第二十六章 二次函数（单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·培优（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B A C C D A A C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 或 14. 15. 16. 17.3 18. 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：，(1分) ∴二次函数的解析式为．(2分) （2）解：当时，， 当时，， 当时，，(3分) 补全表格，函数的图象 0 1 2 3 4 0 1 0 4分) （3）解：根据函数图象可得当函数值时，或．(6分) 20.【详解】（1）解：对于求的最小值，小强的做法是通过配方． ，(1分) 因为， 当时，即时，取得最小值． 所以小强的求解过程是正确的．(3分) (2)能，的最小值为，(4分) 求解过程如下： ∵，(5分) ∴当时，原式取得最小值.(6分) 21.【详解】（1）解：根据题意，将，，代入中， 得，解得(2分) ∴该抛物线的解析式为；(3分) （2）解：连接交直线l于点P，连接，，则， 由题意，，，(5分) ∵周长为， ∴当点A、P、C共线时，最小，最小值为，此时周长最小，最小值为．(8分) 22.【详解】（1）解：∵二次函数图像过点和， ∴对称轴为直线；（1分） ∵当时，， ∴顶点坐标为；（2分） 设二次函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，；（3分） （2）解：关于的方程的解，即函数中时对应的值， ∵时，，且函数的对称轴为直线， ∴另一个解为， ∴方程的解为，；（5分） （3） 解：令，则， 解得， （6分） ∵， ∴方程的两个实数根约为和， 计算各选项与最近根的距离： 选项A：， 选项B：最小距离为， 选项C：最小距离为， 选项D：最小距离大于， ∵， ∴一个实数根更接近于．（8分） 23.【详解】（1）解：根据题意得，为， ∴ 解得，，（1分） 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ；（3分） （2）解：根据题意得， ，（5分） ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值，（7分） ∴．（8分） 24.【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线，（1分） ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得，（2分） ∴函数关系式为；（3分） （2）解：由题意得，令 解得，（舍去），（5分） 由题意得，令 解得，（舍去），（7分） ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内．（8分） 25.【详解】（1）解：，解得；（1分） （2）解：①由题意得：， 为定值，与x无关， ，即， 所以当时，g为定值2；（2分） ②， 随x的增大而增大， ， ；（3分） （3）解：由题意得：， ， ，（4分） 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当，分情况讨论， ①当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）；（6分） ②当时，时g取最大值， 即， 解得（舍去），（舍去）；（8分） ③当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； 综上，t的值为或．（10分） 26.【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得，(1分) ∴该抛物线解析式为， 当时，可得， 解得，(2分) ∵，且点在点左侧， ∴，即， 将点代入抛物线， 可得；(3分) （2）∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线，(4分) 由（1）可知，，，且点为对称轴上一点， 由抛物线的对称性可知，点关于直线对称， ∴， ∴，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，连接，交对称轴于点，如图所示， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为，(5分) 当时，， ∴；(6分) （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，(8分) 分两种情况讨论，如图所示， ①当点N在x轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ∴， ∴， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵， ∴， ∴；(9分) ②当点N在x轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点D， ∴，， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，即点的纵坐标为3， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵点在轴左侧的抛物线上， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或．(12分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 5．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 7．已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（     ） A．B． C． D． 11．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 12．某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头．如图，点为固定水位监测点，喷头从处沿直线管道移动．设为（单位：m）（），为（单位：），关于的函数图象如图所示，图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．图象与轴交点的纵坐标为221 D．点在该函数图象上 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________． 14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 15．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 16．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 17．如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 18．已知函数，，函数与组成一个新函数，图象记为． （1）若点在图象上，则的值_____________； （2）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并将结果化为的形式； (2)补全下面的表格，并在图中描点画出该函数的图象； 0 1 2 3 4 0 (3)直接写出当时，的取值范围． 20．（6分）阅读下面的材料并解答后面的问题 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为，而，所以的最小值是． 问题： (1)小强的求解过程正确吗？ (2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． 21．（8分）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 22．（8分）已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)二次函数图像的顶点坐标为______，______； (2)关于的一元二次方程的解为______； (3)关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 23．（8分）如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 24．（8分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 25．（10分）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 (2)已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 26．（12分）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 5．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 7．已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（     ） A．B． C． D． 11．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 12．某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头．如图，点为固定水位监测点，喷头从处沿直线管道移动．设为（单位：m）（），为（单位：），关于的函数图象如图所示，图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．图象与轴交点的纵坐标为221 D．点在该函数图象上 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________． 14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 15．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 16．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 17．如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 18．已知函数，，函数与组成一个新函数，图象记为． （1）若点在图象上，则的值_____________； （2）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并将结果化为的形式； (2)补全下面的表格，并在图中描点画出该函数的图象； 0 1 2 3 4 0 (3)直接写出当时，的取值范围． 20．（6分）阅读下面的材料并解答后面的问题 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为，而，所以的最小值是． 问题： (1)小强的求解过程正确吗？ (2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． 21．（8分）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 22．（8分）已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)二次函数图像的顶点坐标为______，______； (2)关于的一元二次方程的解为______； (3)关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 23．（8分）如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 24．（8分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 25．（10分）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 (2)已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 26．（12分）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 二次函数·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式为，再将点代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的函数解析式为． ∵平移后的函数图象过点， ∴， ∴． 2．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，抛物线开口向上，即可得解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大, 抛物线开口向上，即， 解得． 3．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将平移后的抛物线反向平移得到原抛物线，化为一般式即可求得，的值． 【详解】解：， 将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到原抛物线， 原抛物线解析式为， 整理得， ∴，． 4．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【答案】A 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积， . 5．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，判断二次函数的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，结合自变量的取值范围，得出对应的取值范围． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为， 二次函数转化为一般式为，，二次函数开口向上， 又∵在的范围内， ∴当时，该函数在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，，当时，取得最小值， ∴此时的取值范围是， 当时，该函数在对称轴右侧随的增大而增大， ∵， ∴， ∴此时的取值范围是， ∴当时，的取值范围是． 6．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 7．已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 8．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系求出和，再计算的值； 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：，， ∴． 9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 10．如图所示，直角三角形中，，且．设直线截此三角形所得的阴影部分面积为，则与之间的函数关系的图象为（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，交于点，容易证明是等腰直角三角形，则，计算得，结合二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：如图，设直线交于点，交于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与之间是二次函数关系，且该二次函数的图象开口向下，只有选项C符合． 11．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 12．某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头．如图，点为固定水位监测点，喷头从处沿直线管道移动．设为（单位：m）（），为（单位：），关于的函数图象如图所示，图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．图象与轴交点的纵坐标为221 D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】根据垂线段最短，得到当垂直时，最小，结合，即当时，，构造直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出和的值，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：由题意，当垂直时，最小，此时； ∵图象过点， ∴当时，， 如图，构造直角三角形，其中，，，则， ∴， ∴，即； ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵图象经过和两点， ∴关于对称轴对称， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，，当时，， 故图象与轴交点的纵坐标为221，点不在该函数图象上； 综上：只有C选项正确. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】根据图象判断抛物线高于直线的区间即可． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧，抛物线高于直线， ∴当或时，． 14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【答案】 【分析】根据总销售额每件售价每星期销售量，分别得到涨价后的售价和销售量，即可列出函数关系式． 【详解】解：∵每件商品原售价为元，涨价元后，每件售价为元， ∵原每星期可卖出件，每涨价元少卖出件，涨价元后，每星期销售量为件， ∴总销售额等于售价乘以销售量，可得， 即． 15．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 【答案】 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 16．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】四 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据其对称轴，判断出，根据二次函数当时与轴的交点在轴的负半轴，判断出，再分析，的符号，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的对称轴， ， 当时，二次函数与轴的交点在轴的负半轴， ， ，， 点在第四象限． 17．如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．已知函数，，函数与组成一个新函数，图象记为． （1）若点在图象上，则的值_____________； （2）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】（1）根据点的横坐标判断对应分段函数，代入计算即可； （2）先确定直线与图象有三个交点时的范围，利用二次函数对称性得两个交点横坐标和，再表示出第三个交点横坐标，进而得到关于的表达式，求出的范围． 【详解】解：（1）∵点在图象上，且， ∴将代入，得； （2）设直线的解析式为， ∵直线与图象有三个不同的交点， ∴直线与有两个交点，与有一个交点， ∵，开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴当时，与有两个交点， 设这两个交点的横坐标为，， ∵二次函数的对称轴为， ∴根据二次函数的对称性，， 对于，令，得，即， ∵， ∴， 解得， 又∵，该条件成立， ∴， ∵， ∴，即． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并将结果化为的形式； (2)补全下面的表格，并在图中描点画出该函数的图象； 0 1 2 3 4 0 (3)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)补全表格，函数的图象如下： 0 1 2 3 4 0 1 0 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，再化为顶点式即可； （2）补全表格再画图象即可； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 补全表格，函数的图象略 （3）解：根据函数图象可得当函数值时，或． 20．（6分）阅读下面的材料并解答后面的问题 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为，而，所以的最小值是． 问题： (1)小强的求解过程正确吗？ (2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． 【答案】(1) 小强的求解过程正确． (2) 能，的最小值为， 求解过程如下： ∵， ∴当时，原式取得最小值. 【分析】（1）验证配方法变形的正确性与最值推导逻辑的合理性. （2）通过配方法变形原式，结合平方的非负性求代数式的最小值. 【详解】（1）解：对于求的最小值，小强的做法是通过配方． ， 因为， 当时，即时，取得最小值． 所以小强的求解过程是正确的． （2）略 21．（8分）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交直线l于点P，连接，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，当点A、P、C共线时，周长最小，最小值为，求得即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，将，，代入中， 得，解得 ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接交直线l于点P，连接，，则， 由题意，，， ∵周长为， ∴当点A、P、C共线时，最小，最小值为，此时周长最小，最小值为． 22．（8分）已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)二次函数图像的顶点坐标为______，______； (2)关于的一元二次方程的解为______； (3)关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 【答案】(1)， (2)， (3)A 【分析】（1）由表格中纵坐标相同的两点确定二次函数的对称轴与顶点坐标，用待定系数法求解析式； （2）方程的解即为时对应的值，利用对称性求解即可； （3）求出时对应的值，计算各选项与最近根的距离，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵二次函数图像过点和， ∴对称轴为直线； ∵当时，， ∴顶点坐标为； 设二次函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，； （2）解：关于的方程的解，即函数中时对应的值， ∵时，，且函数的对称轴为直线， ∴另一个解为， ∴方程的解为，； （3） 解：令，则， 解得， ∵， ∴方程的两个实数根约为和， 计算各选项与最近根的距离： 选项A：， 选项B：最小距离为， 选项C：最小距离为， 选项D：最小距离大于， ∵， ∴一个实数根更接近于． 23．（8分）如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)的长为6米 (2)当的长为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意得，为，利用长方形的面积公式列方程，求出的值，再结合题意求出符合的值； （2）根据题意得，再配方变为顶点式，根据的取值范围和二次函数的性质求得围成的花圃的最大面积． 【详解】（1）解：根据题意得，为， ∴ 解得，， 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ； （2）解：根据题意得， ， ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， ∴． 24．（8分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 25．（10分）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“型相关量”为，则________； 【探究】 (2)已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的数量关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为，请求出的值． 【答案】(1) (2)①当时，g为定值2；② (3)t的值为或 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）分3种情况讨论，①当时，时g取最大值，②当时，时g取最大值，③当时，时g取最大值，分别计算即可． 【详解】（1）解：，解得； （2）解：①由题意得：， 为定值，与x无关， ，即， 所以当时，g为定值2； ②， 随x的增大而增大， ， ； （3）解：由题意得：， ， ， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当，分情况讨论， ①当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； ②当时，时g取最大值， 即， 解得（舍去），（舍去）； ③当时，时g取最大值， 即， 解得，（舍去）； 综上，t的值为或． 26．（12分）如图，抛物线经过、、三点． (1)求、、的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，轴左侧的抛物线上是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）首先将点代入抛物线解析式并解得的值，即可确定该抛物线解析式，然后计算，的值； （2）首先确定该抛物线的对称轴为，且点关于直线对称，易得，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值；设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线的解析式，进而确定点坐标即可； （3）分点N在x轴下方和点N在x轴上方两种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ∵，且点在点左侧， ∴，即， 将点代入抛物线， 可得； （2）∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线， 由（1）可知，，，且点为对称轴上一点， 由抛物线的对称性可知，点关于直线对称， ∴， ∴，当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，连接，交对称轴于点，如图所示， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， 分两种情况讨论，如图所示， ①当点N在x轴下方时，四点构成平行四边形，如图所示， ∴， ∴， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵， ∴， ∴； ②当点N在x轴上方时，四点构成平行四边形，如图所示，过点作轴于点D， ∴，， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，即点的纵坐标为3， 对于抛物线，当时， 可得，解得， ∵点在轴左侧的抛物线上， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $