第1章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练识别一元二次方程的概念，能处理含字母系数的一般式与a≠0隐含条件 · 灵活选用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解各类方程并会估算根 · 会用判别式 Δ=b2-4ac 判断根的情况，能由根的存在性建立不等式求参数 · 掌握韦达定理，能整体代入求对称式、分式化简求值及「3倍根方程」等新定义问题 · 能建立方程模型解决传播、增长率、营销利润、图形动态与行程工程等压轴应用 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数且最高次数为2的整式方程 一般式 ax2+bx+c=0（a≠0），化为一般式后再定各项系数 a≠0是隐含条件，已知方程类型求字母值时必须回代检验 判断某数是否为方程的解：代入左右两边是否相等 概念辨析例题：若方程 (m-2)x|m|+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值 答案：m=-2 解析：需满足 |m|=2 且 m-2≠0，由 |m|=2 得 m=±2，又 m≠2，故 m=-2 ☆ 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：形如 (x+m)2=n（n≥0），开方取正负两支 配方法：化二次项系数为1，两边加一次项系数一半的平方 公式法：x=，先化一般式再代公式 因式分解法：化为 (x-a)(x-b)=0，最简便；换元法处理重复结构 概念辨析例题：解方程 x2-6x+5=0 答案：x1=1，x2=5 解析：因式分解为 (x-1)(x-5)=0，令各因式为0，得 x1=1，x2=5 ☆ 3.根的判别式与根与系数的关系 Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根 由根的情况求参数：令Δ满足条件解不等式，且勿忘a≠0 韦达定理：x1+x2=-，x1x2= 对称式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 概念辨析例题：已知方程 x2-5x+2=0 的两根为 x1,x2，求 + 的值 答案： 解析：x1+x2=5，x1x2=2，原式== ☆ 4.一元二次方程的实际应用 传播问题：1人每轮传染x人，两轮后共 (1+x)2=总数 增长率问题：基数a平均增长x两次后为 a(1+x)2=b 营销利润：单件利润×销售量=总利润，涨价与销量增减要对应 图形与动态：按面积或线段关系设时间t列方程，结果须符合实际 概念辨析例题：某商品进价40元，售价50元时每月售500件，售价每涨1元少卖10件，要使月利润达8000元，设涨价x元，列方程 答案：(10+x)(500-10x)=8000 解析：单件利润 (10+x) 元，销量 (500-10x) 件，相乘等于总利润8000元 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般式 ax2+bx+c=0 二次项系数 a≠0 配方法 两边加 (一次项系数一半)2 先把二次项系数化为1 求根公式 x= 用前先算 Δ 判断有无实根 判别式 Δ=b2-4ac Δ<0 时无实数根 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 使用前须 Δ≥0 实际应用 审清等量关系列方程 结果要检验是否符合实际 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般式（第1-5题） · 先看是否整式方程、只含一个未知数、最高次数为2 · 含字母系数时二次项系数 a≠0 必须作为限制条件 · 化为一般式后再确定二次项、一次项与常数项 1．（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 3．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 【考点2】一元二次方程的解法（第6-13题） · 能写成 (x+m)2=n 的优先直接开平方法 · 易分解的方程优先因式分解法，最快捷 · 公式法是通法，套用前先算 Δ · 重复结构用换元法，整体设元降次 6．（22-23九年级上·江苏无锡·开学考试）若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断是否是一元二次方程的解 【详解】将代入方程可得，因式分解得，得到，即可求解． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【知识点】整式的加减运算、配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 11．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【答案】(1)， (2)当时，，；当时，原方程无实数根． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、换元法解一元二次方程 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和配方法是解题的关键． （1）设，则原方程变形，解得，则，或，即可求出方程的解； （2）设，则，，得到，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 设，则， ，或 ， （2）解： 设，则， 当时，， ，或 ，， 当时，原方程无实数根． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若代数式与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】相反数的定义、公式法解一元二次方程 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【考点3】根的判别式（第14-17题） · Δ>0、=0、<0 分别对应两不等、两相等、无实根 · 判断根的情况先把方程化为一般式再算 Δ · 含字母参数时用 Δ 的符号建立不等式 14．（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 16．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 17．（2025·河南漯河·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．即可列不等式，计算即可得答案， 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 且， 故答案为：且． 【考点4】根与系数的关系（韦达定理）（第18-29题） · 先由韦达定理写出两根之和与两根之积 · 代数式求值用整体代入，熟记常见变形 · x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 · 分式求值先通分再用和、积整体代入 18．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 20．（2025·江苏南京·一模）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个以和4为根的一元二次方程______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设的两根分别是和4， ， ， 一元二次方程为：， 故答案为：． 22．（2025·海南·一模）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540-1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”．韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根、和系数a、b、c有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为p、q，求的值． 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为、，则________，________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为p、q，求的值； (3)提升：已知实数m、n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，，最后代入求值即可； （3）由题意可将m、n可以看作方程的两个根，即得出，，再根据，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． （2）解：∵一元二次方程的两根分别为p、q， ∴，， ∴ ； （3）解：由题意可将m、n可以看作方程的两个根， ∴，， ∴． 23．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求 k的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的方程，解方程可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：． 24．（25-26八年级下·山东威海·期末）下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 25．（2026·安徽淮南·三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 28．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 29．（25-26八年级下·陕西西安·期末）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 【考点5】方程的解与代数式求值（第30-33题） · 已知根代入方程得到关于参数的等式 · 整体代换：把方程变形后整体代入所求式 · 估算根的范围用配方法或函数图象夹逼 30．（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 32．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 33．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解的估算 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 【考点6】由解或根的情况求参数综合（第34-37题） · 已知一个根：代入方程求参数，再求另一根 · 新定义方程（如3倍根方程）设根为 t 与 kt 用韦达转化 · 综合题联立判别式与韦达定理列方程组 34．（22-23八年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 35．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】(1)是“3倍根方程” (2)50或 (3)17或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【详解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 36．（22-23九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 37．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 【考点7】传播、增长率与营销问题（第38-42题） · 传播模型：(1+x)2=总数，注意初始1人 · 增长模型：a(1+x)2=b，下降用 a(1-x)2 · 总利润=单件利润×销售量，注意取值范围 38．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 39．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 40．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 41．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设新能源汽车的年平均增长率为，从2024年底到2026年底共经过2年，结合已知的2026年底预计保有量即可列出方程． 【详解】解：设新能源汽车的年平均增长率为，则2025年底全国新能源汽车保有量为万辆，2026年底全国新能源汽车保有量为万辆， 根据题意可列方程为． 42．（2025八年级上·全国·专题练习）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格（元）与周次（是正整数，）的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格（元）从第5周的6元/下降至第6周的元/，与周次（）的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格（元）之间的关系可近似用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同，求与的函数表达式； (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值（）． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用、求一次函数解析式、一元二次方程的应用，从图象获取准确的信息、理解题意得到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）根据图象取相应点代入对应的函数即可求解； （2）设函数关系式为，根据图象取两个点代入即可求解； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得， 故答案为：，； （2）解：设函数关系式为， 把代入得：， 解得， 与的函数表达式为； （3）解：当时，， 由题意得： ， 解得：或（舍去）， ∵， ∴． 【考点8】图形、动态与行程工程问题（第43-47题） · 按面积公式或几何关系设未知数 · 动态问题用时间t表示线段长度再列方程 · 解出后检验边长、时间是否符合图形实际 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 44．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________； 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出，设，则，，根据栅栏总长为米得出，则，进而根据总区域面积为平米，列出方程，再化为一般式即可求解． 【详解】解：∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形的面积是矩形的倍， ∴， ∴； 设，则，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∵总区域面积为平米， ∴，即； ∴ 即． 故答案为：． 45．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 【答案】上、下边衬的宽分别为；左、右边衬的宽分别为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】由题意设中央的矩形的长和宽分别是和，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的，由此列出方程即可求解． 【详解】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和， 由题意得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为． 46．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 47．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：二次项系数 a≠0 是最易错的隐含条件 · 解法过关：四法按题选用，因式分解优先、公式法兜底 · 判别式过关：Δ符号与根的对应关系要熟，求参数勿忘限制 · 韦达过关：两根和与积整体代入，常见变形要记牢 · 应用过关：传播、增长率、利润、面积动态四类模型要会列 【作业1】．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 【作业2】．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 【作业3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 【作业4】．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 【作业5】．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 【作业6】．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程（化为一元一次） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 【作业7】．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【答案】8 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 【作业9】．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 【作业10】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 【作业11】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为___________． 【答案】1 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟练掌握一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键． 先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边边长，再结合切线长的性质，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∴直角三角形的两条直角边长分别为3，4， ∴斜边长为， 如图，在中，，设为的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，连接，设的半径为r， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即此直角三角形的内切圆的半径为1． 故答案为：1 【作业12】．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【答案】等边 【知识点】因式分解的应用、配方法的应用、等边三角形的判定 【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出，即可判断出的形状． 【详解】解：原式两边都乘2，得． 整理，得， 即． ，，， ，，， ． 故是等边三角形． 【作业13】．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 【作业14】．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】将原方程整理为，依据平方差公式可得，再整理，并开方可得答案． 【详解】解：， 原方程变形，得 由平方差公式，得， 即， 开方，得， ∴． 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【作业16】．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·一元二次方程·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练识别一元二次方程的概念，能处理含字母系数的一般式与a≠0隐含条件 · 灵活选用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解各类方程并会估算根 · 会用判别式 Δ=b2-4ac 判断根的情况，能由根的存在性建立不等式求参数 · 掌握韦达定理，能整体代入求对称式、分式化简求值及「3倍根方程」等新定义问题 · 能建立方程模型解决传播、增长率、营销利润、图形动态与行程工程等压轴应用 📚 知识梳理 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数且最高次数为2的整式方程 一般式 ax2+bx+c=0（a≠0），化为一般式后再定各项系数 a≠0是隐含条件，已知方程类型求字母值时必须回代检验 判断某数是否为方程的解：代入左右两边是否相等 概念辨析例题：若方程 (m-2)x|m|+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值 答案：m=-2 解析：需满足 |m|=2 且 m-2≠0，由 |m|=2 得 m=±2，又 m≠2，故 m=-2 ☆ 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：形如 (x+m)2=n（n≥0），开方取正负两支 配方法：化二次项系数为1，两边加一次项系数一半的平方 公式法：x=，先化一般式再代公式 因式分解法：化为 (x-a)(x-b)=0，最简便；换元法处理重复结构 概念辨析例题：解方程 x2-6x+5=0 答案：x1=1，x2=5 解析：因式分解为 (x-1)(x-5)=0，令各因式为0，得 x1=1，x2=5 ☆ 3.根的判别式与根与系数的关系 Δ=b2-4ac：Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根 由根的情况求参数：令Δ满足条件解不等式，且勿忘a≠0 韦达定理：x1+x2=-，x1x2= 对称式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 概念辨析例题：已知方程 x2-5x+2=0 的两根为 x1,x2，求 + 的值 答案： 解析：x1+x2=5，x1x2=2，原式== ☆ 4.一元二次方程的实际应用 传播问题：1人每轮传染x人，两轮后共 (1+x)2=总数 增长率问题：基数a平均增长x两次后为 a(1+x)2=b 营销利润：单件利润×销售量=总利润，涨价与销量增减要对应 图形与动态：按面积或线段关系设时间t列方程，结果须符合实际 概念辨析例题：某商品进价40元，售价50元时每月售500件，售价每涨1元少卖10件，要使月利润达8000元，设涨价x元，列方程 答案：(10+x)(500-10x)=8000 解析：单件利润 (10+x) 元，销量 (500-10x) 件，相乘等于总利润8000元 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般式 ax2+bx+c=0 二次项系数 a≠0 配方法 两边加 (一次项系数一半)2 先把二次项系数化为1 求根公式 x= 用前先算 Δ 判断有无实根 判别式 Δ=b2-4ac Δ<0 时无实数根 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 使用前须 Δ≥0 实际应用 审清等量关系列方程 结果要检验是否符合实际 ⚠️ 核心考点 【考点1】一元二次方程的概念与一般式（第1-5题） · 先看是否整式方程、只含一个未知数、最高次数为2 · 含字母系数时二次项系数 a≠0 必须作为限制条件 · 化为一般式后再确定二次项、一次项与常数项 1．（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 2．（23-24九年级上·河北邢台·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 3．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2】一元二次方程的解法（第6-13题） · 能写成 (x+m)2=n 的优先直接开平方法 · 易分解的方程优先因式分解法，最快捷 · 公式法是通法，套用前先算 Δ · 重复结构用换元法，整体设元降次 6．（22-23九年级上·江苏无锡·开学考试）若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 8．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 10．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程： (1)． (2)． 11．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若代数式与的值互为相反数，求的值． 【考点3】根的判别式（第14-17题） · Δ>0、=0、<0 分别对应两不等、两相等、无实根 · 判断根的情况先把方程化为一般式再算 Δ · 含字母参数时用 Δ 的符号建立不等式 14．（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 16．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 17．（2025·河南漯河·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【考点4】根与系数的关系（韦达定理）（第18-29题） · 先由韦达定理写出两根之和与两根之积 · 代数式求值用整体代入，熟记常见变形 · x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 · 分式求值先通分再用和、积整体代入 18．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 20．（2025·江苏南京·一模）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个以和4为根的一元二次方程______． 22．（2025·海南·一模）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540-1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”．韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根、和系数a、b、c有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为p、q，求的值． 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为、，则________，________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为p、q，求的值； (3)提升：已知实数m、n满足，，且，求的值． 23．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求 k的值． 24．（25-26八年级下·山东威海·期末）下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 25．（2026·安徽淮南·三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 28．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 29．（25-26八年级下·陕西西安·期末）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【考点5】方程的解与代数式求值（第30-33题） · 已知根代入方程得到关于参数的等式 · 整体代换：把方程变形后整体代入所求式 · 估算根的范围用配方法或函数图象夹逼 30．（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）若a是方程的一个解，则的值是________． 32．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 33．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【考点6】由解或根的情况求参数综合（第34-37题） · 已知一个根：代入方程求参数，再求另一根 · 新定义方程（如3倍根方程）设根为 t 与 kt 用韦达转化 · 综合题联立判别式与韦达定理列方程组 34．（22-23八年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 35．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 36．（22-23九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 37．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【考点7】传播、增长率与营销问题（第38-42题） · 传播模型：(1+x)2=总数，注意初始1人 · 增长模型：a(1+x)2=b，下降用 a(1-x)2 · 总利润=单件利润×销售量，注意取值范围 38．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 39．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 40．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 42．（2025八年级上·全国·专题练习）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格（元）与周次（是正整数，）的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格（元）从第5周的6元/下降至第6周的元/，与周次（）的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格（元）之间的关系可近似用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同，求与的函数表达式； (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值（）． 【考点8】图形、动态与行程工程问题（第43-47题） · 按面积公式或几何关系设未知数 · 动态问题用时间t表示线段长度再列方程 · 解出后检验边长、时间是否符合图形实际 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 44．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________； 45．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 46．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 47．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 概念过关：二次项系数 a≠0 是最易错的隐含条件 · 解法过关：四法按题选用，因式分解优先、公式法兜底 · 判别式过关：Δ符号与根的对应关系要熟，求参数勿忘限制 · 韦达过关：两根和与积整体代入，常见变形要记牢 · 应用过关：传播、增长率、利润、面积动态四类模型要会列 【作业1】．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【作业2】．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【作业3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【作业6】．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【作业7】．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【作业8】．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【作业9】．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【作业10】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【作业11】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为___________． 【作业12】．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【作业13】．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【作业14】．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【作业16】．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $