专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 1.理解一元二次方程的定义，能辨别一元二次方程，会写出一般形式，准确找出二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.掌握一元二次方程根的含义，能判断一个数是不是方程的根，会利用方程的根代入求值。 3.熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程特点灵活选择简便方法解方程。 4.理解求根公式推导过程，记住根的判别式，能用判别式判断一元二次方程实数根的情况。 5.规范解方程书写步骤，能避开配方、因式分解常见易错点，应对期中选择、填空、计算题。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★ 题型七 直接开平方法 ★★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十四 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:一元二次方程定义与判定条件 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等式两边都是整式的方程。 2.三大判定条件，缺一不可： ① 整式方程，分母不含未知数；② 只含 1 个未知数；③ 未知数最高次数为 2，二次项系数a≠0。 3.方程判定对比 方程 是否一元二次方程 判断理由 2x2-3x+1=0 是 整式、单未知数、最高次 2，a≠0 x2+3y=5 否 存在两个未知数 x3-2x2=0 否 未知数最高次数为 3 +2x=1 否 分母含未知数，非整式方程 3x2=0 是 b、c可为 0，仅要求a≠0 (x+1)2=x2+2 否 化简后二次项抵消，为一元一次方程 知识点02:一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 书写要求：所有项移至等式左侧，右侧化为 0，优先将二次项系数化为正数。 知识点03:一元二次方程的根 1.概念：能让方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.检验根标准步骤： ① 将数值分别代入方程左、右两侧； ② 分别计算两侧结果； ③ 若左边 = 右边，该数值为方程的根。 3.参数求解应用：已知根，把根代入方程，建立关于参数的等式，求出参数。 例：x=2是x2-ax+2=0的根，代入得4-2a+2=0，解得a=3。 知识点04.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点04:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点05:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 题型一：一元二次方程的定义 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．当时，变为，此时不是一元二次方程； B．的分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程； C．整理得，不是一元二次方程； D．整理得，是一元二次方程． 2．已知是方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】是方程的一个根，推出．推出，，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴． ∴，， ， ． 3．下列方程中，是关于的一元二次方程的共有（     ） ①；②；③；④；⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此逐项判断即可． 【详解】解：①化为一般式后为，不是关于x的一元二次方程； ②中时，不是关于x的一元二次方程； ③中分母含有未知数，不是关于x的一元二次方程； ④是关于x的一元二次方程； ⑤是关于x的一元二次方程； 综上，关于的一元二次方程的共有2个． 题型二：化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式是（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为：， 此时二次项系数为3，符合题目要求，对应的一次项系数是． 5．化为一元二次方程的一般式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为． 【详解】解：化成一般形式为． 6．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把A、B、C、D各选项中可以化简的方程化简，再根据一元二次方程的定义分别对各个方程进行判断即可得答案. 【详解】解：A.化简得：，故不是一元二次方程，A错误. B.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，不是关于的一元二次方程，故B错误. C.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，故C正确. D. 把化简为，当时，不是一元二次方程，故不一定是关于的一元二次方程，故D错误. 题型三：由一元二次方程的定义求参数 7．若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数，即． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不为0．注意“关于的方程”中为未知数，为字母系数，需保证含项的系数不为0． 8．已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得． 9．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】一元二次方程二次项系数不为0，且方程有实数根时，判别式，据此分析k的取值范围． 【详解】解：∵ ∴． ∵ ∴结合两个条件，可得k的取值范围是且． 题型四：判断是否是一元二次方程的解 10．关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 11．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 12．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． 把分别代入各个选项中的方程的左边和右边进行检验即可． 【详解】解：A. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     B. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     C. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     D. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边=右边，∴是该方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 题型五：由一元二次方程的解求参数 13．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：将代入方程，得 ， 即， 解得． 14．若为方程的一个解，则代数式的值为（     ） A．2016 B．2017 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】将所求代数式变形，结合方程的解的性质整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， 将代入，得． 15．若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得，由方程的解的定义得到，，则可求出，，则可得原式，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴ ． 题型六：一元二次方程的解的估算 16．根据表格信息，判断关于的方程（）的一个解的十分位是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中代数式的正负变化，确定方程解的取值范围，即可判断解的十分位． 【详解】解：当时，， 当时，， 则方程的一个解在和之间， 故该解的十分位是． 17．根据下表的对应值，可估算方程的一个根的范围是__________． 【答案】 【分析】结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴可估算方程的一个根的范围是． 18．根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（    ） 0 1 2 13 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较与10的大小，找到值跨越10的相邻区间即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个解的范围是． 题型七：直接开平方法 19．若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以用直接开平方法求解意味着等式的右边非负，据此列不等式即可求解． 【详解】解：根据题意有：， ∴， 则k的取值范围是． 20．定义运算☆，若，，☆，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据定义列得一元二次方程求解即可，正确理解题意掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：∵，，☆， ∴ 整理得， 解得或， 故答案为2或． 21．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两个方程实数根的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的实数根，乙无实数根 B．甲、乙都有两个不相等的实数根 C．甲有两个相等的实数根，乙无实数根 D．甲有两个相等的实数根，乙有两个不相等的实数根 【答案】A 【详解】解：∵ 甲方程中，， ∴ 甲有两个不相等的实数根； ∵ 乙方程中，，且任意实数的平方为非负数， ∴ 乙无实数根． 题型八：配方法 22．一元二次方程配方后可化为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 23．若关于的一元二次方程通过配方法可以化成的形式，则的值可以是___（写出一个符合要求的值）． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【分析】对原方程配方得到，根据得到的取值范围，任取一个符合要求的值即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得， ∵该形式需要满足， ∴， 因此任取一个满足条件的值即可，例如符合要求． 24．用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法把方程变形即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方得：． 题型九：配方法的应用 25．已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】 解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 26．实数，，满足，． （1）当时，则__________； （2）实数的取值范围是__________． 【答案】 3 【分析】（1）把代入等式，求解即可； （2）通过两个等式的变换以及等量代换得到，利用配方法求出的范围即可. 【详解】解：（1）∵，， ∴当时，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴. 27．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 题型十：因式分解法解一元二次方程 28．一元二次方程的根是（     ） A．， B．， C．，D．， 【答案】A 【详解】解：∵， ∴或， ∴，. 29．一元二次方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵． ∴或． 解得，． 30．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 题型十一：公式法解一元二次方程 31．用公式法解方程，得__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，． 32．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为___________． 【答案】 【分析】将题目给出的求根公式与一元二次方程标准求根公式对比，对应得到一般式的系数即可得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为将题目给出的式子与标准求根公式对比， 可得：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 代入， 得， 解得， 将代入一元二次方程一般形式， 得该一元二次方程为． 33．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程化为一般式，然后利用公式法求解即可． 【详解】解： ∴， 其中， ∴， ∴． 题型十二：换元法解一元二次方程 34．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 35．已知关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是___________． 【答案】或 【分析】令，则方程可变为方程，根据题意可得关于的方程的解是，，据此代入求解即可． 【详解】解：令，则方程可变为方程， ∵关于的方程的解是，， ∴关于的方程的解是，， ∴或， 解得或， ∴方程的解是或． 36．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程． 【详解】解：把代入原方程得：． 故选：． 【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 题型十三：根据判别式判断一元二次方程根的情况 37．一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， ∴， ∴方程没有实数根． 38．已知实数满足，则__________． 【答案】5 【分析】利用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ， 解得，， ∴或， 当时，即， 此时，方程有2个不相等的实数根，满足题意； 当时，即， 此时，方程没有实数根，不符合题意，故舍去； ∴． 39．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】由新定义运算可得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 题型十四：根据一元二次方程根的情况求参数 40．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 41．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解参数的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，此处，，， 代入得：， 解不等式得． 42．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且． 题型十五：解分式方程 43．已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式因式分解求解即可． 【详解】解：令，则原方程为 ， ∴， ∴， 解得，即． 44．当时，分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查解可化为一元二次方程的分式方程，关键是掌握解分式方程的方法． 将已知条件代入分式，建立方程，通过交叉相乘化简为一元二次方程，求解后检验分母是否为零，排除无效解． 【详解】解：当 时，分式 ，其值为， 即， 交叉相乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 整理为， ， 解得：或． 检验：当 时，，分母为零，分式无意义，舍去； 当 时，，符合要求． 故答案为：． 45．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 解答题 46．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，化为一元二次方程，再计算判别式，根据根的情况再求解即可； （2）先去分母，化为一元一次方程，再求出方程的根后验根． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 即， ， 无实数根， 故原分式方程无解； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验是原方程的增根， 故原分式方程无解． 47．解方程 (1) (2) (3)（配方法） (4)（公式法） (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ∴或， 解得； （3）解： ， ∴， ∴； （4）解：化成一般式为， ∴， ∴， ∴方程有两不等实数根， ∴， ∴； （5）解：化成一般式为， 左边因式分解得， ∴或， 解得． 48．定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)若方程①与其“换位方程”有公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当公共根时，；当公共根时， 【详解】（1）解：一元二次方程①：的“换位方程”是． （2）解：∵方程①与其“换位方程”有公共根， ∴，， 两个方程相减得， 根据“换位方程”定义可得，即， ∴同时除以得，解得； 当公共根时，代入得，解得； 当公共根时，代入得，解得． 综上所述，当公共根时，；当公共根时，． 49．关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1.我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为． (1)代数式的正值是　　 ； (2)判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由； (3)①若关于的代数式的正域值为0，求的值； ②若关于的代数式的正域值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)或4 (2)无正值，理由如下： 令，则， ∵， ∴方程无实数根， ∴代数式无正值； (3)①；②1 【分析】（1）根据“正值”的定义，当时，解一元二次方程得或，代入验证即可得到答案； （2）根据“正值”的定义，当时，则，由于，方程没有实数根，从而得到答案； （3）①正域值为0，说明“正值”只有1个，令，得，可求的值；； ②令，求得，，分和两种情况讨论，从而得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得，则， 即， 解得或4； （2）略 （3）解：①正域值为0，说明“正值”只有1个（最大、最小正值相等）． 令，整理得， ∴， 化简得， 解得； ②令， 则， 解得， 当时，即为正整数， ∴为正整数， ∴． 当时，即为正整数， ∴为小于等于的负整数， 此时b不存在． 综上所述，b的值为1． 50．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)2020 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是. （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是． 51．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程求解即可； （3）将所求方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得， 化简，得； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得； （3）解：将所求方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 1.理解一元二次方程的定义，能辨别一元二次方程，会写出一般形式，准确找出二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.掌握一元二次方程根的含义，能判断一个数是不是方程的根，会利用方程的根代入求值。 3.熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程特点灵活选择简便方法解方程。 4.理解求根公式推导过程，记住根的判别式，能用判别式判断一元二次方程实数根的情况。 5.规范解方程书写步骤，能避开配方、因式分解常见易错点，应对期中选择、填空、计算题。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★ 题型七 直接开平方法 ★★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十四 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:一元二次方程定义与判定条件 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等式两边都是整式的方程。 2.三大判定条件，缺一不可： ① 整式方程，分母不含未知数；② 只含 1 个未知数；③ 未知数最高次数为 2，二次项系数a≠0。 3.方程判定对比 方程 是否一元二次方程 判断理由 2x2-3x+1=0 是 整式、单未知数、最高次 2，a≠0 x2+3y=5 否 存在两个未知数 x3-2x2=0 否 未知数最高次数为 3 +2x=1 否 分母含未知数，非整式方程 3x2=0 是 b、c可为 0，仅要求a≠0 (x+1)2=x2+2 否 化简后二次项抵消，为一元一次方程 知识点02:一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 书写要求：所有项移至等式左侧，右侧化为 0，优先将二次项系数化为正数。 知识点03:一元二次方程的根 1.概念：能让方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.检验根标准步骤： ① 将数值分别代入方程左、右两侧； ② 分别计算两侧结果； ③ 若左边 = 右边，该数值为方程的根。 3.参数求解应用：已知根，把根代入方程，建立关于参数的等式，求出参数。 例：x=2是x2-ax+2=0的根，代入得4-2a+2=0，解得a=3。 知识点04.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点04:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点05:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 题型一：一元二次方程的定义 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则______． 3．下列方程中，是关于的一元二次方程的共有（     ） ①；②；③；④；⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 题型二：化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（     ） A． B．2 C． D．4 5．化为一元二次方程的一般式为（     ） A． B． C． D． 6．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型三：由一元二次方程的定义求参数 7．若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是________． 8．已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 9．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A．且 B． C． D．且 题型四：判断是否是一元二次方程的解 10．关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 11．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 12．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 题型五：由一元二次方程的解求参数 13．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 14．若为方程的一个解，则代数式的值为（     ） A．2016 B．2017 C．2026 D．2027 15．若，是方程的两根，则的值为________． 题型六：一元二次方程的解的估算 16．根据表格信息，判断关于的方程（）的一个解的十分位是（     ） A． B． C． D． 17．根据下表的对应值，可估算方程的一个根的范围是__________． 18．根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（    ） 0 1 2 13 A． B． C．D． 题型七：直接开平方法 19．若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．定义运算☆，若，，☆，则的值为___________． 21．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两个方程实数根的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的实数根，乙无实数根 B．甲、乙都有两个不相等的实数根 C．甲有两个相等的实数根，乙无实数根 D．甲有两个相等的实数根，乙有两个不相等的实数根 题型八：配方法 22．一元二次方程配方后可化为（     ） A． B． C． D． 23．若关于的一元二次方程通过配方法可以化成的形式，则的值可以是___（写出一个符合要求的值）． 24．用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A． B． C． D． 题型九：配方法的应用 25．已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．实数，，满足，． （1）当时，则__________； （2）实数的取值范围是__________． 27．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 题型十：因式分解法解一元二次方程 28．一元二次方程的根是（     ） A．， B．， C．，D．， 29．一元二次方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 30．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 题型十一：公式法解一元二次方程 31．用公式法解方程，得__________． 32．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为___________． 33．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十二：换元法解一元二次方程 34．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 35．已知关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是___________． 36．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 题型十三：根据判别式判断一元二次方程根的情况 37．一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 38．已知实数满足，则__________． 39．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 题型十四：根据一元二次方程根的情况求参数 40．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 41．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 42．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 题型十五：解分式方程 43．已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 44．当时，分式的值为，则的值为___________． 45．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 解答题 46．解方程： (1)． (2)． 47．解方程 (1) (2) (3)（配方法） (4)（公式法） (5) 48．定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)若方程①与其“换位方程”有公共根，求这个公共根及的值． 49．关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1.我们就称0和1都是这个代数式的正值，正域值为． (1)代数式的正值是　　 ； (2)判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由； (3)①若关于的代数式的正域值为0，求的值； ②若关于的代数式的正域值为正整数，求整数的值． 50．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 51．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $