广东省普宁市华侨中学2026-2027学年高二上学期数学第八周测试

普宁华侨中学中学高二数学第8周周末试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的． 1．已知空间向量，，且，则（ ） A．2 B． C．1 D． 2．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 3．如图，已知斜三棱柱，设，，，，分别为与的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量， 那么“”是“直线与平面平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知三条直线：，：，：不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，为其体对角线上的动点，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径．则（ ） A．当点在体对角线上运动时，的值也在随之变化 B．当点在底面内运动时，的值也在随之变化 C．的取值范围是 D．的最大值为2 8．在三棱柱中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，：，则（ ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若，则 C．若与相互平行，则或1 D．若不经过第二象限，则 10．给出下列命题，其中是真命题的为（ ） A．若直线的方向向量，平面的法向量，则 B．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A．在三棱锥中，点到平面的距离为定值 B．过点且平行于平面的平面被正方体 截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图所示，两条异面直线、所成的角为，在直线、上 分别取点、和点、，使得且．已知，则　　　　　． 13．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合上述观点，可得的最小值为　　　　 ． 14．如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为　　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知直线：，：，其中为实数． （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 16． （本小题15分）如图在直三棱柱中， ，，分别为，的中点． （1）求证； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17．（本小题15分）如图，在矩形中，，，为中点，将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18（本小题17分）在平面直角坐标系中，已知射线：，射线： ．过点作直线分别交射线，于点，． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，请写出直线上一个点的坐标和直线的一个方向向量； （2）若直线：与：都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 高二数学第8周末试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D B D C D B ABD BCD ACD 12．或 13． 14． 15．【答案】解：（1）因为直线：，：，时， 则，解得，此时直线的方程为， 所以两条直线间的距离； 6’ （2）当时，则直线的方程为：， 联立，解得，，即两条直线的交点的坐标为， 又因为所求的直线垂直于，设所求的直线方程为， 将点的坐标代入可得，解得．所以直线的方程为．……13’ 16．【答案】解：设，，，根据题意得，， （1）证明：易知，． ． ，即． 7’ （2）易知，，又，， ，， 即异面直线与所成角的余弦值为． 15’ 17．【答案】解：（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，．因为为中点，所以．又因为是等腰底边上的中线， 所以．同理可得． 因为是矩形，所以，． 因为，是中点，所以是梯形的中位线． 所以，从而． 因为平面，平面，，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面，平面，和相交所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 7’ （2）易得．由（1）可知平面， 平面，所以． 因为平面，平面，， 所以平面． 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 设，则．可得． 由平面，得平面的一个法向量．设直线与平面所成角为， 则， 化简得，解得或（舍）． 所以当时，直线与平面所成角的正弦值为．15’ 18．（1）设，，则的中点为， 因为的中点在直线上，所以，即， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 4’ （2）设直线的方程为， 联立，得，所以， 联立，得，，所以， 所以， 因为，， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，此时，直线的方程为，即． 11’ （3）由（2）知，， ， 所以， 令，则 ，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即． 17’ 19【详解】（1）因为直线的方程为，即， 可得直线上一个点的坐标为，直线的一个方向向量为． 4’ （2）直线的方程为，即， 可知直线过点，直线的一个方向向量， 因为，所以直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点， 设平面的法向量为， 则，令，则，，可得， 所以平面的方程为，即． 10’ （3）由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点，，，，， ，如图所示，可知四边形为正方形，边长， 所以正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以多面体的体积为， 由集合所有的点构成了多面体的各个面， 点，，均满足方程， 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以，， 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为， 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为， 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为． 17 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $