期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共81题）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版·八年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共81题）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　期中复习　第1章 三角形　第2章 实数的初步认识　第3章 勾股定理 含 12 个考点例题　/　共 81 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能用三边关系求第三边的取值范围与整数解，会用内角和、外角关系连续求角；能按条件在SAS，ASA，AAS，SSS，HL中选判定方法写全等证明。 2．会用线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理转移线段；会用等边对等角、等角对等边、三线合一处理等腰三角形，并对腰与底、顶角与底角分类讨论；会用30°角所对直角边等于斜边一半、斜边上的中线等于斜边一半求线段。 3．能区分平方根、算术平方根、立方根，会开平方、开立方解方程；会把实数分成有理数与无理数，求实数的相反数与绝对值，在数轴上作出表示这类数的点；会用相邻平方数估算无理数，按要求取近似值。 4．会用勾股定理由两边求第三边、用面积法求斜边上的高，用逆定理判定直角三角形；会解折叠、圆柱表面最短路线、方格纸格点图形与测量、测速等实际问题。 学习重难点 重点：全等三角形的判定与等腰三角形的性质、判定；平方根与立方根、实数的分类与估算；勾股定理及其逆定理、折叠与最短路线。 难点：等腰三角形、钝角三角形的高要分类讨论并检验三边关系；两边及一边对角不能判定全等；“的平方根”要先算；已知两边求第三边时要分清斜边；折叠问题要先找相等线段再设x列勾股方程。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　三角形的三边关系与内角、外角 2 知识点 02　全等三角形的判定：三个基本事实、一个推论、一个定理 3 知识点 03　线段的垂直平分线与角的平分线 3 知识点 04　等腰三角形与直角三角形的性质 4 知识点 05　平方根与立方根 4 知识点 06　实数的分类与数轴 5 知识点 07　无理数的估算与近似值 5 知识点 08　勾股定理 5 知识点 09　勾股定理的逆定理与勾股数 6 知识点 10　勾股定理的简单应用：折叠与最短路线 6 知识点 11　方格纸中的线段与面积法 7 考点 1　三边关系定范围、外角连环求角 7 考点 2　全等三角形的判定方法与应用 8 考点 3　线段垂直平分线与角平分线的性质 10 考点 4　等腰三角形中的边角互推与分类讨论 12 考点 5　含30°角的直角三角形与斜边上的中线 13 考点 6　开平方、开立方与由面积求边长 15 考点 7　无理数的识别与数轴上的实数 16 考点 8　无理数的估算与近似值 17 考点 9　勾股定理的计算与逆定理的判定 18 考点 10　折纸出等腰、绕柱找最短 19 考点 11　方格纸中的勾股定理与面积法 21 考点 12　测速、飞行与云梯：用勾股定理解实际问题 22 易错专练 24 课后作业（一）基础巩固 24 课后作业（二）能力进阶 26 课后作业（三）拓展延伸 28 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　三角形的三边关系与内角、外角 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两边长a、b（a＞b）时，第三边x满足a－b＜x＜a＋b；判断三条线段能否围成三角形，只需看较短两条之和是否大于最长的一条。三角形三个内角的和等于180°；外角的度数恰好是和它不相邻的两个内角度数之和，所以外角比这两个内角中的任何一个都大。如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝∠A＋∠B。即时小例：两边长为3和8的三角形，第三边长在5与11之间。小提示：求三边关系中的整数解时，两个端点都取不到。 a－b＜x＜a＋b ∠ACD＝∠A＋∠B 知识点　02　全等三角形的判定：三个基本事实、一个推论、一个定理 两个三角形若能完全重合，就称它们为全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角也相等。教材先列出三个基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。又由ASA可得推论：两角分别相等，并且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等（AAS）。直角三角形另有一条定理：若两个直角三角形的斜边与一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等（HL）。写全等式时，对应顶点要写在对应位置上。小提示：两边及其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等。 SAS，ASA，SSS（基本事实） AAS（推论），HL（定理） 知识点　03　线段的垂直平分线与角的平分线 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM＝PN。三角形三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等；三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等。小提示：点到直线的距离是垂线段的长，用角平分线的性质前先画出垂线段。 点到线段两端距离相等⇔点在线段的垂直平分线上 OC平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB⇒PM＝PN 知识点　04　等腰三角形与直角三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）；有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。等边三角形的三个角都等于60°，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即时小例：斜边长为9.4的直角三角形，斜边上的中线长4.7。小提示：已知等腰三角形的一个角或一条边而没有说明是顶角（腰）还是底角（底）时，要分类讨论并检验三边关系。 AB＝AC⇔∠B＝∠C AB＝AC，AD⊥BC⇒BD＝DC，∠BAD＝∠CAD 知识点　05　平方根与立方根 如果x²＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根；正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。正数a的正的平方根叫作a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，并且＝a（a≥0）。如果x³＝a，那么x叫作a的立方根，记作∛a；每个数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。即时小例：0.0049的平方根是±0.07，－343的立方根是－7。小提示：“的平方根”要先把算出来，再求它的平方根。 x²＝a（a≥0）⇒x＝± x³＝a⇒x＝∛a 知识点　06　实数的分类与数轴 无限不循环小数叫作无理数，如π、、0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）；有理数和无理数统称实数。实数与数轴上的点一一对应，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。实数的相反数、绝对值的意义与有理数相同：a的相反数是－a；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即时小例：1－的相反数是－1，|1－＝－1。小提示：带根号的数不一定是无理数，如＝3；分数都是有理数。 实数＝有理数＋无理数 a＜0时|a|＝－a 知识点　07　无理数的估算与近似值 估算无理数的大小，先找出与被开方数相邻的两个完全平方数。例如49＜53＜64，所以7＜＜8，的整数部分是7，小数部分是－7；再比较7.2²＝51.84，7.3²＝53.29，得7.2＜＜7.3。近似数与准确数的接近程度用“精确到”哪一位来表示，按四舍五入取到哪一位就说精确到哪一位，例如3.1415926精确到0.01是3.14。小提示：精确到0.01的近似数末尾的0不能省略，如2.50不能写成2.5。 m²＜a＜(m+1)²⇒m＜＜m+1 小数部分＝－整数部分 知识点　08　勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a²＋b²＝c²。已知两边可求第三边：c＝，a＝。我国古代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，思路是用两种方法表示同一个正方形的面积。即时小例：两条直角边为0.9和4的直角三角形，斜边为＝4.1。小提示：先找准直角，直角所对的边才是斜边。 a²＋b²＝c²（c为斜边） c＝ 知识点　09　勾股定理的逆定理与勾股数 如果三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，并且边c所对的角是直角，这是勾股定理的逆定理。能成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数，如3，4，5。判定步骤：先找出最长边，再计算另外两边的平方和，与最长边的平方比较，相等才是直角三角形。即时小例：三边为1.4，4.8，5时，1.96＋23.04＝25，这个三角形是直角三角形。小提示：直角是最长边所对的角，写直角时注意顶点字母。 a²＋b²＝c²⇒∠C＝90° 勾股数：三个正整数 知识点　10　勾股定理的简单应用：折叠与最短路线 折叠问题：折叠前后的两部分图形全等，对应线段相等、对应角相等；把要求的线段设为x，用含x的式子表示一个直角三角形的三边，再由勾股定理列方程。最短路线问题：立体图形表面上的路线，要把相关的面剪开铺平成平面图形，再用“两点之间的所有连线中，线段最短”，并用勾股定理求线段长；圆柱侧面剪开后是长方形，一边是圆柱的高，另一边是底面周长。即时小例：沿侧面绕半圈，底面周长为10、高为6的圆柱上的最短路线长＝。小提示：长方体表面的路线要比较几种铺平方式，取最小的一个。 设用x表示三边→列勾股方程 圆柱侧面：长方形（高，底面周长） 知识点　11　方格纸中的线段与面积法 方格纸上小正方形的边长取1时，格点之间连线的长度都能用勾股定理算出。如图，线段MN水平方向3格、竖直方向5格，长为＝，这样就能画出长为这类无理数的线段，再用圆规转移到数轴上。求格点三角形的面积，常把它补成一个长方形，再减去周围几个直角三角形的面积。直角三角形斜边上的高＝两条直角边的乘积÷斜边。小提示：不在格线上的边不能直接数格子，要用勾股定理计算。 格点线段长＝ 斜边上的高＝ab÷c 【题型1】三边关系定范围、外角连环求角 三边关系管“能不能围成、第三边在什么范围”，内角和与外角管“角怎么连着算”。角平分线与外角放在一起时，先找外角，再用“外角等于不相邻两内角的和”。 例1　如图，在△DEF中，∠D＝64°，∠DEF＝48°，点G在EF的延长线上，∠DEF的平分线与∠DFG的平分线相交于点H。(1)求∠H的度数；(2)求∠DFH的度数。 【分析】∠DFG是△DEF的外角，∠HFG又是△EFH的外角，两次用“外角等于与它不相邻的两个内角的和”。 【解答】(1)∠DFG＝∠D＋∠DEF＝64°＋48°＝112°。因为FH平分∠DFG，所以∠HFG＝56°；因为EH平分∠DEF，所以∠HEF＝24°。 ∠HFG是△EFH的外角，所以∠H＝∠HFG－∠HEF＝56°－24°＝32°。 (2)∠DFH＝∠HFG＝56°。 【方法小结】两条角平分线的交角可以用两次外角关系求出，本题中∠H恰好等于∠D的一半。 题型1　变式：三边关系定范围、外角连环求角 三道变式把三边关系和无理数估算、平方根放在一起，也有一道外角与方程联用的求角题。 变式1　把长为和的两根细线与第三根细线首尾相接围成三角形，第三根线的长是整数，它可取的整数值共有（　　）。 A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 变式2　如图，在△PQR中，点T在QR的延长线上，∠PRT＝140°，∠P比∠Q大20°，则∠P＝________°。 变式3　一个三角形的三边长分别为4，7，c，且c的算术平方根是整数。求c的值和这个三角形的周长。 【题型2】全等三角形的判定方法与应用 写全等证明分三步：先认准两个三角形，再按顺序摆出三个条件，最后写判定方法。见到三角形的中线，要想到把中线延长一倍构造全等；直角三角形还多一个HL。 例1　如图，AD是△ABC的中线，已知AB＝20，AC＝12，AD＝8。延长AD至点E，令ED＝AD，并连接BE。(1)求证：△ADC≌△EDB；(2)求△ABC的面积。 【分析】中线给出BD＝CD，延长AD一倍给出AD＝ED，再加一组对顶角，可用SAS；全等后BE＝AC，△ABE的三边都已知，用勾股定理的逆定理判定直角。 【解答】(1)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD。在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB（对顶角相等），CD＝BD，所以△ADC≌△EDB（SAS）。 (2)由(1)得BE＝AC＝12，又AE＝2AD＝16。BE²＋AE²＝144＋256＝400＝20²＝AB²，所以∠E＝90°（勾股定理的逆定理）。 △ABC的面积＝△ABD的面积＋△ADC的面积＝△ABD的面积＋△EDB的面积＝△ABE的面积＝12×16÷2＝96。 【方法小结】见三角形的中线，常把中线延长一倍构造一对全等三角形，把分散的边集中到一个三角形里，再用勾股定理或其逆定理计算。 题型2　变式：全等三角形的判定方法与应用 三道变式依次考判定方法的取舍、用HL转移边再算勾股，以及等腰三角形中的SAS与勾股计算。 变式1　如图，在△GHK与△UVW中，已知GH＝UV，∠H＝∠V。再补充下面哪一个条件后，仍不能判定△GHK≌△UVW（　　）。 A．HK＝VW B．∠G＝∠U C．∠K＝∠W D．GK＝UW 变式2　如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，AC＝48，CB＝55，则BD＝________，AB＝________。 变式3　如图，在△GHK中，GH＝GK，点M、N在边HK上，且HM＝KN，连接GM、GN。(1)求证：GM＝GN；(2)若GH＝20，HK＝32，HM＝7，求GM的长。 【题型3】线段垂直平分线与角平分线的性质 垂直平分线负责“到两端距离相等”，角平分线负责“到两边距离相等”。用角平分线的性质前先作垂线段，再借HL把一条边转移过去，最后在另一个直角三角形里列勾股方程。 例1　如图，在△PQR中，∠PRQ＝90°，PR＝14，QR＝48，PS平分∠QPR，交QR于点S，SK⊥PQ，垂足为K。(1)求PQ的长；(2)求RS的长。 【分析】点S在∠QPR的平分线上，它到PR、PQ的距离相等，即SR＝SK；再由全等得PK＝PR，把KQ算出来，在直角三角形SKQ中用勾股定理列方程。 【解答】(1)PQ＝＝＝＝50。 (2)因为PS平分∠QPR，SR⊥PR，SK⊥PQ，所以SK＝SR（角平分线的性质定理）。在直角三角形PRS和直角三角形PKS中，PS＝PS，SR＝SK，所以两个三角形全等（HL），PK＝PR＝14，KQ＝50－14＝36。 设RS＝x，则SK＝x，SQ＝48－x。在直角三角形SKQ中，x²＋36²＝(48－x)²，解得x＝10.5。 【方法小结】角平分线＋垂线段：先得到相等的垂线段，再用HL转移一条边，最后在另一个直角三角形里列勾股方程。 题型3　变式：线段垂直平分线与角平分线的性质 三道变式分别考垂直平分线与角平分线合用求角、角平分线求面积，以及到三个顶点距离相等的点的作法。 变式1　如图，△ABC中，AB上有一点E，BC上有一点D，连接AD；已知DE垂直平分AB，AD平分∠BAC，∠B＝33°，则∠C的度数为（　　）。 A．81° B．114° C．57° D．66° 变式2　如图，在△GHK中，∠GHK＝90°，GM平分∠HGK，交HK于点M，HM＝4.5，GK＝15，则△GMK的面积为________。 变式3　如图，在△UVW中，∠UWV＝90°，UW＝10，WV＝24。(1)用直尺和圆规作出点O，使OU＝OV＝OW（保留作图痕迹）；(2)求OU的长。 【题型4】等腰三角形中的边角互推与分类讨论 等腰三角形里边与角互推：等边对等角、等角对等边，底边上的高线、中线、顶角平分线重合。已知条件没说腰还是底、顶角还是底角时，分类后还要检验三边关系。 例1　如图，在△MNP中，∠N＝∠P，MQ平分∠NMP，交NP于点Q。(1)求证：MQ⊥NP；(2)若MN＝6.5，NP＝5，求MQ的长。 【分析】由两个底角相等先得到等腰三角形，再用“三线合一”得垂直；第(2)问在直角三角形MQN中用勾股定理。 【解答】(1)因为∠N＝∠P，所以MN＝MP（等角对等边）。又MQ平分∠NMP，所以MQ⊥NP，NQ＝QP（三线合一）。 (2)NQ＝NP÷2＝2.5。在直角三角形MQN中，MQ＝＝＝＝6。 【方法小结】等角对等边与三线合一连用，是证明垂直、中点的常用路线。 题型4　变式：等腰三角形中的边角互推与分类讨论 三道变式考高在形内与形外的分类、用开方结果当边长的腰底讨论，以及120°等腰三角形中的等边三角形。 变式1　从等腰三角形ABC的底角顶点B向腰AC所在直线作高BD，BD与腰AB所成的角为28°，则顶角∠BAC的度数是（　　）。 A．62° B．118° C．62°或118° D．56° 变式2　∛64与恰好是某个等腰三角形两条边的长，这个三角形的周长为________。 变式3　如图，在△PQR中，PQ＝PR，∠QPR＝120°，点S、T在QR上，PS⊥PQ，PT⊥PR。(1)求证：△PST是等边三角形；(2)若QR＝12，求ST的长。 【题型5】含30°角的直角三角形与斜边上的中线 直角三角形有两条“一半”：30°角所对的直角边是斜边的一半，斜边上的中线是斜边的一半。两个直角三角形共用一条斜边时，连中线就得到等腰三角形。 例1　如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是对角线AC、BD的中点。(1)求证：MN⊥BD；(2)若AC＝34，BD＝30，求MN的长。 【分析】两个直角三角形共用斜边AC，斜边上的中线都等于AC的一半，于是MB＝MD，△MBD是等腰三角形。 【解答】(1)连接MB、MD。在直角三角形ABC中，MB＝AC÷2；在直角三角形ADC中，MD＝AC÷2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），所以MB＝MD。又N是BD的中点，所以MN⊥BD（三线合一）。 (2)MB＝34÷2＝17，BN＝30÷2＝15，在直角三角形MNB中，MN＝＝＝8。 【方法小结】同一条斜边上有两个直角顶点时，连接斜边中点与两个直角顶点，得到等腰三角形。 题型5　变式：含30°角的直角三角形与斜边上的中线 三道变式考角平分线与30°角连用、斜边中线与勾股定理连用，以及含30°角的直角三角形中的等边三角形。 变式1　如图，在△DEF中，∠F＝90°，∠D＝30°，EG平分∠DEF，交DF于点G。若DG＝6，则FG的长为（　　）。 A．6 B．3 C．12 D．2 变式2　如图，在直角三角形UVW中，∠UWV＝90°，X是斜边UV的中点，WX＝7.5，UW＝9，则WV＝________。 变式3　如图，在△GHK中，∠GHK＝90°，∠K＝30°，HM是斜边GK上的中线，GH＝3.6。(1)求证：GH＝HM＝GM；(2)求GK的长和△GHM的周长。 【题型6】开平方、开立方与由面积求边长 平方根成对出现、和为0；算术平方根非负；立方根唯一且与原数同号。开方解方程先把含未知数的整体化成“某式的平方（立方）等于常数”。 例1　正数m有两个平方根，它们是a＋3与2a－15。(1)求a和m的值；(2)一个直角三角形的两条直角边分别等于a和，求它的斜边长。 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，先列方程求a，再求m。 【解答】(1)由题意得(a＋3)＋(2a－15)＝0，解得a＝4。两个平方根为7和－7，m＝7²＝49。 (2)两条直角边为4和＝7，斜边长为＝。 【方法小结】“同一个正数的两个平方根”→两式相加等于0；求出的平方根还要平方才得到这个正数。 题型6　变式：开平方、开立方与由面积求边长 三道变式考立方根与算术平方根的混合计算、开立方解方程，以及由面积开平方再求斜放木棒的长。 变式1　－0.064的立方根与0.36的算术平方根的和是（　　）。 A．0.2 B．－1 C．1 D．－0.04 变式2　方程(2x－1)³＋＝0的解是x＝________。 变式3　一个圆柱形储水罐的底面积是19.625 dm²（π取3.14），高12 dm。(1)求它的底面半径；(2)罐内能斜放的细木棒最长是多少分米（木棒粗细不计）？ 【题型7】无理数的识别与数轴上的实数 无理数是无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应。在数轴上作表示的点，要把n拆成两个平方数的和，作直角三角形，再用圆规把斜边转移到数轴上。 例1　如图，数轴上的点O对应0，点A对应－4。以A为端点作线段AB，使AB与数轴垂直，且AB＝1。以O为圆心画弧，并让该弧经过点B，弧与数轴正半轴相交于点P。(1)求OB的长；(2)写出点P表示的数，并比较它与4.1的大小。 【分析】OB是直角三角形OAB的斜边，用勾股定理求；OP＝OB，再用平方比较大小。 【解答】(1)在直角三角形OAB中，OA＝4，AB＝1，OB＝＝。 (2)OP＝OB＝，点P在原点右侧，表示的数是。因为4.1²＝16.81＜17，所以＞4.1。 【方法小结】在数轴上作表示的点：把n拆成两个平方数的和，作以它们为直角边的直角三角形，再用圆规把斜边转移到数轴上。 题型7　变式：无理数的识别与数轴上的实数 三道变式考无理数的识别、含根号数的绝对值与相反数，以及数轴上两点间的距离与中点。 变式1　在－π/2，，∛(-27)，，，1.2121121112…（相邻两个2之间1的个数依次加1）这六个数中，无理数有（　　）。 A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 变式2　1.5－的绝对值是________，－2的相反数是________。 变式3　如图，在数轴上，1－和3分别用点M和点N表示。(1)求点M与点N之间的距离；(2)求线段MN中点所表示的数。 【题型8】无理数的估算与近似值 估算无理数先找两个相邻的完全平方数；整数部分加小数部分等于原数。近似值按四舍五入取到指定的位，末尾的0不能随意去掉。 例1　某直角三角形中，夹直角的两条边长度依次是5、7，将斜边记作c。(1)求c，并写出c的整数部分m；(2)设c的小数部分为n，求(m＋n)²－m²的值。 【分析】c是无理数，找与74相邻的两个完全平方数确定整数部分；m＋n恰好等于c。 【解答】(1)c＝＝。因为64＜74＜81，所以8＜＜9，整数部分m＝8。 (2)n＝－8，m＋n＝，(m＋n)²－m²＝74－64＝10。 【方法小结】整数部分＋小数部分＝这个数本身，求含小数部分的式子时先把它们合起来。 题型8　变式：无理数的估算与近似值 三道变式考含根号式子的估算、按要求取近似值，以及勾股计算后取近似值的实际问题。 变式1　＋3的值介于哪两个相邻整数之间（　　）。 A．6和7之间 B．8和9之间 C．25和26之间 D．9和10之间 变式2　取近似值时，0.0397精确到千分位为________，12.4962精确到0.01为________，均按四舍五入法处理。 变式3　一根长3 m的木条斜靠在竖直的墙上，木条底端离墙角1.4 m。求木条顶端离地面的高度（结果精确到0.1 m，可用计算器）。 【题型9】勾股定理的计算与逆定理的判定 勾股定理由两边求第三边，逆定理由三边判直角。四边形给出四边和一个直角时，连对角线：先用定理算，再用逆定理判。 例1　如图，四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA依次为9、12、8、17，且∠B=90°。求：(1)∠ACD的度数；(2)四边形ABCD的面积。 【分析】连接AC，先在直角三角形ABC中求AC，再用勾股定理的逆定理判断△ACD。 【解答】(1)AC＝＝＝15。在△ACD中，AC²＋CD²＝225＋64＝289＝17²＝DA²，所以△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°（勾股定理的逆定理）。 (2)四边形的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝9×12÷2＋15×8÷2＝54＋60＝114。 【方法小结】四边形给出四条边和一个直角时，连对角线：先用勾股定理算，再用逆定理判。 题型9　变式：勾股定理的计算与逆定理的判定 三道变式考逆定理的判定、由三边求面积，以及非负数和为0与逆定理的综合。 变式1　若△ABC的三边长a、b、c分别取下面各组值，∠C一定是直角的一组是（　　）。 A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝，b＝，c＝ C．a＝0.5，b＝1.2，c＝1.4 D．a＝6，b＝8，c＝12 变式2　如图，一块三角形铁皮PQR，量得PQ＝4.8，QR＝5.5，PR＝7.3，这块铁皮的面积为________。 变式3　如图，△ABC的三边BC＝a，CA＝b，AB＝c，且满足(a－＋|b－2|＋＝0。(1)求a、b、c的值；(2)求证：△ABC是直角三角形，并求它的面积。 【题型10】折纸出等腰、绕柱找最短 折叠问题先找折叠前后相等的线段，设x后在一个直角三角形里列勾股方程；圆柱表面的最短路线要把侧面剪开铺平。长方形沿一条线折叠，常会出现等腰三角形。 例1　如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠（点E在AD上，点F在BC上），使点C与点A重合，点D落在点D'处。已知AB＝12，BC＝18。(1)求BF的长；(2)求证：△AEF是等腰三角形，并求它的面积。 【分析】折叠后AF＝CF，设BF＝x，在直角三角形ABF中列勾股方程；AD∥BC与折叠的等角合起来得到等腰三角形。 【解答】(1)设BF＝x，则CF＝AF＝18－x。在直角三角形ABF中，x²＋12²＝(18－x)²，解得x＝5，BF＝5，AF＝13。 (2)由折叠得∠AFE＝∠CFE。因为AD∥BC，所以∠AEF＝∠CFE，于是∠AEF＝∠AFE，AE＝AF＝13（等角对等边），△AEF是等腰三角形。 △AEF的面积＝AE×AB÷2＝13×12÷2＝78。 【方法小结】长方形沿一条线折叠，“平行＋折叠”必出等腰三角形；求线段先设x再列勾股方程。 题型10　变式：折纸出等腰、绕柱找最短 三道变式考圆柱侧面绕半圈的最短路线、岸边取点使距离和最小，以及缠绕两圈的彩灯带。 变式1　如图，甲虫停在圆柱形保温桶桶底边缘的点A处，想沿桶身侧面爬到桶顶边缘的点B，A、B隔着桶正对（分别在轴线两侧，且与轴线在同一平面内）。量得桶高30 cm，桶身周长32 cm，甲虫爬行的最短路程是（　　）。 A． cm B．46 cm C．34 cm D．62 cm 变式2　如图，河岸看作一条直线，河的同侧有两座果园A、B，AC⊥河岸，BD⊥河岸，AC＝1.5 km，BD＝2.5 km，C、D相距3 km。在岸边找一处抽水点P分别向A、B铺水管，管道总长PA＋PB最短为________km。 变式3　如图，灯柱呈圆柱形，其高是1.6 m，底面圆的周长等于0.6 m。在下底面上取一点A，彩灯带自A起贴着柱侧面均匀缠绕2圈，到上底面上与A位于同一条竖直线上的点B为止。问这条彩灯带的最短长度是多少（单位：m）？ 【题型11】方格纸中的勾股定理与面积法 方格纸上不在格线上的线段，都看成某个直角三角形的斜边；求格点三角形面积，把它补成长方形再减去周围的直角三角形。 例1　如图，格点△ABC画在单位方格纸上（小方格的边长记为1）。(1)算出三边长的平方AB²、BC²、AC²；(2)求证：△ABC是等腰直角三角形，并求它的面积。 【分析】每条边都不在格线上，都看成某个直角三角形的斜边，数出水平、竖直方向的格数。 【解答】(1)AB²＝2²＋3²＝13，BC²＝3²＋2²＝13，AC²＝5²＋1²＝26。 (2)AB²＝BC²，所以AB＝BC；AB²＋BC²＝26＝AC²，所以∠ABC＝90°（勾股定理的逆定理），△ABC是等腰直角三角形。 面积＝AB×BC÷2＝AB²÷2＝13÷2＝6.5。 【方法小结】格点三角形先算三边的平方，再用逆定理判定形状。 题型11　变式：方格纸中的勾股定理与面积法 三道变式考格点线段长度的可能值、面积法求斜边上的高，以及按指定边长画格点三角形。 变式1　小方格边长为1的网格中，一条线段的两个端点都取在格点上，这条线段的长度可能是（　　）。 A． B． C． D． 变式2　一块直角三角形玻璃片，量得两条直角边分别长2.7 dm和3.6 dm，它最长的边长________dm，这条边上的高为________dm。 变式3　如图，点A是一个格点，网格里每一小格都是边长为1的正方形。(1)以A为一个顶点，画一个三个顶点都是格点的△ABC，使AB＝，BC＝，AC＝；(2)求所画△ABC的面积。 【题型12】测速、飞行与云梯：用勾股定理解实际问题 实际问题先找直角，把已知量放进直角三角形；有两个直角三角形共用一条直角边时分别计算，再注意单位换算。 例1　如图，测速仪A安装在笔直公路旁，到公路的距离AD＝21 m。一辆汽车经过公路上的点B时，测得AB＝35 m；4 s后汽车到达点D另一侧的点C，测得AC＝75 m。(1)求B、C两点间的距离；(2)这段路限速80 km/h，求汽车的平均速度，并与限速比较。 【分析】AD⊥BC，B、C在点D两侧，分别在两个直角三角形中求BD和DC。 【解答】(1)在直角三角形ADB中，BD＝＝＝28（m）；在直角三角形ADC中，DC＝＝＝72（m）。BC＝28＋72＝100（m）。 (2)平均速度为100÷4＝25（m/s），25 m/s＝25×3.6 km/h＝90 km/h，90＞80，汽车超过了限速。 【方法小结】实际问题先找直角，把已知量放进直角三角形，再注意单位换算。 题型12　变式：测速、飞行与云梯：用勾股定理解实际问题 三道变式考两棵树之间的飞行距离、正方形草坪沿对角线少走的路，以及消防车云梯的长度与调整。 变式1　如图，一只小鸟从高11 m的树顶A飞到另一棵高3.8 m的树顶B，两棵树之间的距离CD＝9.6 m，小鸟至少飞行（　　）。 A．12 m B．16.8 m C．14.6 m D．7.2 m 变式2　一块正方形草坪的面积为800 m²，从一个顶点沿对角线走到相对的顶点，比沿两条边走少走约________m（结果精确到0.1 m）。 变式3　如图，消防车云梯的底端O离地面2.5 m，与大楼墙面的水平距离OC＝10.5 m，云梯OA的顶端A恰好到达离地面16.5 m的窗口。(1)求云梯OA的长；(2)云梯长度不变，要让顶端到达离地面19.3 m的窗口，云梯底端到墙面的水平距离应为多少米？ 　易错专练 下面7题集中在期中复习最容易丢分的地方：直角三角形没分清斜边、“的平方根”看错对象、由平方求原数漏负值、钝角三角形的高落在外部、近似数带单位时的精确位、算术平方根写成负数、等腰三角形不检验三边关系。先自己做，再对照解析里的错误示例和错因。 1．4与7是某个直角三角形的两条边长，该三角形的第三条边长为（　　）。 A． B．或 C． D．11 2．的平方根是________。 3．若x²＝(－2.5)²，则x的值是（　　）。 A．2.5 B．－2.5 C．6.25 D．±2.5 4．一块三角形铁片ABC，量得AB＝20 cm，AC＝13 cm，点A到BC所在直线的距离为12 cm。求BC的长。 5．若一个数的近似表示是3.60万，那么它精确到了________位。 6．若a＝－0.7，则－a的值是（　　）。 A．1.4 B．0 C．－1.4 D．1.19 7．腰和底没有指明的等腰三角形，已知其中两边长为5和11，它的周长是________。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题覆盖三章必会的基本概念与计算：三边关系、算术平方根与立方根、30°角的性质、勾股计算、估算，以及一道全等证明。 1．已知三条线段的长度如下，可以作为同一个三角形三条边的一组是（　　）。 A．2，3，5 B．4，6，11 C．5，7，11 D．1.5，2.5，4.5 2．0.81的算术平方根是（　　）。 A．±0.9 B．0.9 C．0.09 D．0.405 3．直角三角形中有一个30°的锐角，斜边长11，那么30°角对面的那条直角边长（　　）。 A．22 B．11 C． D．5.5 4．计算∛(-64)－，结果为（　　）。 A．－9 B．1 C．－1 D．－29 5．∛(-0.125)＝________，＝________。 6．一个三角形中，两条边的长度分别为6和10，设第三条边的长度为x，则x的取值范围是________。 7．若一个直角三角形的斜边为c，两条直角边分别是0.8和1.5，则c＝________。 8．在两个相邻整数________和________之间。 9．(1)计算：＋∛(-0.008)－；(2)解方程：(x－2)²＝2.25。 10．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC与DB相交于点O。(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)若∠ACB＝35°，求∠BOC的度数。 　课后作业（二）能力进阶 下面9题把两章的知识接起来用：等腰三角形的外高、夹逼估算、角平分线的性质、开立方求表面积、格点正方形、全等与勾股、按比例求边长、等腰三角形中的面积法和数轴上作无理数。 1．等腰三角形的底角为15°，腰长为8，则腰上的高为（　　）。 A．8 B．2 C．4 D．16 2．若a、b是两个连续整数，且a＜＜b，则a＋b的值为（　　）。 A．17 B．181 C．9.5 D．19 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝16，BD∶DC＝5∶3，则点D到AB的距离为________。 4．一个正方体的体积是0.729 m³，它的表面积是________m²。 5．如图，正方形ABCD的四个顶点都落在单位方格纸的格点上（小方格边长为1），这个正方形的面积为________。 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O。(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝17，BD＝15，求AD的长和△ABC的面积。 7．一块长方形电子屏的面积为1.92 m²，长与宽之比为4∶3。(1)求这块电子屏的长和宽；(2)求电子屏对角线的长。 8．如图，一顶帐篷的截面是△ABC，AB＝AC＝2.5 m，底宽BC＝4 m，AD⊥BC于点D，从点D向AB拉一根撑杆DE，DE⊥AB于点E。(1)求帐篷的高AD；(2)求撑杆DE的长。 9．(1)在数轴上作出表示的点（保留作图痕迹）；(2)比较与5.4的大小。 　课后作业（三）拓展延伸 下面7题需要多想一步：面积法求垂线段的和、30°角与斜边中线、配方后判直角、旋转型全等与勾股、格点三角形的面积、隧道限高，以及等腰三角形中点的位置分类。 1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P为BC边上任意一点；分别过P向AB、AC作垂线，垂足为E、F。此时PE＋PF的值是（　　）。 A．8 B．9.6 C．4.8 D．19.2 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的中线，BC＝4.6，则△BCD的周长为________。 3．若△ABC的三边长a、b、c满足a²＋b²＋c²＋3042＝30a＋72b＋78c，则△ABC的面积为________。 4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，连接CE。(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)若BD＝2.8，DC＝4.5，求DE的长。 5．如图，小明在练习本的方格纸上描出三个格点A、B、C，连成三角形（每格边长看作1）。(1)求出三边AB、BC、AC各自的长；(2)求△ABC的面积。 6．如图，某隧道的截面由长方形和半圆构成，O为半圆圆心；长方形宽4 m、高1.5 m，且半圆的直径与长方形宽相等。现有一辆宽2.4 m的货车沿隧道中线通行。(1) 求货车车厢两侧边沿竖直向上到隧道顶部的交点距地面的高度；(2) 当车厢最高点到隧道顶部的竖直距离不得少于0.1 m时，装货后的货车高度上限是多少米？ 7．在△ABC中，AB＝AC＝17，BC边上的高AD＝8，点P在BC上，且PA＝10。求BP的长。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版·八年级上册·期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共81题）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册 苏科版（2024年版）八年级数学上册　期中复习　第1章 三角形　第2章 实数的初步认识　第3章 勾股定理 含 12 个考点例题　/　共 81 题（变式 36 · 易错 7 · 作业 26）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能用三边关系求第三边的取值范围与整数解，会用内角和、外角关系连续求角；能按条件在SAS，ASA，AAS，SSS，HL中选判定方法写全等证明。 2．会用线段垂直平分线、角平分线的性质定理与逆定理转移线段；会用等边对等角、等角对等边、三线合一处理等腰三角形，并对腰与底、顶角与底角分类讨论；会用30°角所对直角边等于斜边一半、斜边上的中线等于斜边一半求线段。 3．能区分平方根、算术平方根、立方根，会开平方、开立方解方程；会把实数分成有理数与无理数，求实数的相反数与绝对值，在数轴上作出表示这类数的点；会用相邻平方数估算无理数，按要求取近似值。 4．会用勾股定理由两边求第三边、用面积法求斜边上的高，用逆定理判定直角三角形；会解折叠、圆柱表面最短路线、方格纸格点图形与测量、测速等实际问题。 学习重难点 重点：全等三角形的判定与等腰三角形的性质、判定；平方根与立方根、实数的分类与估算；勾股定理及其逆定理、折叠与最短路线。 难点：等腰三角形、钝角三角形的高要分类讨论并检验三边关系；两边及一边对角不能判定全等；“的平方根”要先算；已知两边求第三边时要分清斜边；折叠问题要先找相等线段再设x列勾股方程。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　三角形的三边关系与内角、外角 2 知识点 02　全等三角形的判定：三个基本事实、一个推论、一个定理 3 知识点 03　线段的垂直平分线与角的平分线 3 知识点 04　等腰三角形与直角三角形的性质 4 知识点 05　平方根与立方根 4 知识点 06　实数的分类与数轴 5 知识点 07　无理数的估算与近似值 5 知识点 08　勾股定理 5 知识点 09　勾股定理的逆定理与勾股数 6 知识点 10　勾股定理的简单应用：折叠与最短路线 6 知识点 11　方格纸中的线段与面积法 7 考点 1　三边关系定范围、外角连环求角 7 考点 2　全等三角形的判定方法与应用 8 考点 3　线段垂直平分线与角平分线的性质 10 考点 4　等腰三角形中的边角互推与分类讨论 11 考点 5　含30°角的直角三角形与斜边上的中线 12 考点 6　开平方、开立方与由面积求边长 13 考点 7　无理数的识别与数轴上的实数 14 考点 8　无理数的估算与近似值 15 考点 9　勾股定理的计算与逆定理的判定 16 考点 10　折纸出等腰、绕柱找最短 17 考点 11　方格纸中的勾股定理与面积法 19 考点 12　测速、飞行与云梯：用勾股定理解实际问题 20 易错专练 21 课后作业（一）基础巩固 22 课后作业（二）能力进阶 23 课后作业（三）拓展延伸 24 参考答案与解析 25 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　三角形的三边关系与内角、外角 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两边长a、b（a＞b）时，第三边x满足a－b＜x＜a＋b；判断三条线段能否围成三角形，只需看较短两条之和是否大于最长的一条。三角形三个内角的和等于180°；外角的度数恰好是和它不相邻的两个内角度数之和，所以外角比这两个内角中的任何一个都大。如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝∠A＋∠B。即时小例：两边长为3和8的三角形，第三边长在5与11之间。小提示：求三边关系中的整数解时，两个端点都取不到。 a－b＜x＜a＋b ∠ACD＝∠A＋∠B 知识点　02　全等三角形的判定：三个基本事实、一个推论、一个定理 两个三角形若能完全重合，就称它们为全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角也相等。教材先列出三个基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。又由ASA可得推论：两角分别相等，并且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等（AAS）。直角三角形另有一条定理：若两个直角三角形的斜边与一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等（HL）。写全等式时，对应顶点要写在对应位置上。小提示：两边及其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等。 SAS，ASA，SSS（基本事实） AAS（推论），HL（定理） 知识点　03　线段的垂直平分线与角的平分线 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM＝PN。三角形三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等；三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等。小提示：点到直线的距离是垂线段的长，用角平分线的性质前先画出垂线段。 点到线段两端距离相等⇔点在线段的垂直平分线上 OC平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB⇒PM＝PN 知识点　04　等腰三角形与直角三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一）；有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。等边三角形的三个角都等于60°，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即时小例：斜边长为9.4的直角三角形，斜边上的中线长4.7。小提示：已知等腰三角形的一个角或一条边而没有说明是顶角（腰）还是底角（底）时，要分类讨论并检验三边关系。 AB＝AC⇔∠B＝∠C AB＝AC，AD⊥BC⇒BD＝DC，∠BAD＝∠CAD 知识点　05　平方根与立方根 如果x²＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根；正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。正数a的正的平方根叫作a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，并且＝a（a≥0）。如果x³＝a，那么x叫作a的立方根，记作∛a；每个数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。即时小例：0.0049的平方根是±0.07，－343的立方根是－7。小提示：“的平方根”要先把算出来，再求它的平方根。 x²＝a（a≥0）⇒x＝± x³＝a⇒x＝∛a 知识点　06　实数的分类与数轴 无限不循环小数叫作无理数，如π、、0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1）；有理数和无理数统称实数。实数与数轴上的点一一对应，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。实数的相反数、绝对值的意义与有理数相同：a的相反数是－a；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即时小例：1－的相反数是－1，|1－＝－1。小提示：带根号的数不一定是无理数，如＝3；分数都是有理数。 实数＝有理数＋无理数 a＜0时|a|＝－a 知识点　07　无理数的估算与近似值 估算无理数的大小，先找出与被开方数相邻的两个完全平方数。例如49＜53＜64，所以7＜＜8，的整数部分是7，小数部分是－7；再比较7.2²＝51.84，7.3²＝53.29，得7.2＜＜7.3。近似数与准确数的接近程度用“精确到”哪一位来表示，按四舍五入取到哪一位就说精确到哪一位，例如3.1415926精确到0.01是3.14。小提示：精确到0.01的近似数末尾的0不能省略，如2.50不能写成2.5。 m²＜a＜(m+1)²⇒m＜＜m+1 小数部分＝－整数部分 知识点　08　勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a²＋b²＝c²。已知两边可求第三边：c＝，a＝。我国古代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，思路是用两种方法表示同一个正方形的面积。即时小例：两条直角边为0.9和4的直角三角形，斜边为＝4.1。小提示：先找准直角，直角所对的边才是斜边。 a²＋b²＝c²（c为斜边） c＝ 知识点　09　勾股定理的逆定理与勾股数 如果三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，并且边c所对的角是直角，这是勾股定理的逆定理。能成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数，如3，4，5。判定步骤：先找出最长边，再计算另外两边的平方和，与最长边的平方比较，相等才是直角三角形。即时小例：三边为1.4，4.8，5时，1.96＋23.04＝25，这个三角形是直角三角形。小提示：直角是最长边所对的角，写直角时注意顶点字母。 a²＋b²＝c²⇒∠C＝90° 勾股数：三个正整数 知识点　10　勾股定理的简单应用：折叠与最短路线 折叠问题：折叠前后的两部分图形全等，对应线段相等、对应角相等；把要求的线段设为x，用含x的式子表示一个直角三角形的三边，再由勾股定理列方程。最短路线问题：立体图形表面上的路线，要把相关的面剪开铺平成平面图形，再用“两点之间的所有连线中，线段最短”，并用勾股定理求线段长；圆柱侧面剪开后是长方形，一边是圆柱的高，另一边是底面周长。即时小例：沿侧面绕半圈，底面周长为10、高为6的圆柱上的最短路线长＝。小提示：长方体表面的路线要比较几种铺平方式，取最小的一个。 设用x表示三边→列勾股方程 圆柱侧面：长方形（高，底面周长） 知识点　11　方格纸中的线段与面积法 方格纸上小正方形的边长取1时，格点之间连线的长度都能用勾股定理算出。如图，线段MN水平方向3格、竖直方向5格，长为＝，这样就能画出长为这类无理数的线段，再用圆规转移到数轴上。求格点三角形的面积，常把它补成一个长方形，再减去周围几个直角三角形的面积。直角三角形斜边上的高＝两条直角边的乘积÷斜边。小提示：不在格线上的边不能直接数格子，要用勾股定理计算。 格点线段长＝ 斜边上的高＝ab÷c 【题型1】三边关系定范围、外角连环求角 三边关系管“能不能围成、第三边在什么范围”，内角和与外角管“角怎么连着算”。角平分线与外角放在一起时，先找外角，再用“外角等于不相邻两内角的和”。 例1　如图，在△DEF中，∠D＝64°，∠DEF＝48°，点G在EF的延长线上，∠DEF的平分线与∠DFG的平分线相交于点H。(1)求∠H的度数；(2)求∠DFH的度数。 【分析】∠DFG是△DEF的外角，∠HFG又是△EFH的外角，两次用“外角等于与它不相邻的两个内角的和”。 【解答】(1)∠DFG＝∠D＋∠DEF＝64°＋48°＝112°。因为FH平分∠DFG，所以∠HFG＝56°；因为EH平分∠DEF，所以∠HEF＝24°。 ∠HFG是△EFH的外角，所以∠H＝∠HFG－∠HEF＝56°－24°＝32°。 (2)∠DFH＝∠HFG＝56°。 【方法小结】两条角平分线的交角可以用两次外角关系求出，本题中∠H恰好等于∠D的一半。 题型1　变式：三边关系定范围、外角连环求角 三道变式把三边关系和无理数估算、平方根放在一起，也有一道外角与方程联用的求角题。 变式1　把长为和的两根细线与第三根细线首尾相接围成三角形，第三根线的长是整数，它可取的整数值共有（　　）。 A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 变式2　如图，在△PQR中，点T在QR的延长线上，∠PRT＝140°，∠P比∠Q大20°，则∠P＝________°。 变式3　一个三角形的三边长分别为4，7，c，且c的算术平方根是整数。求c的值和这个三角形的周长。 【题型2】全等三角形的判定方法与应用 写全等证明分三步：先认准两个三角形，再按顺序摆出三个条件，最后写判定方法。见到三角形的中线，要想到把中线延长一倍构造全等；直角三角形还多一个HL。 例1　如图，AD是△ABC的中线，已知AB＝20，AC＝12，AD＝8。延长AD至点E，令ED＝AD，并连接BE。(1)求证：△ADC≌△EDB；(2)求△ABC的面积。 【分析】中线给出BD＝CD，延长AD一倍给出AD＝ED，再加一组对顶角，可用SAS；全等后BE＝AC，△ABE的三边都已知，用勾股定理的逆定理判定直角。 【解答】(1)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD。在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB（对顶角相等），CD＝BD，所以△ADC≌△EDB（SAS）。 (2)由(1)得BE＝AC＝12，又AE＝2AD＝16。BE²＋AE²＝144＋256＝400＝20²＝AB²，所以∠E＝90°（勾股定理的逆定理）。 △ABC的面积＝△ABD的面积＋△ADC的面积＝△ABD的面积＋△EDB的面积＝△ABE的面积＝12×16÷2＝96。 【方法小结】见三角形的中线，常把中线延长一倍构造一对全等三角形，把分散的边集中到一个三角形里，再用勾股定理或其逆定理计算。 题型2　变式：全等三角形的判定方法与应用 三道变式依次考判定方法的取舍、用HL转移边再算勾股，以及等腰三角形中的SAS与勾股计算。 变式1　如图，在△GHK与△UVW中，已知GH＝UV，∠H＝∠V。再补充下面哪一个条件后，仍不能判定△GHK≌△UVW（　　）。 A．HK＝VW B．∠G＝∠U C．∠K＝∠W D．GK＝UW 变式2　如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，AC＝48，CB＝55，则BD＝________，AB＝________。 变式3　如图，在△GHK中，GH＝GK，点M、N在边HK上，且HM＝KN，连接GM、GN。(1)求证：GM＝GN；(2)若GH＝20，HK＝32，HM＝7，求GM的长。 【题型3】线段垂直平分线与角平分线的性质 垂直平分线负责“到两端距离相等”，角平分线负责“到两边距离相等”。用角平分线的性质前先作垂线段，再借HL把一条边转移过去，最后在另一个直角三角形里列勾股方程。 例1　如图，在△PQR中，∠PRQ＝90°，PR＝14，QR＝48，PS平分∠QPR，交QR于点S，SK⊥PQ，垂足为K。(1)求PQ的长；(2)求RS的长。 【分析】点S在∠QPR的平分线上，它到PR、PQ的距离相等，即SR＝SK；再由全等得PK＝PR，把KQ算出来，在直角三角形SKQ中用勾股定理列方程。 【解答】(1)PQ＝＝＝＝50。 (2)因为PS平分∠QPR，SR⊥PR，SK⊥PQ，所以SK＝SR（角平分线的性质定理）。在直角三角形PRS和直角三角形PKS中，PS＝PS，SR＝SK，所以两个三角形全等（HL），PK＝PR＝14，KQ＝50－14＝36。 设RS＝x，则SK＝x，SQ＝48－x。在直角三角形SKQ中，x²＋36²＝(48－x)²，解得x＝10.5。 【方法小结】角平分线＋垂线段：先得到相等的垂线段，再用HL转移一条边，最后在另一个直角三角形里列勾股方程。 题型3　变式：线段垂直平分线与角平分线的性质 三道变式分别考垂直平分线与角平分线合用求角、角平分线求面积，以及到三个顶点距离相等的点的作法。 变式1　如图，△ABC中，AB上有一点E，BC上有一点D，连接AD；已知DE垂直平分AB，AD平分∠BAC，∠B＝33°，则∠C的度数为（　　）。 A．81° B．114° C．57° D．66° 变式2　如图，在△GHK中，∠GHK＝90°，GM平分∠HGK，交HK于点M，HM＝4.5，GK＝15，则△GMK的面积为________。 变式3　如图，在△UVW中，∠UWV＝90°，UW＝10，WV＝24。(1)用直尺和圆规作出点O，使OU＝OV＝OW（保留作图痕迹）；(2)求OU的长。 【题型4】等腰三角形中的边角互推与分类讨论 等腰三角形里边与角互推：等边对等角、等角对等边，底边上的高线、中线、顶角平分线重合。已知条件没说腰还是底、顶角还是底角时，分类后还要检验三边关系。 例1　如图，在△MNP中，∠N＝∠P，MQ平分∠NMP，交NP于点Q。(1)求证：MQ⊥NP；(2)若MN＝6.5，NP＝5，求MQ的长。 【分析】由两个底角相等先得到等腰三角形，再用“三线合一”得垂直；第(2)问在直角三角形MQN中用勾股定理。 【解答】(1)因为∠N＝∠P，所以MN＝MP（等角对等边）。又MQ平分∠NMP，所以MQ⊥NP，NQ＝QP（三线合一）。 (2)NQ＝NP÷2＝2.5。在直角三角形MQN中，MQ＝＝＝＝6。 【方法小结】等角对等边与三线合一连用，是证明垂直、中点的常用路线。 题型4　变式：等腰三角形中的边角互推与分类讨论 三道变式考高在形内与形外的分类、用开方结果当边长的腰底讨论，以及120°等腰三角形中的等边三角形。 变式1　从等腰三角形ABC的底角顶点B向腰AC所在直线作高BD，BD与腰AB所成的角为28°，则顶角∠BAC的度数是（　　）。 A．62° B．118° C．62°或118° D．56° 变式2　∛64与恰好是某个等腰三角形两条边的长，这个三角形的周长为________。 变式3　如图，在△PQR中，PQ＝PR，∠QPR＝120°，点S、T在QR上，PS⊥PQ，PT⊥PR。(1)求证：△PST是等边三角形；(2)若QR＝12，求ST的长。 【题型5】含30°角的直角三角形与斜边上的中线 直角三角形有两条“一半”：30°角所对的直角边是斜边的一半，斜边上的中线是斜边的一半。两个直角三角形共用一条斜边时，连中线就得到等腰三角形。 例1　如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是对角线AC、BD的中点。(1)求证：MN⊥BD；(2)若AC＝34，BD＝30，求MN的长。 【分析】两个直角三角形共用斜边AC，斜边上的中线都等于AC的一半，于是MB＝MD，△MBD是等腰三角形。 【解答】(1)连接MB、MD。在直角三角形ABC中，MB＝AC÷2；在直角三角形ADC中，MD＝AC÷2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），所以MB＝MD。又N是BD的中点，所以MN⊥BD（三线合一）。 (2)MB＝34÷2＝17，BN＝30÷2＝15，在直角三角形MNB中，MN＝＝＝8。 【方法小结】同一条斜边上有两个直角顶点时，连接斜边中点与两个直角顶点，得到等腰三角形。 题型5　变式：含30°角的直角三角形与斜边上的中线 三道变式考角平分线与30°角连用、斜边中线与勾股定理连用，以及含30°角的直角三角形中的等边三角形。 变式1　如图，在△DEF中，∠F＝90°，∠D＝30°，EG平分∠DEF，交DF于点G。若DG＝6，则FG的长为（　　）。 A．6 B．3 C．12 D．2 变式2　如图，在直角三角形UVW中，∠UWV＝90°，X是斜边UV的中点，WX＝7.5，UW＝9，则WV＝________。 变式3　如图，在△GHK中，∠GHK＝90°，∠K＝30°，HM是斜边GK上的中线，GH＝3.6。(1)求证：GH＝HM＝GM；(2)求GK的长和△GHM的周长。 【题型6】开平方、开立方与由面积求边长 平方根成对出现、和为0；算术平方根非负；立方根唯一且与原数同号。开方解方程先把含未知数的整体化成“某式的平方（立方）等于常数”。 例1　正数m有两个平方根，它们是a＋3与2a－15。(1)求a和m的值；(2)一个直角三角形的两条直角边分别等于a和，求它的斜边长。 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，先列方程求a，再求m。 【解答】(1)由题意得(a＋3)＋(2a－15)＝0，解得a＝4。两个平方根为7和－7，m＝7²＝49。 (2)两条直角边为4和＝7，斜边长为＝。 【方法小结】“同一个正数的两个平方根”→两式相加等于0；求出的平方根还要平方才得到这个正数。 题型6　变式：开平方、开立方与由面积求边长 三道变式考立方根与算术平方根的混合计算、开立方解方程，以及由面积开平方再求斜放木棒的长。 变式1　－0.064的立方根与0.36的算术平方根的和是（　　）。 A．0.2 B．－1 C．1 D．－0.04 变式2　方程(2x－1)³＋＝0的解是x＝________。 变式3　一个圆柱形储水罐的底面积是19.625 dm²（π取3.14），高12 dm。(1)求它的底面半径；(2)罐内能斜放的细木棒最长是多少分米（木棒粗细不计）？ 【题型7】无理数的识别与数轴上的实数 无理数是无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应。在数轴上作表示的点，要把n拆成两个平方数的和，作直角三角形，再用圆规把斜边转移到数轴上。 例1　如图，数轴上的点O对应0，点A对应－4。以A为端点作线段AB，使AB与数轴垂直，且AB＝1。以O为圆心画弧，并让该弧经过点B，弧与数轴正半轴相交于点P。(1)求OB的长；(2)写出点P表示的数，并比较它与4.1的大小。 【分析】OB是直角三角形OAB的斜边，用勾股定理求；OP＝OB，再用平方比较大小。 【解答】(1)在直角三角形OAB中，OA＝4，AB＝1，OB＝＝。 (2)OP＝OB＝，点P在原点右侧，表示的数是。因为4.1²＝16.81＜17，所以＞4.1。 【方法小结】在数轴上作表示的点：把n拆成两个平方数的和，作以它们为直角边的直角三角形，再用圆规把斜边转移到数轴上。 题型7　变式：无理数的识别与数轴上的实数 三道变式考无理数的识别、含根号数的绝对值与相反数，以及数轴上两点间的距离与中点。 变式1　在－π/2，，∛(-27)，，，1.2121121112…（相邻两个2之间1的个数依次加1）这六个数中，无理数有（　　）。 A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 变式2　1.5－的绝对值是________，－2的相反数是________。 变式3　如图，在数轴上，1－和3分别用点M和点N表示。(1)求点M与点N之间的距离；(2)求线段MN中点所表示的数。 【题型8】无理数的估算与近似值 估算无理数先找两个相邻的完全平方数；整数部分加小数部分等于原数。近似值按四舍五入取到指定的位，末尾的0不能随意去掉。 例1　某直角三角形中，夹直角的两条边长度依次是5、7，将斜边记作c。(1)求c，并写出c的整数部分m；(2)设c的小数部分为n，求(m＋n)²－m²的值。 【分析】c是无理数，找与74相邻的两个完全平方数确定整数部分；m＋n恰好等于c。 【解答】(1)c＝＝。因为64＜74＜81，所以8＜＜9，整数部分m＝8。 (2)n＝－8，m＋n＝，(m＋n)²－m²＝74－64＝10。 【方法小结】整数部分＋小数部分＝这个数本身，求含小数部分的式子时先把它们合起来。 题型8　变式：无理数的估算与近似值 三道变式考含根号式子的估算、按要求取近似值，以及勾股计算后取近似值的实际问题。 变式1　＋3的值介于哪两个相邻整数之间（　　）。 A．6和7之间 B．8和9之间 C．25和26之间 D．9和10之间 变式2　取近似值时，0.0397精确到千分位为________，12.4962精确到0.01为________，均按四舍五入法处理。 变式3　一根长3 m的木条斜靠在竖直的墙上，木条底端离墙角1.4 m。求木条顶端离地面的高度（结果精确到0.1 m，可用计算器）。 【题型9】勾股定理的计算与逆定理的判定 勾股定理由两边求第三边，逆定理由三边判直角。四边形给出四边和一个直角时，连对角线：先用定理算，再用逆定理判。 例1　如图，四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA依次为9、12、8、17，且∠B=90°。求：(1)∠ACD的度数；(2)四边形ABCD的面积。 【分析】连接AC，先在直角三角形ABC中求AC，再用勾股定理的逆定理判断△ACD。 【解答】(1)AC＝＝＝15。在△ACD中，AC²＋CD²＝225＋64＝289＝17²＝DA²，所以△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°（勾股定理的逆定理）。 (2)四边形的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝9×12÷2＋15×8÷2＝54＋60＝114。 【方法小结】四边形给出四条边和一个直角时，连对角线：先用勾股定理算，再用逆定理判。 题型9　变式：勾股定理的计算与逆定理的判定 三道变式考逆定理的判定、由三边求面积，以及非负数和为0与逆定理的综合。 变式1　若△ABC的三边长a、b、c分别取下面各组值，∠C一定是直角的一组是（　　）。 A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝，b＝，c＝ C．a＝0.5，b＝1.2，c＝1.4 D．a＝6，b＝8，c＝12 变式2　如图，一块三角形铁皮PQR，量得PQ＝4.8，QR＝5.5，PR＝7.3，这块铁皮的面积为________。 变式3　如图，△ABC的三边BC＝a，CA＝b，AB＝c，且满足(a－＋|b－2|＋＝0。(1)求a、b、c的值；(2)求证：△ABC是直角三角形，并求它的面积。 【题型10】折纸出等腰、绕柱找最短 折叠问题先找折叠前后相等的线段，设x后在一个直角三角形里列勾股方程；圆柱表面的最短路线要把侧面剪开铺平。长方形沿一条线折叠，常会出现等腰三角形。 例1　如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠（点E在AD上，点F在BC上），使点C与点A重合，点D落在点D'处。已知AB＝12，BC＝18。(1)求BF的长；(2)求证：△AEF是等腰三角形，并求它的面积。 【分析】折叠后AF＝CF，设BF＝x，在直角三角形ABF中列勾股方程；AD∥BC与折叠的等角合起来得到等腰三角形。 【解答】(1)设BF＝x，则CF＝AF＝18－x。在直角三角形ABF中，x²＋12²＝(18－x)²，解得x＝5，BF＝5，AF＝13。 (2)由折叠得∠AFE＝∠CFE。因为AD∥BC，所以∠AEF＝∠CFE，于是∠AEF＝∠AFE，AE＝AF＝13（等角对等边），△AEF是等腰三角形。 △AEF的面积＝AE×AB÷2＝13×12÷2＝78。 【方法小结】长方形沿一条线折叠，“平行＋折叠”必出等腰三角形；求线段先设x再列勾股方程。 题型10　变式：折纸出等腰、绕柱找最短 三道变式考圆柱侧面绕半圈的最短路线、岸边取点使距离和最小，以及缠绕两圈的彩灯带。 变式1　如图，甲虫停在圆柱形保温桶桶底边缘的点A处，想沿桶身侧面爬到桶顶边缘的点B，A、B隔着桶正对（分别在轴线两侧，且与轴线在同一平面内）。量得桶高30 cm，桶身周长32 cm，甲虫爬行的最短路程是（　　）。 A． cm B．46 cm C．34 cm D．62 cm 变式2　如图，河岸看作一条直线，河的同侧有两座果园A、B，AC⊥河岸，BD⊥河岸，AC＝1.5 km，BD＝2.5 km，C、D相距3 km。在岸边找一处抽水点P分别向A、B铺水管，管道总长PA＋PB最短为________km。 变式3　如图，灯柱呈圆柱形，其高是1.6 m，底面圆的周长等于0.6 m。在下底面上取一点A，彩灯带自A起贴着柱侧面均匀缠绕2圈，到上底面上与A位于同一条竖直线上的点B为止。问这条彩灯带的最短长度是多少（单位：m）？ 【题型11】方格纸中的勾股定理与面积法 方格纸上不在格线上的线段，都看成某个直角三角形的斜边；求格点三角形面积，把它补成长方形再减去周围的直角三角形。 例1　如图，格点△ABC画在单位方格纸上（小方格的边长记为1）。(1)算出三边长的平方AB²、BC²、AC²；(2)求证：△ABC是等腰直角三角形，并求它的面积。 【分析】每条边都不在格线上，都看成某个直角三角形的斜边，数出水平、竖直方向的格数。 【解答】(1)AB²＝2²＋3²＝13，BC²＝3²＋2²＝13，AC²＝5²＋1²＝26。 (2)AB²＝BC²，所以AB＝BC；AB²＋BC²＝26＝AC²，所以∠ABC＝90°（勾股定理的逆定理），△ABC是等腰直角三角形。 面积＝AB×BC÷2＝AB²÷2＝13÷2＝6.5。 【方法小结】格点三角形先算三边的平方，再用逆定理判定形状。 题型11　变式：方格纸中的勾股定理与面积法 三道变式考格点线段长度的可能值、面积法求斜边上的高，以及按指定边长画格点三角形。 变式1　小方格边长为1的网格中，一条线段的两个端点都取在格点上，这条线段的长度可能是（　　）。 A． B． C． D． 变式2　一块直角三角形玻璃片，量得两条直角边分别长2.7 dm和3.6 dm，它最长的边长________dm，这条边上的高为________dm。 变式3　如图，点A是一个格点，网格里每一小格都是边长为1的正方形。(1)以A为一个顶点，画一个三个顶点都是格点的△ABC，使AB＝，BC＝，AC＝；(2)求所画△ABC的面积。 【题型12】测速、飞行与云梯：用勾股定理解实际问题 实际问题先找直角，把已知量放进直角三角形；有两个直角三角形共用一条直角边时分别计算，再注意单位换算。 例1　如图，测速仪A安装在笔直公路旁，到公路的距离AD＝21 m。一辆汽车经过公路上的点B时，测得AB＝35 m；4 s后汽车到达点D另一侧的点C，测得AC＝75 m。(1)求B、C两点间的距离；(2)这段路限速80 km/h，求汽车的平均速度，并与限速比较。 【分析】AD⊥BC，B、C在点D两侧，分别在两个直角三角形中求BD和DC。 【解答】(1)在直角三角形ADB中，BD＝＝＝28（m）；在直角三角形ADC中，DC＝＝＝72（m）。BC＝28＋72＝100（m）。 (2)平均速度为100÷4＝25（m/s），25 m/s＝25×3.6 km/h＝90 km/h，90＞80，汽车超过了限速。 【方法小结】实际问题先找直角，把已知量放进直角三角形，再注意单位换算。 题型12　变式：测速、飞行与云梯：用勾股定理解实际问题 三道变式考两棵树之间的飞行距离、正方形草坪沿对角线少走的路，以及消防车云梯的长度与调整。 变式1　如图，一只小鸟从高11 m的树顶A飞到另一棵高3.8 m的树顶B，两棵树之间的距离CD＝9.6 m，小鸟至少飞行（　　）。 A．12 m B．16.8 m C．14.6 m D．7.2 m 变式2　一块正方形草坪的面积为800 m²，从一个顶点沿对角线走到相对的顶点，比沿两条边走少走约________m（结果精确到0.1 m）。 变式3　如图，消防车云梯的底端O离地面2.5 m，与大楼墙面的水平距离OC＝10.5 m，云梯OA的顶端A恰好到达离地面16.5 m的窗口。(1)求云梯OA的长；(2)云梯长度不变，要让顶端到达离地面19.3 m的窗口，云梯底端到墙面的水平距离应为多少米？ 　易错专练 下面7题集中在期中复习最容易丢分的地方：直角三角形没分清斜边、“的平方根”看错对象、由平方求原数漏负值、钝角三角形的高落在外部、近似数带单位时的精确位、算术平方根写成负数、等腰三角形不检验三边关系。先自己做，再对照解析里的错误示例和错因。 1．4与7是某个直角三角形的两条边长，该三角形的第三条边长为（　　）。 A． B．或 C． D．11 2．的平方根是________。 3．若x²＝(－2.5)²，则x的值是（　　）。 A．2.5 B．－2.5 C．6.25 D．±2.5 4．一块三角形铁片ABC，量得AB＝20 cm，AC＝13 cm，点A到BC所在直线的距离为12 cm。求BC的长。 5．若一个数的近似表示是3.60万，那么它精确到了________位。 6．若a＝－0.7，则－a的值是（　　）。 A．1.4 B．0 C．－1.4 D．1.19 7．腰和底没有指明的等腰三角形，已知其中两边长为5和11，它的周长是________。 　课后作业（一）基础巩固 下面10题覆盖三章必会的基本概念与计算：三边关系、算术平方根与立方根、30°角的性质、勾股计算、估算，以及一道全等证明。 1．已知三条线段的长度如下，可以作为同一个三角形三条边的一组是（　　）。 A．2，3，5 B．4，6，11 C．5，7，11 D．1.5，2.5，4.5 2．0.81的算术平方根是（　　）。 A．±0.9 B．0.9 C．0.09 D．0.405 3．直角三角形中有一个30°的锐角，斜边长11，那么30°角对面的那条直角边长（　　）。 A．22 B．11 C． D．5.5 4．计算∛(-64)－，结果为（　　）。 A．－9 B．1 C．－1 D．－29 5．∛(-0.125)＝________，＝________。 6．一个三角形中，两条边的长度分别为6和10，设第三条边的长度为x，则x的取值范围是________。 7．若一个直角三角形的斜边为c，两条直角边分别是0.8和1.5，则c＝________。 8．在两个相邻整数________和________之间。 9．(1)计算：＋∛(-0.008)－；(2)解方程：(x－2)²＝2.25。 10．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC与DB相交于点O。(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)若∠ACB＝35°，求∠BOC的度数。 　课后作业（二）能力进阶 下面9题把两章的知识接起来用：等腰三角形的外高、夹逼估算、角平分线的性质、开立方求表面积、格点正方形、全等与勾股、按比例求边长、等腰三角形中的面积法和数轴上作无理数。 1．等腰三角形的底角为15°，腰长为8，则腰上的高为（　　）。 A．8 B．2 C．4 D．16 2．若a、b是两个连续整数，且a＜＜b，则a＋b的值为（　　）。 A．17 B．181 C．9.5 D．19 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝16，BD∶DC＝5∶3，则点D到AB的距离为________。 4．一个正方体的体积是0.729 m³，它的表面积是________m²。 5．如图，正方形ABCD的四个顶点都落在单位方格纸的格点上（小方格边长为1），这个正方形的面积为________。 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O。(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝17，BD＝15，求AD的长和△ABC的面积。 7．一块长方形电子屏的面积为1.92 m²，长与宽之比为4∶3。(1)求这块电子屏的长和宽；(2)求电子屏对角线的长。 8．如图，一顶帐篷的截面是△ABC，AB＝AC＝2.5 m，底宽BC＝4 m，AD⊥BC于点D，从点D向AB拉一根撑杆DE，DE⊥AB于点E。(1)求帐篷的高AD；(2)求撑杆DE的长。 9．(1)在数轴上作出表示的点（保留作图痕迹）；(2)比较与5.4的大小。 　课后作业（三）拓展延伸 下面7题需要多想一步：面积法求垂线段的和、30°角与斜边中线、配方后判直角、旋转型全等与勾股、格点三角形的面积、隧道限高，以及等腰三角形中点的位置分类。 1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P为BC边上任意一点；分别过P向AB、AC作垂线，垂足为E、F。此时PE＋PF的值是（　　）。 A．8 B．9.6 C．4.8 D．19.2 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的中线，BC＝4.6，则△BCD的周长为________。 3．若△ABC的三边长a、b、c满足a²＋b²＋c²＋3042＝30a＋72b＋78c，则△ABC的面积为________。 4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，连接CE。(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)若BD＝2.8，DC＝4.5，求DE的长。 5．如图，小明在练习本的方格纸上描出三个格点A、B、C，连成三角形（每格边长看作1）。(1)求出三边AB、BC、AC各自的长；(2)求△ABC的面积。 6．如图，某隧道的截面由长方形和半圆构成，O为半圆圆心；长方形宽4 m、高1.5 m，且半圆的直径与长方形宽相等。现有一辆宽2.4 m的货车沿隧道中线通行。(1) 求货车车厢两侧边沿竖直向上到隧道顶部的交点距地面的高度；(2) 当车厢最高点到隧道顶部的竖直距离不得少于0.1 m时，装货后的货车高度上限是多少米？ 7．在△ABC中，AB＝AC＝17，BC边上的高AD＝8，点P在BC上，且PA＝10。求BP的长。 　参考答案与解析 　题型1　变式：三边关系定范围、外角连环求角 变式1　【答案】C 【解析】因为2＜＜3，4＜＜5，所以－在1与2之间，＋在6与7之间。 由4.1²＝16.81＜17＜4.2²＝17.64，2.2²＝4.84＜5可得＋＞4.1＋2.2＝6.3，－＜4.2－2.2＝2，第三边x满足－＜x＜＋，整数x可取2，3，4，5，6，共5个，选C。 A：把、粗估成4和2，得2＜x＜6，按此错法真算得3个；B：下限按0计算，把1到6都算进去，按此错法真算得6个；D：误把较短边当作下限，由＜x＜＋数出3，4，5，6，按此错法真算得4个。 变式2　【答案】80 【解析】∠PRT是△PQR的外角，所以∠P＋∠Q＝140°。 又∠P－∠Q＝20°，两式相加得2∠P＝160°，∠P＝80°。 变式3　【答案】c＝4，周长为15；或c＝9，周长为20 【解析】由三边关系得7－4＜c＜7＋4，即3＜c＜11。 c的算术平方根是整数，c必须是完全平方数，在3与11之间的完全平方数只有4和9。 当c＝4时，周长为4＋7＋4＝15；当c＝9时，周长为4＋7＋9＝20。 　题型2　变式：全等三角形的判定方法与应用 变式1　【答案】D 【解析】补充GK＝UW后，已知条件是GH＝UV，GK＝UW，∠H＝∠V，而∠H不是GH与GK的夹角，是边GK所对的角，属于“两边及其中一边的对角分别相等”，不能判定全等，选D。 A：补上后是两边及其夹角，可用SAS判定；B：补上后是两角及其夹边，可用ASA判定；C：补上后是两角及其中一角的对边，可用AAS判定。 变式2　【答案】48；73 【解析】在直角三角形ACB和直角三角形DBC中，AB＝DC，CB＝BC，所以两个三角形全等（HL），BD＝AC＝48。 AB＝＝＝＝73。 变式3　【答案】(1)证明见解析；(2)GM＝15 【解析】(1)因为GH＝GK，所以∠H＝∠K（等边对等角）。在△GHM和△GKN中，GH＝GK，∠H＝∠K，HM＝KN，所以△GHM≌△GKN（SAS），GM＝GN。 (2)过点G作GD⊥HK于点D。因为GH＝GK，所以HD＝DK＝16（三线合一），GD＝＝＝12。 MD＝HD－HM＝16－7＝9，所以GM＝＝＝15。 　题型3　变式：线段垂直平分线与角平分线的性质 变式1　【答案】A 【解析】因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，∠BAD＝∠B＝33°。 AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2×33°＝66°，∠C＝180°－33°－66°＝81°，选A。 B：误把∠BAC当成33°，按此错法真算得114°；C：误把△ABC当成直角三角形，按此错法真算得57°；D：把∠BAC的度数当成∠C，按此错法真算得66°。 变式2　【答案】33.75 【解析】过点M作MN⊥GK于点N，由角平分线的性质定理得MN＝MH＝4.5。 △GMK的面积＝GK×MN÷2＝15×4.5÷2＝33.75。 变式3　【答案】(1)作法见解析（所作图形略）；(2)OU＝13 【解析】【作法】分别作线段UW、WV的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是点O（点O恰好落在斜边UV的中点上）。 理由：点O在UW的垂直平分线上，OU＝OW；点O在WV的垂直平分线上，OW＝OV，所以OU＝OV＝OW。 (2)UV＝＝＝26。点O是斜边UV的中点，OU＝UV÷2＝13（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。 　题型4　变式：等腰三角形中的边角互推与分类讨论 变式1　【答案】C 【解析】顶角为锐角时，高在三角形内部，顶角＝90°－28°＝62°；顶角为钝角时，高在三角形外部，顶角的邻补角＝90°－28°＝62°，顶角＝180°－62°＝118°。 所以顶角为62°或118°，选C。 A：只考虑了顶角是锐角的情形，按此错法真算得62°；B：只考虑了顶角是钝角的情形，按此错法真算得118°；D：误以为顶角是夹角的2倍，按此错法真算得56°。 变式2　【答案】22 【解析】∛64＝4，＝9。 若腰长为4，则4＋4＜9，不能围成三角形；若腰长为9，三边为9，9，4，能围成三角形，周长为9＋9＋4＝22。 变式3　【答案】(1)证明见解析；(2)ST＝4 【解析】(1)PQ＝PR，∠QPR＝120°，所以∠Q＝∠R＝30°。在直角三角形QPS中，∠PSQ＝90°－30°＝60°；同理∠PTR＝60°。 △PST中有两个角都是60°，所以第三个角也是60°，△PST是等边三角形。 (2)∠QPT＝120°－90°＝30°＝∠Q，所以TQ＝TP；同理SR＝SP。又PS＝PT＝ST，所以QT＝TS＝SR，ST＝12÷3＝4。 　题型5　变式：含30°角的直角三角形与斜边上的中线 变式1　【答案】B 【解析】∠DEF＝90°－30°＝60°，EG平分∠DEF，∠DEG＝∠GEF＝30°＝∠D，所以EG＝DG＝6（等角对等边）。 在直角三角形EFG中，∠GEF＝30°，所以FG＝EG÷2＝3，选B。 A：误以为FG＝DG；C：误把30°角的性质反着用，按此错法真算得12；D：误以为FG是DG的三分之一，按此错法真算得2。 变式2　【答案】12 【解析】WX是斜边上的中线，UV＝2WX＝15。 WV＝＝＝＝12。 变式3　【答案】(1)证明见解析；(2)GK＝7.2，周长为10.8 【解析】(1)∠G＝90°－30°＝60°。HM是斜边上的中线，所以HM＝GM＝GK÷2，△GHM是有一个角为60°的等腰三角形，因此是等边三角形。 (2)∠K＝30°，所以GH＝GK÷2，GK＝2×3.6＝7.2。 △GHM的三边都等于3.6，周长为3×3.6＝10.8。 　题型6　变式：开平方、开立方与由面积求边长 变式1　【答案】A 【解析】∛(-0.064)＝－0.4，＝0.6，和为－0.4＋0.6＝0.2，选A。 B：把0.36的算术平方根错取为－0.6，按此错法真算得－1；C：把－0.064的立方根错写成0.4，按此错法真算得1；D：忘记对0.36开平方，按此错法真算得－0.04。 变式2　【答案】 【解析】移项得(2x－1)³＝，开立方得2x－1＝，所以x＝。 变式3　【答案】(1)2.5 dm；(2)13 dm 【解析】(1)设底面半径为r dm，3.14r²＝19.625，r²＝6.25，r＝2.5（负值舍去）。 (2)底面直径为5 dm，最长的木棒一端在底面圆周上，另一端在顶面圆周上与之正对的点，长为＝＝13（dm）。 　题型7　变式：无理数的识别与数轴上的实数 变式1　【答案】A 【解析】＝1.2，∛(-27)＝－3，是分数，它们都是有理数；－π/2，，1.2121121112…是无理数，共3个，选A。 B：漏掉了无限不循环小数1.2121121112…，按此只数出2个；C：误把分数当成无理数，数出4个；D：把和都算作无理数，数出5个。 变式2　【答案】－1.5；2－ 【解析】因为1.7²＝2.89＜3，所以＞1.7＞1.5，1.5－＜0，|1.5－＝－1.5。 －2的相反数是－2)＝2－。 变式3　【答案】(1)MN＝2＋；(2)中点表示 【解析】(1)点N在点M的右侧，MN＝3－(1－＝2＋。 (2)中点表示的数是两端表示的数的和的一半：(1－＋3)÷2＝。 　题型8　变式：无理数的估算与近似值 变式1　【答案】D 【解析】因为36＜45＜49，所以6＜＜7，9＜＋3＜10，选D。 A：只估计了，忘记加3；B：把误估成5点几，再加3；C：把当成45÷2＝22.5，再加3得25.5。 变式2　【答案】0.040；12.50 【解析】0.0397精确到千分位，看万分位上的7，向前进一，得0.040，末尾的0不能省略。 12.4962精确到0.01，看千分位上的6，向前进一，得12.50。 变式3　【答案】约2.7 m 【解析】木条、墙、地面围成直角三角形，木条是斜边。 高度＝＝＝≈2.653，精确到0.1 m约为2.7 m。 　题型9　变式：勾股定理的计算与逆定理的判定 变式1　【答案】B 【解析】＋＝6＋7＝13＝，能组成直角三角形，选B；其余各组较短两边的平方和都不等于最长边的平方。 A：4＋9＝13≠16；C：0.25＋1.44＝1.69≠1.96；D：36＋64＝100≠144。 变式2　【答案】13.2 【解析】PQ²＋QR²＝23.04＋30.25＝53.29＝7.3²＝PR²，所以∠Q＝90°（勾股定理的逆定理）。 面积为4.8×5.5÷2＝13.2。 变式3　【答案】(1)a＝，b＝2，c＝3；(2)证明见解析，面积为 【解析】(1)三个非负数的和为0，每个都为0：a－＝0，b－2＝0，c－3＝0，所以a＝，b＝2，c＝3。 (2)a²＋b²＝5＋4＝9＝c²，由勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，∠C＝90°。 面积为a×b÷2＝×2÷2＝。 　题型10　变式：折纸出等腰、绕柱找最短 变式1　【答案】C 【解析】把侧面沿过A的高剪开铺平，A、B之间的水平距离是底面周长的一半16 cm，竖直距离是30 cm。 最短路程＝＝＝34（cm），选C。 A：把整个底面周长当成展开图的一边，按此错法真算得 cm；B：先绕半圈再竖直向上爬，按此错法真算得46 cm；D：绕一整圈再加高，按此错法真算得62 cm。 变式2　【答案】5 【解析】作点A关于河岸的对称点A'，则PA＝PA'，PA＋PB＝PA'＋PB≥A'B，连接A'B与河岸的交点就是P。 A'B是一个直角三角形的斜边，两条直角边为CD＝3和AC＋BD＝4，A'B＝＝5（km）。 变式3　【答案】2 m 【解析】把灯柱侧面展开，每缠1圈上升1.6÷2＝0.8（m），水平方向走一个底面周长0.6 m。 每圈最短为＝1（m），2圈共2 m。 　题型11　变式：方格纸中的勾股定理与面积法 变式1　【答案】B 【解析】以格点为端点的线段长为（m、n为整数），10＝1×1＋3×3，所以能画出，选B。 A：7不能写成两个整数的平方和；C：11不能写成两个整数的平方和；D：15不能写成两个整数的平方和。 变式2　【答案】4.5；2.16 【解析】斜边长为＝＝＝4.5。 由面积相等，斜边上的高＝2.7×3.6÷4.5＝2.16。 变式3　【答案】(1)作法见解析（所作图形略）；(2)面积为3.5 【解析】【作法】从A向右2格、向上1格得格点B，AB＝＝；从B向右1格、向下3格得格点C，BC＝＝；此时AC水平3格、竖直2格，AC＝＝，连接AB、BC、CA。 (2)补成水平3格、竖直3格的正方形，面积为3×3－2×1÷2－1×3÷2－3×2÷2＝9－1－1.5－3＝3.5。 　题型12　变式：测速、飞行与云梯：用勾股定理解实际问题 变式1　【答案】A 【解析】过B作BE⊥AC于点E，AE＝11－3.8＝7.2（m），BE＝CD＝9.6 m。 AB＝＝＝12（m），选A。 B：把高度差和水平距离直接相加，按此错法真算得16.8 m；C：忘记减去矮树的高度，按此错法真算得14.6 m；D：只算了两树的高度差，按此错法真算得7.2 m。 变式2　【答案】16.6 【解析】边长为 m，沿两条边走≈56.569（m）。 对角线长为＝＝40（m），少走约56.569－40＝16.569≈16.6（m）。 变式3　【答案】(1)17.5 m；(2)4.9 m 【解析】(1)AC＝16.5－2.5＝14（m），OA＝＝＝17.5（m）。 (2)此时顶端比云梯底端高19.3－2.5＝16.8（m），水平距离为＝＝4.9（m）。 　易错专练 1．【答案】B 【解析】【错解】认定4和7是两条直角边，第三边为＝，只写一个答案。（错误示例） 【错因】题目没说7是直角边还是斜边，漏掉了7为斜边的情形。 【正解】4、7都是直角边时，第三边为；7是斜边时，第三边为＝。第三边长为或，选B。 A：【错解】直接把4和7当作两条直角边，按此错法真算得；C：只考虑了7是斜边，按此错法真算得；D：把两边直接相加，按此错法真算得11。 2．【答案】± 【解析】【错解】的平方根是±。（错误示例） 【错因】把“的平方根”看成了“的平方根”。 【正解】＝，的平方根是±。 3．【答案】D 【解析】【错解】由x²＝(－2.5)²直接两边“去平方”，得x＝－2.5。（错误示例） 【错因】平方等于6.25的数有两个，它们互为相反数，只写一个就漏了解。 【正解】(－2.5)²＝6.25，x是6.25的平方根，x＝±2.5，选D。 A：只取了算术平方根，按此错法真算得2.5；B：照抄括号里的数，按此错法真算得－2.5；C：把x当成(－2.5)²本身，按此错法真算得6.25。 4．【答案】BC＝21 cm或11 cm 【解析】【错解】作AD⊥BC于D，BD＝＝16，DC＝＝5，BC＝16＋5＝21（cm）。（错误示例） 【错因】只画了高在三角形内部的情形；∠C是钝角时，垂足D落在BC的延长线上。 【正解】高在内部时，BC＝BD＋DC＝16＋5＝21（cm）；高在外部时，BC＝BD－DC＝16－5＝11（cm）。BC＝21 cm或11 cm。 5．【答案】百 【解析】【错解】精确到百分位。（错误示例） 【错因】只看了小数点后的位数，忽略了单位“万”。 【正解】3.60万＝36000，末位0在百位上，精确到百位。 6．【答案】A 【解析】【错解】＝a＝－0.7，原式＝－0.7－(－0.7)＝0。（错误示例） 【错因】是a²的算术平方根，不可能是负数；a＜0时，等于a的相反数。 【正解】a²＝0.49，＝＝0.7，原式＝0.7－(－0.7)＝1.4，选A。 B：【错解】认为＝a，按此错法真算得0；C：认为＝a，又把减去a算成加上a，按此错法真算得－1.4；D：把当成a²本身，按此错法真算得1.19。 7．【答案】27 【解析】【错解】周长为5＋5＋11＝21或11＋11＋5＝27。（错误示例） 【错因】没有检验三边关系，5＋5＜11，腰长为5时围不成三角形。 【正解】只能腰长为11，三边为11，11，5，周长为27。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】C 【解析】较短两边之和大于最长边才能围成三角形，只有5＋7＝12＞11，选C。 A：2＋3＝5，不大于第三边；B：4＋6＝10＜11；D：1.5＋2.5＝4＜4.5。 2．【答案】B 【解析】0.9²＝0.81，所以0.81的算术平方根是0.9，选B。 A：把算术平方根与平方根混淆；C：小数点位置弄错，按此错法真算得0.09；D：把开平方当成除以2，按此错法真算得0.405。 3．【答案】D 【解析】30°角所对的直角边是斜边的一半，11÷2＝5.5，选D。 A：把“一半”用反，按此错法真算得22；B：误以为与斜边相等；C：误以为是斜边的三分之一，按此错法真算得。 4．【答案】A 【解析】∛(-64)＝－4，＝5，－4－5＝－9，选A。 B：把减法算成了加法，按此错法真算得1；C：把－64的立方根写成4，按此错法真算得－1；D：忘记对25开平方，按此错法真算得－29。 5．【答案】－0.5； 【解析】(－0.5)³＝－0.125，所以∛(-0.125)＝－0.5。 ＝，所以＝。 6．【答案】4＜x＜16 【解析】由三边关系得10－6＜x＜10＋6，即4＜x＜16。 7．【答案】1.7 【解析】斜边长为＝＝＝1.7。 8．【答案】7；8 【解析】49＜57＜64，所以7＜＜8。 9．【答案】(1)0.6；(2)x＝3.5或x＝0.5 【解析】(1)原式＝1.3＋(－0.2)－0.5＝0.6。 (2)x－2＝±1.5，所以x＝3.5或x＝0.5。 10．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BOC＝110° 【解析】(1)在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，所以△ABC≌△DCB（SSS）。 (2)由(1)得∠DBC＝∠ACB＝35°，所以∠BOC＝180°－35°－35°＝110°。 　课后作业（二）能力进阶 1．【答案】C 【解析】顶角为180°－2×15°＝150°，它的邻补角为30°。腰上的高在三角形外部，与另一腰组成含30°角的直角三角形，高＝8÷2＝4，选C。 A：误以为高等于腰长；B：把高当成腰长的四分之一，按此错法真算得2；D：把30°角的性质反着用，按此错法真算得16。 2．【答案】D 【解析】81＜83＜100，所以9＜＜10，a＝9，b＝10，a＋b＝19，选D。 A：误估为8＜＜9，按此错法真算得17；B：把相邻的两个完全平方数81、100当成a、b，按此错法真算得181；C：把a＋b错算成a、b的平均数，按此错法真算得9.5。 3．【答案】6 【解析】DC＝16×＝6。 点D在∠BAC的平分线上，到AB的距离等于到AC的距离DC＝6。 4．【答案】4.86 【解析】棱长为∛0.729＝0.9（m），表面积为6×0.9²＝4.86（m²）。 5．【答案】13 【解析】AB是水平3格、竖直2格的格点线段，AB²＝3²＋2²＝13。 正方形的面积＝AB²＝13。 6．【答案】(1)证明见解析；(2)AD＝8，面积为127.5 【解析】(1)在△ABD和△ACE中，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，AB＝AC，所以△ABD≌△ACE（AAS），BD＝CE。 (2)在直角三角形ABD中，AD＝＝＝8。 △ABC的面积＝AC×BD÷2＝17×15÷2＝127.5。 7．【答案】(1)长1.6 m，宽1.2 m；(2)2 m 【解析】(1)设长为4k m，宽为3k m，12k²＝1.92，k²＝0.16，k＝0.4（负值舍去），长为1.6 m，宽为1.2 m。 (2)对角线长为＝＝2（m）。 8．【答案】(1)1.5 m；(2)1.2 m 【解析】(1)AB＝AC，AD⊥BC，所以BD＝BC÷2＝2（m）（三线合一），AD＝＝＝1.5（m）。 (2)△ABD的面积＝BD×AD÷2＝AB×DE÷2，所以DE＝2×1.5÷2.5＝1.2（m）。 9．【答案】(1)作法见解析（所作图形略）；(2)＜5.4 【解析】【作法】29＝5²＋2²。在数轴上找到表示5的点A，过A作数轴的垂线，在垂线上截取AB＝2，连接OB，OB＝＝；以O为圆心、OB为半径画弧，交数轴正半轴于点P，点P表示。 (2)5.4²＝29.16＞29，所以＜5.4。 　课后作业（三）拓展延伸 1．【答案】B 【解析】底边上的高为＝8，△ABC的面积为12×8÷2＝48。 连接AP，S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，即10×PE÷2＋10×PF÷2＝48，PE＋PF＝9.6，选B。 A：把PE＋PF当成底边上的高，按此错法真算得8；C：只算了一条垂线段，按此错法真算得4.8；D：面积算成两倍，按此错法真算得19.2。 2．【答案】13.8 【解析】AB＝2BC＝9.2，CD＝BD＝AB÷2＝4.6。 ∠B＝60°，△BCD是等边三角形，周长为3×4.6＝13.8。 3．【答案】270 【解析】移项配方得(a－15)²＋(b－36)²＋(c－39)²＝0，所以a＝15，b＝36，c＝39。 15²＋36²＝225＋1296＝1521＝39²，△ABC是直角三角形，面积为15×36÷2＝270。 4．【答案】(1)证明见解析；(2)DE＝5.3 【解析】(1)∠BAD＝90°－∠DAC＝∠CAE，又AB＝AC，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）。 (2)由(1)得CE＝BD＝2.8，∠ACE＝∠B＝45°，所以∠DCE＝45°＋45°＝90°。 DE＝＝＝＝5.3。 5．【答案】(1)AB＝，BC＝，AC＝；(2)2.5 【解析】(1)AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝。 (2)把△ABC补成水平4格、竖直2格的长方形，面积为4×2－1×1÷2－3×2÷2－4×1÷2＝8－0.5－3－2＝2.5。 6．【答案】(1)3.1 m；(2)3 m 【解析】(1)车厢侧边到中线的距离为2.4÷2＝1.2（m）。半圆半径为2 m，侧边正上方的隧道顶到直径所在直线的距离为＝＝1.6（m），离地面1.5＋1.6＝3.1（m）。 (2)货车高度最多为3.1－0.1＝3（m）。 7．【答案】BP＝9或21 【解析】AB＝AC，AD⊥BC，所以BD＝DC（三线合一），BD＝＝＝15。 在直角三角形APD中，PD＝＝＝6。 点P在BC上，可能在点D与点B之间，也可能在点D与点C之间：当P在BD上时，BP＝15－6＝9；当P在DC上时，BP＝15＋6＝21。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $