步道的交点设置为施工点，，施工材料由花园一角通过步道运输到施工点，分别求出休息处与施工点的距离及步道的长．（休息处、施工点的大小均忽略不计） 99．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上运动，连接为的中点，点在线段上，连接，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 100．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，，分别是边上的点，分别连接、交于点，，延长至点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某市城区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点、分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观处，为人行步道，同时修建一条穿过点的特色步道（点、分别在边、上），且，将点规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值．（廊道宽度忽略不计） 101．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）如图，是的直径，C、D为上的两点；过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接， （1）求证：； （2）连接交于点，若，求的半径． 102．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为　　　　　　． 103．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在四边形中，，，平分，点P是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 104．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知，连接、，相交于点，点在线段上，连接，并延长交于点，求证：； （2）如图2，点为矩形对角线上的动点，连接，已知，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，校园文创小组计划制作边长为6分米的正方形亚克力装饰牌，为增加装饰性，需在边上设置装饰条，为可滑动的装饰卡扣，延长装饰条至点，要求的长度是的2倍，用笔直的金属丝连接、，两根金属丝的交点记为，现需将点与点用某种特殊的材料连接，为节省材料成本，需使的长度尽可能的短，请你求出的最短长度． 105．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，已知，请用尺规作图法在线段的延长线上确定一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 106．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，点是的斜边上一点，且，，以为斜边作等腰，使在同侧，连接，则的最小值为　　　　　　　． 107．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，点O在边上，连接，过点B作交的延长线于点D，，，，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，某小区有一片四边形花园，、是两条观赏主道，其中，与的交点O处是凉亭，已知，，，求观赏主道的长．（道路宽度及凉亭大小忽略不计） 108．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）【问题探究】 （1）在正方形中，点、分别在边、上，连接、． ①如图1，若，求证：； ②如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接AC，若，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场中，处为入口，在广场内设置两条观光路线、（点M、N分别在边、上），在、处分别建造花坛和喷泉，对角线是一条石板步道，、分别交于点、，过点作交于点，在点和点处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使的度数为，请你帮助工程师探究和之间的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 109．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，线段，与交于点E． （1）求证：； （2）过点E作，交于点F，如果，，求的长． 110．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 111．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）【问题探究】 如图，在矩形中，，，为对角线，将以点为旋转中心，按照逆时针的方向旋转，得到（点、的对应点分别为点、）． （1）如图1，连接，，则的值为__________； （2）如图2，当点落在的延长线上时，延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在一个智能机器人路径规划的模拟界面中，矩形代表一块长为个单位、宽为个单位的电子地图区域（即，），AC为地图中的一条主控对角线，系统将以点为旋转中心，按逆时针方向进行旋转，生成新的路径模块（点、的对应点分别为点、），点恰好落在的中线的延长线上，交边于点，延长FE交BC边于点，请根据上述信息，计算AN的长度． 112．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在中，，，D是的中点，是边上的点，连接．若，，则的长为　　　　　　　　　　． 113．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）【问题探究】 （1）在中，，过点C作于点D． ①如图1，若，则的值为______； ②如图2，点F在的延长线上，连接并延长至点E，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3所示），，米，米，为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥，满足．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点E在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 114．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）【问题情境】如图（1），和是两个等边三角形，连接，若线段，则线段______，，则的大小是______； 【变式探究】如图（2），在中，，，，以为边在右侧作等边，F是边上一点，连接，，当时，线段的长度是多少？ 【拓展应用】如图（3），阳光商场计划举办户外促销活动，划定F，C，B三处为固定摊点，是服装促销连廊，长度为8米，是食品销售连廊，长为4米，两连廊之间的夹角，，是两排移动摊位，，且的大小为．是连接固定摊点与移动摊位之间的辅助通道，长度始终保持为6米．为提高销量，在场地内选取作为“爆款特卖区”，如图（3），其入口E在辅助通道边上，的大小始终为，请通过计算确定的长度，并求出“爆款特卖区”面积的最大值．（连廊及辅助通道的宽，各摊位的大小均忽略不计） 115．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，正方形ABCD中，E在射线BC上，连AB、DE，则的最小值是　　　　　． 116．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 117．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）【问题提出】 （1）如图①，，与交于点E，若，，，则的长为______； （2）如图②，在中，是的中线，点D在边上，且，，求的值； 【问题解决】 （3）如图③，矩形是一个工厂的平面示意图，，，在边上有一个废品处理站E，且，点P为工厂内的员工餐厅，且满足，是一条小路，现要在工厂外修建一个员工宿舍F，按规划要求，将绕点P逆时针旋转并延长至点F，令，则点F即为员工宿舍的位置，连接，现在需要沿铺设小路，为了节约成本，需使小路最短，求小路的最小值． 118．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）【问题探究】 （1）如图1，点是正方形的边上一点，连接交于点，与的延长线交于点．若，，求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，是一片商业区，中线将分为两部分．其中区域为零售购物区，区域为休闲娱乐区，长廊横跨两个功能区，点在上，交于点，为更好服务于大众，现计划扩建区域为餐饮美食区，根据规划，，点在的延长线上，，商业区外面的广场上有三条步道，顾客可以通过三条步道根据自己的需求快速进入目标区域，点在的延长线上，请帮助工作人员探究与之间的数量关系，并说明理由． 119．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）【问题探究】 （1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接 ①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”） ②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边、上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计） 120．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）【问题提出】 （1）如图①，已知等边的边长为4，为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为_____； （2）如图②，在矩形中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上．连接，作的平分线交于点，交于点．判断点是否为线段的中点，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，某区管委会现计划将一片矩形空地改造为体育公园，供市民休闲娱乐，其中出入口点在边上，且，，，按照设计图，取的中点，连接，，且，连接交于点，将设计成一个观光湖，现准备分别在湖岸，上寻找一点，，修建两条小桥，，求小桥的最小值． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，的对角线相交于点，，若，则的长为（     ） A. 2 B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）已知，，则与的周长之比为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，，若，则的长为　　　　　． 5．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过　　　　　　　　　　　　秒后，与相似． 6．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）已知，且，的面积是16，则的面积是　　　　　　　　　　　　 7．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示：   ，   ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 10．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 11．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知两个相似三角形的周长之比是，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，已知（点在边上），若，，则的度数为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，，，的长为　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 2．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 3．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，则树高　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图是阳光综合实践小组设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．先测得树与路灯的水平距离为，小树的高为，之后发现路灯顶点O的影子与树梢点A的影子重合，此时记录小树在路灯O的照射下形成树影的长为，已知点P，B，C在一条直线上，，，求路灯的高度． 5．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 6．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，甲、乙两建筑物在太阳光线下的影子的端点重合在地面上的点处，已知点、、在一条直线上，若，，乙建筑物的高度，则甲建筑物的高度为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 8．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图（示意图），昌昌同学和同伴秋游时，发现在某小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内刚好可以看到点E，且测得米，米，．已知昌昌的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号） 9．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 10．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）“泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 11．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）小明和小亮决定利用所学知识测量出旗杆的高度如图，小亮在点C处放置一面平面镜，随后沿方向移动2米到达点D处（即米），此时小亮恰好在平面镜中看到旗杆顶端B的像；小明站在点F处时，地面上的点H，小明的头顶G，旗杆顶端B恰好在同一条直线上．经测量得知，小亮眼睛到地面的距离为米，小明的身高米，米，米，已知，，，点A、C、D、F、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明和小亮求出旗杆的高度．（平面镜的大小忽略不计） 12．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，小明需要测量校园内的一棵树的高度，测量过程如下：小明先在点处竖立了一根标杆，然后他沿着的方向移动到达点B处（即），此时小明的眼睛、标杆的顶端、树的顶端恰好在同一直线上，已知小明的目高，标杆，标杆与树之间的距离，，，，点在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求树的高度． 13．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）文峰木塔位于陕西省三原县境内，是西北地区唯一一座木质古塔．小张想用课堂上学到的知识，来测量文峰木塔的高度（底部不可到达）．如图，小张在点处竖立一根高为1.6米的标杆（即米），此时，地面上的点、标杆的顶端、木塔的顶端在一条直线上；随后，他在地面上的点处放置一个测角仪（测角仪的高度忽略不计），测得的度数为，经过测量得知：米，米．已知点在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小张求出文峰木塔的高度（结果保留一位小数） 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高． 15．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量古塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，点在同一水平线上．请你求出古塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 16．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（图中的）．小华利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小华的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 17．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高1.7米，三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度． 18．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）位于咸阳市统一广场的秦始皇雕像兼具艺术性与历史象征意义，是咸阳市核心文化地标之一．某数学小组的同学利用课堂上学习的知识测量秦始皇雕像的高度．如图，他们在点处放置一面平面镜，随后从点处沿方向移动2米到达点处（即米），此时恰好从平面镜内看到雕像顶端的像；接着继续从点处沿方向移动5.5米到达点处（即米），在点处竖立一根高为1.5米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和雕像的影子顶端重合于地面上的点处．经测量得到：米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的同学计算秦始皇雕像的高度．（平面镜大小忽略不计） 考点06 位似 1．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 3．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，与位似，O是位似中心．若点，且，则点E的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点），若，则与的面积比是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（     ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 6．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 7．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在y轴左侧作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 8．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积等于8，则的面积为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴的左侧以为位似中心画出的位似图形（的对应点分别为点），使得与的相似比为，并写出点的坐标． 10．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点的对应点分别是点），且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 11．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，平面直角坐标系中，点E(﹣4，2)，F(﹣1，﹣1)，以原点O为位似中心，把EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，则点E的对应点的坐标为　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 13．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，已知点，，，则点A的坐标是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． （1）在x轴下方，画出； （2）直接写出______． 15．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请以原点为位似中心，在轴下方画出的位似图形（点、、的对应点分别为点、、），使得与的相似比为2：1，并直接写出点、的坐标； （2）若是的位似图形，且与的相似比为，则与的面积比为_____． 16．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）与的面积比为______． 17．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．    （1）画出关于y轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是______． 18．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点(网格线的交点)．已知点A和的坐标分别为和． （1）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出； （2）求的面积． 19．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为； （2）点的坐标是        ，的面积是          ． 20．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）小明在如图的网格纸中作了，三个顶点的坐标分别为，． （1）请你以点为位似中心，在网格纸中的第一象限画出一个，使得它与小明作的位似，且相似比是； （2）点的坐标是______，若图中每个小方格的面积为的面积=______． 21．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 22．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 23．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使与的相似比为，且点、、的对应点分别是、、； （2）与的面积比为________． 24．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为．（点、、分别与点、、对应） 25．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），且与的相似比为，并写出点、的坐标； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 26．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请在轴右侧作出关于原点的位似图形，使得与的相似比为（点的对应点分别为点、、）． 27．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，已知，，，点C在的延长线上，若，则点C的坐标为　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查比例线段．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】 解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段成比例，符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C 2．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）已知线段是成比例线段，其中，则的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 本题主要考查成比例线段的定义，根据定义可得，据此即可求得答案． 【详解】 解：∵线段，，，是成比例线段， ∴． ∵ ∴ 故选：C． 3．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似图形的定义，相似图形是指形状相同，大小不相等的图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：依题意， 与题干的图形相似， 故选：C 4．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义得，将，及的值代入即可求得． 【详解】 解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，，得：， 解得：， 故选：D ． 5．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据黄金比例求解即可． 【详解】 解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为， ∴它的宽， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键． 6．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）已知a、b、c、d四条线段成比例，，，，则（     ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【分析】 本题考查成比例线段，根据四条线段成比例的性质，可得比例式，代入已知数据求解即可． 【详解】 解：∵ a、b、c、d 成比例， ∴， ∵，，， ∴ 解得， 故选：C． 7．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为　　　　　　　　厘米． 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割的定义：“一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的”．根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可 【详解】 解：书的宽与长之比为黄金比，长为厘米， 它的宽厘米． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则之间的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：∵点是靠近点的黄金分割点， ， ， 故选：C． 9．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为（       ） A.  B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查了比例线段，根据比例线段的定义，，代入，，，求解的值，即可作答． 【详解】 解：线段、、、是成比例线段， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 10．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键． 根据成比例线段的定义，若是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】 解：∵是成比例线段， ∴，即， ∵，，， ∴，故选项B正确； 故选：B． 11．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）下列图形，一定相似的是（       ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】A 【分析】 根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析． 【详解】 解：A、两个等边三角形的三个角对应相等均为，故一定相似，符合题意； B、两个等腰三角形的顶角不一定相等，不一定相似，不符合题意； C、两个矩形的边不一定成比例，不一定相似，不符合题意； D、两个菱形的角不一定对应相等，不一定相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 12．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）若，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键． 根据比例的性质得，然后代入化简，可得答案． 【详解】 解：由比例的性质，得， ∴， 故选：A． 13．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）已知、、，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可． 【详解】 解：∵、、，是成比例线段， ∴ ∵，，， ∴ 故选：A． 14．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（     ）． A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】 本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．根据、、、是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出的值即可． 【详解】 解：，，，成比例， ， ∵，，， ， ． 故选：C． 15．（九·陕西汉中南郑区·期末）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C，D两点都是的黄金分割点，若，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，据此可得答案． 【详解】 解：∵五角星中，C，D两点都是的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 16．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查相似多边形的判定，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的判定方法；由相似多边形的判定方法，即可判断． 【详解】 解：相似多边形是指边数相同且对应角相等、对应边成比例的平面图形，题中图形角度都是90度，只需对应边成比例即可， A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：A． 17．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的长度为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了成比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义，得到，再代入数据即可求解． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：A． 18．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）下列各组图形中，不是相似图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似图形的判定，回顾一下，相似图形的定义；如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似； 结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】 解：选项A、B、D中图形是相似图形，选项C中两个图形形状不相同，  故选：C． 19．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）已知，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 ∵， ∴设b=5k，得出a=13k， 把a，b的值代入， 得：． 故选：D． 20．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】 解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则， ， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 21．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【分析】 本题考查了成比例线段的定义．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，逐项进行判断即可． 【详解】 解：A、，四条线段不是成比例线段，故A选项不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B选项不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C选项符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D选项不符合题意． 故选：C． 22．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序依次为6，4，m，2，若这四条线段是成比例线段，则m的值是（     ） A.  B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 根据题意得到，计算即可得到答案． 【详解】 解：根据题意得， ， ， 故选：D． 23．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例求值，由已知比例关系，设，，再代入所求分式计算即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ 设，（）， 则 ． 故选：A． 24．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，已知四边形四边形，，，则的长是（       ）． A. 6 B.  C.  D. 4 【答案】C 【分析】 由四边形四边形，可得，再代入数据计算即可． 【详解】 解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是相似多边形的性质，掌握“相似多边形的对应边成比例”是解本题的关键． 25．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】 解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两个长方形形状不一定相同，不一定是相似图形，符合题意； 故选：D． 26．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）若四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了比例线段，根据四条线段，，，成比例，得，再代入，，，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∴ ∵，，， 得， 解得， 故答案为：12． 27．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】14 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比即可求解． 【详解】 解：∵四边形四边形，且， ∴周长比为， ∵四边形的周长为4， 则四边形的周长为． 故答案为：14． 28．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）已知，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键． 根据比例的基本性质进行化简，代入求值即可． 【详解】 解：由可得， ∴． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了成比例线段，先根据比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d的值． 【详解】 解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， 解得． 故答案为：9． 30．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，四边形四边形，则的度数为　　　　　　　　　　°． 【答案】度 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．根据相似多边形的对应角相等结合四边形内角和等于即可求解． 【详解】 解：∵四边形四边形， ∴， 又∵，，， 则． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比例的性质和分式的约分，利用比例的性质构建a与b的关系是解题关键． 由已知比例设参数表示和，代入目标表达式化简即可． 【详解】 解：由，设（），则， ∴． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为　　　　　　 ． 【答案】28 【分析】 本题考查了比例线段，根据，得，结合四边形的周长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为， 故答案为：28． 33．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，四边形四边形．若，，，则的度数为　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边形的对应角相等”，即可求解． 【详解】 解：∵四边形四边形．若， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 34．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，设，则，，，再代入分式进行求值即可． 【详解】 解：设，则，，， ∴． 35．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为　　　　　． 【答案】（或） 【分析】 本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．相似多边形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比，因此的值即为周长比． 【详解】 解：因为五边形五边形， 所以相似比等于周长比，即， 因此对应边与的比也为． 故答案为：． 36．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知，则的值是　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】根据题意表示出x，y的值，进而代入求出答案． 【详解】∵，∴设x=2a，则y=3a，∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题的关键． 37．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）已知：．当时，求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】 本题考查了比例的性质．设，则，，，代入得到关于k的方程，解出k的值，进而即可求解． 【详解】 解：设， 则，，， ， ， 解得， ，，． 38．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则为　　　　　　　　　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的公式． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵点C是靠近点A的一个黄金分割点， ∴， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如果（都不等于零），那么　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】 ∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 则， 故答案为： 41．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积之比为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】 解：∵五边形五边形，且， 所以相似比为． 根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，即 故答案为． 42．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）若，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质．根据比的性质设，代入求解即可． 【详解】 解：， 设， ， 故答案为：． 43．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】 解：∵四边形四边形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为15， 故答案为：15． 44．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，五边形与五边形相似，且五边形与五边形的周长之比为．若，则的长为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】 解：∵五边形与五边形相似，周长比为， ∴，即 ∴． 故答案为：． 45．（九·陕西汉中南郑区·期末）线段a，b，c，d是成比例线段，若，则　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代入求值即可． 【详解】 解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 46．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似图形的性质． 根据线段比等于相似比作答即可． 【详解】 解：∵四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如果，那么的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比例的性质，关键是由比例的基本性质得到． 由比例的基本性质得到，然后代入，即可求值． 【详解】 解：， ，即， 将代入． 故答案为：． 48．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）唢呐是一种中国传统双簧木管乐器，拥有其独特的气质与音色．它的外部结构因符合黄金分割比例使人产生视觉上的美感．如图，一个中号唢呐利用黄金分割法将其分为和两部分，其中点P为唢呐的黄金分割点，即．已知的长约为，则的长约为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】 解：点P为唢呐的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，且，若，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得，结合代入求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 则 故答案为：． 50．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是　　　　　　　　　　（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 51．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查比例的基本性质，利用设k法是解题的关键． 由，得到，设  ，则，，然后代入求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 设  ，则，， ． 52．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走　　　　　　　　　　　　米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】 由题意知 米， ， ， 米， 故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 53．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）已知：，且．求a、b、c的值． 【答案】，，． 【分析】 本题主要考查了比例的性质、求代数式的值等知识点，根据条件设，则，再代入求得k的值是解题的关键． 设，则，然后代入得到关于k的方程并求解，进而完成解答． 【详解】 解：设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，，． 54．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）已知，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比例的性质、代数式求值等知识点，掌握比例的性质是解题的关键． 设比例常数为，用表示、、，然后代入所求分式计算即可． 【详解】 解：设（），则，，． 代入得：． 故答案为：． 55．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）若，则　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质．由可设，再代入即可解答． 【详解】 解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：6． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 2．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】 解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习本中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ， 即， ， 故选：B． 3．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在中，、分别是边、上的点，且，．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由平行线求相关线段的长或比值，根据，得，又因为，故，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，直线、、被直线、所截，且，若，，则的长为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【分析】 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据，得，即可求出，进而可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，，，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由，得，进而即可求解． 【详解】 解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】 本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 6．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，，与相交于点G，若，，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴； 故选B． 7．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在四边形中，点、分别在边、上，连接，．若，，则的长为（　　） A. 16 B. 18 C. 6 D. 12 【答案】B 【分析】 本题主要考查平行线分线段成比例，根据可得，代入数据进行计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（     ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【分析】 先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】 解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】 此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 9．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，，，，，则的长度为（     ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，则的值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：A． 11．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，直线，直线和分别与直线相交于点和点，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系； 由平行可得成比例线段，代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 故选：B ． 12．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，已知，，，那么的长等于（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例性质计算出BC，然后利用计算BE-BC即可． 【详解】∵AB∥CD∥EF， ∴，即， ∴BC=9， ∴CE=BE-BC=15-9=6． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,解题的关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 13．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　） A.  B.  C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长． 【详解】 连接AC，交EF于点H，如图，    ∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°， ∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4， ∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点， ∴ ∴H是AC的中点，F是AG的中点， ∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线， ∴，， 而FH=EF-FH=4-， ∴CG=2FH=3， 又∵CD＝AB＝5， ∴DG＝5﹣3＝2， 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键． 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，，，若，则的长为（     ）． A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，掌握好相关知识是解题关键． 根据平行线分线段成比例进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 15．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 16．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，已知直线，若，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解． 【详解】 解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点 B在x轴的负半轴上，直线 与 y轴交于点C ，若 的面积为 18，则 k的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．根据三角形的面积公式可得，进而求出答案． 【详解】 解：如图，过点作轴，垂足为，     ∵轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 19．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 【答案】6 【分析】 本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 20．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，直线，分别交m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出，再根据由平行截线列出比例式求解． 【详解】 解：，， ． ， ． ，，， ， ， 的长为． 21．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，直线，，，那么的值是　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，先根据已知得到 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 22．（25-26学年九上·陕西宝鸡凤翔区·期中）如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 答：的长为． 23．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点A作交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ． 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）2      【分析】 本题考查切线的判定、圆周角定理、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握有关性质定理，灵活应用数形结合的思想是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理证得，根据角平分线的性质证得，进而证得，则，进而证得，从而得出结论； （2）过点O作于点F，证得四边形是矩形，进而证得，根据平行线的性质得到，从而得到，在中，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点O作于点F， 则， 四边形是矩形， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 在中，． 24．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴． 25．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在和中，点E、G、F分别在边AB、AC、AD上，连接EG、GF，，，已知，，，求的值． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出． 【详解】 解：，， ，， ，，， ， ， 26．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明． 连接，过点作于．证明，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可． 【详解】 解：如图，连接，过点作于． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（     ） A. 1.5 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，由网格知，即可得，即可得到，再由勾股定理解三角形确定，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：由网格可知，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 2．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点，且．若，，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，，证明，再把，，代入进行计算，得，则，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，点在的边上，添加一个条件可判断，下列不满足的条件是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，逐项判断即可． 【详解】 解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意． 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意． 当时，其夹角不相等，则不能判断，故C符合题意． 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故D不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，D是的边上一点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】 解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； C．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意； D．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】 解：① ∵， ∴， 又， ∴； ② ∵； ∴， 又， ∴； ③ ∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 7．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】 解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 8．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 此题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法结合题目中的已知信息找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】 解：①，， ， ， ； ②，， ， ， ， ； ③，， ， ； 有3个三角形与相似． 故选：B． 9．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】 解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 10．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 11．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C.  D.  【答案】B 【分析】 连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍去）， ∴AB＝9， 故选：B． 【点睛】 此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 12．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，小明从路灯底部处，向前走了5米到达处（即米），在处发现自己在路灯下的影子的长是2米，已知，，点A、D、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，如果小明的身高为1.6米（即米），那么路灯灯泡离地面的高度为（       ） A. 8.5米 B. 7.5米 C. 5.6米 D. 4.6米 【答案】C 【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．根据相似三角形对应边成比例可解． 【详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴（米）， 故选：C． 13．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在矩形中，，点在边上，，连接与交于点，则的长是（     ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 14．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，点为正方形的边上一点，连接，过点作，连接，若，，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由求出，进而求出，作垂直于，由求出，则面积即可求． 【详解】 解：∵，，．根据勾股定理： ， ∴正方形边长 ， ∵， ∴ ， 又 ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ，，， ， ∴ 作， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ． 故选：A． 15．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】 解：，， ， 故① 符合题意； ，， ， 故② 符合题意； 由③ 不能判定， ，， ， 故④ 符合题意； 其中能够判定的条件有3个， 故选：C． 16．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】 解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 17．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在中，平分交于点，点分别是边上的点，连接，若，则的值为（　　） A.  B.  C. 3 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质及等腰三角形的判定与性质．延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】 解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则． 故选：A． 18．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（     ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 18 【答案】B 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，由正方形的性质可得，，，由可求出，由勾股定理得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，可求出． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 19．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，则，再证明，得到，则，进而得到，同理可得． 【详解】 解：点D，E为边的三等分点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 20．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】 解：已知是等边三角形， ∴， A、，根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、，这个比例式中的两边与、与，其夹角分别是和，而和并不是这两组边的夹角， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； C、，， ∴根据两角分别相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； 故选：B． 21．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，点D，E分别是边，的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（     ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，是的中位线，利用三角形中位线定理，可得出，且．则得到，结合，，得到，最后根据计算即可． 【详解】 解：∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 22．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点E．已知，，，则的长为（     ） A.  B. 7 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形角平分线的定义，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再列出比例求出的长． 【详解】 解：∵的平分线交于点D， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 23．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在菱形中，延长至点，使得，连接交边于点．若，则菱形的周长为（　　） A. 30 B. 24 C. 20 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识是关键；由菱形的性质可证明，则得的长，即可求得菱形的周长． 【详解】 解：在菱形中，，； ， ， ； ， ， ， ， 则菱形的周长为； 故选：B． 25．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在正方形中，对角线交于点O，点P是边上一个动点，于点G，交于点E，于点H，交于点F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③④ 【答案】C 【分析】 利用正方形的性质求得，证明，故① 正确；证明四边形是矩形，利用勾股定理可判断② 正确；证明与不相似，故③ 不正确；证明，推出，同理，据此即可判断④ 正确. 【详解】 解：∵正方形中，对角线交于点O， ∴， ∵，， ∴，故① 正确； ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故② 正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形，则只是直角三角形， ∴与不相似， ∴，故③ 不正确； ∵，，， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴，故④ 正确； 综上，① ② ④ 正确； 故选：C． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定，证明四边形是矩形是解题的关键． 26．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，的中线、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：在中，中线、相交于点， ∴是的中位线， ∴，故① 正确； ∴， ∴，故③ 错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； ∵， ∴， ∴， 不能证明，故② 错误； 故选：B． 27．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）下列说法中，正确的是（       ） A. 任意两个等边三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个矩形都相似 【答案】A 【分析】 本题考查了相似图形，利用相似三角形和相似多边形的判定方法解答即可．解题的关键是掌握相似图形的定义． 【详解】 解：A、任意两个等边三角形的内角等于，所以任意两个等边三角形都相似，故选项符合题意； B、任意两个直角三角形有一对直角相等，但直角的夹边不一定成比例，故都任意两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； C、任意两个菱形对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故选项不符合题意； D、任意两个矩形对应边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，故选项不符合题意． 故选：A． 28．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在矩形中，，，若是边的中点，连接，过点作于点，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据题意可得，利用勾股定理解得的值，再证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 故选：B． 29．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C. 的面积的面积 D. 四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】 本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】 解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 30．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据三角形相似的判定方法逐一进行判断． 【详解】 解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 当， 而与不一定相等， 所以不能判定和相似． 故选：D． 31．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】 略 32．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，已知等边三角形ABC，点M为BC边的中点，连接AM，请利用直尺和圆规在边AB上找一点P，使得△MPB∽△AMC．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】如图所示： 【分析】 根据相似三角形的判定即可画图． 【详解】 解：作MP⊥AB于点P， 则点P即为所求作的点． ∵ABC等边三角形 ∴△MPB∽△AMC． 本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 33．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）如图，已知正方形，为延长线上一点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示： 【分析】 本题考查了尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，先理解题意，分析要使得，目前已有，故过点B作，交于点，即可作答． 【详解】 解：依题意，过点B作，交于点， ∵，， ∴． 34．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在等腰中，，为边上一点，连接，请你用尺规作图法在上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．① 两角分别相等的两个三角形相似；② 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③ 三边成比例的两个三角形相似． 作交于点E即可． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 35．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：　　　　　　　　　　　　（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】 解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 36．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF＝　　　． 【答案】 【分析】 先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，同样的方法可得出，然后根据线段的和差即可得． 【详解】 解：在矩形中，， ， 在和中， ， ， ，即， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 37．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识．设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得，根据相似比可得最终结果． 【详解】 解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ∵， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 38．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，已知，过点作射线，点在射线上，连接，．请你用尺规作图法在射线上作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角的尺规作图法，熟记相似三角形的判定是解题的关键．尺规作即可． 【详解】 略 39．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使.（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求. 【分析】 本题考查作图相似变换，解题的关键是若，则，根据作一个角等于已知角的方法，作，交于点即可． 【详解】 解：略． 40．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】 略 41．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，过点A作AD⊥BC于D，AD为所作． 【分析】 过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由一个图形放大或缩小得到，解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似进行作图． 42．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在中，，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不与作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了作垂线，相似三角形的判定． 以点为圆心，作的垂线交于点即可． 【详解】 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴． 43．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是　　　　　　．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 44．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在中，点是边上的中点，请用尺规作图的方法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点E即为所求． 【分析】 本题考查了作图—相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定，根据作一个等于已知角的作图方法，在的内部，作，交于点，再由即可得到． 【详解】 略 45．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点E即为所求； 或 【分析】 本题考查相似三角形的判定，尺规作图—作一个角等于已知角，根据两角对应相等的两个三角形相似，作或，即可． 【详解】 略 46．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，已知，，垂足分别为、，交于点，，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据，可得，由对顶角相等得，则，根据相似三角形的性质即可求解，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 47．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，为矩形的对角线，请利用尺规作图法在对角线上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，即为所求： 【分析】 此题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定．如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据． 根据矩形性质可以证明，利用尺规作，交于，得到，即可使得． 【详解】 解：作，交于． 48．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在中，点D在边上．请用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点E即为所求． 【分析】 本题考查作图——相似变换，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 作，根据“两组角对应相等的两个三角形相似”，找到点E即可． 【详解】 略 49．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法在边上找一点F，连接，使得与相似． (不写作法，保留作图痕迹) 【答案】如图，点F即为所求作． 由作图可知：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定．由得到，因此作使，得或其它对应相等的一组角即可得到与相似． 【详解】 略 50．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在正方形中，是上的一点，且，连接，是的中点，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．过点作于点，交于点，则，根据四边形是正方形得到，，证明四边形是矩形，得到，证明,求出，得到，即可求出答案． 【详解】 解：过点作于点，交于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， 是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 51．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，在中，，点在斜边上，连接．请用尺规作图法，在求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求， 【分析】 此题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，作，即可证明即可得到结论． 【详解】 解：如图，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 52．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作于点，若的面积为24，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）由三角形的面积可求得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，由，得出，，继而求得，从而得到，再证明出即可求解． 【详解】 解：延长交的延长线于点，    四边形是菱形， ，， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∵， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解． 54．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作于点，若，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，再证明，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴；     （2）4      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 56．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在菱形中，点E为边上一点，过点E作于点H，交的延长线于点F，若，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，证明是等腰三角形，从而可知，再证明，，利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】 解：设与交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 57．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，已知等边，D为边上一点，请用尺规作图法，在线段上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图所示： 【分析】 以点D为角的顶点，角的一条边，作，交于点E，即可得出答案． 【详解】 解：以点D为角的顶点，角的一条边，作，交于一点E，则为所求作的三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形相似的判定，作一个角等于已知角，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作一个角等于已知角及三角形相似的判定方法． 58．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在四边形中，，，对角线相交于点，过点作于点，延长交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 （1）先证明，进而得到，再由两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，结合题中，即可判定四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形，则，再由相似三角形的判定定理得到，得到相似比，代值求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，四边形是矩形， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查四边形综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟记矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 59．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形，， ， ， ．     （2）10      【分析】 （1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 四边形是正方形， ． 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键. 60．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴．     （2） 证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 61．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）【问题提出】 （1）如图1，点E是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为36，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即）中截取一个正方形，点在边上，点在边上，点在边上，若，求这块木板截取正方形后剩余部分的面积； 【问题解决】（3）如图3，为了增加城市绿化面积，某施工队要给一片四边形空地播撒绿植，每平米绿植需花费80元．已知四边形土地中，，，，若为等边三角形，求播撒这片四边形空地共需花费多少元？ 【答案】（1）；（2）150；（3）播撒这片四边形空地共需要元． 【分析】 （1）首先根据旋转的性质得到，然后得到，求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）首先证明出得到，设，则，，，然后根据勾股定理求出，，，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）在下方作等边，连接，得到，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，将绕点B顺时针旋转得到，过点D作交于点G，证明出是等边三角形，得到，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求解即可． 【详解】 解：（1）∵绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴这块木板截取正方形后剩余部分的面积为150； （3）如图，在下方作等边，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 如图所示，将绕点B顺时针旋转得到，过点D作交于点G． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ， ， ∵每平米绿植80元， ∴（元）．， ∴播撒这片四边形空地共需要元． 【点睛】 此题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 62．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，为11米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计） 【答案】21.5米 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由求出，再由求出，即可求解． 【详解】 解：，， ， ， ， ，即， ． ，， ， ， ， ，即， ， 答：该雕像的高度为21.5米． 63．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）已知中，点D为边上的一点．求作边上的一点E，使得．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【答案】如图所示，点E为所求： 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，作一个角等于已知角，根据相似三角形的判定即可得出结果，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． 【详解】 解：∵， ∴． 64．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】点D即为所作求： 【分析】 本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 作平分线，交于D即可． 【详解】 由作图可知：是平分线， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 65．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 【答案】米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，设，则，再证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ， 解得， ∴米， 答：的高度为米． 66．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，已知，点是边上一点，且，请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得与相似，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求， 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定以及尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定定理和尺规作角的方法是解题的关键．要在上找一点，使与相似且，需利用相似三角形的判定，先确定线段的比例关系，再通过尺规作图作，交于即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 67．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）问题提出 （1）如图1，在中，，点D在上，于点若，，，则的长为______． 问题解决 （2）如图2，有一块三角形试验田，面积为为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素，最终扩建为三角形试验田经实际测量可得，，，，求扩建后三角形试验田的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】 先求出，，证明和相似得，由此可得出的长； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据的面积为得，则，在中，分别求出，，再证明和相似得，则，进而得，然后再根据三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】 解：在中，，，，， ， 由勾股定理得：， 于点E， ， 又， ， ， ， 故答案为：； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， 在中，，，， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 68．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，点为矩形的边的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】 本题考查了作图-相似变换，作一个角等于已知角，过点B作即可． 【详解】 解：作图如图所示： 69．（24-25学年九上·陕西西安西安高新第一中学·期末）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 【答案】证明：在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴． 【分析】 本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质可，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】 略 70．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，过点C作，交的延长线于点F．请用尺规作图法在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据四边形为平行四边形，即有，过点B作，即可证明． 【详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 过点B作，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 71．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，在中，平分交于点D，点E在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若．求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）先证明，然后依据相似三角形的判断定理进行证明即可； （2）依据相似三角形的性质列方出求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 72．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE于点G，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 　　　． 【答案】 【分析】 过点A作AM⊥BC于M，先根据菱形的性质和勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得到，，然后证明△AME∽△FGA，得到，由此求出AB的长从而得到AF的长，最后在直角三角形AGF中利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，过点A作AM⊥BC于M， ∴∠AMB=∠AME=90°， ∴ ∵∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∴， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是菱形，F为AD的中点，FG⊥AE，∠B=60° ∴，∠BAD=120°，∠AGF=90°， ∵∠BAM=30°， ∴∠MAD=∠BAD-∠BAM=90°， ∴∠MAE+∠MEA=∠MAE+∠FAG=90°， ∴∠MEA=∠GAF， 又∵∠AME=∠FGA=90°， ∴△AME∽△FGA， ∴即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于利用相似三角形的性质求出AB的长． 73．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，是等边三角形，点D，E分别在边，的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：为等边三角形 ， 又      （2）3.5      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质． （1）根据为等边三角形，可知，从而求得，再求得，即可证得； （2）由（1）知，可得，即可求得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等边三角形， ． ， ． ， ，即． ． ． 74．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，M，N是正方形的边的中点，点E在上，，交于点F，若，则正方形的边长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，由正方形的性质可得，，可证明四边形是矩形，得到，证明，得到；设，，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵M，N是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 75．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，点，分别在的边，上，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）10      【分析】 本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 76．（25-26学年九上·陕西西安莲湖区·期末）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （2）在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）四边形与的面积不能相等， 理由如下： 作于H，如图， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当四边形与的面积相等时， ，即， ∴， 整理得，此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【分析】 （1）先利用勾股定理计算出AC=10，由于∠PCQ=∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC=∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到 ；当∠PQC=∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到，然后分别解方程求出t的值即可； （2）作PQ⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH=，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S△ABC=2S△CPQ，利用三角形面积公式得到2••6•8，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等． 【详解】 （1）在R中，， ∵， ∴当时，，则，即，解得； 当时，，则，即，解得； ∴t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2） 略 【点睛】 此题考查相似三角形的判定．解题关键在于熟练应用相似比计算线段的长． 77．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点M即为所求．（答案不唯一） 【分析】 本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定． 作线段的垂直平分线交于M即可． 【详解】 解：证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 78．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）6      【分析】 （1）依据题意，由，则，又，可得，从而可得，进而可以得解； （2）由点E为的中点，得，结合可得，故，又，，则，从而，结合，可得，进而可以得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能找出相似三角形是关键． 79．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）（多选）如图，，AC与BD交于点E，且AB=4，AE=2，AC=8． （1）求CD的长； （2）求证：． 【答案】（1）12     （2） 证明：∵AB=4，AE=2，AC=8， ∴==，==， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴．      【分析】 （1）由线段的和差关系可求出CE的长，由可证明，根据相似三角形的性质即可求出CD的长； （2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明． (1) 小问详解： 解：∵AE=2，AC=8， ∴， ∵， ∴∠A=∠DCE ，∠ABE=∠D， ∴， ∴=， 即=， ∴CD=12． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 80．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）如图，在中，，点在边上，且，连接，点在线段上，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理. （1）证明，得到，由中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）的结论求出，再利用勾股定理即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 81．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点、分别在边、上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似： （2）点、在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或     （2）存在，      【分析】 本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． （1）分和分别讨论即可； （2）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； (2) 小问详解： 存在，理由如下： 如图，过P作，垂足为E，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 82．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ；     （2）3      【分析】 （1）因为四边形是平行四边形，可知，，又因为，，可知，可求证； （2）因为，可知，因为是直角三角形，由勾股定理可知即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是平行四边形， 由（1），知； ， 即， ∵，， ． 在中，，，， ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的相关性质以及直角三角形勾股定理应用是解题的关键． 83．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，在正方形中，，点在上，且，在边上是否存在点，使得，若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，的长度为或 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设，则，再证明，根据相似三角形的性质求出的值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：存在． 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴在边上存在点，使得，此时的长度为或． 84．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：在中，，于点， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ． 85．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为上一点，连接并延长交于点F，且有．求证：． 【答案】证明：， ． ， ． 在和中， ，， ． 【分析】 本题考查三角形的高，等边对等角，相似三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 先证明，再证明，则，即可解答． 【详解】 略． 86．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在中，D是的中点，，且．若，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质. 根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简计算，即可作答． 【详解】 解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， 故答案为：． 87．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】 略 88．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在等边三角形中，点 D，E 分别在线段的延长线上．已知，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）先由等边三角形得到，则，再证明，即可证明相似； （2）根据等边三角形的性质以及三角形的外角性质可得，再由相似三角形得到，则，即可求解的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 89．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定及性质；过点作轴交于，相似三角形的判定及性质，由反比例函数比例系数的几何意义得，即可求解． 【详解】 解：过点作轴交于点， 点是的中点， ， ， 轴， ， ， ， ， 设反比例函数的关系式为（）， ， ， ， 解得， 反比例函数的关系式为， 故答案为：． 90．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 如图所示，过点Q作于Q，先证明得到，进而证明，得到，则，证明四边形是矩形，得到，，证明， 求出，证明，求出，则． 【详解】 解：如图所示，过点Q作于Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 91．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在中，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． （1）与相似吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 相似，理由如下： 在中，是斜边的中线， ， ， ， ；     （2）9      【分析】 本题考查了三角形相似的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角，可得，结合，即可得证； （2）由（1）可知，，那么，可得，接着证明，然后利用对应边成比例即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 92．（25-26学年九上·陕西高新一中创·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，． （1）求点的坐标和抛物线的解析式； （2）为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由点坐标可表示、的坐标，从而可表示出、、的长，分和两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值． (1) 小问详解： 解：∵与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； ∵抛物线经过点，， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知直线解析式为， ∵为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，， ∴，， ∴，， ， ∵相似，且， ∴或， 当时，则有， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 综上可知当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 93．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图，在中，已知，，，点、分别是、边上的两个动点，且始终保持，连接，则当取最小值时，　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形和全等三角形的综合应用，同时涉及勾股定理和最值问题．本题综合性较强，能合理构建出全等三角形以及转化线段是学生解决本题的关键．先构建出，转化，即可利用三角形三边关系得出，进一步根据以及勾股定理进行分析即可． 【详解】 解：将移动至，使与、与分别重合， 则，，, ， 当三点共线时，, ， , , ，， ， 此时, ， 在中由勾股定理可得， ， ． 故答案为：． 94．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求， 90     （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ；     （3）或      【分析】 （1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； (1) 小问详解： 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 95．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）问题探究 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F． ①求证：． ②求的度数． 问题解决 （2）如图2，某公园有一块四边形空地，连接，．已知，，米，公园的负责人计划对该空地进行重新规划利用，沿，修两条具有观赏价值的休闲通道（通道的宽度忽略不计），其余空地种植花草．设计要求，，求四边形空地边的长． 【答案】（1）① 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， ∴． ②；（2）90米 【分析】 （1）① 根据和均为等腰直角三角形得出，且，从而得到，证明出；② 由得，紧接着推出，从而求得的度数； （2）在上取点G，连接，，使，得出的度数，利用三角形的外角定义推出，由，得出，利用“”证明，得出，，从而推导出，，根据已知条件由，证明，得到，设，则，根据勾股定理求得x的值，并求得和的长度并最终求得的长度． 【详解】 解：（1）① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． （2）如图，在上取点G，连接，，使， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 则，即， ∴， 由，得：， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即，解得，（舍去）， 即米，米， ∴米． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形外角的定义． 96．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点在边上，连接，以为边在右侧作等腰直角，，点在边上，且，连接、．则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，点在边上，连接，点是矩形外一点，连接、、，若，，求的值； 【问题解决】 （3）在学校的劳动教育实践基地中，该校计划在一块菱形空地（如图3）上规划种植区并搭建遮阳棚．该菱形空地的边长为米，，为了更好地适应不同作物的光照需求，工作人员决定在边上选取一点，并以为边向右侧搭建一个等腰三角形形状的遮阳棚，其中，且遮阳棚的顶角．遮阳棚的边界与边交于点，且．请根据上述劳动实践中的设计要求，求出点到点的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）点到点的距离为米 【分析】 （1）由正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，为等腰直角三角形，即可得解； （2）在上取点，使得，连接，证明，得出，求出，，再由勾股定理得出，进而得出，即可得解； （3）在上截取，连接，证明得出，，由菱形的性质可得，，，求出，过点作，交的延长线于点，则，求出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理得，证明得出，过点作于点，则，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）如图，在上取点，使得，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． （3）如图，在上截取，连接， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ，， ， ， 如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， 如图，过点作于点，则， ， ， 由勾股定理得：，即， ， 点到点的距离为米． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活与运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 97．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则          度，线段与线段的位置关系是          ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【分析】 （1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】 解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】 本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 98．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）（1）如图，已知四边形是菱形，点是对角线上一点，连接并延长交于点，交的延长线于点，连接． 【探究证明】 ①求证：； ②求证：； 【衍生拓展】 （2）如图，某小区规划修建一条穿越菱形花园的步道，以方便小区居民赏花，步道与的延长线在点处交汇，与的交汇点设置为休息处，已知菱形花园的边长为米，是菱形花园的一条步道，将步道与步道的交点设置为施工点，，施工材料由花园一角通过步道运输到施工点，分别求出休息处与施工点的距离及步道的长．（休息处、施工点的大小均忽略不计） 【答案】（1）①∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴（）， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由（1）① 知 ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）米，米． 【分析】 （1）① 利用菱形的性质，得到，，结合公共边，证明，从而得出．② 先由菱形对边平行得，，进而得到相似三角形，再结合① 中，通过相似三角形的性质证明． （2）连接，利用菱形性质和得出和是等边三角形，求出的长度，再根据求出、的长度，结合平行关系得到相似三角形，求出、的长度，进而得到的长度． 【详解】 解：（1）① 略 ② 略 （2）连接，交于点， ∵菱形花园的边长为米，， ∴米，和都是等边三角形，，， ∴米，米， ∵， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵是等边三角形，，米， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 由（）② 知， ∴米， ∴米． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 99．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上运动，连接为的中点，点在线段上，连接，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先通过线段比例和公共角证明三角形相似，得出垂直关系，从而确定点的轨迹为以为直径的圆；再利用中位线定理求出的长度；最后根据三角形三边关系求出的最小值． 【详解】 解：如图，取的中点O，连接、， 在中，，，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即， ∴． ∵ 是中点，是中点， ∴ 是的中位线， ∴ ． 根据三角形三边关系， ∴ 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定和三角形三边关系是解题的关键． 100．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，，分别是边上的点，分别连接、交于点，，延长至点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某市城区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点、分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观处，为人行步道，同时修建一条穿过点的特色步道（点、分别在边、上），且，将点规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值．（廊道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明： ， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【分析】 本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作辅助线构造正方形是解答本题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）解：设的长为单位“1”． 点分别是正方形的边的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 如图，作于点交的延长线于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ， ，， ∴四边形是正方形， ， 在Rt中，由勾股定理得：， 如图，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 101．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）如图，是的直径，C、D为上的两点；过点作的切线交的延长线于点，交于点，连接， （1）求证：； （2）连接交于点，若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接,如图, , ，, 为的外角， ， , , ；     （2）的半径为      【分析】 连接,根据“同圆的半径相等”得,根据“等边对等角”得,根据“一条弧所对的圆周角等干它所对的圆心角的一半”得,从而由已知可得,根据“内错角相等，两直线平行”得出证明； 连接、,根据“直径所对的圆周角是直角”、“切线垂直于过切点的半径”和“同角的余角相等”可得：,根据“两角对应相等的三角形相似”证明,可得：,设的半径为,则、,根据“平行于三角形的一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似”可得,从而得到,过点作于点,由垂径定理得,在中，由勾股定理得,由可得,从而得到关于的方程，求出即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接、,如图， 是的直径， , 是的切线，是的直径， , , , , , , ， , , , 设的半径为,则,, ， , , , , 过点作于点,如上图， ,, 在中，由勾股定理，得， 由,得, ,整理，得, 解得：或(负值不合题意，舍去), 的半径为． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确作出辅助线是解决此题的关键． 102．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为　　　　　　． 【答案】7 【分析】 此题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识， 推导出及是解题的关键．由平行四边形的性质推导出，则，而，所以，求得，则，由，得，则，所以，再证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平行四边形的面积为24， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 103．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在四边形中，，，平分，点P是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点E和点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）根据，得出四边形是平行四边形，进而根据角平分线的定义与平行线的性质得，即可得出，进而得证； （2）先证明则，进而根据平行线的性质得出，即可得到，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵平分，点P是上一点， ∴ ∵四边形是菱形； ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） 104．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知，连接、，相交于点，点在线段上，连接，并延长交于点，求证：； （2）如图2，点为矩形对角线上的动点，连接，已知，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，校园文创小组计划制作边长为6分米的正方形亚克力装饰牌，为增加装饰性，需在边上设置装饰条，为可滑动的装饰卡扣，延长装饰条至点，要求的长度是的2倍，用笔直的金属丝连接、，两根金属丝的交点记为，现需将点与点用某种特殊的材料连接，为节省材料成本，需使的长度尽可能的短，请你求出的最短长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）的最小值为；（3）的最短长度为分米 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，垂线段最短； （1）根据得出，，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作于点，即与重合时，最小，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）连接并延长，交于，证明，，根据相似三角形的性质结合已知条件得出，根据勾股定理求得，根据当时，有最小值，此时，，证明，进而根据相似三角形的性质求得，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）解：∵点为矩形对角线上的动点， ∴当时，最小， 如图2，过点作于点，即与重合时，最小， 在矩形中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即的最小值为． （3）解：如图3，连接并延长，交于， 在正方形中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，可得点在上运动， ∴当时，有最小值，此时，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故的最短长度为分米． 105．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，已知，请用尺规作图法在线段的延长线上确定一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图：以A为顶点作，延长交于D，此时． ∵，， ∴． 【分析】 本题主要考查了尺规作图、相似三角形的判定等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：以A为顶点作，延长交于D，即可完成作图． 【详解】 略 106．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，点是的斜边上一点，且，，以为斜边作等腰，使在同侧，连接，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 如图，过点作，使，连接，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到与的关系，则当取最小值时，最小；所以当，由于垂线段最短，此时最小，接着利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可得出结论． 【详解】 解：如图，过点作，使，连接， 则为等腰直角三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴当取最小值时，最小． ∴当时，此时最小． ∵， ∴， ， ， ， ∴的最小值为 2 ． 故答案为：2． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键． 107．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，点O在边上，连接，过点B作交的延长线于点D，，，，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，某小区有一片四边形花园，、是两条观赏主道，其中，与的交点O处是凉亭，已知，，，求观赏主道的长．（道路宽度及凉亭大小忽略不计） 【答案】（1）；（2）． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边即可解答； （2）如图：过点B作交于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，进而求得的长即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）如图：过点B作交于点E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴． 108．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）【问题探究】 （1）在正方形中，点、分别在边、上，连接、． ①如图1，若，求证：； ②如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接AC，若，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市计划在新建的“和谐公园”中修建一处特色景观广场，设计图纸如下：在正方形广场中，处为入口，在广场内设置两条观光路线、（点M、N分别在边、上），在、处分别建造花坛和喷泉，对角线是一条石板步道，、分别交于点、，过点作交于点，在点和点处安装路灯．为了保证游客从入口看向花坛和喷泉时的视野夹角更舒适，需使的度数为，请你帮助工程师探究和之间的数量关系，并说明理由．（步道宽度及花坛、喷泉大小忽略不计） 【答案】（1）① 见解析；② 见解析；（2），理由见解析 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． （1）① 先证明，推导出，证明，则，即可解答； ② 推导出，则同理得：，得到，即可解答； （2）连接，过点作于点，先证明，推导出，得到，求出，得到，继而证明是等腰直角三角形，且，可推导出四边形是矩形，得到，则，即可解答． 【详解】 （1）证明：①四边形是正方形， ， ， ∴ ． ②， ， 四边形是正方形， ， ， ， 同理得：， ． （2）解：，理由如下： 如图3，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 109．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，线段，与交于点E． （1）求证：； （2）过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由可得、，易证，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再证明可得，然后代入数据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 110．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：； 问题迁移 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点M、N、P、Q分别在矩形的边、、、上，且，求证：； 问题延伸 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点A作，过点D作，则，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）过点A作，过点D作，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由（2）知， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 111．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）【问题探究】 如图，在矩形中，，，为对角线，将以点为旋转中心，按照逆时针的方向旋转，得到（点、的对应点分别为点、）． （1）如图1，连接，，则的值为__________； （2）如图2，当点落在的延长线上时，延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在一个智能机器人路径规划的模拟界面中，矩形代表一块长为个单位、宽为个单位的电子地图区域（即，），AC为地图中的一条主控对角线，系统将以点为旋转中心，按逆时针方向进行旋转，生成新的路径模块（点、的对应点分别为点、），点恰好落在的中线的延长线上，交边于点，延长FE交BC边于点，请根据上述信息，计算AN的长度． 【答案】（1）； （2），理由如下： 过点作于点，如图， 则， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， 由旋转得：，，，， ，， 又， ， ，， ， ， 即； （3） 【分析】 本题考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求得，再证得∽，利用相似三角形性质即可求得答案； （2）过点作于点，由旋转得：，，，，可证得≌，利用全等三角形性质即可求得答案； （3）延长交于点，连接，，设交于点，由旋转得，，，可证得，，，，即可求得答案． 【详解】 （1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由旋转得：，，， ， ， （2）略 （3）如图，连接，， 由旋转得，，， ， 是的中线，， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 112．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）如图，在中，，，D是的中点，是边上的点，连接．若，，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形． 过D作，交于点H，则，那么，，然后证明，则，求出，然后求出，最后由勾股定理求解． 【详解】 解：如图，过D作，交于点H， ∴，， ∴ ∵D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 113．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）【问题探究】 （1）在中，，过点C作于点D． ①如图1，若，则的值为______； ②如图2，点F在的延长线上，连接并延长至点E，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3所示），，米，米，为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点D，建造一座景观桥，满足．在点A和点B处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点E在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①， ②证明：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ； （2）小路的长为米 【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）① 由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证； ② 同理可证，可得，同① 证明，即可得证； （2）过作交的延长线于，过作交于，过作交于，可得在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，由等腰三角形的判定及性质得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，同理可证，求出的长，即可求解． 【详解】 （1）①解：，， ， ， ， ， 故答案为：； ②略 （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米，， 米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：米， 是定值，且米是定值， 在直线上运动，且， 当时，取得最小值， 此时与重合， 米， 米， 故当仿古长廊最短时，小路的长度为米． 114．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）【问题情境】如图（1），和是两个等边三角形，连接，若线段，则线段______，，则的大小是______； 【变式探究】如图（2），在中，，，，以为边在右侧作等边，F是边上一点，连接，，当时，线段的长度是多少？ 【拓展应用】如图（3），阳光商场计划举办户外促销活动，划定F，C，B三处为固定摊点，是服装促销连廊，长度为8米，是食品销售连廊，长为4米，两连廊之间的夹角，，是两排移动摊位，，且的大小为．是连接固定摊点与移动摊位之间的辅助通道，长度始终保持为6米．为提高销量，在场地内选取作为“爆款特卖区”，如图（3），其入口E在辅助通道边上，的大小始终为，请通过计算确定的长度，并求出“爆款特卖区”面积的最大值．（连廊及辅助通道的宽，各摊位的大小均忽略不计） 【答案】（问题情境）5，；（变式探究）；（拓展应用）16 【分析】 （问题情境）根据和是两个等边三角形，得出，则，证明，即可得出． （变式探究）如图，延长交于点，根据四边形是平行四边形，，，得出，根据是等边三角形，得出，则，是等边三角形，得出，，证明，得出，即可求出． （拓展应用）将顺时针旋转至，连接，则，证明，得出，设，连接，根据，得出，根据，得出，证明三点共线，再证明，即可证出，则，求出，得出点在以点为圆心，4为半径的圆上运动，如图，作点E作，根据，得当时，最大，求解即可． 【详解】 解：（问题情境）∵和是两个等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5，． （变式探究）解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （拓展应用）解：将绕点A顺时针旋转至，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 点在以点为圆心，4为半径的圆上运动，如图，作点E作， 则， 当时，最大， 此时，． 【点睛】 该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，确定点E的运动轨迹． 115．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，正方形ABCD中，E在射线BC上，连AB、DE，则的最小值是　　　　　． 【答案】 【分析】 由题作，构造，结合正方形性质，将所求转换：，再证明，确定，由直径所对角为直角确定动点F轨迹，由此确定FD的最小值HD，再根据勾股定理计算即可得解． 【详解】 解：作交AE于点F，如图， ， ， 又， AD正方形边长设为2a， ， ， 又， ， ， 点F在以AB为直径画圆为直径的半圆上，如图所示， 要求的最小值，AD是定值，当且仅当F点在DG上H点时时DF有最小值，此时有最小值， ，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，由直角三角形画圆确定点的运动轨迹，勾股定理；能根据题意作辅助线，构造相似三角形，将所求转换出来是本题的关键． 116．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【分析】 （1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】 解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】 本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． 117．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）【问题提出】 （1）如图①，，与交于点E，若，，，则的长为______； （2）如图②，在中，是的中线，点D在边上，且，，求的值； 【问题解决】 （3）如图③，矩形是一个工厂的平面示意图，，，在边上有一个废品处理站E，且，点P为工厂内的员工餐厅，且满足，是一条小路，现要在工厂外修建一个员工宿舍F，按规划要求，将绕点P逆时针旋转并延长至点F，令，则点F即为员工宿舍的位置，连接，现在需要沿铺设小路，为了节约成本，需使小路最短，求小路的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】 （1）证明得，即可求解； （2）过D作交于H，证明，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）取的中点O，再把绕点O逆时针旋转至，使，构造，即可求出的长度，利用勾股定理求出，再根据三边关系可以知道，即可得解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：12； （2）如图，过D作交于H， ∴，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取中点O，连接，则， 将绕点O逆时针旋转得到，且，连接、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是以G为圆心，长为半径的圆弧上， 连接，则， 当且仅当，F、C、G三点共线时取等号， ∵，， ∴， ∴， 过G作于点M，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即最小值为． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 118．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）【问题探究】 （1）如图1，点是正方形的边上一点，连接交于点，与的延长线交于点．若，，求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，是一片商业区，中线将分为两部分．其中区域为零售购物区，区域为休闲娱乐区，长廊横跨两个功能区，点在上，交于点，为更好服务于大众，现计划扩建区域为餐饮美食区，根据规划，，点在的延长线上，，商业区外面的广场上有三条步道，顾客可以通过三条步道根据自己的需求快速进入目标区域，点在的延长线上，请帮助工作人员探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）12； （2）解：，理由如下： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴，即，（负值已舍） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质，构造相似三角形． （1）根据正方形的性质，得到，进而得到，推出，据此求解即可； （2）同法利用相似三角形的判定和性质得到，推出，证明，得到即可． 【详解】 （1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 119．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）【问题探究】 （1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接 ①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”） ②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边、上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计） 【答案】（1）①； ②证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ∴ ， ，， ， 点P为的中点， 是的中位线， ， 在中，由勾股定理得 ，即 （2） 【分析】 （1）① 证明四边形是平行四边形得到，再证明，得到，则可得到；② 证明得到，证明是的中位线，得到，由勾股定理得，据此可证明结论； （2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 （1）①解：如图1，过点C作，交于点F， ∵四边形是正方形 ，，， ， ∵ 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； ② 略 （2）解：设的长为单位“1”． 点分别是正方形的边的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 如图，作于点交的延长线于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ， ，， ∴四边形是正方形， ， 在Rt中，由勾股定理得：， 如图，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 120．（25-26学年九上·陕西榆林府谷县·期中）【问题提出】 （1）如图①，已知等边的边长为4，为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为_____； （2）如图②，在矩形中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上．连接，作的平分线交于点，交于点．判断点是否为线段的中点，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，某区管委会现计划将一片矩形空地改造为体育公园，供市民休闲娱乐，其中出入口点在边上，且，，，按照设计图，取的中点，连接，，且，连接交于点，将设计成一个观光湖，现准备分别在湖岸，上寻找一点，，修建两条小桥，，求小桥的最小值． 【答案】（1）； （2）点P为线段的中点，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是线段的中点； （3）小桥的最小值为． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）连接，根据题意及角平分线的定义，证明，得到，进而证明，得到，即可解答； （3）利用勾股定理求得，证明，求得，利用直角三角形的性质和三角形中位线定理求得，，，设，，证明和，求得，，联立得，在上取点，使，作于点，证明，得到，推出，得到的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】 解：（1）∵等边的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 作于点，作于点， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理， ∴，即， ∴， ∴，， 在上取点，使，作于点， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵矩形空地， ∴， ∵，， ∴在同一直线上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，又， ∴，即小桥的最小值为． 【点睛】 本题考查考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）如图，的对角线相交于点，，若，则的长为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行四边形中求线段长，涉及平行四边形性质、相似三角形的性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的性质是解决问题的关键． 先由平行四边形性质得到，再由相似三角形性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】 解：的对角线相交于点，， ， ， ， 则， ， 解得， 故选：A． 2．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）已知，，则与的周长之比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解即可． 【详解】 解：∵，且， ∴相似比为， ∴周长比， 故选：C 3．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵，且相似比是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则四边形的面积是， 故选：C． 4．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期末）如图，，若，则的长为　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据相似三角形的性质，即可求解． 本题考查了相似三角形的性质，掌握知识点是解题关键． 【详解】 解：，,， ， ， 解得或（舍去） 故答案为：． 5．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过　　　　　　　　　　　　秒后，与相似． 【答案】1或 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【详解】 解：设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为：1或． 6．（25-26学年九上·陕西期中学·期中）已知，且，的面积是16，则的面积是　　　　　　　　　　　　 【答案】9 【分析】 本题考查相似三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】 解：∵，且， ∴， 则， 解得． 故答案为9． 7．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　　　　　　　． 【答案】（2，0）或（，0） 【分析】 设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】 解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 8．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意可知△A1BD∽△ABC，又根据已知条件“图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5”可得与的面积比为4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最终求出． 【详解】 ∵根据题意“把沿边平移到的位置”， ∴AC∥A1D，故判断出△A1BD∽△ABC， ∵图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5， ∴与的面积比为4∶9， ∴A1B∶AB=2∶3， ∵， ∴A1B=， ∴=AB－A1B=4－=． 故答案为． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 9．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示：   ，   ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ① 当时，， ∴，即， 解得：， ② 当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 10．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由为平行四边形可知，， ， ， 又， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据四边形的对边相等可得，求出的长，再根据相似三角形的性质对应边成比例，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：平行四边形中，， ，， ， ， 由（1）得， ， ． 11．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）已知两个相似三角形的周长之比是，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了相似三角形的性质、一元一次方程的应用． 根据两个相似三角形的周长之比是得到两个相似三角形的周长之比是，设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是，根据面积之差是50列方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵两个相似三角形的周长之比是， ∴两个相似三角形的周长之比是， 设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是， 则， 解得， ∴， 即这两个三角形中较小三角形的面积是． 故答案为： 12．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，已知（点在边上），若，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，又，则，掌握相似三角形性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，，，的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，二次根式的计算，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键．由题意可得，再结合相似三角形的性质，得出，即可求出的长． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】 解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 2．（25-26学年九上·陕西多校联考·期中）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】3.6m． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质得，，再说明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案． 【详解】 解：由题易得：四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：木杆的高度为． 3．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，则树高　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理求得，然后利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高． 【详解】 解：在中，，， ∴， ，， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 4．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图是阳光综合实践小组设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．先测得树与路灯的水平距离为，小树的高为，之后发现路灯顶点O的影子与树梢点A的影子重合，此时记录小树在路灯O的照射下形成树影的长为，已知点P，B，C在一条直线上，，，求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】 本题考查的是相似三角形的应用，先证明可得，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴路灯的高度为． 5．（25-26学年九上·陕西西安庆安中学·期中）西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 【答案】牌坊的高度11米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出，证明，得出，然后代入数据求解即可． 【详解】 解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即牌坊的高度11米． 6．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，甲、乙两建筑物在太阳光线下的影子的端点重合在地面上的点处，已知点、、在一条直线上，若，，乙建筑物的高度，则甲建筑物的高度为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键．根据已知条件易证，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求的长度． 【详解】 解：根据题意得， ， ，即， （）． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【分析】 本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】 解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 8．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图（示意图），昌昌同学和同伴秋游时，发现在某小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内刚好可以看到点E，且测得米，米，．已知昌昌的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 过点作，再证明，根据三角形相似性质即可求解． 【详解】 如图所示：过点作， ， 设，则， （倾角器测量角度一样） ， ， ， ， ， ． 【点睛】 考查了相似三角形性质的应用，解题关键是证明熟练应用相似三角形的性质． 9．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 10．（25-26学年九上·陕西榆林清涧县·期中）“泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 【答案】这段河流的宽度为 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质综合，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例求得，从而可得．再证明，根据相似三角形的性质列出比例求得． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这段河流的宽度为． 11．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）小明和小亮决定利用所学知识测量出旗杆的高度如图，小亮在点C处放置一面平面镜，随后沿方向移动2米到达点D处（即米），此时小亮恰好在平面镜中看到旗杆顶端B的像；小明站在点F处时，地面上的点H，小明的头顶G，旗杆顶端B恰好在同一条直线上．经测量得知，小亮眼睛到地面的距离为米，小明的身高米，米，米，已知，，，点A、C、D、F、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明和小亮求出旗杆的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】旗杆的高度为6米 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质． 证明，得到，进而求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】 解：，， ， 由题意得， ， ，即， ， ，， ， ， ， ，即， 解得， 答：旗杆的高度为6米． 12．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，小明需要测量校园内的一棵树的高度，测量过程如下：小明先在点处竖立了一根标杆，然后他沿着的方向移动到达点B处（即），此时小明的眼睛、标杆的顶端、树的顶端恰好在同一直线上，已知小明的目高，标杆，标杆与树之间的距离，，，，点在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求树的高度． 【答案】树的高度为． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，过作于点，交于点，则，又，，，所以，，得出四边形是矩形，所以，，，，然后证明，所以，即，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，过作于点，交于点，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴树的高度为． 13．（25-26学年九上·陕西咸阳三原县·期中）文峰木塔位于陕西省三原县境内，是西北地区唯一一座木质古塔．小张想用课堂上学到的知识，来测量文峰木塔的高度（底部不可到达）．如图，小张在点处竖立一根高为1.6米的标杆（即米），此时，地面上的点、标杆的顶端、木塔的顶端在一条直线上；随后，他在地面上的点处放置一个测角仪（测角仪的高度忽略不计），测得的度数为，经过测量得知：米，米．已知点在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小张求出文峰木塔的高度（结果保留一位小数） 【答案】文峰木塔的高度约为20.8米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识． 证明得，即① ，由由勾股定理得，进而求出② ，联立① ② 可求出的值． 【详解】 解：， ， ， ， ，即① ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ② ， 联立① ② 得：， 解得， 文峰木塔的高度约为20.8米． 14．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高． 【答案】塔高为米 【分析】 本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】 解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， ， ， ， ， ， 米， 米， ， 解得：米， 答：塔高为米． 15．（25-26学年九上·陕西宝鸡陈仓区·期中）某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量古塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，点在同一水平线上．请你求出古塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】凌霄塔的高度为40米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】 解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， 米，米，米， ， 米， 米， 米， ，， ， ， ， ， 米， 凌霄塔的高度为40米． 16．（25-26学年九上·陕西安康旬阳县·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（图中的）．小华利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小华的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为 【分析】 本题考查的是相似三角形的应用，根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】 解：根据题意可得：，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：树高为． 17．（25-26学年九上·陕西榆林神木·期中）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高1.7米，三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】9.5米 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； 过点作于点，交于点，进而求得，根据，得出，根据相似三角形的性质，列出比例式求得，进而即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于点，交于点． 依题意，得， ． ， ， ， 即， 解得． ， 城楼的高度为（米）． 18．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）位于咸阳市统一广场的秦始皇雕像兼具艺术性与历史象征意义，是咸阳市核心文化地标之一．某数学小组的同学利用课堂上学习的知识测量秦始皇雕像的高度．如图，他们在点处放置一面平面镜，随后从点处沿方向移动2米到达点处（即米），此时恰好从平面镜内看到雕像顶端的像；接着继续从点处沿方向移动5.5米到达点处（即米），在点处竖立一根高为1.5米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和雕像的影子顶端重合于地面上的点处．经测量得到：米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的同学计算秦始皇雕像的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】秦始皇雕像的高度为14米 【分析】 本题考查了相似三角形的实际应用，能够找出相似三角形是解题的关键．根据题意先证，根据相似三角形的性质并推理得到，再证，根据相似三角形的性质并推理得到，将上面两个式子联立求解即可得解． 【详解】 解：由题意得：， ，，， ， ，即， ，① ，， ， 又， ， ，即，② 联立① ② 得， 解得， 秦始皇雕像的高度为14米． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·陕西铁一中·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】 解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】 解：∵与关于原点位似，且的面积是面积的， 与的相似比为， ∵的对应点为，的对应点为，则 ∴点的对应点为C， 点的坐标为， 点的坐标为或， 即或， 故选：D 3．（24-25学年九上·陕西西安灞桥区·期末）如图，与位似，O是位似中心．若点，且，则点E的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了坐标与位似图形．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又， 点的坐标为，即E点的坐标为． 故选：D． 4．（24-25学年九上·陕西榆林高新区·期末）如图，与是以点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点），若，则与的面积比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】 解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴， ∵ ， ∴ 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选：C． 5．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（     ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 【答案】C 【分析】 本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点， ∴，， ∴， ∵的面积为5， ∴的面积为20； 故选C． 6．（25-26学年九上·陕西西安曲江第一中学·期中）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作．      （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【分析】 （1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 7．（25-26学年九上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在y轴左侧作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 【答案】解：如图所示： 【分析】 本题考查作图-位似变换，连接、、，分别取它们的中点即为、、． 【详解】 略 8．（25-26学年九上·陕西西安西安建筑科技大学附属中学·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积等于8，则的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于8， ∴的面积为． 故答案为： 9．（25-26学年九上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴的左侧以为位似中心画出的位似图形（的对应点分别为点），使得与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】解：如图，即为所求： 【分析】 本题考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的性质和位似比，把M、N的横纵坐标都分别除以得到它们对应点P、Q的坐标，再描出，然后顺次连接O、P、Q即可．． 【详解】 略 10．（25-26学年九上·陕西榆林高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点的对应点分别是点），且与的相似比为； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可得； （2）结合相似三角形的面积比等于相似比的平方进行作答即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得与的相似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 11．（九·陕西汉中南郑区·期末）如图，平面直角坐标系中，点E(﹣4，2)，F(﹣1，﹣1)，以原点O为位似中心，把EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，则点E的对应点的坐标为　　　　　　　． 【答案】（−2，1）或（2，−1） （2，−1）或（−2，1） 【分析】 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】 解：∵以O为位似中心，将△EFO缩小为，且与EFO的相似比为1：2，E（−4，2）， ∴点E′的坐标为（−4×，2×）或（−4×（−），2×（−）），即（−2，1）或（2，−1）， 故答案为：（−2，1）或（2，−1）． 【点睛】 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 12．（25-26学年九上·陕西宝鸡渭滨区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形；      （2）1      【分析】 本题主要考查了作位似图形，相似三角形的性质， 对于（1），连接，并延长至，使，同理得到点，再依次连接可得答案； 对于（2），先求出，再根据相似比可得面积比，进而得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 13．（25-26学年九上·陕西西安高陵区·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，已知点，，，则点A的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质计算，即可得出点A的坐标． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴相似比为， ∵，且点A在第二象限， 则， 则点A的坐标是， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·陕西西安东城第一中学·期末）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． （1）在x轴下方，画出； （2）直接写出______． 【答案】（1） 如图，即为所求； ．     （2）      【分析】 本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由位似图形的性质可得：； 15．（2026·陕西咸阳实验中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请以原点为位似中心，在轴下方画出的位似图形（点、、的对应点分别为点、、），使得与的相似比为2：1，并直接写出点、的坐标； （2）若是的位似图形，且与的相似比为，则与的面积比为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求． ，     （2）9：1      【分析】 本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·陕西榆林第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）与的面积比为______． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题考查作图-位似变换，相似的性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：与的相似比为， 与的面积比为， 即与的面积比为． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·陕西西安交通大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．    （1）画出关于y轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是______． 【答案】（1） 如图所示：即为所求；         （2） 如图所示：即为所求；         （3）      【分析】 此题主要考查了作图位似变换，坐标与图形变化—轴对称： （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）利用点和的坐标特征得到位似比为2，连接并延长至点使得，同理得到点，顺次连接即可得到； （3）根据相似三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知，，， 与的相似比， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·陕西西安第三中学·期中）如图．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点(网格线的交点)．已知点A和的坐标分别为和． （1）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求作的三角形．      （2）12      【分析】 本题主要考查了坐标系中画位似图形，利用网格求三角形面积，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用网格求三角形面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据题意得：的面积为：． 19．（25-26学年九上·陕西西安西光中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为； （2）点的坐标是        ，的面积是          ． 【答案】（1） 解：如图，即为所作；      （2）；4      【分析】 本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用关于原点为位似中心的点的坐标特征，给点的横纵坐标都乘以，得到点的坐标，然后描点顺次连接即可； （2）根据网格特点和三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点的坐标是； 的面积． 故答案为：；4． 20．（24-25学年九上·陕西交大附中分·期末）小明在如图的网格纸中作了，三个顶点的坐标分别为，． （1）请你以点为位似中心，在网格纸中的第一象限画出一个，使得它与小明作的位似，且相似比是； （2）点的坐标是______，若图中每个小方格的面积为的面积=______． 【答案】（1）如图所示：即为所求；      （2），      【分析】 本题主要考查了位似作图，相似三角形的性质、根据位似的性质求点的坐标，三角形的面积； （1）根据位似图形的作图方法解答即可． （2）根据位似图形的性质得出，先求得，根据与相似比是；得出面积比为，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，点为位似中心，与相似比是； ∴ ∵，与相似比是； ∴ 故答案为：，． 21．（24-25学年九上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】如图，即为所求，点A、B的对应点、的坐标分别为，． 【分析】 此题考查了位似图形的作图和点的坐标．根据位似图形的作法找到点，顺次连接得到，再写出点A、B的对应点、的坐标即可． 【详解】 略 22．（24-25学年九上·陕西西安第三中学·期末）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 【答案】（1） 如图是所求的三角形．      （2）点的坐标是，的坐标是．      【分析】 本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用位似变换的性质得出对应点的位置即可； （2）直接利用（1）中的图形得出对应点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：延长到，使得，延长到，使得，再连接， ∴就是所求的三角形． (2) 小问详解： 解：∴点的对应点的坐标是， 点的对应点的坐标是． 23．（25-26学年九·陕西咸阳永寿县·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使与的相似比为，且点、、的对应点分别是、、； （2）与的面积比为________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）      【分析】 本题主要考查了位似图形、相似三角形的性质． (1) 分别连接、、并延长，到点、、，使、、，连接点、、，得到即为所求； (2) 由作图可知与的相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的面积比为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：与的相似比为， ， 故答案为：． 24．（25-26学年九·陕西宝鸡陈仓区·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为．（点、、分别与点、、对应） 【答案】如图所示． 【分析】 本题考查了画位似图形，理解题意，根据位似图形的性质，分别找出点、、的对应点、、，顺次连接，即可求解． 【详解】 略 25．（25-26学年九上·陕西汉中南郑区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），且与的相似比为，并写出点、的坐标； （2）在（1）的条件下，与的面积比为___________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． ．     （2）      【分析】 本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·陕西咸阳礼泉县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请在轴右侧作出关于原点的位似图形，使得与的相似比为（点的对应点分别为点、、）． 【答案】如图， 【分析】 本题考查了作位似图形，位似图形的性质，分别确定点的对应点关于的位似对应点、、，再顺次连接、、即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 ∵与的相似比为，，，， ∴点的对应点关于的位似对应点、、，顺次连接、、即可， ∴即为所求． 27．（25-26学年九上·陕西西安长安区·期中）如图，已知，，，点C在的延长线上，若，则点C的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，根据题意得到和是位似图形是解题的关键． 根据题意可得和是位似图形，位似中心为原点，再由位似图形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵O，A，C三点在同一直线上， ∴和是位似图形，位似中心为原点， ∵， ∴点C的横纵坐标均等于点A的横纵坐标的倍， ∵， ∴点C的坐标为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $