专题05 双曲线（期中复习讲义，13大核心题型）高二数学上学期人教A版

专题05 双曲线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义 掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题,培养数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 双曲线及其标准方程 掌握双曲线的标准方程,了解双曲线标准方程的推导过程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键 双曲线的简单几何性质 1、了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,培养数学运算的核心素养. 2、理解双曲线的渐近线、离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系,提升直观想象的核心素养. 高频易错点，常出现在小题，特别是渐近线、离心率的求法是高频考点 直线与双曲线的位置关系 掌握利用根的判别式判断直线与双曲线位置关系的方法,会判断直线与双曲线的位置关系,培养直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题 双曲线的弦长公式、中点弦问题 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题 知识点01 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点02 双曲线的标准方程 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 知识点03 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； 知识点04 双曲线的简单几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 2、等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 性质： ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 【常用结论】 ①若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， ②若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 知识点05 直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点； 注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 知识点06 弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，为直线斜率 知识点07 双曲线中点弦与点差法 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 题型一 双曲线的定义及其辨析 解｜题｜技｜巧 1、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2、若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 4、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 2．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确； 对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确； 对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确； 对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 故选：B. 3．（2024高二·全国·专题练习）相距千米的，两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒千米，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（　　） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 【答案】B 【分析】由已知可得:,根据双曲线的定义可判断出答案. 【详解】由已知可得:，根据双曲线的定义可知，点在以，为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点的轨迹可能是双曲线. 故选：B 4．（24-25高二上·新疆·阶段练习）双曲线上一点到其中一个焦点的距离为，则这个点到另外一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为，已知点为点，不妨设， 由双曲线得， 因为，所以点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可得，解得或（舍去）， 所以这个点到另外一个焦点的距离为. 故选：B. 5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 题型二 判断方程是否表示双曲线 解｜题｜技｜巧 将双曲线方程化为标准方程的形式,假如方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）当取下列选项中哪组值时，方程表示双曲线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程的特点得到，再一一分析选项即可. 【详解】由题意得，则ABD错误，C正确. 故选：C. 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 5．（24-25高二上·北京·阶段练习）设，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程特征求，再判断充分，必要条件. 【详解】若曲线表示焦点在轴的双曲线，则，得， ，但， 所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 题型三 双曲线的标准方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法 （1）用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. （2）与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. （3）如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 （1）定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. （2）设方程.根据焦点位置,设方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). （3）寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. （4）得方程.解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. 3、由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线方程为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0);与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实轴和虚轴的长度列方程即可求解得解. 【详解】由题意可知：实轴长为，虚轴长为， 故，解得， 故双曲线方程为， 故选：C 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出双曲线E的顶点和焦点坐标即可. 【详解】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 则双曲线E的顶点为，焦点为， 则双曲线E的标准方程为 故选：D 3．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线的焦点的不同位置和渐近线方程，列出的关系式，求解即得. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即. 故选：D. 4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用中位线的性质得到，且，根据得到，然后利用点到直线的距离公式得到，最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到，即可得到双曲线方程. 【详解】因为，，且为中点， 所以，且，， 因为， 所以，解得， 直线的方程为，所以，则， 在直角三角形中利用勾股定理得， 解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：.    6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据可得，根据点在渐近线上可得，求出后可得标准方程. 【详解】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 故答案为： 题型四 双曲线中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义及计算出，，可知为直角三角形，然后计算面积即可. 【详解】因为双曲线 ，所以，，所以， 为双曲线上一点，，所以为双曲线上右支上一点， 由双曲线的定义得：，， 所以，所以，，， 所以，所以， 故， 故选：B 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，以及焦点三角形的性质，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，， ，则， 则, 所以面积为. 故选：C 5．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D 6．已知，为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，设的内切圆半径为，圆心为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定M的横坐标，即得出圆心的横坐标，再由勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】 设的内切圆分别与，切于N，B，与切于H，如图， 则, 又点在双曲线右支上， 所以， 故，而， 设H的坐标为，可得: ， 解得， 设内切圆半径为，则内切圆圆心为， 又，即， 解得. 故选：C 题型五 双曲线的轨迹方程求法 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程. 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为， 则有， 动点的轨迹方程为． 故选：A． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设为曲线上任一点， 则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，， ， 点的轨迹方程为． 故选：B 3．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 4．（24-25高二上·福建福州·期末）与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【分析】由题意可以得到，结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意设圆：的圆心、半径分别为， 设圆：的圆心、半径分别为， 不妨设满足题意的动圆圆心、半径分别为， 则由题意有， 故满足题意的动圆圆心轨迹是以为焦点，长轴长为的双曲线的一支（左支）. 故选：C. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 题型六 双曲线中的距离最值问题 1．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，且，通过可求得最小值. 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 3．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 5．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值. 【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 题型七 双曲线的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决问题的关键; （2）由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; （3）由c2=a2+b2求出c的值,从而得到双曲线的几何性质. 1．（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何性质即可求解. 【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】由题干得到双曲线方程可求出虚轴 【详解】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为． 故选：A 4．若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，半焦距为，由条件列方程可求，再根据关系求结论. 【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以， 故选：B 5．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】双曲线的左顶点，设，根据图形特征求出点坐标，从而可求的面积. 【详解】由题意得，点B和点C在双曲线的左支上， 若是等腰直角三角形，由双曲线的对称性可得A为直角顶点， 设，由对称性有， 则有 ，代入双曲线方程，解得，， 则有等腰直角三角形的斜边，三角形的高， 所以. 故选：C. 6．（多选题）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 【答案】BD 【分析】根据特例可判断BD正误，根据渐近线夹角可判断AC正误. 【详解】不妨令，轴；当时，四边形为等腰梯形， 当时，四边形为矩形，故B，D正确； 因为为等轴双曲线，所以两条渐近线之间的夹角为， 故四边形的对角线必不可能相互垂直， 故A，C错误. 故选：BD. 7．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 8．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】2 【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点位置，画出对应图形即可得. 【详解】由双曲线方程知：右顶点为，渐近线为，点在双曲线的外部， 如下图所示，    所以，过点的直线与渐近线平行与双曲线有且只有一个交点. 故共有两条直线满足要求. 故答案为：2 题型八 双曲线的离心率问题 解｜题｜技｜巧 1、求双曲线的离心率的方法 （1）若可求得a,c,则直接利用e=得解; （2）若已知a,b,可直接利用e=得解; （3）若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 2、构造齐次方程(或不等式)求双曲线的离心率(取值范围)的一般方法 根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,化为a,c的齐次方程(或不等式),列式时常用b=代替式子中的b,然后将方程(或不等式)两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而利用e=转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意e>1. 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求出后可求离心率. 【详解】设双曲线的方程为， ，，，其中为半焦距， 由余弦定理得， 故即，故离心率， 故选：D. 3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D    4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）过点 作斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则双曲线 的离心率等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法可得，从而可得答案. 【详解】设，则，两式作差可得， 即，所以，所以， 所以离心率. 故选：C 5．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的渐近线求离心率的取值范围. 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以. 故选:：D 6．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】因为，设，则，， 因为， 所以， 因为，所以 所以离心率为： 故答案为：B. 7．（24-25高二下·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合双曲线的定义求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由题意得得， 在中，由余弦定理得， 得，则， 得（负值舍去）． 故选：C 8．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为上一点，满足轴，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，结合双曲线定义可得，结合即可求得答案. 【详解】如图P为上一点，满足轴，则P在双曲线左支上， 将代入，可得， 故，则， 又，故，即， 即，，则， 故选：C 9．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，通过分析函数单调性可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设焦点在轴上，点在第一象限． 点在线段的垂直平分线上，． 由椭圆、双曲线的定义得：，，，整理得， ，即，， ,其中. 令 则. ∵当时，，∴在单调递增， ，∴，即. 故选：B. 10．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线定义结合等腰直角三角形的性质可得，，再利用余弦定理可得，即可得离心率. 【详解】 设，则， 由双曲线定义可知，， 则， 又为等腰直角三角形，则，即， 得，则，， 在中，由余弦定理知， 即， 整理可得， 所以，， 故选：C. 题型九 双曲线的渐近线问题 解｜题｜技｜巧 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得． 故选：D. 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线方程，即可得到结果. 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆的左焦点为， 所以双曲线的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线为. 故选：D 3．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】先求出双曲线的方程，进而求出双曲线的渐近线方程，即可求出两点的坐标，即可求出的面积. 【详解】设双曲线为：， 因为，解得：， 所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：， 所以，解得：，则， 所以为等腰直角三角形， 所以的面积为. 故选：B. 4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何关系得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】依题意，，根据对称性可知，从而， 不妨设A在第一象限，其中一条渐近线方程为，令得， 则，故，故， 可得渐近线方程为． 故选：B 5．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直关系求得直线的方程，解得两点坐标即可求得比值. 【详解】设左焦点为 根据题意可知，所以直线的方程为，如下图所示： 联立，可得， 同理联立，可得， 因此. 故选：B 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到OA和OB的方程，设，根据题意得到，进而得到方程组，求出，由垂直关系可得斜率之积等于，求出，得到渐近线方程. 【详解】由题意可得，OA的方程为 ，OB的方程为 ， 设， 点A，B分别在第二、三象限内，若 ，则 ， ， ， ， ， 由可得，斜率之积等于， 故 ，即 ，解得 所以双曲线C的渐近线方程为 故选：A 题型十 直线与双曲线的位置关系（含弦长和相切） 解｜题｜技｜巧 1、直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用Δ来解决. 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y得mx2+nx+q=0(*)形式的方程. ①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点; 当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当Δ<0时,方程无解,则直线与双曲线相离. ②若m=0,方程(*)为关于x的一次方程x=-,直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线). 2、双曲线的弦长公式 与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线 y=kx+l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|=|x1-x2| =·, 或|AB|=|y1-y2| =·. 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）若双曲线与直线不相交，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线的渐近线即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线与直线不相交， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【详解】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或 3．（2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【详解】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 【答案】答案见解析 【分析】联立直线和双曲线方程，可得，讨论等于0和不等于0，以及结合判别式判断，即可得出结论. 【详解】由方程组， 消去，可得（*）， （i）当，即时， 方程（*）为， 此时直线与双曲线仅有一个交点． （ii）当，即时， ， ①若， 即且时，直线与双曲线有两个交点． ②若， 即时，直线与双曲线只有一个交点． ③若， 即或时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当且时，直线与双曲线有两个交点； 当或时，直线与双曲线只有一个交点； 当或时，直线与双曲线没有交点． 5．（24-25高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）由题意得到直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 6．已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由离心率和所过点求出，写出方程； （2）若直线斜率不存在，验证；若直线斜率存在，设为，联立-消元-韦达定理，利用弦长公式求. 【详解】（1）因为双曲线过，离心率为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 所以，解得， 由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意. 综上所述，直线的方程为或或. 7．双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于点，若弦的长为42，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据点在双曲线上，结合双曲线定义得出，结合焦点坐标得出双曲线方程； （2）先设直线方程，再联立方程组应用弦长公式结合韦达定理计算求参即可得出直线方程. 【详解】（1）因为双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上， 所以 ． 所以，，． 所以双曲线的方程为． （2）若直线的斜率为0，则长度为6，不符合题意． 当直线斜率不为0时，设直线，与双曲线联立，得． 当时，恒成立， 设，， 因为的长为42，， 所以，解得或． 所以直线的方程为或．    题型十一 双曲线中的面积问题 1．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程； （2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【详解】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线的方程为，由已知可得，进而求解即可得的方程； （2）求得，设，，与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积. 【详解】（1）由题可知，设. 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得， 由，可知是等腰直角三角形，所以， 即，解得（负值舍去），所以， 所以的方程为. （2）由（1）可得，， 由得， 设，，且，则，. 所以. 由（1）可得，， 又， 所以. 4．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，过的左焦点的直线与的左支相交于两点，且分别交的两条渐近线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若是坐标原点，，求的面积． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由题意可得，进而可得； （2）当时，易知，不合题意，当时，联立直线方程和渐近线方程可得，进而可得，进而由可得，进而可得. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且点在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为 （2） 设， 由（1）可知双曲线C的左焦点为，渐近线方程为， 所以可设直线的方程为， 当时，易知，不合题意，故． 由，得，其中， 所以， ，解得（舍去）或， 所以，故． 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依据给定条件和双曲线中基本量的关系求解基本量，得到标准方程即可. （2）依据题意设出直线方程，再结合题意用单一变量表示出三角形面积，建立方程，求解参数，得到直线方程即可. 【详解】（1）由题意可得，， 点到渐近线的距离，且， 解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 如图，设直线的方程为，，， 联立消去，得， 由解得，则 所以， 所以的面积， ， 由的面积为3，得，整理得， 解得，所以， 所以直线的方程为或. 题型十二 双曲线中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设线段AB的中点为，利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可得到中点坐标. 【详解】由题意可知直线的斜率，可知直线AB的斜率． 设，线段AB的中点为，则， 可得，． 因为A，B为双曲线上的两点， 所以，两式相减整理得，， 即，解得，所以直线， 因为线段AB的中点在直线上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点， 联立，解得，可知线段AB中点的坐标为． 故答案为：. 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【分析】根据给定条件，利用点差法列式，再将的坐标代入并求出对应的直线方程，与双曲线方程联立验证得解. 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则 【答案】3 【分析】设点，作差，计算得出结合离心率为，求得同理求得代入问题计算即可. 【详解】因为双曲线的离心率为 所以 不妨设因为点在上，所以 两式相减,得, 因为点是的中点，所以, , 所以 即所以 同理 因为所以 故答案为：3. 题型十三 双曲线中的定值、定点问题 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出，即可得出双曲线方程； （2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以． 离心率为，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）①设． 联立得，则． 故． ②． 由题意得点都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以， 则． 故． 2．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据点以及渐近线方程列出关于的方程组即可； （2）先讨论直线斜率不存在时，根据得出矛盾，再设直线AB：，与双曲线方程联立，根据得出，即可求出定点. 【详解】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据左右顶点的距离得到，然后根据点在曲线上列方程得到，即可得到双曲线方程； （2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式计算； （3）联立直线和双曲线方程，利用斜率公式和韦达定理计算即可证明. 【详解】（1）    解：由，可得，解得， 点是上一点，所以，解得， 所以的方程为． （2）解：的方程为， 联立即， 设，，则，， 所以弦长． （3）证明：设，，，易知，， 直线与双曲线联立得， 所以 所以 ， 故是定值． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 6．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知双曲线 的焦距与圆M:：的直径相等，且圆的圆心在C 的一条渐近线上. (1)求的标准方程； (2)已知，是轴上不与原点重合的不同的两点，且两点的横坐标互为倒数，点为的下顶点，若直线与的另一个交点的横坐标为，直线与的另一个交点的横坐标为，是否为定值? 若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是定值，该定值为. 【分析】（1）求出圆的圆心坐标及半径大小，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）先确定直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组求直线与双曲线的方程求，同理可求，再求的坐标，由此可求. 【详解】（1）方程可化为 所以圆的圆心的坐标为，半径， 设双曲线的焦距为， 由已知可得，故， 双曲线的渐近线方程为，， 因为在渐近线上，所以， 所以，， 所以的标准方程为， （2）设直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为， 若的斜率不存在，则为原点，与条件矛盾，故直线的斜率存在， 由（1）曲线的方程为，又点为的下顶点， 故， 设直线的方程为， 联立，化简可得， 由已知，，故或， 所以， 若的斜率不存在，则为原点，与条件矛盾，故直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，化简可得， 由已知，，故或， 所以， 直线与轴的交点坐标为，即的坐标为， 直线与轴的交点坐标为，即的坐标为， 由已知，所以， 所以， 所以的值为定值，且. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线渐近线方程的概念直接得出结果. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知双曲线的方程是，它的两个焦点分别是与是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．4或10 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得是双曲线左支上的点，再由双曲线的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由双曲线的标准方程可得，则， 则，所以点是双曲线左支上的点， 由双曲线的定义可得，所以. 故选：B 4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，由于渐近线方程为，故， 故离心率为， 故选：B 5．已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】先设出渐近线方程，再利用基本量的关系得到，最后结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】不妨取的一条渐近线的方程为， 又，且由双曲线中基本量的关系得， 则由点到直线的距离公式得． 故选：A． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程. 【详解】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为， 则有， 动点的轨迹方程为． 故选：A． 7．若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的方程先求出双曲线的焦点和顶点坐标，再结合即可求解. 【详解】由椭圆可得，，，且焦点在y轴上， 可知椭圆的长轴顶点为，焦点为， 所以双曲线的焦点为，顶点为， 设双曲线方程为，可得，，则， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 8．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 9．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【分析】根据椭圆，双曲线，圆以及焦点在x轴上的椭圆对方程结构的要求，建立不等式组求之即得. 【详解】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 11．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 12．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用点差法计算即可. 【详解】设， 则有， 化简得， 即. 故选：B 13．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与双曲线无公共点可得，然后即可求出的范围 【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点， 故有，即，， 所以，所以. 所以的范围为 故选：A 14．（24-25高二上·陕西安康·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求出，，根据双曲线定义得到关于a，c的方程，求出. 【详解】由题意得，故，， 由题意结合双曲线定义知，故. 故选：B 15．（24-25高二下·湖南·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，由双曲线的定义可求得，，在中应用余弦定理可得，由即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 又，， 所以， 所以，所以，所以. 故选：. 16．（24-25高二上·云南昆明·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】先判断两圆外离，根据圆M与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设所求圆的半径为，圆心为， 圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得，则圆心，半径， 因为，所以两圆相离， 因为圆M与圆及圆都外切 所以，两式相减得， 所以圆心在双曲线的一支上. 故选：D. 17．（24-25高二上·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】由对称性，不妨设，另一个焦点为，连接， 也不妨设l与渐近线垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，且l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 则由对称性可知，，又， 所以有， 因此由对称性可知渐近线的斜率， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 18．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 【答案】B 【分析】按点在轴左右分类探讨可得，再利用双曲线定义求出方程. 【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，由点关于点的对称点为，得是线段中点， 而点是线段的中点，则， 由为线段的垂直平分线，得，    于是，当点在轴右侧时，同理， 则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为. 故选：B 20．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由双曲线，可得，则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以. 故选：A. 21．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程. 【详解】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 22．（24-25高二下·重庆·期中）设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据点到线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为，由勾股定理可得，根据，利用余弦定理可得，再结合已知条件即可求解. 【详解】 设双曲线的一条渐近线为，即， 点到渐近线的距离为， 所以， 在中，， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 整理可得，所以. 故选：. 23．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接，根据直线的斜率有，从而得到，.设，则，根据双曲线定义，在和中，由余弦定理得①.②.两式结合得，计算离心率即可. 【详解】如图，连接，因为直线的斜率为，所以， 结合，所以，. 设，则，因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得①. 在中，由余弦定理得， 即，整理得②. 由①②可得，即，所以的离心率为. 故选：B. 24．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与轴交点为，连接，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得，有且，可求离心率的取值范围. 【详解】设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 在中，， 所以， 所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即， 则， 综上：. 故选：. 25．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设出双曲线的方程，代入双曲线的方程，求得参数的值，即可得到双曲线的方程 【详解】因为双曲线是等轴双曲线， 所以可设双曲线的方程为， 将点代入，可求得， 所以所求双曲线的方程为， 即为， 故答案为：. 26．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【答案】4 【分析】由题意，易知为直角三角形，根据勾股定理和双曲线的定义计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 故答案为：4 27．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设，，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】设，，可得，， 两式相减可得，点是弦的中点， 且直线，可得，，，即有， 即，，，故双曲线的离心率为. 故答案为：2. 28．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】或 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的所有取值为或， 故答案为：或. 29．设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 9 【分析】先求得双曲线的两个焦点坐标，可知为已知圆的圆心，判断出取最大时，点在双曲线的左支或右支上，结合双曲线的定义和圆外一点与圆上一点距离的最值性质，即可求得所求最值. 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，， 则点为圆的圆心，点为圆的圆心， 连接，．当点在双曲线的左支上时（如图）， 由双曲线的定义，可得， 由圆的几何性质，得，， 所以，即， 此时的最大值为9，最小值为3． 同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为． 综上，的最大值为9，最小值为． 故答案为：， 30．（24-25高二上·江苏南通·期末）双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【详解】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 31．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 32．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，然后由可求得值得直线方程． 【详解】（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； （2）设直线的方程为，，， 由化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 33．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可； （2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可； （3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率. 【详解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率．    34．（23-24高二上·全国·期末）已知双曲线C：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)点M，N在C的右支上，若直线AM与AN的斜率的乘积为-9，求证：直线MN过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由右顶点求出，由焦点到渐近线的距离求出，可求C的方程； （2）直线MN方程为，与双曲线方程联立，由直线AM与AN的斜率的乘积为-9，利用韦达定理，求出的值，可得直线MN过定点. 【详解】（1）双曲线C：的右顶点为，得，设其中一个焦点， 双曲线一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离， 所以双曲线C的方程为. （2）设直线MN方程为，. 由得，， 且， . 因为，即， 整理得， 所以·， 因为直线MN不过，所以，所以， ，解得， 所以直线MN恒过定点. 35．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值为. 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可证明. 【详解】（1）根据题意可得， 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）是定值. 证明如下： 设，.因为直线过点，所以直线的斜率存在. 设直线：， 由得， 由题意得且，得，， ，. 因为为双曲线的左顶点，所以，，， 所以 ， 故是定值，该定值为. 36．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【详解】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线和椭圆定义得，再利用角分线定理得，最后根据余弦定义和余弦定理得到方程，解出值，即可得到离心率. 【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，由题意：， 不妨令，，得：． 由角平分线定理：，即：， ，一方面：， 另一方面：， (负舍)， 故双曲线的离心率为：. 故选：B.    3．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据双曲线的定义和内切圆的性质可得，设，则内切圆的圆心为，利用点到直线的距离公式建立关于的方程，解得，结合渐近线的概念即可求解. 【详解】因为左焦点，，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则，，， 所以，设， 则，解得. 又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为， 因为直线过点，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 又，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围. 【详解】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 5．已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意作图，取的中点，连接，得到，，利用两角和的正切公式求得直线的斜率，再利用点差法求得，根据离心率的公式计算即可. 【详解】 如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则， 因为，所以， 由直线的斜率，得， 则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 化简得即， 则. 故答案为：. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在，，． 【分析】（1）由已知条件，利用离心率公式、标准方程以及，可得答案； （2）（i）设出直线的方程，联立求交点的坐标，代入已知直线方程，可得答案； （ii）联立直线与双曲线方程写出韦达定理，代入方程整理，由（i）分情况求解坐标，可得答案. 【详解】（1）由双曲线过点，．可得，解得， ∴双曲线方程为． （2）（i）由于，，，的斜率分别是，，且点P不在x轴上． 所以，，． 又直线、的方程分别为，， 联立方程解得，所以， 由于点P在直线上，所以， 即，故为定值． （ii）设，，，， 联立直线和双曲线的方程得， 化简得，由， 因此，， 所以 ，同理可得：， 故由得或， ①当时，由（i）的结论可得，解得P点的坐标为； ②当时，由（i）的结论可得或（舍去）， 此时直线CD的方程为与联立得，， 所以，经检验，两种情况均符合要求． 综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，． 7．已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与C相切，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）设，由题得，直线与双曲线的渐近线联立方程组，求得，直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理求得，根据方程解出，得双曲线的方程. （2）根据（1）中解得的两点坐标，表示出的面积，由直线与相切，联立方程组消元后判别式为0，化简后得定值. 【详解】（1）设， 因为，所以， 由，得，同理可得，所以， 由，得，， 所以，即，由，解得， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线的渐近线方程为， 由（1）得，，， 所以，， ， 由，得， 因为直线与双曲线相切，所以，即， 所以. 8．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用双曲线的顶点和离心率，结合双曲线方程求出 即可. （2）设出直线的方程与双曲线联立，利用韦达定理及斜率公式，推理计算即可. （3）由（2）可得斜率之间的关系，联立方程求出点坐标，再求出三角形面积的函数关系并求出最小值. 【详解】（1）（1）由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）依题意，设直线的方程为，. 由消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以为定值. （ii）由（2）知，直线：，直线：. 则点的横坐标为. 于是. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 9．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在定点，使得，且点坐标为 【分析】（1）根据双曲线的离心率，以及点在双曲线上联立即可. （2）根据题意，设直线的方程，直线与双曲线联立方程组可得，直线与直线相交可求得，假设存在定点，使得，由题中条件可得，利用进行计算即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义 掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题,培养数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 双曲线及其标准方程 掌握双曲线的标准方程,了解双曲线标准方程的推导过程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键 双曲线的简单几何性质 1、了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,培养数学运算的核心素养. 2、理解双曲线的渐近线、离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系,提升直观想象的核心素养. 高频易错点，常出现在小题，特别是渐近线、离心率的求法是高频考点 直线与双曲线的位置关系 掌握利用根的判别式判断直线与双曲线位置关系的方法,会判断直线与双曲线的位置关系,培养直观想象的核心素养. 基础必考点，常出现在大题 双曲线的弦长公式、中点弦问题 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题 知识点01 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点02 双曲线的标准方程 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 知识点03 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； 知识点04 双曲线的简单几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 2、等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 性质： ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 【常用结论】 ①若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， ②若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 知识点05 直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点； 注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 知识点06 弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，为直线斜率 知识点07 双曲线中点弦与点差法 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 题型一 双曲线的定义及其辨析 解｜题｜技｜巧 1、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2、若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 4、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 2．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·全国·专题练习）相距千米的，两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒千米，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（　　） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 4．（24-25高二上·新疆·阶段练习）双曲线上一点到其中一个焦点的距离为，则这个点到另外一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 判断方程是否表示双曲线 解｜题｜技｜巧 将双曲线方程化为标准方程的形式,假如方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）当取下列选项中哪组值时，方程表示双曲线（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京·阶段练习）设，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 双曲线的标准方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法 （1）用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. （2）与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. （3）如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 （1）定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. （2）设方程.根据焦点位置,设方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). （3）寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. （4）得方程.解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. 3、由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线方程为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0);与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为 ． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 题型四 双曲线中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 5．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 6．已知，为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，设的内切圆半径为，圆心为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 双曲线的轨迹方程求法 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期末）与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 题型六 双曲线中的距离最值问题 1．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 3．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型七 双曲线的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决问题的关键; （2）由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; （3）由c2=a2+b2求出c的值,从而得到双曲线的几何性质. 1．（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 4．若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为（　　） A． B． C． D． 5．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则的面积是（    ） A．4 B． C． D． 6．（多选题）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 7．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 8．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 题型八 双曲线的离心率问题 解｜题｜技｜巧 1、求双曲线的离心率的方法 （1）若可求得a,c,则直接利用e=得解; （2）若已知a,b,可直接利用e=得解; （3）若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 2、构造齐次方程(或不等式)求双曲线的离心率(取值范围)的一般方法 根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,化为a,c的齐次方程(或不等式),列式时常用b=代替式子中的b,然后将方程(或不等式)两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而利用e=转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意e>1. 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）过点 作斜率为 的直线与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则双曲线 的离心率等于（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于点，且，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 8．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为上一点，满足轴，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 9．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D．3 题型九 双曲线的渐近线问题 解｜题｜技｜巧 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 3．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A，B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型十 直线与双曲线的位置关系（含弦长和相切） 解｜题｜技｜巧 1、直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用Δ来解决. 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y得mx2+nx+q=0(*)形式的方程. ①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点; 当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当Δ<0时,方程无解,则直线与双曲线相离. ②若m=0,方程(*)为关于x的一次方程x=-,直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线). 2、双曲线的弦长公式 与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线 y=kx+l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|=|x1-x2| =·, 或|AB|=|y1-y2| =·. 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）若双曲线与直线不相交，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 3．（2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 5．（24-25高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 6．已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 7．双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于点，若弦的长为42，求直线的方程． 题型十一 双曲线中的面积问题 1．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 4．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，过的左焦点的直线与的左支相交于两点，且分别交的两条渐近线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若是坐标原点，，求的面积． 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 题型十二 双曲线中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则 题型十三 双曲线中的定值、定点问题 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 2．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 6．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知双曲线 的焦距与圆M:：的直径相等，且圆的圆心在C 的一条渐近线上. (1)求的标准方程； (2)已知，是轴上不与原点重合的不同的两点，且两点的横坐标互为倒数，点为的下顶点，若直线与的另一个交点的横坐标为，直线与的另一个交点的横坐标为，是否为定值? 若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．2 C． D．4 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知双曲线的方程是，它的两个焦点分别是与是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．4或10 4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 9．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 10．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 13．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·陕西安康·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 15．（24-25高二下·湖南·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·云南昆明·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支 17．（24-25高二上·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A．7 B． C．. D． 20．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·重庆·期中）设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 23．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 24．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 ． 26．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 27．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为 . 28．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 29．设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ． 30．（24-25高二上·江苏南通·期末）双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 31．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 32．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 33．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 34．（23-24高二上·全国·期末）已知双曲线C：的右顶点为，焦点到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)点M，N在C的右支上，若直线AM与AN的斜率的乘积为-9，求证：直线MN过定点. 35．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求双曲线的标准方程. (2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 36．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 5．已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 . 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值； （ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知O为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与C相切，证明：的面积为定值. 8．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 9．（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $