综合培优 期中压轴题汇总（整式的加减与乘除+因式分解：129题33个常考题+10大压轴题型）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型23完全平方公式的运算 题型1 单项式的系数、次数 题型24 求完全平方中的字母系数 题型2 同类项的判断 题型25 同底数幂的除法的运算 题型3 多项式的判断 题型26 单项式除以单项式 题型4 合并同类项 题型27 多项式除以单项式 题型5多项式的项、项数或次数 题型28 判断是否因式分解 题型6 多项式系数、指数中字母求值 题型29 已知因式分解的结果求参数 题型7 数字类规律探索 题型30 提公因式法分解因式 题型8 图形类规律探索 题型31 平方差公式分解因式 题型9 整式的加减运算 题型32完全平方公式分解因式 题型10 整式的加减中的无关型问题 题型33 分组分解法 题型11 带有字母的绝对值化简问题 解答压轴题 题型12 同底数幂相乘 题型34 整式加减的无关型问题 题型13 幂的乘方 题型35 整式加减与绝对值综合 题型14 积的乘方 题型36 整式加减的新定义问题 题型15 单项式乘单项式 题型37 多项式乘法中的规律性问题 题型16 单项式乘多项式 题型38乘法公式中的几何问题 题型17 利用单项式乘多项式求字母的值 题型39整式乘除法中的新定义问题 题型18 多项式乘多项式 题型40 十字相乘法的综合应用 题型19 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型41 分组分解法的综合应用 题型20 多项式乘多项式化简求值 题型42 因式分解的新定义问题 题型21 多项式乘多项式与图形面积 题型43因式分解的综合应用 题型22 平方差公式的运算 78 / 79 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单项式的系数、次数 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了单项式的系数，单项式的系数是指数字部分，包括符号． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：D． 2．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．a不是单项式 B．单项式的系数是 C．是单项式 D．5是零次单项式 【答案】D 【详解】解：A、是单项式，故该选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，故该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴不是单项式，故该选项错误，不符合题意； D、5是单项式，且常数项的次数为0，故该选项正确，符合题意． 3．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．0和是单项式； B．的系数是，次数是； C．和都不是代数式； D．和都是整式． 【答案】D 【详解】解：选项A：0和都是单独的数，是单项式，说法正确； 选项B：的系数为，次数为，说法正确； 选项C：是不等式，是等式，都不是代数式，说法正确； 选项D：的分母含有字母，不是整式；是整式，该说法错误． 题型2 同类项的判断 4．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：A、是常数，含字母，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，符合题意； C、与中相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意． 5．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母y的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 6．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）下列各组式中，不是同类项的为（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】D 【分析】考查同类项的概念，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的概念即可求解． 【详解】解：A. 和是同类项，故该选项不符合题意；     B. 和是同类项，故该选项不符合题意；     C. 和是同类项，故该选项不符合题意；     D. 和，所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故该选项符合题意； 故选：D． 题型3 多项式的判断 7．（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 8．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 9．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）代数式，，，，中，多项式有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据多项式的定义判断即可． 【详解】不是多项式，是多项式，不是多项式，是多项式，不是多项式， ∴多项式有2个． 故选C． 【点睛】本题考查多项式的定义．掌握几个单项式的和，叫做多项式是解题关键． 题型4 合并同类项 10．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断是否为同类项，再根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算判断即可． 【详解】解：选项A：，计算正确，符合题意； 选项B：与所含字母不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项C：与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项D：，原计算错误，不符合题意． 11．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，合并同类项时只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算正确，符合题意； D、，原式运算错误，不符合题意； 故选：C． 12．（25-26六年级上·上海·阶段检测）化简的结果为（   ） A．0 B． C．m D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项，弄清式子的规律是解本题的关键． 与结合，与结合，以此类推相减结果为，得到253对与的和，计算即可得到结果． 【详解】解： 故选：B． 题型5多项式的项、项数或次数 13．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）多项式的项数和次数分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先合并同类项，再统计项数，取最高次项的次数作为多项式的次数． 【详解】解：∵， ∴项数为，各项次数为：的次数为，的次数为，的次数为，的次数为， ∴最高次数为． 14．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．是单项式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 【答案】D 【详解】解：A、是多项式，该说法错误； B、合并同类项得，是三次三项式，该说法错误； C、，各项系数为和，该说法错误； D、的常数项是，该说法正确． 15．（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 题型6 多项式系数、指数中字母求值 16．（23-24七年级上·江西宜春·期末）若是关于的三次二项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三次二项式的定义，分析多项式的次数和项数条件，确定参数和的值. 【详解】1. 次数分析： 多项式的最高次数需为3. 项的次数为（的指数为1，的指数为）. 项的次数为1. 需，解得. 2. 项数分析： 多项式需为二项式，即两项均存在且不合并. 当时，第一项为，第二项为. 因此需，即. 综上，且，对应选项B. 故选：B. 17．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）多项式的次数是四次，那么m不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】直接利用多项式的次数得出答案． 【详解】 解：多项式的次数是四次， ∴m是小于或等于4的非负整数， 故选：D 【点睛】此题主要考查了多项式，正确理解多项式的次数是解题关键． 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【答案】B 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案 【详解】解：∵多项式是关于x的一次式， ∴， ∴， ∴a、b的值可能为1，2； 故选：B． 题型7 数字类规律探索 19．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽，照这样推算，前天截取的木棍总长度为（     ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】利用截取总长度等于总长度减剩余长度的关系，先推导第天剩余木棍长度的规律，简化计算． 【详解】解：第一天截取木棍的一半，剩余尺； 第二天截取剩余部分的一半，剩余尺； 第三天截取剩余部分的一半，剩余尺， 观察规律可得，第天截取后，剩余长度为尺， ∵ 木棍总长度为尺， ∴ 前天截取的总长度为尺． 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为4，输出的结果是2，返回进行第二次运算则输出的是1，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分别计算出前十次的输出结果，可得规律，从第三次的输出结果开始，每6次输出为一个循环，输出的结果依次为，据此规律求解即可． 【详解】解：第一次输出结果为2， 第二次输出结果为1， 第三次输出结果数为， 第四次输出结果为， 第五次输出结果数为， 第六次输出结果为， 第七次输出结果数为， 第八次输出结果为， 第九次输出结果数为， 第十次输出结果为， ……， 以此类推可知，从第三次的输出结果开始，每6次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵， ∴第2024次输出的结果为， 故选：C． 21．（23-24七年级上·云南红河·阶段检测）有一列数：，4，，16，，......，按这样的规律排列，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据第个数可发现，每一个数都等于它前面一个数与的积，由此即可得． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， 归纳类推得：第个数是， 故选：B． 题型8 图形类规律探索 22．（23-24七年级上·北京西城·期中）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第个“T”字形需要的棋子个数为（    ）    ①              ②                     ③ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，设摆成第n（n为正整数）个“T”字形需要个棋子，根据摆成各个图形所需棋子数量的变化，可找出变化规律“”，此题得解． 【详解】解：设摆成第n（n为正整数）个“T”字形需要个棋子． 观察图形，可知：， ， ， …， ∴． 故选：A． 23．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．1个黑色圆片周围一共摆有6个白色圆片，2个黑色圆片周围一共摆有10个白色圆片，3个黑色圆片周围一共摆有14个白色圆片……，照此规律摆下去，10个黑色圆片周围一共摆有的白色圆片个数是（   ） A．40 B．42 C．44 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，熟练掌握通过已知数据归纳出数量变化的表达式是解题的关键．先根据已知的黑色圆片数量与白色圆片数量，找出数量变化的规律，得到白色圆片个数关于黑色圆片数量的表达式，再代入计算． 【详解】解：当黑色圆片数时，白色圆片数：， 当时，白色圆片数：， 当时，白色圆片数：， 由此可得，个黑色圆片时，白色圆片数的规律为：， 当时，， 故选：B． 24．（24-25七年级上·全国·单元复习）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第10个图中“○”的个数是（    ）．    A．90 B．95 C．100 D．105 【答案】B 【分析】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中“○”的个数得到变化规律，进而可求解． 【详解】解：第1个图形中“○”的个数为， 第2个图形中“○”的个数为， 第3个图形中“○”的个数为 第4个图形中“○”的个数为， ……， 依次类推，第n个图形中“○”的个数为， ∴第10个图形中“○”的个数为， 故选：B． 题型9 整式的加减运算 25．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得这个多项式为 . 26．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；计算并化简得到，由x取任意有理数可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵x取任意有理数， ∴， ∴， ∴； 故选A． 27．（25-26七年级上·上海·期中）设是五次多项式，是六次多项式，下列说法正确的是（   ） A．是五次整式 B．是六次整式 C．是五次整式 D．是六次整式 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加法．根据整式的乘法，整式的加法运算解答即可． 【详解】解：∵是五次多项式，是六次多项式， ∴ M的最高次项为五次项，N的最高次项为六次项， ∴ 的最高次项为N的六次项，次数为6，即是六次整式，故A选项错误，B选项正确； 的最高次项为十一次项，即是十一次整式，故C，D选项错误． 故选：B 题型10 整式的加减中的无关型问题 28．（2024七年级上·全国·专题练习）式子的值（    ） A．与，都无关 B．只与有关 C．只与有关 D．与，都有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是正确合并同类项，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴多项式的值与，都无关． 故选：A． 29．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先计算两个整式的差，根据结果不含与，即这两项系数为0，即可求出 【详解】解： ， 因为它们的差不含与， 所以，， ∴，， 故选B． 30．（23-24七年级上·广东广州·期中）若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 先根据多项式的值与x的值无关可得，解题即可得到m的值． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的值无关， ∴， 解得：， 故选C． 题型11 带有字母的绝对值化简问题 31．（24-25六年级上·上海·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是根据数轴得出，．根据数轴比较有理数a、b、c，得出，，即可分析得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，，， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 32．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 【答案】B 【分析】本题考查化简绝对值，涉及代数式化简求值，根据的正负性，分情况讨论去绝对值后化简即可得到答案，由正负分类讨论去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：情况1：当时， ，，， 则； 情况2：当时， ，，， 则； 情况3：当时， ，，， 则； 情况4：当时， ，，， 则； 综上所述，的结果为或， 故选：B． 33．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，整式的加减运算，根据数轴正确得出式子正负是解题关键．由数轴可得，，，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 故选：B． 题型12 同底数幂相乘 34．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）已知，，则的值为（ ） A． B．12 C．18 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用，根据代入求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：C． 35．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 36．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．先利用同底数幂的乘法法则，再利用求相同加数的和的简便算法得结论． 【详解】解： ． 故选：C 题型13 幂的乘方 37．（2026·上海普陀·二模）下列关于计算所得的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 38．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆运算，解题的关键是能够正确运用这些运算法则．根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆运算进行变形求解即可． 【详解】解：，， ． 故选：D ． 39．（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 题型14 积的乘方 40．（2026·上海徐汇·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A错误. ，B错误. ，C正确. ∵与不是同类项，不能合并， ∴，D错误. 41．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 42．（24-25七年级上·上海静安·阶段检测）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则变形，然后将的值代入计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 题型15 单项式乘单项式 43．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 直接计算每个选项的表达式，根据幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）和同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）进行判断． 【详解】解：选项A：，符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意 故选：A． 44．（2025·陕西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则是解题关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，同底数幂分别相乘，计算即可. 【详解】解：． 故选：A ． 45．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式，同底数幂相乘，计算求解即可． 【详解】解： , 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．解题的关键在于正确的运算． 题型16 单项式乘多项式 46．（24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算，是单项式与多项式相乘，可以根据乘法分配律进行计算． 【详解】解：把代数式变形为所运用的根据是分配律， 故选：C． 47．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】 ． 故选：C． 48．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选：D． 题型17 利用单项式乘多项式求字母的值 49．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 50．（23-24七年级下·山东淄博·阶段检测）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 51．（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 题型18 多项式乘多项式 52．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 53．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：A． 54．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式； 故选A． 题型19 已知多项式乘积不含某项求字母的值 55．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的乘法运算，准确计算多项式的乘积是解题的关键． 通过展开两个整式的乘积，合并同类项后，令一次项的系数为零，解方程即可求出 的值． 【详解】∵ ， 又∵ 乘积中不含有的一次项， ∴ 一次项系数 ， 解得， ∴ 的值为， 故选：C． 56．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．展开乘积后，合并同类项，令项的系数为零，解出a的值． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含项， ∴， ∴． 故选：B． 57．（22-23七年级下·浙江·期末）要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算，再由不含x的一次项计算答案即可． 【详解】解：， 由于不含x的一次项， 故． 故选A． 题型20 多项式乘多项式化简求值 58．（23-24八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，则（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用多项式乘多项式法则化简多项式，再代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 59．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 60．（22-23八年级上·河南开封·阶段检测）如果，那么的值为（    ） A．－28 B．26 C．28 D．44 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式法则将等式左边展开，可得，再整理即可得出答案． 【详解】由， 得， 即， 则， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式法则，求出的值是解题的关键． 题型21 多项式乘多项式与图形面积 61．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．根据题意，运用多项式乘以多项式得到长方形的面积，结合卡片的面积即可求解． 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 故选：C ． 62．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为：， 图2中，阴影部分的面积为： 大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积， ∴图2中阴影部分的面积为：， ∴， 故选：D． 63．（21-22七年级上·上海黄浦·期中）如图所示的图形面积为（    ） A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x 【答案】A 【分析】先将原图形的右上角补全，进而根据原图的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积列式即可求得答案． 【详解】解：如图， 由图可知：原图形的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积 ＝（x＋1）2﹣12， 故选：A． 【点睛】本题考查了用割补法表示不规则图形的面积，熟练掌握割补法是解决本题的关键． 题型22 平方差公式的运算 64．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列整式中，与相乘的结果是的整式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ． 65．（2026·上海·一模）如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看作整体简化计算． 【详解】解：设， 则原等式可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 等式两边同时除以，得． 故选：C． 66．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据平方差公式特征判断即可． 【详解】解：选项A：，可利用平方差公式计算； 选项B：，可利用平方差公式计算； 选项C：，可利用平方差公式计算； 选项D：，不可利用平方差公式计算． 题型23完全平方公式的运算 67．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的因式变形，判断是否可化为两个相同二项式的乘积，即可确定能否使用完全平方公式． 【详解】解：完全平方公式适用于两个相同二项式相乘的形式． A选项：，可用完全平方公式计算． B选项：中项相同，项符号相反，为平方差公式形式，不可用完全平方公式计算． C选项：，可用完全平方公式计算． D选项：，可用完全平方公式计算． 68．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）下列代数式中，等于的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式．利用完全平方公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 69．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 题型24 求完全平方中的字母系数 70．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 71．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，先由二次三项式是完全平方式，得出，再把展开，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：D 72．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构进行解答即可求解． 【详解】解：或， 加上的单项式可以是：或， 选项D错误， 故选：D． 题型25 同底数幂的除法的运算 73．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算将原式变形，然后将已知的式子代入求解即可． 【详解】解：， ． 故选D． 74．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得，得出，进而根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：D． 75．（22-23七年级下·四川达州·期中），则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，根据同底数幂乘法计算法则得到原式，再由同底数幂除法的逆运算法则得到原式，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 题型26 单项式除以单项式 76．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了幂的乘方，单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：A． 77．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 78．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 题型27 多项式除以单项式 79．（24-25八年级上·全国·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法． 直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】 故选：A 80．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 81．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用多项式除以单项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 这个多项式是：； 故选：A． 题型28 判断是否因式分解 82．（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得到答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法运算，结果为多项式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符题意； B选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项等式右边仍然是和的形式，不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D选项等式左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意． 83．（25-26七年级上·上海·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式， 选项A：，符合因式分解的定义； 选项B：，该等式不成立，不是因式分解； 选项C：，是多项式的乘法，不符合因式分解的定义； 选项D：，右边不是积的形式，不符合因式分解的定义； 故选：A． 84．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：（1），不是因式分解； （2），不是因式分解； （3），不是因式分解； （4），不是因式分解； （5），是因式分解； （6），是因式分解； 故是因式分解的有2个． 题型29 已知因式分解的结果求参数 85．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据以上内容得出多项式因式分解的结果为得出，再求出答案即可． 【详解】多项式因式分解的结果为， ． 故选：D． 86．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）若，则m的值是（　　） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】把等式的右边展开得：，然后根据对应项系数相等列式求解即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键． 87．（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【答案】C 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将展开，分别对应即可得出答案． 【详解】解：， ∵多项式分解因式得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得进行求解． 题型30 提公因式法分解因式 88．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 89．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 90．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：D． 91．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，灵活运用平方差公式是解题的关键．将表达式 改写为 ，应用平方差公式 进行因式分解． 【详解】解：， 又  ， 因式分解的结果为 ． 故选：． 题型31 平方差公式分解因式 92．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 93．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解． 【详解】解：选项，是平方差公式因式分解，不符合题意； 选项，是完全平方因式分解，不符合题意； 选项，不可以用公式法因式分解，符合题意； 选项，是平方差公式因式分解，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 题型32完全平方公式分解因式 94．（25-26七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 需满足的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式； 选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配； 选项C：：首项，末项，中间项，符合； 选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方； 故选C． 95．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键：． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （3）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （4），符合题意； 故选：B． 96．（22-23八年级下·四川雅安·阶段检测）无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选；B． 题型33 分组分解法 97．（22-23七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 98．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 99．（20-21八年级上·北京·期中）已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 题型34 整式加减的无关型问题 100．（24-25七年级上·广东茂名·期中）定义新运算“”，对于任意有理数有．例如，， (1)计算：； (2)若，，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算，整式的加减运算，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）按照新定义的运算法则先列式，再计算即可； （2）按照新定义的运算法则先列式计算，再代入化简求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ∵，， ∴ ． 101．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减、整式的无关问题，关键是灵活运用知识点解决问题； （1）将整式代入计算即可； （2）将整式代入计算化简，然后令项和项的系数分别为零即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴       ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵上式与的取值无关， ∴， 即：， ∴． 102．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）已知，． (1)求； (2)若，当与的和是关于，的一次二项式时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减混合运算，正确进行去括号是解答本题的关键． （1）代入 A 和 B 的表达式，计算 并合并同类项得到结果。 （2）先求 C 与 的和，得到关于x，y 的一次二项式，即要求项的系数为零，从而求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∵与的和是关于，的一次二项式， ∴项的系数必须为零，即， ∴． 103．（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知关于x，y的多项式，． (1)若，，化简； (2)若的值与x的取值无关，求单项式的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）将，代入分别得出，，然后根据整式加减运算法则，进行计算即可； （2）先将原整式化简为，然后根据的值与x的取值无关，得出，，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， ， 所以 ． （2）解：因为， 所以 ． 因为的值与的取值无关， 所以，， 所以，， 则． 题型35 整式加减与绝对值综合 104．（25-26七年级上·吉林长春·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 105．（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0 (3)0 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴判断即可； （2）根据正负性去绝对值进行化简即可； （3）判断有理数的正负进行化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：， 故，； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：， ， ∴ ． 106．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道、两数对应的点在数轴上的距离为，例如数轴上表示与2两点之间的距离可表示为，与两点之间的距离可表示为． 如图，点是数轴上的三点，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为． (1)如果动点在点、之间，那么_________． (2)若，那么动点表示的数是________． (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，化简绝对值，一元一次方程的应用： （1）根据动点在点、之间化简绝对值即可得到答案； （2）分点C在点B左侧时，当点C在点A右侧时，两种情况先去绝对值，然后解方程即可得到答案；由（1）可知点在点、之间时不符合题意； （3）设当经过t秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94，则，再分当时，当时，当时，三种情况去绝对值解方程即可． 【详解】（1）解：∵动点在点、之间，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：当点C在点B左侧时， ∵， ∴， ∴； 当点C在点A右侧时， ∵， ∴， ∴； 由（1）可知点在点、之间时不符合题意； 综上所述，或， ∴点C表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：设当经过t秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94， 由题意得，， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当时， ∵， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得， ∴经过秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94． 题型36 整式加减的新定义问题 107．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)3 (2)； (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，多项式的项，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解新定义，掌握整式的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）把相应的值代入，利用新定义的运算求解，再结合条件即可求解； （3）把相应的值代入，利用新定义的运算分别求出，，再比较大小即可． 【详解】（1）解： 3☆ ； （2）（2） ， 中不含一次项， ， ； （3）∵，，（其中为有理数） ，， ， ． 108．（23-24七年级上·江西南昌·期末）我们定义：对于有理数数和，若，则称，互为“和积友好数”． 如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是________；（填序号） ①和    ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 【答案】(1)②； (2)； (3)． 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值： （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：①∵ ∴和不是“和积友好数”； ②∵ ∴和是“和积友好数”. 故答案为：②. （2）解：∵和互为“和积友好数”， ∴ 解得：. （3）解： 109．（26-27七年级上·上海·阶段检测）探究应用： (1)计算：__________； __________． (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是__________（请用含、的式子表示）． (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（     ） A．；    B．； C．；    D．． (4)直接用公式计算： __________； __________． 【答案】(1)； (2) (3)A、C (4)； 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据（1）中规律，总结公式即可； （3）观察是否符合所总结的公式特征作出选择即可； （4）根据所总结的公式计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：归纳总结：新的乘法公式是； （3）解：由总结的公式特征，则符合公式特征的是：A、 C； （4）解：； ． 题型37 多项式乘法中的规律性问题 110．（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）归纳总结得到规律，写出结果即可； （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）． 111．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5)四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 题型38乘法公式中的几何问题 112．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】（1）根据面积相等得到等量关系； （2）将，代入第一问中的等量关系，求出的值； （3）根据正方形的性质得到、和，根据三角形面积公式得到，化简后再结合条件求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：观察图形可知，大正方形的边长为， ∴面积为， 这个大正方形由四部分构成，分别是： 两个边长分别为、的长方形，一个边长为的小正方形和一个边长为的小正方形， ∴这四部分的面积和为：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 113．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图所示， 根据图形可得： 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积； （1）根据大长方形面积=各部分面积的和，解答即可； （2）根据大长方形的面积=各部分面积的和，解答即可； （3）根据题意画出边长为的正方形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）略 114．（25-26七年级上·上海宝山·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)根据图①写出阴影部分的面积所得的等式：__________，并解决如下问题：若，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为x、y．若，，请求出图中阴影部分的面积； (3)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方形，请写出一个等式； (4)已知，利用（3）中的恒等式求的值． 【答案】(1)，1 (2)阴影部分的面积为8 (3) (4)9 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，， 根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，结合即可求解． 【详解】（1）解：由图1可知，大正方形面积为或， ， ， ； （2）由图可知，四边形和都是正方形， 设，，， ，又， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为8； （3）由图3得，正方体体积表示为， 也可以表示为， ， 即； （4）， 由（3）得， ， 题型39整式乘除法中的新定义问题 115．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）代数推理． 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 观察等式：，，，，可以看到，等式左边均为两个连续正奇数的平方差，计算得到的等式右边的数均为8的倍数，我们把这样的正整数称为“和谐数”． 问题解决： (1)探索发现：___________； (2)推理说明：能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数（即和谐数），一定是8的倍数； (3)已知，求代数式的值，并直接判断该代数式的计算结果是不是和谐数． 【答案】(1)9 (2)证明：设两个连续正奇数分别为和（为正整数） ， ∵为正整数， ∴是的倍数，即能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数一定是的倍数． (3)代数式的值为，该计算结果是和谐数． 【分析】（1）根据题干中等式的规律求解； （2）设两个连续正奇数分别为和（为正整数），然后化简求解即可； （3）将原式利用平方差公式和完全平方公式化简，然后整体代入求解，然后利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）略； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴该计算结果是和谐数． 116．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）根据定义求出的结果，再根据得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ； ∵， ∴ ∴， ∴． 117．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点、、在同一条直线上，点在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为50，求的值． 【答案】(1)14 (2)①24；② 【分析】（1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：①∵， ∴ ； ②∵长方形和长方形 ∴，， ∴ ∵阴影部分的面积为50 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由①得，， ∴ ∴． 题型40 十字相乘法的综合应用 118．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 119．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 120．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再进一步即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 题型41 分组分解法的综合应用 121．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）观察甲、乙两人分解因式的过程： 甲： 乙： 请你在他们解法的启发下，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 122．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 123．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 题型42 因式分解的新定义问题 124．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则得到，再化简所求代数式，最后利用整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 当时，原式． 125．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1) ， 是“双一次可分解式”； (2) ， 是“双一次可分解式”； (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 126．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： (1)下列各数中，“雅美数”有_______； ①10     ②28     ③45     ④39 (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； (3)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； (4)问题拓展：已知整数M，N是“雅美数”，求证：是“雅美数”． (5)应用拓展：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【答案】(1)①③ (2)9 (3) (4)证明：设，，其中，，，均为整数， ∴， ， ∵，，，均为整数， 和均为整数， 是“雅美数”； (5)3 【分析】（1）根据“雅美数”的定义求解； （2）首先将配方成，求出，，然后代入求解； （3）首先将S配方成，然后根据“雅美数”的定义得到，然后求解即可； （4）设，，其中，，，均为整数，表示出，然后展开后配方即可证明； （5）首先表示出，然后配方后利用平方的非负性求解． 【详解】（1）解：∵① ∴10是“雅美数”； ∵②， ∴28不能表示成（a，b是整数）的形式， ∴28不是“雅美数”； ∵③ ∴45是“雅美数”； ∵④， ∴39不能表示成（a，b是整数）的形式， ∴39不是“雅美数”； 综上所述，“雅美数”有①③； （2）解： ∴，， ∴； （3）解： ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； （4）略 （5）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为3． 题型43因式分解的综合应用 127．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1) (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先试根和，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 128．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】(1) ， 大正方形的边长为， (2) (3)张 【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算： （1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长； （2）运用完全平方公式得出型卡片的张数； （3）设大正方形边长为，分析的取值． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 129．（25-26七年级上·上海·期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 【答案】(1)； (2)当时，代数式有最大值； (3) 【分析】本题考查配方法的综合应用，涵盖因式分解、代数式最值求解、完全平方数的整数解探究，核心是通过配方法将代数式转化为完全平方式，结合平方差公式、非负数性质或整数因数分解求解． （1）通过配方法构造平方差形式，再利用平方差公式完成因式分解； （2）先提取二次项系数，对括号内式子配方后，结合二次项系数的正负判断最值的存在条件与取值； （3）通过设完全平方数为整数平方的形式，配方后转化为整数因数分解问题，枚举所有可能的因数对求出整数，再计算乘积． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 当即时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：设(为非负整数)， 配方得：， 两边乘4得：，即， 、为整数， 和均为整数，且为的整数因数对，且， 的整数因数对为：、、、，分情况求解： ①当，两式相加得，解得； ②当，两式相加得，解得； ③当，两式相加得，解得； ④当，两式相加得，解得； 所有整数为5、2、、，它们的积为． $专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型23完全平方公式的运算 题型1 单项式的系数、次数 题型24 求完全平方中的字母系数 题型2 同类项的判断 题型25 同底数幂的除法的运算 题型3 多项式的判断 题型26 单项式除以单项式 题型4 合并同类项 题型27 多项式除以单项式 题型5多项式的项、项数或次数 题型28 判断是否因式分解 题型6 多项式系数、指数中字母求值 题型29 已知因式分解的结果求参数 题型7 数字类规律探索 题型30 提公因式法分解因式 题型8 图形类规律探索 题型31 平方差公式分解因式 题型9 整式的加减运算 题型32完全平方公式分解因式 题型10 整式的加减中的无关型问题 题型33 分组分解法 题型11 带有字母的绝对值化简问题 解答压轴题 题型12 同底数幂相乘 题型34 整式加减的无关型问题 题型13 幂的乘方 题型35 整式加减与绝对值综合 题型14 积的乘方 题型36 整式加减的新定义问题 题型15 单项式乘单项式 题型37 多项式乘法中的规律性问题 题型16 单项式乘多项式 题型38乘法公式中的几何问题 题型17 利用单项式乘多项式求字母的值 题型39整式乘除法中的新定义问题 题型18 多项式乘多项式 题型40 十字相乘法的综合应用 题型19 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型41 分组分解法的综合应用 题型20 多项式乘多项式化简求值 题型42 因式分解的新定义问题 题型21 多项式乘多项式与图形面积 题型43因式分解的综合应用 题型22 平方差公式的运算 28 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单项式的系数、次数 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．a不是单项式 B．单项式的系数是 C．是单项式 D．5是零次单项式 3．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．0和是单项式； B．的系数是，次数是； C．和都不是代数式； D．和都是整式． 题型2 同类项的判断 4．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 6．（21-22七年级上·甘肃平凉·期末）下列各组式中，不是同类项的为（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 题型3 多项式的判断 7．（23-24七年级上·上海·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 8．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 9．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）代数式，，，，中，多项式有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 题型4 合并同类项 10．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26六年级上·上海·阶段检测）化简的结果为（   ） A．0 B． C．m D．以上答案都不对 题型5多项式的项、项数或次数 13．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）多项式的项数和次数分别是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．是单项式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 15．（23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（     ） A． B． C． D． 题型6 多项式系数、指数中字母求值 16．（23-24七年级上·江西宜春·期末）若是关于的三次二项式，则（   ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）多项式的次数是四次，那么m不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 题型7 数字类规律探索 19．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽，照这样推算，前天截取的木棍总长度为（     ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为4，输出的结果是2，返回进行第二次运算则输出的是1，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级上·云南红河·阶段检测）有一列数：，4，，16，，......，按这样的规律排列，则第个数是（    ） A． B． C． D． 题型8 图形类规律探索 22．（23-24七年级上·北京西城·期中）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第个“T”字形需要的棋子个数为（    ）    ①              ②                     ③ A． B． C． D． 23．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如下图，每个黑色圆片周围都摆有6个白色圆片．1个黑色圆片周围一共摆有6个白色圆片，2个黑色圆片周围一共摆有10个白色圆片，3个黑色圆片周围一共摆有14个白色圆片……，照此规律摆下去，10个黑色圆片周围一共摆有的白色圆片个数是（   ） A．40 B．42 C．44 D．46 24．（24-25七年级上·全国·单元复习）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第10个图中“○”的个数是（    ）．    A．90 B．95 C．100 D．105 题型9 整式的加减运算 25．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 27．（25-26七年级上·上海·期中）设是五次多项式，是六次多项式，下列说法正确的是（   ） A．是五次整式 B．是六次整式 C．是五次整式 D．是六次整式 题型10 整式的加减中的无关型问题 28．（2024七年级上·全国·专题练习）式子的值（    ） A．与，都无关 B．只与有关 C．只与有关 D．与，都有关 29．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 30．（23-24七年级上·广东广州·期中）若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 题型11 带有字母的绝对值化简问题 31．（24-25六年级上·上海·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 33．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 题型12 同底数幂相乘 34．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）已知，，则的值为（ ） A． B．12 C．18 D．22 35．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 题型13 幂的乘方 37．（2026·上海普陀·二模）下列关于计算所得的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，，则的值（    ） A． B． C． D． 39．（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 题型14 积的乘方 40．（2026·上海徐汇·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·上海静安·阶段检测）已知，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 题型15 单项式乘单项式 43．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（2025·陕西·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 45．（23-24七年级上·上海松江·阶段检测）的结果是（    ） A． B． C． D． 题型16 单项式乘多项式 46．（24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 47．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型17 利用单项式乘多项式求字母的值 49．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 50．（23-24七年级下·山东淄博·阶段检测）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 51．（22-23七年级下·四川达州·期中）若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 题型18 多项式乘多项式 52．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 54．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型19 已知多项式乘积不含某项求字母的值 55．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 56．（25-26八年级上·江苏南通·期中）若的展开式中不含项，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 57．（22-23七年级下·浙江·期末）要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 题型20 多项式乘多项式化简求值 58．（23-24八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，则（    ） A．3 B． C． D．2 59．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 60．（22-23八年级上·河南开封·阶段检测）如果，那么的值为（    ） A．－28 B．26 C．28 D．44 题型21 多项式乘多项式与图形面积 61．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 62．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 63．（21-22七年级上·上海黄浦·期中）如图所示的图形面积为（    ） A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x 题型22 平方差公式的运算 64．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）下列整式中，与相乘的结果是的整式是（     ） A． B． C． D． 65．（2026·上海·一模）如果，那么（     ） A． B． C． D． 66．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（     ） A．； B．； C．； D．． 题型23完全平方公式的运算 67．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 68．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）下列代数式中，等于的是（   ）． A． B． C． D． 69．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 题型24 求完全平方中的字母系数 70．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 71．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 72．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（   ） A． B． C． D． 题型25 同底数幂的除法的运算 73．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 74．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 75．（22-23七年级下·四川达州·期中），则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型26 单项式除以单项式 76．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 77．（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 78．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 题型27 多项式除以单项式 79．（24-25八年级上·全国·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 80．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 81．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 题型28 判断是否因式分解 82．（25-26七年级上·上海·期中）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(     ) A． B． C． D． 83．（25-26七年级上·上海·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 84．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型29 已知因式分解的结果求参数 85．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 86．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）若，则m的值是（　　） A．2 B． C．5 D． 87．（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 题型30 提公因式法分解因式 88．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 89．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 90．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 91．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 题型31 平方差公式分解因式 92．（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 93．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 题型32完全平方公式分解因式 94．（25-26七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 95．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 96．（22-23八年级下·四川雅安·阶段检测）无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 题型33 分组分解法 97．（22-23七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 98．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 99．（20-21八年级上·北京·期中）已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 题型34 整式加减的无关型问题 100．（24-25七年级上·广东茂名·期中）定义新运算“”，对于任意有理数有．例如，， (1)计算：； (2)若，，化简． 101．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 102．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）已知，． (1)求； (2)若，当与的和是关于，的一次二项式时，求的值． 103．（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知关于x，y的多项式，． (1)若，，化简； (2)若的值与x的取值无关，求单项式的值． 题型35 整式加减与绝对值综合 104．（25-26七年级上·吉林长春·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 105．（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 106．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道、两数对应的点在数轴上的距离为，例如数轴上表示与2两点之间的距离可表示为，与两点之间的距离可表示为． 如图，点是数轴上的三点，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为． (1)如果动点在点、之间，那么_________． (2)若，那么动点表示的数是________． (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94？ 题型36 整式加减的新定义问题 107．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 108．（23-24七年级上·江西南昌·期末）我们定义：对于有理数数和，若，则称，互为“和积友好数”． 如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是________；（填序号） ①和    ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 109．（26-27七年级上·上海·阶段检测）探究应用： (1)计算：__________； __________． (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是__________（请用含、的式子表示）． (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（     ） A．；    B．； C．；    D．． (4)直接用公式计算： __________； __________． 题型37 多项式乘法中的规律性问题 110．（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 111．（23-24八年级上·四川宜宾·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 题型38乘法公式中的几何问题 112．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 113．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 114．（25-26七年级上·上海宝山·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)根据图①写出阴影部分的面积所得的等式：__________，并解决如下问题：若，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为x、y．若，，请求出图中阴影部分的面积； (3)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方形，请写出一个等式； (4)已知，利用（3）中的恒等式求的值． 题型39整式乘除法中的新定义问题 115．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）代数推理． 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 观察等式：，，，，可以看到，等式左边均为两个连续正奇数的平方差，计算得到的等式右边的数均为8的倍数，我们把这样的正整数称为“和谐数”． 问题解决： (1)探索发现：___________； (2)推理说明：能表示为两个连续正奇数的平方差的正整数（即和谐数），一定是8的倍数； (3)已知，求代数式的值，并直接判断该代数式的计算结果是不是和谐数． 116．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 117．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点、、在同一条直线上，点在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为50，求的值． 题型40 十字相乘法的综合应用 118．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 119．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 120．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 题型41 分组分解法的综合应用 121．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）观察甲、乙两人分解因式的过程： 甲： 乙： 请你在他们解法的启发下，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 122．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 123．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 题型42 因式分解的新定义问题 124．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 125．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 126．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： (1)下列各数中，“雅美数”有_______； ①10     ②28     ③45     ④39 (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； (3)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； (4)问题拓展：已知整数M，N是“雅美数”，求证：是“雅美数”． (5)应用拓展：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 题型43因式分解的综合应用 127．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 128．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 129．（25-26七年级上·上海·期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． $