精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

雅礼教育集团2025年下期期中考试 高一数学试卷 命题人：王纪盛 审题人：刘青 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是大于的负整数}，，则中元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的概念求，即可确定它所含元素的个数. 【详解】因为， 所以，中的元素个数为3. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合，结合交集运算即可求解. 【详解】因为， 对于集合中的元素，满足，1，2， 则可能的取值为，0，1，即，从而． 故选：B． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，然后可求解出解集. 【详解】，即为，即， 故或，故解集为或． 故选：D． 4. 2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的概念进行判断. 【详解】因为“小明是台湾人”可以推出“小明是中国人”，“小明是中国人”不能推出“小明是台湾人”， 所以“小明是台湾人”是“小明是中国人”的充分不必要条件． 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，求函数值即可. 【详解】因为函数， 所以可得，则. 故选：B 6. 已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数在上的单调性，再结合对称性比较大小. 【详解】函数的定义域为R，由函数的图象关于对称，得， 又当时，恒成立，则函数在上单调递增， 因此，即，所以. 故选：C 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【详解】由条件，又，故， 所以． 故选：B 8. 已知函数，若关于x的不等式有解但没有整数解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，画出函数图象，结合图象即可求解 【详解】，即，， 令即， 可作函数的大致图像为： 由， 由题意结合图象可知． 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列集合中，是集合的子集的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. ， B. 若命题，，则p的否定为：， C. 存在整数x，y，使得 D. ，二次函数的图象都关于y轴对称 【答案】AD 【解析】 【分析】逐项判断各选项的正确性即可. 【详解】A选项为真命题； 若命题，，则p的否定为：，，故B选项为假命题； 一定为偶数，故C选项为假命题； 是上下平移得到的，故D选项为真命题． 故选：AD 11. 已知是定义在上的偶函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先的取值无法确定，可判断A的真假，结合和，可判断B的真假，结合函数的单调性和对称性，可判断C的真假，结合函数的周期性和单调性，可判断D的真假. 【详解】的取值无法确定，故A错误； 由知是定义在上的偶函数，则，且， 又的图象关于对称，则，所以，故B正确； 由为偶函数，且时，单调递减，则其在单调递增， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相同， 即在区间上单调递增，故C正确； 由，则， 故，且， 在区间上的单调性与在区间的单调性相同，即单调递增， 故，所以，故D错误． 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数为______． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据集合的包含关系求的值，要注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，所以中元素一定在中， 故或，解得或， 当时，集合内元素不满足互异性，故或． 故答案为：或0 13. 若，，，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】，，， 则， 当且仅当，时取到等号． 即的最小值为6， 故答案为：6 14. 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．工厂生产x台某装置的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则边际利润函数的最大值为______． 【答案】244 【解析】 【分析】先根据题意求出的表达式，然后根据边际函数的定义求出的表达式，最后根据一次函数的单调性求出最大值即可. 【详解】， ， 因为函数为减函数，则． 故答案为：244. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，． （1）若时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的概念进行运算即可. （2）问题转化为，求实数的取值范围，需分和讨论. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ①当B是空集时，∴，解得， ②当B不是空集时，则，∴． 综上所述：. 16. 已知幂函数的解析式为． （1）求的值及的定义域； （2）若，判断的奇偶性并说明理由． 【答案】（1）； （2）非奇非偶函数，理由：由的定义域为可得的定义域为， 故的定义域为，定义域关于原点对称． ， 因为， ， 所以为非奇非偶函数． 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念求的值，再根据函数解析式有意义求函数的定义域. （2）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的概念判断函数的奇偶性. 【小问1详解】 依题意得：， 故，所以的定义域为． 【小问2详解】 略 17. 已知，． （1）用定义判断并证明函数在的单调性； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 在单调递减． 证明：任取，，且， 所以． 因为，则， 所以，，则，即， 所以函数在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （2）利用函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要分类讨论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减， 又， 所以为奇函数，在上单调递减． ①若，解得． ②若，解得． ③若，a无解． 综上所述，a的取值范围是． 18. 已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式可直接得到不等式解集，注意分情况讨论. （2）方法1：分离参数，问题转化为，，再利用基本不等式，求代数式，的最小值即可； 方法2：问题可转化为二次不等式在区间上恒成立的问题，再结合函数的思想求的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 令，可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【小问2详解】 方法一：因为，可得． 因为，得，所以，即． 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以． 因为，所以，即实数a的取值范围是． 方法二：对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令， 当时，即时，，符合题意． 当时，即时，，解得，又，则． 综上所述，实数a的取值范围是． 19. 已知集合，，从中选取个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项，满足：或，则称该序列为列． （1）对于第项为的列，求它的第项； （2）对于列中的项，令，若为所有可能的取值所组成的集合，为质数集，求； （3）设为列，且中的项满足：当为奇数时，；当为偶数时，，判断，能否同时为中的项，并说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）不能同时为中的项，理由：假设二者同时出现在中，由于列取反序后仍是列，故不妨设在之前． 显然，在列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 由于为奇数，为偶数，所以从到必定要向下一项走奇数次； 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在为偶数时，所以从到必定要向下一项走偶数次． 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中． 【解析】 【分析】（1）根据定义列出方程组，确定出的值，则结果可知； （2）根据定义中的关系式确定出的可取值，然后由交集运算可求结果； （3）假设与能同时在中，推导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论. 【小问1详解】 根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中）， 同理，或也不符合题意（不在集合中）， 所以下一项是或． 【小问2详解】 由或知所有可能的取值为， 其中只有为质数，所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2025年下期期中考试 高一数学试卷 命题人：王纪盛 审题人：刘青 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合是大于的负整数}，，则中元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则（ ） A. 4 B. C. D. 1 6. 已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的不等式有解但没有整数解，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列集合中，是集合的子集的有（ ） A. B. C. D. 10. 以下四个命题中，是真命题的是（ ） A. ， B. 若命题，，则p的否定为：， C. 存在整数x，y，使得 D. ，二次函数的图象都关于y轴对称 11. 已知是定义在上的偶函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，若，则实数为______． 13. 若，，，则的最小值为______． 14. 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．工厂生产x台某装置的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则边际利润函数的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，． （1）若时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知幂函数的解析式为． （1）求的值及的定义域； （2）若，判断的奇偶性并说明理由． 17. 已知，． （1）用定义判断并证明函数在的单调性； （2）若，求实数a的取值范围． 18. 已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知集合，，从中选取个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项，满足：或，则称该序列为列． （1）对于第项为的列，求它的第项； （2）对于列中的项，令，若为所有可能的取值所组成的集合，为质数集，求； （3）设为列，且中的项满足：当为奇数时，；当为偶数时，，判断，能否同时为中的项，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $