专题03 二次函数与代数综合压轴问题（解答类）（高效培优专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题03 二次函数与代数综合压轴问题（解答类） 题型一：二次函数中的直线过定点问题 题型02 二次函数中动点在定直线问题 题型03 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 题型四： 二次函数中的定值问题 题型五： 二次函数与新定义综合压轴 题型六：二次函数中交点问题 题型七：二次函数中最值、函数值大小问题（含参） 题型八：二次函数中其他问题 题型一：二次函数中的直线过定点问题 1．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）已知二次函数的图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．(1)直接写出这个二次函数的表达式；(2)如图1，连接，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．      2．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知点是平面内一点，点到点的距离和直线的距离相等．(1)求与的函数解析式；(2)当时，的最小值为2，求的值；(3)直线与（1）中的函数图象相交于点、（点在点的左边），若，求证：直线必过定点． 3.（2026·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 5.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长；(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 题型02 二次函数中动点在定直线问题 6．（2026·四川成都·校考一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 7.（25-26九年级上·成都·校考期中）如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 8．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)为轴下方抛物线上一点，，求点坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线与直线交于点，问：点是否在定直线运动，若是，求直线的解析式，若不是，请说明理由． 9．（25-26九年级上·成都·月考）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值；(2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 10．（2026·山东德州·校考一模）已知抛物线．(1)写出抛物线的对称轴：______． (2)将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧）．①求的函数解析式；②若的面积为4，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分别过点的两条直线交于点，且与轴不平行，当直线与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上． 题型03 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 11．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 12．（2025·山东淄博·二模）如图，已知抛物线经过定点． (1)直接写出点的坐标；(2)直线与抛物线交于，两点（不与点重合），过点作于点，存在的取值，使得对于任意的，恒成立．求的值； (3)如图，若上述抛物线经过原点，与轴交于另一点，将绕点顺时针旋转一定的角度，使点的对应点落在抛物线的对称轴上． 直接写出的度数；请判断，此时点的对应点是否在抛物线上，请说明理由． 13．（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）如图，抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点N． (1)点N的坐标为 ；(2)已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点A，（点A在点的左边）；①抛物线的解析式为 ；②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围．(3)若抛物线∁n的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A，（点A在点的左边）． ①求的值；②判断抛物线的顶点，，，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由． 14.（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型四： 二次函数中的定值问题 15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） (3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 17.（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 18．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式；(2)当时，求的面积；(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 19．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值；(2)已知二次函数的最大值为．①求该二次函数的表达式；②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 题型五： 二次函数与新定义综合压轴 20．（2026·河北邯郸·校考一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】（1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】（2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 21.（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题：(1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 22．（2025·成都·模拟预测）我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 23．（25-26九年级上·成都·月考）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 题型六：二次函数中交点问题 24．（2025·四川乐山·二模）有二次函数，且等式恒成立．(1)求的值；(2)当时，该二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；(3)是否存在这样的实数，使得同时满足下列两个条件：①关于的方程（其中）恰好有四个不同的实数解；②函数的图象与轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 25．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图象为．(1)用表示图象的顶点坐标；(2)证明：当时，图象与轴有两个交点；(3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 26．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式；②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值；③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 27．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求抛物线的解析式；(2)若直线将线段分成两部分，求的值； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为．直接写出直线与图象有四个交点时的取值范围． 28．（2026·河南三门峡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，且点A在点的左侧，交轴于点，已知对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)在轴上有一动点，过点作垂直轴的直线交抛物线于点，，其中．当时，求出的值；(3)把线段沿直线轴的方向水平移动个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，结合函数图象直接写出的取值范围． 题型七：二次函数中最值、函数值大小问题（含参） 29．（2025·成都·二模）已知抛物线． (1)若点在抛物线上，①求此抛物线的解析式及顶点坐标．②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．(2)已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 30．（2025·成都·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长；②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 31．（2025·成都·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点．（i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围；（ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 32．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．(1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标：(2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标；②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 33．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过这三点中的两个点．(1)求的值；(2)求抛物线的解析式；(3)已知（其中），若此时函数的最小值为，求实数m的最大值； 题型八：二次函数中其他问题 34．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．    (1)如果抛物线还经过点．①求抛物线的解析式；②求四边形的面积； ③动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； (2)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 35．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标；（3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 36．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 37．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图（），抛物线交轴于两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，两点的坐标；(2)是轴左侧的抛物线上的一点，直线轴交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出点的横坐标，并只对其中的一种情况写出求解过程．(3)过点作不与轴平行且与抛物线只有一个公共点的直线，平移直线交抛物线于两点（都在右侧），求证：的内心在轴上． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与代数综合压轴问题（解答类） 题型一：二次函数中的直线过定点问题 题型02 二次函数中动点在定直线问题 题型03 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 题型四： 二次函数中的定值问题 题型五： 二次函数与新定义综合压轴 题型六：二次函数中交点问题 题型七：二次函数中最值、函数值大小问题（含参） 题型八：二次函数中其他问题 题型一：二次函数中的直线过定点问题 1．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）已知二次函数的图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．(1)直接写出这个二次函数的表达式；(2)如图1，连接，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．      【答案】(1)(2)或(3)直线经过定点 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得，∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，当点P在线段上时，连接，交于R， ∵点B和点Q关于对称，∴，设， 由得，，∴，（舍去），∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，，∴； 如图，当点P在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：，综上所述：或； （3）解：设，，设直线解析式为， 则，解得，∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为，直线解析式为， 令，得，，∴，， ∵，∴，整理得， 代入直线解析式为， 当时，，∴直线经过定点． 2．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知点是平面内一点，点到点的距离和直线的距离相等．(1)求与的函数解析式；(2)当时，的最小值为2，求的值；(3)直线与（1）中的函数图象相交于点、（点在点的左边），若，求证：直线必过定点． 【详解】（1）解：∵点是平面内一点，点到点的距离和直线的距离相等， ∴，整理得，∴与的函数解析式为； （2）解：由（1）可得，∴该函数图象的对称轴为轴，开口向上， 在中，当时，，即顶点坐标为， ∵当时，的最小值为2，∴最小值不在顶点处取得， 当时，该函数在上单调递增，最小值为处的函数值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时，该函数在上单调递减，最小值为处的函数值，即，解得或（不符合题意，舍去）；综上所述，的值为或； (3)证明：设直线的解析式为，，， 联立方程组，消去得， ∵，，∴，，，∴，， ∴，，， ∵，∴， ∴， ∴，∴∴，解得或， ∵直线与的函数图象相交于点、（点在点的左边）， ∴，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴直线必过定点． 3.（2026·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 【答案】(1)(2)M的坐标为或(3)见解析 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得，∴，把A的坐标代入， 得，解得，∴抛物线的解析式为； （2）由，解得或，∴， 把代入，解得：，∴，∴，∴， ∵，∴，设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则， ∴． 整理得，解得 ，． 故M的坐标为或． （3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为，令，∴，∴，， 设直线的解析式为，令，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，令，∴，∴，∴， ∴，∴，设直线的解析式为， 令，∴，∴， ∴，∴，∴，∴直线经过定点． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得，，， ，，，，， 将，代入，得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，，，， ，，， ，，，点的坐标为，， ，， ，，解得：或， 点在第一象限，，，，； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线，新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，，，， ，整理得：， 联立，得，，， ， ， ，即，或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为，直线恒过定点． 5.（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长；(2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)直线恒过定点 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴，解得：，，∴，，∴； （2）解：当时，，∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， 设点的坐标为，则，∴， ∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，∴， ∴，∴， ∵的面积是面积的两倍，∴， 整理得：，解得：或， ∵，∴，此时，∴； （3）解：∵，∴， 在中，当时，，故，如图：作轴于， 设，则，∴，， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，将，， 代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为，令，则， 解得：，∴，∴，解得：或， ∵，∴，∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，解得：， ∴直线的解析式为，当时，，解得：，∴直线恒过定点． 题型02 二次函数中动点在定直线问题 6．（2026·四川成都·校考一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为2，此时点P的坐标为 (3)点T在定直线上，该直线解析式为 【详解】（1）解：当时，则有，即；当时，则有；∴， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， 当时，则有，解得：，∴， 由可设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为，∴当时，则有，即， 连接，过点P作轴交于点M，如图所示： 设点，则，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，开口向下，∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：点T在某条定直线上，理由如下： 由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：，解得：， ∴，∵点H是线段的中点，∴根据中点坐标公式可得：，即， 设点，直线的解析式为，则有： ，解得：，∴直线的解析式为， 代入点H得：，∴， 同理可得直线的解析式为，直线的解析式为， 联立上述两个函数表达式得：，解得：， ∴代入直线的解析式得，∴， 设点T在直线，则有：∴，即， 整理得：，比较系数得：， ∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件，∴点T在定直线上． 7.（25-26九年级上·成都·校考期中）如图1，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，D是上方抛物线上异于B、C的一点，连接交y轴于点E，当时，求点D的坐标；(3)如图2，是抛物线上异于B，C的两个动点，直线与直线交于点T，若直线经过定点，求证：点T的运动轨迹是一条定直线． 【答案】(1)(2)(3)点的运动轨迹是一条定直线 【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，则，则， ∵，∴，，∴，， 将代入，得，解得：，∴； （2）解：∵，，，∴，，，过点作于点， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，代入，解得：，∴ ， 联立抛物线解析式，可得，解得：或（舍去），∴； （3）解：设，∵，，设直线的解析式为， ∴，解得：，∴，设的解析式为，， ∴，解得：，∴， 联立，消去得：， 联立，消去得：， ∵，∴，即， 由可得，依题意，直线的解析式为，即， 联立，则，∴，， ∴，消去得：， 解得：（与直线重合，故舍去）或，即点的运动轨迹是一条定直线． 8．（25-26九年级上·成都·校考期末）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式；(2)为轴下方抛物线上一点，，求点坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于，两点，直线与直线交于点，问：点是否在定直线运动，若是，求直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点在定直线上运动． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得，抛物线的解析式为； （2）解：如图，设交轴于点，取点，连接，过点F作，则， 令，可得或，，， 在△和△中，，△△， ，平分，，，， ，，设，则有，解得或（舍去）， ，即，设直线解析式为， 则有，解得，直线解析式为， 联立，解得（与点重合，故舍去）或，； （3）设点，，设直线的解析式为， ，解得，直线的解析式为， 设直线的解析式为，，解得， 直线的解析式为， 联立得：，解得：，， 联立直线与抛物线得：， 整理得：，，，，， 将代入得，     ，     ， ，点在直线上． 9．（25-26九年级上·成都·月考）如图，抛物线与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求c的值；(2)若点D与C关于原点O对称，作射线交抛物线于点E，若． ①如图1，在直线下方的抛物线上有一点 P，若平分，求P点的横坐标； ②如图2，直线交抛物线于另一点 F，直线交抛物线于另一点H，且M，N分别为线段，的中点，若，求证：直线与经过原点的一条定直线平行． 【答案】(1)(2)①；②证明见解析 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， ，即，∴； （2）解：，令，则，∴点C坐标为， ∵点D与C关于原点O对称，∴点D坐标为，设点B坐标为， ∵，∴点D是的中点， 由中点公式可得，解得，，∴点E坐标为， 将，代入抛物线，得，， 将得，，即，将代入①得，，解得，， ∴，∴方程组的解为， ∴抛物线解析式为，点B坐标为，点E坐标为， ①如图，作轴，垂足为J，延长交于点K，作，垂足为，设， ∵点E坐标为，轴，∴点J坐标为，，∴，， 在直角中，， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， 在直角中，，，， 由勾股定理得，，∴，解得，，∴点K坐标为， 设直线的函数解析式为，将，代入，得， ，解得，，∴直线的函数解析式为， 联立方程，解得，或，∴点P的横坐标为； ②证明：如图，连接，将点E坐标为代入，得， ∴，即，同理，，， 联立方程，将③代入④得，， 化简，得，因式分解，得， 解得，或，∴方程组的解为或， ∴点F坐标为，同理，点H坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ，将得，， ∵，且，∴，即， ∵M，N分别为线段，的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴与过原点的定直线平行． 10．（2026·山东德州·校考一模）已知抛物线．(1)写出抛物线的对称轴：______． (2)将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧）．①求的函数解析式；②若的面积为4，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分别过点的两条直线交于点，且与轴不平行，当直线与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：直线．故答案为：直线． （2）解：①∵抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线，∴可设抛物线的解析式为： ∵点有抛物线上，∴解得：．∴抛物线的解析式为： ②∵点B在抛物线上，且在点A的左侧，∴设点B的坐标为且， 如图，过点分别作x轴的垂线，垂足为点． ∵ 又∴解得： ∴（不合题意，舍去），则∴． (3)证明：设，联立方程组整理得：， ∴ 设过点M的直线解析式为， 联立得方程组，整理得．① ∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点，∴∴． ∴由①式可得：解得：．∴． ∴过M点的直线的解析式为． 用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为， 联立上两式可得方程组，解得， ∵∴，∴点P在定直线上． 题型03 二次函数过定点和二次函数轨迹问题 11．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式和点的坐标；(2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标；②当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，求的取值范围；(3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则的中点坐标为 【答案】(1)，(2)①；②(3)是； 【详解】（1）解：将点和点代入，解得，， ∴抛物线的解析式为, 对于直线，当时，，∴，∴点D的坐标为． （2）①，∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； ②当时，, 当时，，当时，，∴点的坐标为，点的坐标为． 当抛物线与线段有公共点时，联立和，整理可得， ，解得．结合图象，当抛物线与线段有公共点时，； （3）解：联立和，整理可得， 设点，的坐标分别为，，则、为方程的根， ∴，， ∴点M的坐标为，令，，∴， ∴，抛物线的解析式为． 12．（2025·山东淄博·二模）如图，已知抛物线经过定点． (1)直接写出点的坐标；(2)直线与抛物线交于，两点（不与点重合），过点作于点，存在的取值，使得对于任意的，恒成立．求的值； (3)如图，若上述抛物线经过原点，与轴交于另一点，将绕点顺时针旋转一定的角度，使点的对应点落在抛物线的对称轴上． 直接写出的度数；请判断，此时点的对应点是否在抛物线上，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)① ②解：点的对应点不在抛物线上， 理由如下：点的坐标是，点的坐标是， 则，，， 则与垂直的直线与轴的正方向夹角是，设与垂直的直线的解析式是， 点的坐标是，点的坐标是，点的中点的坐标是，即， 把代入，可得：，解得：，线段的垂直平分线的解析式是， 解方程组，可得：，解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标是， 则，， 设旋转后点到达点的位置，又，是等边三角形， ，点与点不重合，点的对应点不在抛物线上． 【详解】（1）解：当时，可得：，点的坐标是； （2）解：点的坐标是，点的坐标是， 当时，可得：，由， 可得：，，， ，，，，， 设点的横坐标是，点的横坐标是，，， ，整理得：， ，，分解因式得：， 解得：，(与点重合，舍去)，当时，对于任意的，恒成立； 当时，可得：，， ，整理得：， ，， 分解因式得：，解得：，(与点重合，舍去)， 当时，对于任意的，恒成立； 综上所述，当或时，对于任意的，恒成立； （3）解：抛物线经过原点，，解得：， 抛物线的解析式为，抛物线的对称轴是，解方程， 可得：，(与原点重合，舍去)，点的坐标是， 如下图所示，由旋转可知，是抛物线的对称轴， 直线是线段的垂直平分线，， 是等边三角形，，旋转角； 略 13．（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）如图，抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点N． (1)点N的坐标为 ；(2)已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点A，（点A在点的左边）；①抛物线的解析式为 ；②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围．(3)若抛物线∁n的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A，（点A在点的左边）． ①求的值；②判断抛物线的顶点，，，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②(3)①5350；②不在；理由见解析 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，经过，∴，故答案为：； （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，∴， ∴，∴，将点，代入， ∴，∴，∴， ∵抛物线与抛物线C关于y轴对称，∴，故答案为：； ②∵，∴当时，y随x值的增大而增大， ∵，∴当时，y随x值的增大而增大， ∵抛物线C1和抛物线C上y都随x的增大而增大，∴； （3）解：①由题意可得，，，，…， ∴； ②不在一条直线上，理由如下：∵， ∴，，，…，， 设，所在直线解析为， ∴，∴，∴，将代入，得， ∴点不在直线上，∴点，，，…，不在一条直线上． 14.（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且(1)求抛物线的表达式；(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标；(3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【详解】（1）解：抛物线：（），当时，，∴，， ∵，∴，又∵，∴， 代入得，，解得：，∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点，设直线的解析式为， 代入得，，解得：，∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形，∴，，设， ∵，∴，∵点在直线上，∴，解得：，， 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴； 当时，，设，则，解得：，， ∵点在点的左侧，∴；∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，，联立，消去整理得：， ∴，，∴， ， 设，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 整理得：， ∵点是定点，∴，，，解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 题型四： 二次函数中的定值问题 15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式；(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)是定值，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴，解得，∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则解得，∴直线的解析式为， 联立与得到，解得，则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，，解得， 此时∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上，∴即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则解得，∴直线的解析式为， 与联立得到，， 整理得到，则， 即，即，即为定值． 16．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） (3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点的坐标为；(2)(3) (4)解：设过原点O的直线为，与抛物线联立，得， 整理得：， ∵过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴该方程的两个根即为M，N的横坐标m，n，∴， 由于−3是与k无关的常数，∴是一个定值． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，点， ∴，解得：，∴抛物线的表达式为， ，∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴在范围内，∴在处取得最大值． 当时，；当时，．∴的最小值为0．∴，故答案为：； （3）解：的周长．其中的长度一定，当最小时，的周长最小． ∴点A关于对称轴的对称点为，∴． ∴只需在对称轴上找一点P，使最小．当B，P，C三点共线时，最小，即为的长． 设直线的解析式为，则，∴， ∴直线的解析式为．当时，，∴； （4）略 17.（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标．(2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H．①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长；②求的周长的最大值．(3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为(2)①，②周长的最大值为 (3)存在，定点F 的坐标为 的值为4 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴． 把点代入 中，得，∴抛物线的解析式为 ， 当时，，∴点C的坐标为； （2）解：设直线 的函数解析式为，把代入，得 ，解得 ， ∴直线 的函数解析式为，∵，∴． ∵轴，∴．∴是等腰直角三角形．； ①当点 M 运动到抛物线的顶点时，点 N的坐标为，∴． ∴的周长为 ； ②设 其中，则， ∴的周长为 ，∴当 时，的周长有最大值，最大值为 ； （3）解：存在． 当抛物线 向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到新的抛物线 ，即 ， 设的解析式为，点 S 的坐标为，点T的坐标为，则 ， 联立新抛物线与直线的函数解析式，得 ，整理，得 ， 由根与系数的关系，得 ，则 ， 同理， ，， ， 当 为定值时，有 ， ， 当 时， ，∴定点F 的坐标为 的值为4． 18．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式；(2)当时，求的面积；(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点O、， ∴，∴，∴抛物线的表达式， （2）解：∵抛物线的表达式，∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕点旋转得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为， 联立，解得或，∴， ∵，∴点M为中点，∴； （3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为，∴， 设，联立得，∴； 设直线解析式为，直线解析式为， ∴，解得，同理可得， ∴ ， ∵是一个定值，∴，即． 19．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值；(2)已知二次函数的最大值为．①求该二次函数的表达式；②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①； ②证明：因为点在函数的图象上，所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设，则，即． 所以 ，所以． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上，所以，所以，所以． （2）①由（1）可得，，所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为．因为函数的最大值为， 所以，且，解得，或（舍去）．所以该二次函数的表达式为． ②略 题型五： 二次函数与新定义综合压轴 20．（2026·河北邯郸·校考一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】（1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】（2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 【答案】（1）①，②1（2）（3）或；（4） 【详解】解：（1）①∵抛物线中，∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，故答案为：，； ②∵点到焦点的距离等于点到定直线的距离，∴动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长，∵，∴；故答案为：1； （2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：，又∵，∴ 解得：或（舍去），∴，∴点P的坐标为； （3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上，∴， 如图，连接，设直线交准线l于点N，则； 由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为； ∵轴，∴，，∴， ∵，∴，解，得：； 对于，化简得：， 考虑二次函数，令，解得：， 即二次函数图象与x轴交于， ∵二次函数的图象开口向上，∴的解集为：或； 综上，不等式的解集为：或；    （4）∵抛物线中，∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： ∵点的坐标为，准线，∴，点的横坐标为，代入解得， 即，，的最小值为，则的面积为． 21.（2025·广东深圳·三模）规定1：一个点纵坐标与横坐标的比“”称为点的“纵横比”．例如：点，则它的“纵横比”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横比”中的最大值称为函数的“最优纵横比”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横比”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的（）“最优纵横比”为7． 根据规定，解答下列问题：(1)点的“纵横比”为_____； (2)若当时，一次函数的最优纵横比为5，则的值为_____； (3)若已知二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横比为2，求的值． (4)若已知二次函数的图象如图所示，平面中有、两点，且，，现向左右平移该二次函数图象，使得图象与线段只有一个交点．若平移的距离为，请求出的取值范围，并直接写出交点“纵横比”的对应范围_____． 【答案】(1)(2)1(3)的值为或4 (4)当或时，图象与线段只有一个交点； 【详解】（1）解：点的“纵横比”为，故答案为：； （2）解：一次函数的纵横比为，则纵横比随着的增大而减小， ∵，∴当时，一次函数取得最优纵横比， ∵一次函数的最优纵横比为5，∴，∴．故答案为：1． （3）解：∵二次函数的顶点在直线上，∴，则， 二次函数的纵横比为， 当时，当时，纵横比随着的增大而增大， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2，则，解得，则； 当时，在当时，纵横比随着的增大而减小， ∴当时，二次函数取得最优纵横比为， ∵二次函数的最优纵横比为2，则，解得，则； 综上，当，二次函数的最优纵横比为2时，的值为或4． （4）解：根据题意得二次函数平移后的解析式为， ∵，，将代入可得，解得：或， 将代入可得，解得：或， 故当时，和都在上， 根据图象可得当或时，图象与线段只有一个交点， ∵，，设直线的解析式为 ， 则，解得：，故直线的解析式为 ， 则交点“纵横比”，则纵横比随着的增大而减小， ∵，当时，， ∴当时，n最小，∴交点“纵横比”的对应范围是． 22．（2025·成都·模拟预测）我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次项系数相同，且二次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同，则称这两个函数互为“友情函数”，例如：二次函数与一次函数互为“友情函数”． (1)已知二次函数满足，试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点； (2)当二次函数与它的“友情函数”仅有一个交点，且时，请判断这两个函数是否有交点，如果有，请写出交点的横坐标； (3)若二次函数满足以下条件：①函数图像过点，②，若该二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标，，试判断的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)有，或(3) 【详解】（1）证明：由题意得：二次函数的“友情函数”为，∴， 整理，得：，∴ ∵，，∴，∴该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点． （2）解：∵，由（1）得：， ∴或， ①若，则由（1）得：，∴，∵，∴ ②若，同理得：，∵0，∴．综上所述，交点的横坐标为或． （3）解：把点代入得：，∴， 由题意得：，∴，整理，得：， 由（1）得：，∴， 由题意得：，是的两个解，∴，， ∴， ∵，∴随着的增大而增大， 当时，，当时，=，∴的取值范围是． 23．（25-26九年级上·成都·月考）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 【答案】(1)证明见解析(2)这两个函数的解析式为和 (3)的值为或 【详解】（1）证明：联立，消去y整理得，， 又，即，，解得，方程组只有一组解， 二次函数（且）与（且）只有一个交点， 互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． （2）解：依题意作图，如图1：过点A作轴于点D， 当时，，故；当时，，故； 由（1）知二次函数与它的“交叉函数”的“交叉点”A的坐标为， ，，，是以为底边的等腰直角三角形，， 又，点D为的中点，，即，， 点D为的中点，，，联立，解得或， 这两个函数的解析式为和． （3）解：不妨设二次函数与x轴交于点M，N（点N在点M的右边）， 二次函数与x轴交于点P，Q（点Q在点P的右边）， 则关于x的方程有两根，，由求根公式可得， ，同理可求得， 由题知，，，两边平方整理得，， 又，，，，两函数图象的交点坐标为， 点P在之间，点N在之间，如图2所示， 由，可知点在抛物线的对称轴上，且，，， ，是方程的两根，由根与系数的关系可知， ，，，整理得， 又，，由得， 两抛物线解析式为和，易求得，，，， 当时，，一次函数图象过点， 如图3，结合图象可知，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点， 则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点， 当一次函数图象过点时，，． 当一次函数图象与抛物线只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， 整理得，， 解得，．综上可知，的值为或． 题型六：二次函数中交点问题 24．（2025·四川乐山·二模）有二次函数，且等式恒成立．(1)求的值；(2)当时，该二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；(3)是否存在这样的实数，使得同时满足下列两个条件：①关于的方程（其中）恰好有四个不同的实数解；②函数的图象与轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不存在这样的实数，使得同时满足这两个条件，详见解析 【详解】（1）解：由条件知 ，解得  ． （2）由（1）可知，  其对称轴为由题可知  解得的取值范围是 （3）①：关于的方程（）恰好有四个不同实数解 即恰好有四个不同实数解，记， 当时，；当时，，作出如下图象 已知该图象关于轴对称  且当时， 当时，  当时，该方程恰好有四个不同实数解． ②：记函数的图象与轴的两个相异交点分别为和 ， 两个交点均在直线的左侧  ，  ，   即  解得 综合①②得：不存在这样的实数，使得同时满足这两个条件． 25．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图象为．(1)用表示图象的顶点坐标；(2)证明：当时，图象与轴有两个交点；(3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)见解析； (3)，或时，图象与线段恰有一个公共点． 【详解】（1）解：整理， 可得：，图象的顶点坐标为； （2）解：当时，可得：， ，整理得：， 当时，，方程有两个不相等的实数根， 图象与轴有两个交点； （3）解：①当时，设点的坐标为，点的坐标为， 一次函数（是常数，，）的图象为线段， 当时，，当时， 依题意，图象与线段恰有一个公共点，如图， 当时，，解得：或 当时，，解得： ∴ ②当时，解得： 当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去） 综上所述，，或时，图象与线段恰有一个公共点． 26．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式；②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值；③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； (2)已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 【答案】(1)①；②1或5；③；(2)，或 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，，即1，解得， 将代入中，得，解得，； ②， 将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，，． 当时，即，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，抛物线对应的函数值最大为，，解得，， ，均不符合，舍去； 当时，即，若，则， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16，，解得，（舍去）， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16，，解得（舍去）， 综上所述，的值为1或5； ③设过点的直线解析式为，则，，， 联立得，整理得， 由题意得，、是这个方程的两个实数根，，， ； （2），或．设直线的解析式为，代入，， ，解得，， 令，整理得，当时，， 此时，解得，符合，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，此时，当时，， ，此时抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，解得，此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意；． 综上所述，的取值范围是或． 27．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求抛物线的解析式；(2)若直线将线段分成两部分，求的值； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为．直接写出直线与图象有四个交点时的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：直线的解析式为，， 把点的坐标代入得，，解得， 抛物线的解析式为，即； （2）解：设直线与轴的交点为，    令时，则有，解得：，点和点，， 直线将线段分成两部分，或， 或，分别代入得：或； （3）解：如图所示，当直线夹在两条虚线之间时直线与图象有四个交点，把代入得；∴把化为顶点式得，则其顶点坐标是， 将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方后，顶点变为， 折叠后的抛物线表达式为， 联立和得，，即， ，或， ，，． 28．（2026·河南三门峡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，且点A在点的左侧，交轴于点，已知对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)在轴上有一动点，过点作垂直轴的直线交抛物线于点，，其中．当时，求出的值；(3)把线段沿直线轴的方向水平移动个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)(2)(3)且 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴对称轴为 ，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：由已知，点E、F关于直线对称，且PF平行于x轴 ∴， ∵∴ 解得 ∴ （3）解：由 ，解得或 ∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0） ∵点A在点B左侧∴A（1,0），B（3,0）∵时， 点C坐标为（0，-3），点C关于直线的对称点D坐标为（4，-3） 如图，当线段BC向左平移至点B与点A重合，此过程线段满足与抛物线有唯一交点，由图像可知； 当线段BC向右平移至点C与点D重合，此过程线段满足与抛物线有唯一交点，由图像可知； 综上n的取值范围为且 题型七：二次函数中最值、函数值大小问题（含参） 29．（2025·成都·二模）已知抛物线． (1)若点在抛物线上，①求此抛物线的解析式及顶点坐标．②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．(2)已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①，顶点，②或(2)或 【详解】（1）解：①将已知点在抛物线上，将代入可得： ，解得：，所以抛物线解析式为， 将其化为顶点式：，所以顶点坐标为； ②当时，代入得：， 当时，， 因为线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段过顶点，此时只有一个公共点； 当时，线段与抛物线也只有一个公共点，所以或； （2）解：抛物线，对称轴为直线． 当时，．因为对于都有． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大． 要满足条件，则，解得：； 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 横坐标为3关于对称轴的对称点的横坐标为， 对于，（等号不同时成立），都有，则， 解不等式得：，又∵，∴ 综上所述，的取值范围是或． 30．（2025·成都·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长；②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【答案】(1)(2)①②或 【详解】（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得，∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧，∴， ∴； ②由（1）知：，∵，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴，解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时，则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）；综上：或． 31．（2025·成都·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）解：， 则抛物线的对称轴为，顶点坐标为； （2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为， ∵抛物线中，，∴抛物线开口向下， ∵点M的坐标为，点N的坐标为，且，∴， 当时，解得：，此时，，解得：，∴； 当时，不等式组无解； 当时，解得：，此时，，解得：，∴不存在此种情况； 当时，解得：，此时，，解得：，∴； 综上，b的取值范围为； （ii）根据题意，∴，∴， 令，则， 由题意得方程的解为， ∴，， ∴，，两式相减：，解得， 则，，∴抛物线解析式为， ∵，∴当时，抛物线有最大值， ∵当时，y的最大值为11，最小值为2，令，则， 解得：或，∴当时，，则； 当时，，则；综上，的取值范围为． 32．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】(1)，(2)①或；②或 【详解】（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，     ∵，∴的顶点坐标为； （2）①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N， ∴， ∴， ∵，∴，解得或，∴或．            ②∵的解析式为：，∴当时，， 当时，，当时，， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴，解得或 （舍）； Ⅱ、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴，解得或（舍）： Ⅲ、当时，，函数的最大值为，函数的最小值为； ∴，解得（舍）；综上，a的值为或． 33．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过这三点中的两个点．(1)求的值；(2)求抛物线的解析式；(3)已知（其中），若此时函数的最小值为，求实数m的最大值； 【答案】(1)6(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，∴时的函数值与时的函数值相同， ∵，∴点A和点C不可能都在抛物线上， 又∵抛物线经过这三点中的两个点， ∴点B一定在抛物线上，∴，∴； （2）解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 若点A在抛物线上，，∴点A的纵坐标一定小于点的纵坐标，这与矛盾， ∴点A一定不在抛物线上，∴点C在抛物线上，∴，∴， 联立，解得，∴抛物线的解析式为； （3）解：∵，∴，∴； 在中，当时，， ∵当时，此时函数的最小值为，∴当时，且当时，函数有最小值， ∵函数图象开口向下，∴离对称轴越近函数值越大， ∴，∴，解得， 又∵，∴，∴m的最大值为． 题型八：二次函数中其他问题 34．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．    (1)如果抛物线还经过点．①求抛物线的解析式；②求四边形的面积； ③动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； (2)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②9；③(2)或 【详解】（1）解：①∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：，解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， ，点坐标为． 和，，， 当时，，，． ∴． ③设直线的解析式为，把点，代入得∶ ，解得：，∴直线的解析式为， 动直线与抛物线交于点，与直线交于点， ∴可设，则， 线段的长为，， 即关于的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．当时，，． 当时，由图象可得：符合条件的6个整点分别为，，，，，． 则，解得； 若，同理可得；的取值范围是或． 35．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标；（3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【详解】解：（1）设的解析式为，将代入得：， 解得：；∴的解析式为； （2）由：得：：；由直线：得： 联立①②得：，解得：； ∴或；即：，； （3）作关于直线的对称点，连接如图所示： ∵∴的最小值为线段的长度； 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：，∴当时，；即：； ∵，，∴； 36．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：①当时，， ∴，∴，∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，，∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，，∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上，∴，由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使，∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点，而的最小值为， ∴；∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，∴； ∵是该函数图像的生长点，∴， 当时，则：，∴， ∴，∴， ①当点在线段上时，则：，∴，解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴，∴，∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意；∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴，∴， 把，代入，得：，∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 37．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图（），抛物线交轴于两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，两点的坐标；(2)是轴左侧的抛物线上的一点，直线轴交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出点的横坐标，并只对其中的一种情况写出求解过程．(3)过点作不与轴平行且与抛物线只有一个公共点的直线，平移直线交抛物线于两点（都在右侧），求证：的内心在轴上． 【答案】(1)(2)；过程见解析(3)见解析 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点 ∴将代入解析式得：，∴抛物线， ∴令，则： 即：，解得， ∵点在左边，∴； （2）点的横坐标： ，理由如下： 设交轴于，设解析式于,则 由 ，解得：，，得 ①当时，，   ②当时，即：， 解得：，， ③当时，，则，，， 综上，当是等腰三角形时，点的横坐标： ， （3）设直线l的解析式为， 由得， ∵抛物线与直线l只有一个公共点，，∴，解得， 设的横坐标分别为，直线分别交轴于,设直线解析式为， 由得，，所以 ，                            设直线解析式为， 同理可得 设直线解析式为， 由得， ， ∵，∴， 因此，∴ ，∴， ∵，∴，轴平分，所以的内心在轴上． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $