广东普宁市华侨中学2026-2027学年高二上学期数学每周测：中秋作业（第四周）

2026-2027学年度高二数学中秋作业 姓名：___________班级：___________座号：___________ 一、单选题 1．已知树人中学高一年级总共有学生人，其中男生人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多人，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面过点，它的一个法向量为，则下列哪个点不在平面内（    ） A． B． C． D． 4．已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A．3 B． C．1 D． 5．已知向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则 A． B． C． D． 8．“函数在上单调”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 10．以下命题正确的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．，使 C．若，且，则的最小值为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 11．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（    ）    A．平面 B．到平面的距离为 C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是 D．平面与平面夹角余弦值为 三、填空题 12．已知，则=__________． 13．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____ 14．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 16．计算下列各式的值． (1)； (2)且 17．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人． (1)求的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数． 18．在中，角的对边分别是，从下面的三个条件中选取适当的一个并解答如下问题. ①；②；③. (1)求； (2)若，求的取值范围. 19．如图1，在平行四边形中，，，为的中点．现将沿折起，连接与，如图2．    (1)当时，证明：平面平面； (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度高二数学中秋作业》参考答案 BDCCB ABB ACD BC ABD 1．B【详解】由已知可得参赛的男生有人， 故参赛的女生有人， 参赛人数共人， 所以高一年级总人数为人，即，故选：B. 2．D【详解】因为函数是定义域为R的奇函数 所以，即，解得. 当时，， 有，函数为奇函数.所以.故选：D. 3．C【详解】设点为平面内异于点的任意一点，则 由可得，即 对于A，，满足；对于B，，满足； 对于C，，不满足；对于D，，满足；故选：C 4．C【详解】直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 由直线平面，得，则，即，所以.故选：C 5．B【详解】因为，， 则在方向上的投影向量为，故选：B. 6．A【详解】依题意得，， 所以 ，又，， 所以设异面直线AE与BD所成的角为，则故选：A. 7．B【详解】由题意，集合或， 则，所以，故选B． 8．B【详解】因为函数在不可能单调递减， 所以在上单调等价于： ①在上单调递增，②，所以， 解得，结合选项可知是的充分不必要条件，故选：B. 9．ACD 【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的，故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； 对于C，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量，故C正确； 对于D，因为，， 所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确.故选：ACD 10．BC【详解】对于选项A，，， 故与不是同一个函数，故A错误；对于选项B，由幂函数的单调性知，∵， ∴在是增函数，∴，即，故B正确； 对于选项C，，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为；故C正确；对于选项D，∵函数的定义域为，∴，解得，故函数的定义域为；故D错误.故选：BC. 11．ABD 【详解】以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，   ，，，，， 则，，，，， 则平面，故A正确；向量为平面的法向量， 且，，所以到平面的距离为 ，故B正确； 作中点，的中点，的中点，连接，，，，， 则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为， 则截面面积为：，故C错误； 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 设两个平面夹角为，，故D正确．故选：ABD． 12．【详解】= 13．4【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0）， ∵λ，∴﹣2，∴b， ∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得实数λ＝4．故答案为4． 14．【详解】∵，，， ∴，又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为： 15．(1)证明：取的中点，连接，则， 且，∴且，则四边形为平行四边形，．又平面平面，平面． （2）解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则 即令，则，得到平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：，，点到平面的距离． 16．【详解】（1）原式； （2）原式. 17．【详解】（1）由题意可得，， ，解得. （2）平均. 因为， 所以中位数在之间，设中位数为， 则，解得. 18．【详解】（1）若选①，根据余弦定理得， 由正弦定理可得，即. 因为，所以 又，所以，又，所以. 若选②，因为，所以由正弦定理，可得， 即，整理得，因为，所以，可得，即，因为，所以. 若选③，因为， 所以由正弦定理可得：， 因为，所以；可得,无法得出A，该条件不合题意； （2）由（1）得，因，由正弦定理，， 则， ，因为且， 所以，所以，所以的取值范围为. 19．(1)   连接，，为等边三角形，故， ，为的中点，在中 ， 由余弦定理得， ，则，故， ，，即， 又平面，平面， 又平面，平面平面． （2）由（1）知，当时，平面平面，在平面内过作， 平面平面，平面，平面，平面，则，以点为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，   则 ， 故，， ， 轴垂直平面，是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，， 化简得，解得或(舍去)， 当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $