精品解析：安徽省太湖中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题

安徽省太湖中学2022级高三第一学期12月 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数单调性可得即可得，再借助并集定义即可得. 【详解】由，可得，即， 又，则. 故选：C. 2. 若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题知也是关于x的方程的一个根，进而结合韦达定理求解即可. 【详解】因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，所以，也是关于x的方程的一个根， 所以，由韦达定理得： 所以，. 故选：B 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据函数值的符号，可排除C. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D 4. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 【答案】C 【解析】 【分析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，根据题意结合增长率列出相应方程，利用对数近似计算，即得答案. 【详解】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a， 设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 由题意得，即， 由于，故， 则（天）， 故选：C 5. 已知，向量，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合向量垂直关系可得，再利用基本不等式求结论. 【详解】根据题意，向量，， 则，即， 变形可得， 则 又由，则， 当且仅当时等号成立， 则， 则的最小值为 故选：B. 6. 已知数列满足，则数列的前8项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对已知等式进行变形，可得数列的特征，由此求出的表达式，再利用裂项相消法求出前8项和. 【详解】依题意，，由两边同时除以，得到， 则数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即， 因此， 所以数列的前8项和. 故选：A 7. 已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数，极小值点为. ，令. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得. 因为的单调递增区间为. 对于，令， 则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，当时，， 故，则且. 解不等式得. 综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 8. 如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴，建立坐标系，设，则，利用向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可. 【详解】解：以为坐标原点，的方向分别为轴、轴， 如图所示： 则， 设，则， 所以， 所以 ， 其中(为第二象限角)， 所以当时，取最大值，为2. 即的最大值为2. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将向左平移个单位长度，得到函数 D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由图象经过点列方程求，判断A，结合余弦函数性质验证B，根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C，令，可得在上有个不相等的实数根，结合正弦函数性质判断D. 【详解】观察可得函数的图象过点， 所以， 所以，， 所以，，又， 所以，A正确； 所以， 因为时，， 所以点不是函数的图象的对称中心，B错误； 函数向左平移个单位长度，可得函数的图象， 又，所以C正确； 因为， 由可得，， 令，由已知可得在上有个不相等的实数根， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 时，， 所以，D错误. 故选：AC. 10. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，，是中点，则下面正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 周长的最大值为 C. 中线长度的最大值为 D. 若为锐角，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用余弦定理得到，结合，求得，可得判定A错误；结合，得到，可判定B正确；由，利用向量的运算法则，求得，可判定C正确；设的外接圆的半径为，得到，结合正弦定理得到，可得判定D正确. 【详解】由成等差数列，可得，因为，所以， 又由余弦定理得，可得， 对于A中，由，所以， 所以面积的最大值为， 当且仅当时，等号成立，所以A不正确； 对于B中，由， 可得，所以，所以周长的最大值为， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C中，因为，可得 又因为是中点，可得， 则， 所以，即中线长度的最大值为， 当且仅当时等号成立，所以C正确； 对于D中，设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理，可得， 因为，可得，则， 所以，当为锐角时，可得，所以D正确. 故选：BCD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则（ ） A. 存在点使得 B. 的最小值为 C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12 D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A:取中点，通过，即可判断，对于B：由可判断，对于C：由以为直径的球的球心为正方体中心，半径为，即可判断，对于D，由球与小球相切，球半径为1，设小球的半径为，得到，进而可求解. 【详解】对于A: 由题意可知：，取中点，所以，因为为直角三角形，同时为等腰直角三角形，， 所以当在运动中时，，，所以，，故A错； 对于B: 由对称性得，即求，在面中， ，故B对； 对于C:因为以为直径的球的球心为正方体中心，半径为，而正方体中心到各棱距离均为， 所以该球与正方体12条棱均相切，所以有12个交点，故C对； 对于D:因为体积最大的小球为小球与正方体和球均相切时取到.研究截面 ，分别过和小球球心作的垂线，垂足分别为，，则， 因为球与小球相切，球半径为1，设小球的半径为，则， 所以，所以小球体积最大值为，故D对. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 13. 若，，且，，则______； 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以. 所以， 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 14. 已知函数，则的对称中心为_______；若，则数列的通项公式为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项. 【详解】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，如图所示， 因为分别为棱的中点，所以且， 又因为所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面,平面, 所以平面 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意分析四边形为平行四边形，从而证明; （2）构建空间直角坐标系，根据空间向量平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 则 设面的法向量为 则 令则 设面的法向量为 则 令则 设平面与平面的夹角为， ， 故平面与平面的夹角的余弦值. 16. 已知数列的前n项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若关于n的不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，可证得数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的通项，利用错位相减法求出，再将题意转化为可得，记，求出的最大值，即可得出答案. 【小问1详解】 由，可得， 两式相减可得：，所以， 令，可得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为. 【小问2详解】 . 可得， 则， 两式相减得： ，所以， 因为，则， 原题意等价于关于n的不等式恒成立，可得， 记， 令，则，解得或3， 则，即当或时，取到最大值， 可得，所以实数λ的取值范围. 17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数. （1）求的对称轴方程及单调递增区间； （2）在锐角中，已知，求和. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）由行列式定义求得并利用三角函数恒等变换公式化简，结合正弦函数性质得对称轴方程和单调增区间； （2）结合（1）求得，再由诱导公式和两角和与差的正弦公式求得，由向量线性运算得，设，利用正弦定理可得关于的关系式，从而求得结论． 【小问1详解】 ， 由，得， 所以的对称轴为. 由，所以单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得，则，解得， 因为中，，则B为锐角， 所以， 因为，所以， 所以， 设，则， 在和中，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，上面两个等式相除可得， 得，即， 所以. 18. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中为常数，则称函数具有性质. （1）函数具有性质，求； （2）设函数， （i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）不具有性质，理由如下： 的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以， 假设函数具有性质，即，所以， 因为，所以， 故对于任意的恒成立， 恒为，显然不可能，故假设不成立， 故不具有性质； （ii）因为， 所以， 下面证明， 即证， 令，则， 令， 则， 故在上单调递增， 故， 所以，即，所以， 当时，， 当，令 ， 令， ， 故在上单调递增， 又，其中，故， 所以，故， ，其中，而在上单调递减， 故， 综上，. 【解析】 【分析】（1）结合新定义，由求，由此可得结论； （2）（）求导判断函数的单调性，假设具有性质，结合定义及单调性推出矛盾，可得结论； （ii）先得到，证明对数平均不等式，由此可得，分和两种情况进行求解，当时，，当时，构造差函数，进行求解，得到结论. 【小问1详解】 定义域为， 对任意的，且， 有， 即， 因为，所以，故， 故，故； 【小问2详解】 （i）略 （）略 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 【答案】（1） （2） （3） 由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然，， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以，， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件求出的值，再分别求出函数的一阶导数和二阶导数，代入公式求解即可； （2）根据的奇偶性和单调性得到，根据，的奇偶性和得到在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，代入公式求解即可； （3）首先求出在处的切线方程，进而得到与之间的关系，构造函数得到数列是等比数列，根据的通项公式得到和，适当放缩得到，进而得到. 【小问1详解】 抛物线的焦点到准线的距离为3，， 即抛物线方程为，即，则，， 又抛物线在点处的曲率，则， 即在该抛物线上点处的曲率为； 【小问2详解】 ， 在上为奇函数，又在上为减函数. 对于恒成立等价于对于恒成立. 又因为两个函数都是偶函数， 记，，则曲线恒在曲线上方， ，，又因为， 所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即， 又因为，， ，，所以，解得：， 因此，的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于理解所给新定义平均曲率，利用新定义解决函数恒成立问题；关键点之二在于新定义平均曲率与数列结合，通过切线方程转化为数列相邻项之间的关系，再构造新数列求出通项公式，最后适当放缩求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省太湖中学2022级高三第一学期12月 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 5. 已知，向量，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则数列的前8项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将向左平移个单位长度，得到函数 D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是 10. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，，是中点，则下面正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 周长的最大值为 C. 中线长度的最大值为 D. 若为锐角，则 11. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则（ ） A. 存在点使得 B. 的最小值为 C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12 D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 13. 若，，且，，则______； 14. 已知函数，则的对称中心为_______；若，则数列的通项公式为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 16. 已知数列的前n项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若关于n的不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数. （1）求的对称轴方程及单调递增区间； （2）在锐角中，已知，求和. 18. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中为常数，则称函数具有性质. （1）函数具有性质，求； （2）设函数， （i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由； （ii）证明：. 19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） （1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ （2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $