第五单元 圆（圆的面积）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学六年级上册（新教材）

第五单元 圆（圆的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、圆的面积的定义 圆所占平面的大小，叫做圆的面积，用字母表示。 - 圆的面积是曲线围成的平面的大小，和周长的"线的长度"有本质区别。 二、圆的面积公式推导（割补法） 把圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 - 长方形的长 = 圆周长的一半 = - 长方形的宽 = 圆的半径 = - 长方形面积 = 长 × 宽，因此圆的面积 = 三、圆的面积计算公式 1. 已知半径，求面积： 　　核心：先算半径的平方，再乘，注意是不是。 2. 已知直径，求面积：先求半径 ，再代入公式 3. 已知周长，求面积：先求半径 ，再代入公式 四、圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分叫做圆环，外圆半径用表示，内圆半径用表示。 2. 计算公式：圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 - 易错提醒：圆环面积不是，必须分别算面积再相减。 五、半圆的面积 半圆的面积是整圆面积的一半。 公式： - 注意：半圆面积和半圆周长是完全不同的概念： 　　- 半圆面积：（只有面的一半） 　　- 半圆周长：（半弧+直径） 六、面积的变化规律 在同圆或等圆中： 1. 半径扩大到原来的倍，直径和周长也扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍； 2. 半径缩小到原来的，面积缩小到原来的。 七、常见易错点 1. 混淆和：把半径的平方算成半径乘2； 2. 已知直径求面积，直接用直径平方计算，忘记先除以2得半径； 3. 圆环面积错用，正确是外圆面积减内圆面积； 4. 混淆半圆的周长和面积公式； 5. 计算时运算顺序错误，先乘再平方，正确是先平方再乘。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本公式法——已知半径求面积 【解题思路】 已知半径直接用面积公式，核心是"先平方、再乘π"，严格按运算顺序计算。 【操作步骤】 第一步：确定圆的半径； 第二步：先计算半径的平方； 第三步：再乘3.14，得到面积，标注面积单位。 【易错提升】 ● 易错点：先算再乘，把面积公式和周长公式搞混。 　　→ 规避技巧：看到"面积"先写""，看到"周长"先写""，形成条件反射。 方法点拨2：间接求径法——已知直径/周长求面积 【解题思路】 已知直径或周长，都要先求出半径，再代入面积公式，核心是"半径是桥梁"。 【操作步骤】 第一步：已知直径：；已知周长：； 第二步：算出半径； 第三步：代入计算面积。 【易错提升】 ● 易错点：已知直径直接用计算。 　　→ 规避技巧：面积公式只有半径版，所有情况都先求半径再计算。 方法点拨3：圆环面积差减法 【解题思路】 圆环面积用"外圆面积 - 内圆面积"，也可以提取公因数，用简便计算。 【操作步骤】 第一步：分别找出外圆半径和内圆半径； 第二步：分别算出和； 第三步：用计算圆环面积。 【易错提升】 ● 易错点：用半径差的平方乘。 　　→ 规避技巧：记住"面积差=大圆减小圆"，不是"半径差的平方"。 方法点拨4：半圆辨析法 【解题思路】 解决半圆相关问题，先看清求的是面积还是周长，对应不同公式，避免混淆。 【操作步骤】 第一步：看问题关键词："面积"对应面积公式，"周长"对应周长公式； 第二步：半圆面积：；半圆周长：； 第三步：代入数值计算，检查单位。 【易错提升】 ● 易错点：半圆面积也加直径。 　　→ 规避技巧：面积是平面大小，和直径长度无关；周长是边线总长，才需要加直径。 【第三部分】考点讲练 考点一：圆的面积 【典例精讲】 计算下面图形的面积。 【答案】50.24cm2 【分析】根据圆的直径等于半径的2倍，求出半径。再根据圆的面积公式，代入数值计算。 【详解】8÷2＝4（cm） 【变式训练】 小明把圆规的两脚张开3厘米，在纸上画了一个圆，这个圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 6 18.84 28.26 【分析】圆规两脚张开的距离就是圆的半径，d＝2r；圆的周长＝πd；圆的面积＝πr2。（r是半径，d是直径） 【详解】直径为：3×2＝6（厘米） 周长为：3.14×6＝18.84（厘米） 面积为： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 考点二：圆的面积的应用 【典例精讲】 马大爷用竹篱笆围了一个圆形菜地，直径为20米，至少用了竹篱笆多少米？如果菜地全部种上白菜，平均每平方米种4兜，一共可以种白菜多少兜？ 【答案】62.8米；1256兜 【分析】求竹篱笆长度就是求圆形菜地的周长，根据圆的周长C＝πd列式计算； 求白菜总兜数需先算出菜地的面积，即根据圆的面积S＝πr2列式计算，再乘每平方米种的兜数。 【详解】（1）3.14×20＝62.8（米） 答：至少用了竹篱笆62.8米。 （2）20÷2＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 314×4＝1256（兜） 答：一共可以种白菜1256兜。 【变式训练】 这么近，那么美，周末到河北！河北省成为众多游客的首选。为助力乡村旅游体验感，张庄村准备建一个周长是62.8米的圆形音乐喷水池。 (1)这个圆形喷水池的半径是多少米？ (2)这个圆形喷水池的面积是多少平方米？ 【答案】(1)10米 (2)314平方米 【分析】（1）已知圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，用周长除以2π，即可求出半径。 （2）已经求出半径，根据圆的面积公式S＝πr2，把半径代入公式求出喷水池的面积。 【详解】（1）62.8÷（2×3.14） ＝62.8÷6.28 ＝10（米） 答：半径是10米。 （2）3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：面积是314平方米。 考点三：圆环的面积 【典例精讲】 “乐源”度假村有一个周长为31.4米的圆形温泉，温泉的周围有一条1米宽的石子路（图中阴影部分），石子路的面积是多少平方米？ 【答案】34.54平方米 【分析】已知圆形温泉的周长是31.4米，所以可根据圆的周长公式：，先求出温泉的半径，即内圆半径；石子路宽1米，所以用内圆半径加1米，即可得到包含石子路的外圆半径；石子路的面积是环形的面积，所以根据环形面积公式：，其中为外圆半径，为内圆半径，代入数值计算即可。 【详解】温泉半径： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 外圆半径： 5＋1＝6（米） 石子路面积： 3.14×（62－52） ＝3.14×（36－25） ＝3.14×11 ＝34.54（平方米） 答：石子路的面积是34.54平方米。 【变式训练】 唐爷爷新池塘的周长是251.2米，他打算在池塘周围铺一条2米宽的水泥路，铺好的水泥路面积是多少平方米？ 【答案】514.96平方米 【分析】根据半径＝圆的周长÷π÷2求出圆形池塘的半径，再用圆形池塘的半径加上水泥路的宽度得出池塘与水泥路在一起的大圆的半径，最后利用圆环的面积公式：，将数值代入即可求得水泥路的面积。据此解答。 【详解】251.2÷3.14÷2 ＝80÷2 ＝40（米） 40＋2＝42（米） 3.14×（422－402） ＝3.14×（1764－1600） ＝3.14×164 ＝514.96（平方米） 答：铺好的水泥路面积是514.96平方米。 考点四：求最大面积 【典例精讲】 在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】20.375平方厘米 【分析】从长方形中剪最大的圆，圆的直径就是长方形的宽。同一圆内，直径是半径的2倍，据此算出半径。剩余部分的面积＝长方形面积－圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，据此列式解答。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 8×5－3.14×2.52 ＝40－3.14×6.25 ＝40－19.625 ＝20.375（平方厘米） 答：剩余纸的面积是20.375平方厘米。 【变式训练】 公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【详解】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 考点五：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】 分别计算下列图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】10.75平方厘米；2.86平方厘米 【分析】（1）左图是一个长为10厘米，宽为（10÷2）厘米的长方形中剪去直径为10厘米的半圆面积，所以阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，半圆的面积＝πr2÷2； （2）右图阴影部分的面积，如下图由底是4厘米，高为（4÷2）厘米的三角形中减去半圆右上角那一小块的面积，三角形的面积＝底×高÷2，半圆右上角那一小块的面积＝（半圆的面积－三角形的面积）÷2；据此解答。 【详解】左图： 10×（10÷2） ＝10×5 ＝50（平方厘米） （10÷2）2×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 50－39.25＝10.75（平方厘米） 右图： 4÷2＝2（厘米） 4×2÷2＝4（平方厘米） 22×3.14÷2＝6.28（平方厘米） 4－（6.28－4）÷2 ＝4－2.28÷2 ＝4－1.14 ＝2.86（平方厘米） 【变式训练】 计算下面图形的阴影部分面积。 【答案】95.75平方厘米 【分析】阴影部分面积＝梯形面积－半圆面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，半圆面积＝πr2。 【详解】阴影部分面积＝（12＋15）×10÷2－×3.14×（10÷2）2 ＝27×10÷2－×3.14×52 ＝27×10÷2－×3.14×25 ＝135－39.25 ＝95.75（平方厘米） 考点六：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】 计算下面图形。 求下面阴影图形的面积，圆的直径6厘米。 【答案】10.26平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积等于圆的面积减去圆内正方形的面积。正方形可看作两个以直径为底，半径为高的三角形。圆的面积公式S＝πr2，三角形面积公式S＝底×高÷2。据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2－6×（6÷2）÷2×2 ＝3.14×32－6×（6÷2）÷2×2 ＝3.14×9－6×3÷2×2 ＝28.26－6×3 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 阴影部分面积为10.26平方厘米。 【变式训练】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】4.56cm2 【分析】图中圆的直径是4cm，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 圆内的正方形用对角线平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积。 用圆的面积减去正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】圆的半径：4÷2＝2（cm） 圆的面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 正方形的面积：4×2÷2×2＝8（cm2） 阴影部分的面积：12.56－8＝4.56（cm2） 考点七： 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】 计算下面图形的周长与面积。 【答案】25.12厘米；25.12平方厘米 【分析】周长计算：先拆分图形周长的组成部分，确定其包含半径为4厘米的半圆弧长、两个直径为4厘米的半圆弧长；因为圆的周长公式为，所以分别计算后相加即可。 面积计算：使用割补法，将下方直径为4厘米的半圆补到右侧空白的直径为4厘米的半圆位置；因为补全后阴影部分为半径是4厘米的半圆，所以用半圆面积公式计算即可。 【详解】周长：3.14×4＋2×（3.14×4）÷2 ＝12.56＋12.56×（2÷2） ＝12.56＋12.56 ＝25.12（厘米） 面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 【变式训练】 如图，两个圆有部分重叠，没有重叠部分的面积相差多少平方厘米？ 【答案】75.36平方厘米 【分析】我们可以把两个圆没重叠的部分分别表示出来： 大圆没重叠的部分面积 = 大圆总面积 - 重叠部分面积 小圆没重叠的部分面积 = 小圆总面积 - 重叠部分面积 两者的差为：(大圆面积-重叠部分) - (小圆面积-重叠部分) = 大圆面积 - 小圆面积，重叠部分刚好抵消，不用算重叠的大小。 代入圆面积公式计算。 【详解】 （平方厘米） 没有重叠部分的面积相差75.36平方厘米。 考点八： 扇形的周长与面积 【典例精讲】 求图中涂色部分的面积。 【答案】5.13平方分米 【分析】用割补法将不规则涂色部分转化为规则图形，将半圆右上方的涂色部分移至左上方，两块涂色部分合在一起，就变成圆心角的45°、半径为6分米的扇形。其中里面空白部分为等腰直角三角形，它的底为半圆的直径，长为6分米，高为半圆的半径，是（分米）。用公式：扇形的面积＝，先求出圆心角为45°的扇形面积。用三角形面积公式：，计算出该空白三角形的面积。用扇形面积减去空白三角形的面积，即可得到涂色部分的面积。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） 【变式训练】 求涂色部分的面积。（单位cm） 【答案】30.96cm2；18.24cm2 【分析】（1）涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的边长＝12cm，圆的半径＝12cm，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2； （2）涂色部分的面积＝右侧圆的面积＋左侧45°扇形的面积－直角三角形的面积，右侧圆的半径＝（8÷2）cm，左侧扇形所在圆的半径＝8cm，直角三角形的底和高均为8cm，，圆的面积＝πr2，直角三角形的面积＝底×高÷2。 【详解】（1）涂色部分的面积： ＝12×12－×π×122 ＝144－×3.14×144 ＝144－3.14×36 ＝144－113.04 ＝30.96（cm2） （2）扇形的圆心角占360°的分率：45÷360＝，故扇形面积占整个圆面积的。 涂色部分的面积： ＝×π×（8÷2）2＋×π×82－8×8÷2 ＝×3.14×42＋×3.14×82－64÷2 ＝×3.14×16＋×3.14×64－32 ＝3.14×8＋3.14×8－32 ＝25.12＋25.12－32 ＝50.24－32 ＝18.24（cm2） 【第四部分】专项提升练习 1．求出阴影部分的面积。 【答案】50.24平方分米 【分析】阴影部分面积＝个半径8分米圆的面积－1个直径8分米圆的面积 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） 2．计算下面图形的面积。 【答案】9.42平方米；21.87平方厘米 【分析】图1圆的半径是2米，先求出整个圆的面积减去圆的面积，也就是整个圆的面积的。 图2是正方形边长是6厘米，圆的直径是6厘米，图形面积是正方形面积减半圆面积即可。 （取3.14计算） 【详解】图1： （平方米） 图2：正方形的面积：6×6＝36（平方厘米） 圆的半径：6÷2＝3（厘米） 半圆的面积： （平方厘米） 图形的面积：6×6－14.13 ＝36－14.13 ＝21.87（平方厘米） 3．求下图中阴影部分的面积。（单位：分米） 【答案】平方分米；平方分米 【分析】左图：看图可知，阴影部分的面积等于梯形的面积减去圆的面积；圆的半径等于梯形的高，梯形的上底等于圆的半径，所以梯形的高也等于梯形的上底；圆的面积＝圆周率×半径的平方，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2； 右图：看图可知，该长方形是由两个同样大小的正方形组成的；空白部分又可以拼成同样大小的正方形，那么阴影部分的面积就等于1个正方形的面积。正方形的面积＝边长×边长。 【详解】左图： （平方分米） 右图：（平方分米） 4．计算图中涂色部分的面积。 【答案】10.99cm2 【分析】如图可知，涂色部分是半圆环，内侧空白小半圆的直径是6cm，可知其半径，涂色部分的环宽是1cm，由此可以计算外侧大半圆的半径；涂色面积＝大半圆面积－小半圆面积， 根据圆的面积公式：，半圆面积就是整圆面积的一半，代入数值计算即可。 【详解】6÷2＝3（cm） 3＋1＝4（cm） 3.14×42×－3.14×32× ＝3.14×16×－3.14×9× ＝3.14×（16×）－3.14×（9×） ＝3.14×8－3.14×4.5 ＝3.14×（8－4.5） ＝3.14×3.5 ＝10.99（cm2） 5．计算下面图形中涂色部分的面积。 【答案】12.56cm2 【分析】涂色部分的面积＝大半圆的面积－小圆的面积。大半圆的直径是8cm，小圆的直径是（8÷2）cm。圆的面积S＝πr2。 【详解】R＝8÷2＝4（cm） r＝4÷2＝2（cm）   ＝ ＝25.12－12.56 ＝12.56（cm2） 涂色部分的面积是12.56cm2。 6．求图中阴影部分的面积。 【答案】3.5625平方厘米；75.36平方分米 【分析】（1）观察可知，阴影部分的面积等于半圆的面积减去三角形面积，已知半圆的直径是5厘米，也是三角形的底，用直径除以2可得半径，也是三角形的高，半圆的面积等于圆的面积除以2，根据圆的面积公式、，代入数据计算即可。 （2）观察可知，已知大圆的半径是7分米，小圆的半径是5分米，根据环形面积公式S＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） （平方分米） 7．求阴影部分的面积。 【答案】14.25dm2；150.72dm2 【分析】（1）阴影面积等于半圆面积减去内部三角形的面积，三角形的底是半圆的直径，高等于半圆的半径，根据半圆面积公式S＝πr2（π取3.14），三角形面积公式：面积＝底×高÷2，分别求出两部分面积再相减。 （2）这是圆环，阴影面积等于大圆面积减去小圆面积，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】（1）半径：10÷2＝5（dm） 3.14×52÷2－10×5÷2 ＝3.14×25÷2－50÷2 ＝39.25－25 ＝14.25（dm2） （2）3.14×（82－42） ＝3.14×（64－16） ＝3.14×48 ＝150.72（dm2） 8．求下图中涂色部分的面积。 【答案】9.12cm2；50.24cm2 【分析】第一个图形中涂色面积＝半圆的面积－空白大三角形的面积，半圆的直径是8cm，半径用直径除以2，得4cm，三角形的底是8cm，高是4cm，半圆的面积＝，三角形的面积＝底×高÷2，分别把数据代入公式计算即可； 观察图形，把第二个图形右侧的图形平移到左侧图形的下方，涂色部分等于一个半径为8的大圆面积的一半减去一个直径是8的小圆的面积，小圆的半径就是8除以2，得4cm，半圆的面积＝，圆的面积＝，把数据代入公式计算即可。 【详解】第一个图形： 8÷2＝4（cm） 3.14×42÷2－8×4÷2 ＝3.14×16÷2－32÷2 ＝50.24÷2－16 ＝25.12－16 ＝9.12（cm2） 第二个图形： 3.14×82÷2－3.14×（8÷2）2 ＝3.14×64÷2－3.14×42 ＝200.96÷2－3.14×16 ＝100.48－50.24 ＝50.24（cm2） 9．学校运动场两端是半圆形，中间是长方形。体育刘老师对操场进行了测量，请你算一算操场的周长和面积分别是多少？ 【答案】225.6米；3256平方米 【分析】操场由中间长方形和两端半圆组成，两个半圆合起来是一个完整的圆。周长＝圆的周长＋长方形两条长；面积＝圆的面积＋长方形的面积。圆的半径是20米，长方形长50米，宽等于圆的直径。圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】圆的直径：20×2＝40（米） 圆的周长：3.14×40＝125.6（米） 两条直道总长：50×2＝100（米） 操场周长：125.6＋100＝225.6（米） 圆的面积：3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 长方形面积：50×（20×2） ＝50×40 ＝2000（平方米） 操场总面积：1256＋2000＝3256（平方米） 答：操场的周长是225.6米，面积是3256平方米。 10．公园不仅是城市居民休闲游憩的好去处，更是文化传播的重要场所。春城公园有一个“围树座椅”（如图）。“围树座椅”椅面的面积是多少平方米？ 【答案】62.8平方米 【分析】求椅面的面积，即为求圆环的面积，圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积，圆的面积＝πr2，其中小圆的半径为4米，大圆的半径为（4＋2）米。 【详解】4＋2＝6（米） 3.14×62－3.14×42 ＝3.14×36－3.14×16 ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方米） 答：“围树座椅”椅面的面积是62.8平方米。 11．张叔叔到蛋糕店想买一个直径30厘米的蛋糕，可是直径30厘米的蛋糕卖完了，售货员想给张叔叔换成两个直径15厘米的蛋糕。如果你是张叔叔，你同意这种换法吗？为什么？（请结合本学期所学知识，用自己喜欢的方式从数学角度加以说明） 【答案】 不同意 理由：通过圆的面积公式计算可知，两个直径15厘米的蛋糕面积是353.25平方厘米，一个直径30厘米的蛋糕面积是706.5平方厘米，前者总面积小于后者的面积，换法不划算 【分析】要判断是否同意换法，需比较1个直径30厘米蛋糕的面积和2个直径15厘米蛋糕的总面积，利用圆的面积分别计算后对比大小即可。 【详解】（厘米） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） 答：如果我是张叔叔，我不同意这种换法，通过圆的面积公式计算可知，两个直径15厘米的蛋糕面积是353.25平方厘米，一个直径30厘米的蛋糕面积是706.5平方厘米，前者总面积小于后者的面积，换法不划算。 12．“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”，这句诗描绘了雨滴在水面激起圆形波纹的景象。现有一个长7米、宽6米的长方形水池，若波纹从池中心向外扩散，直至碰到池边，所形成的最大圆的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长18.84米，面积28.26平方米 【分析】波纹从池中心扩散至池边形成的最大圆，其直径等于长方形水池的较短边，所以圆的直径为6米，半径为6÷2＝3（米），圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2；把数据代入圆的周长、面积公式计算即可。 【详解】长方形水池长7米、宽6米，，因此最大圆的直径等于长方形的宽，为6米。 6÷2＝3（米） （米） （平方米） 答：最大圆的周长是18.84米，面积是28.26平方米。 13．如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近似的梯形。已知这个梯形的周长约为71.4cm，你能据此求出圆的面积吗？ 【答案】314平方厘米。 【分析】根据题意和图可知，一个圆平均分成16等份拼成近似的梯形，梯形上下底之和等于圆周长的，腰一共包含4条圆的半径；依靠梯形周长列出算式求出半径r，最后套用圆面积公式算出结果。 【详解】由分析可知， 梯形的周长： ＝ ＝ ＝（厘米） 圆的半径：（厘米） 圆的面积： ＝ ＝ ＝（平方厘米） 答：圆的面积为314平方厘米。 14．你知道吗？在我国古代数学名著《九章算术》里，记载了一种计算圆面积的巧妙方法：“周径相乘，四而一。”意思是用圆的周长乘直径，再除以4，就能得到圆的面积。 (1)请用上面的方法算一算，直径为6米的圆的面积是多少？ (2)你能试着说明这样计算的道理吗？请把你的思考过程写下来。 【答案】(1)平方米 (2)设圆的直径为d，则周长。根据这种计算方法，圆的面积。而，代入上式可得：，这与我们现在通用的圆面积公式完全一致。 【分析】（1）圆的周长，用圆的周长乘直径，再除以4即可； （2）用圆的周长乘直径，再除以4，，，代入算式化简。 【详解】（1） （平方米） 答：直径为6米的圆的面积是28.26平方米。 （2）略 15．程伯伯用篱笆靠墙围了一个半圆形的小菜园，其直径为6米，如图所示。（墙面足够长，π取3.14） (1)围成这个小菜园需要多长的篱笆？ (2)如果把小菜园的直径增加4米，需要增加多长的篱笆？面积会增加多少平方米？ 【答案】(1)9.42米 (2)6.28米；25.12平方米 【分析】（1）菜园直径一边靠墙，不需要篱笆，只需求直径为6米的半圆弧长，先用圆的周长公式＝π×直径，求出整个圆的周长再除以2求出半圆弧长。 （2）直径增加4米后，新直径是10米。用新、旧半圆弧长的差求增加的篱笆长度；用新、旧半圆面积的差求增加的面积。 【详解】（1）3.14×6÷2 ＝18.84÷2 ＝9.42（米） 答：围成这个小菜园需要9.42米长的篱笆。 （2）6＋4＝10（米） 3.14×（10－6）÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（米） 10÷2＝5（米） 6÷2＝3（米） 3.14×（52－32）÷2 ＝3.14×（25－9）÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方米） 答：需要增加6.28米长的篱笆，面积会增加25.12平方米。 16．侯马市新田路突显园林特色，路两侧建设了9个以“晋”字打头的游园和多个“口袋公园”“边角公园”，每个游园都各具特色，充满晋文化元素。其中有一个圆形公园，仅靠公园的外围有一条2米宽的环形步道，已知圆形公园的周长是314米，这条步道的面积是多少？ 【答案】640.56平方米 【分析】先根据圆的周长公式（其中为周长，为半径，取）求出圆形公园的半径，进而得到包含步道的大圆半径，最后根据圆环面积公式求出步道的面积。 【详解】314÷3.14÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 50＋2＝52（米） 3.14×（522－502） ＝3.14×（2704－2500） ＝3.14×204 ＝640.56（平方米） 答：这条步道的面积是640.56平方米。 17．研学基地要在广场中央建一个直径为10米的圆形孔子文化坛，要在文化坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路，这条鹅卵石路的面积是多少？ 【答案】 34.54平方米 【分析】鹅卵石路的形状是一个圆环，其面积等于外圆面积减去内圆面积。根据题意，内圆直径为10米，可求出内圆半径；内圆半径加上路宽1米即为外圆半径。最后利用圆环面积公式进行计算。 【详解】（米） （米） （平方米） 答：这条鹅卵石路的面积是34.54平方米。 18．如今，很多景区推出了颜值和文化气息兼具的“文创雪糕”，沈丘槐园凭借独特的槐文化景观成为当地热门打卡地，景区推出了槐主题的文创雪糕，如图，这款雪糕以圆形为主体。这款雪糕圆形主体的周长为18.84厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】根据圆的周长＝，用18.84厘米除以3.14再除以2即可求出这个圆形主体的圆的半径，根据圆的面积＝即可求解。 【详解】18.84÷3.14÷2＝3（厘米） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 答：它的面积是28.26平方厘米。 19．果果的书桌上铺着一块长方形桌布，桌布的长是1.8米、宽是1米。桌布中央印有一个环形装饰图案，该环形图案的外圆直径为80厘米，内圆半径为20厘米。这个环形装饰图案的面积是多少平方米？ 【答案】0.3768平方米 【分析】外圆直径÷2＝外圆半径，根据圆环面积＝圆周率×（外圆半径的平方－内圆半径的平方），列式解答即可。根据1平方米＝10000平方厘米，统一单位即可。 【详解】80÷2＝40（厘米） 3.14×（402－202） ＝3.14×（1600－400） ＝3.14×1200 ＝3768（平方厘米） 3768平方厘米＝0.3768平方米 答：这个环形装饰图案的面积是0.3768平方米。 20．北京2022年冬奥会奖牌，内设五环。五环同心，同心归圆，表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，也象征着奥林匹克精神将世界人民聚集在一起，共享冬奥荣光。据设计人员介绍，奖牌的直径是8.7cm，那么该奖牌的周长和面积分别是多少？（得数保留一位小数） 【答案】27.3cm；59.4 【分析】由题意可知，奖牌是圆形，已知直径是8.7cm，圆的周长公式：，圆的半径＝圆的直径÷2，圆的面积公式：，代入数值计算，再根据“四舍五入”法，得数保留一位小数。 【详解】（cm） （cm） （） 答：该奖牌的周长是27.3cm，面积是59.4。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆（圆的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、圆的面积的定义 圆所占平面的大小，叫做圆的面积，用字母表示。 - 圆的面积是曲线围成的平面的大小，和周长的"线的长度"有本质区别。 二、圆的面积公式推导（割补法） 把圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 - 长方形的长 = 圆周长的一半 = - 长方形的宽 = 圆的半径 = - 长方形面积 = 长 × 宽，因此圆的面积 = 三、圆的面积计算公式 1. 已知半径，求面积： 　　核心：先算半径的平方，再乘，注意是不是。 2. 已知直径，求面积：先求半径 ，再代入公式 3. 已知周长，求面积：先求半径 ，再代入公式 四、圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分叫做圆环，外圆半径用表示，内圆半径用表示。 2. 计算公式：圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 - 易错提醒：圆环面积不是，必须分别算面积再相减。 五、半圆的面积 半圆的面积是整圆面积的一半。 公式： - 注意：半圆面积和半圆周长是完全不同的概念： 　　- 半圆面积：（只有面的一半） 　　- 半圆周长：（半弧+直径） 六、面积的变化规律 在同圆或等圆中： 1. 半径扩大到原来的倍，直径和周长也扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍； 2. 半径缩小到原来的，面积缩小到原来的。 七、常见易错点 1. 混淆和：把半径的平方算成半径乘2； 2. 已知直径求面积，直接用直径平方计算，忘记先除以2得半径； 3. 圆环面积错用，正确是外圆面积减内圆面积； 4. 混淆半圆的周长和面积公式； 5. 计算时运算顺序错误，先乘再平方，正确是先平方再乘。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基本公式法——已知半径求面积 【解题思路】 已知半径直接用面积公式，核心是"先平方、再乘π"，严格按运算顺序计算。 【操作步骤】 第一步：确定圆的半径； 第二步：先计算半径的平方； 第三步：再乘3.14，得到面积，标注面积单位。 【易错提升】 ● 易错点：先算再乘，把面积公式和周长公式搞混。 　　→ 规避技巧：看到"面积"先写""，看到"周长"先写""，形成条件反射。 方法点拨2：间接求径法——已知直径/周长求面积 【解题思路】 已知直径或周长，都要先求出半径，再代入面积公式，核心是"半径是桥梁"。 【操作步骤】 第一步：已知直径：；已知周长：； 第二步：算出半径； 第三步：代入计算面积。 【易错提升】 ● 易错点：已知直径直接用计算。 　　→ 规避技巧：面积公式只有半径版，所有情况都先求半径再计算。 方法点拨3：圆环面积差减法 【解题思路】 圆环面积用"外圆面积 - 内圆面积"，也可以提取公因数，用简便计算。 【操作步骤】 第一步：分别找出外圆半径和内圆半径； 第二步：分别算出和； 第三步：用计算圆环面积。 【易错提升】 ● 易错点：用半径差的平方乘。 　　→ 规避技巧：记住"面积差=大圆减小圆"，不是"半径差的平方"。 方法点拨4：半圆辨析法 【解题思路】 解决半圆相关问题，先看清求的是面积还是周长，对应不同公式，避免混淆。 【操作步骤】 第一步：看问题关键词："面积"对应面积公式，"周长"对应周长公式； 第二步：半圆面积：；半圆周长：； 第三步：代入数值计算，检查单位。 【易错提升】 ● 易错点：半圆面积也加直径。 　　→ 规避技巧：面积是平面大小，和直径长度无关；周长是边线总长，才需要加直径。 【第三部分】考点讲练 考点一：圆的面积 【典例精讲】 计算下面图形的面积。 【变式训练】 小明把圆规的两脚张开3厘米，在纸上画了一个圆，这个圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 考点二：圆的面积的应用 【典例精讲】 马大爷用竹篱笆围了一个圆形菜地，直径为20米，至少用了竹篱笆多少米？如果菜地全部种上白菜，平均每平方米种4兜，一共可以种白菜多少兜？ 【变式训练】 这么近，那么美，周末到河北！河北省成为众多游客的首选。为助力乡村旅游体验感，张庄村准备建一个周长是62.8米的圆形音乐喷水池。 (1)这个圆形喷水池的半径是多少米？ (2)这个圆形喷水池的面积是多少平方米？ 考点三：圆环的面积 【典例精讲】 “乐源”度假村有一个周长为31.4米的圆形温泉，温泉的周围有一条1米宽的石子路（图中阴影部分），石子路的面积是多少平方米？ 【变式训练】 唐爷爷新池塘的周长是251.2米，他打算在池塘周围铺一条2米宽的水泥路，铺好的水泥路面积是多少平方米？ 考点四：求最大面积 【典例精讲】 在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】 公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 考点五：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】 分别计算下列图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】 计算下面图形的阴影部分面积。 考点六：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】 计算下面图形。 求下面阴影图形的面积，圆的直径6厘米。 【变式训练】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 考点七： 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】 计算下面图形的周长与面积。 【变式训练】 如图，两个圆有部分重叠，没有重叠部分的面积相差多少平方厘米？ 考点八： 扇形的周长与面积 【典例精讲】 求图中涂色部分的面积。 【变式训练】 求涂色部分的面积。（单位cm） 【第四部分】专项提升练习 1．求出阴影部分的面积。 2．计算下面图形的面积。 3．求下图中阴影部分的面积。（单位：分米） 4．计算图中涂色部分的面积。 5．计算下面图形中涂色部分的面积。 6．求图中阴影部分的面积。 7．求阴影部分的面积。 8．求下图中涂色部分的面积。 9．学校运动场两端是半圆形，中间是长方形。体育刘老师对操场进行了测量，请你算一算操场的周长和面积分别是多少？ 10．公园不仅是城市居民休闲游憩的好去处，更是文化传播的重要场所。春城公园有一个“围树座椅”（如图）。“围树座椅”椅面的面积是多少平方米？ 11．张叔叔到蛋糕店想买一个直径30厘米的蛋糕，可是直径30厘米的蛋糕卖完了，售货员想给张叔叔换成两个直径15厘米的蛋糕。如果你是张叔叔，你同意这种换法吗？为什么？（请结合本学期所学知识，用自己喜欢的方式从数学角度加以说明） 12．“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”，这句诗描绘了雨滴在水面激起圆形波纹的景象。现有一个长7米、宽6米的长方形水池，若波纹从池中心向外扩散，直至碰到池边，所形成的最大圆的周长和面积分别是多少？ 13．如图，小林把一个圆平均分成16等份，剪拼成一个近似的梯形。已知这个梯形的周长约为71.4cm，你能据此求出圆的面积吗？ 14．你知道吗？在我国古代数学名著《九章算术》里，记载了一种计算圆面积的巧妙方法：“周径相乘，四而一。”意思是用圆的周长乘直径，再除以4，就能得到圆的面积。 (1)请用上面的方法算一算，直径为6米的圆的面积是多少？ (2)你能试着说明这样计算的道理吗？请把你的思考过程写下来。 15．程伯伯用篱笆靠墙围了一个半圆形的小菜园，其直径为6米，如图所示。（墙面足够长，π取3.14） (1)围成这个小菜园需要多长的篱笆？ (2)如果把小菜园的直径增加4米，需要增加多长的篱笆？面积会增加多少平方米？ 16．侯马市新田路突显园林特色，路两侧建设了9个以“晋”字打头的游园和多个“口袋公园”“边角公园”，每个游园都各具特色，充满晋文化元素。其中有一个圆形公园，仅靠公园的外围有一条2米宽的环形步道，已知圆形公园的周长是314米，这条步道的面积是多少？ 17．研学基地要在广场中央建一个直径为10米的圆形孔子文化坛，要在文化坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路，这条鹅卵石路的面积是多少？ 18．如今，很多景区推出了颜值和文化气息兼具的“文创雪糕”，沈丘槐园凭借独特的槐文化景观成为当地热门打卡地，景区推出了槐主题的文创雪糕，如图，这款雪糕以圆形为主体。这款雪糕圆形主体的周长为18.84厘米，它的面积是多少平方厘米？ 19．果果的书桌上铺着一块长方形桌布，桌布的长是1.8米、宽是1米。桌布中央印有一个环形装饰图案，该环形图案的外圆直径为80厘米，内圆半径为20厘米。这个环形装饰图案的面积是多少平方米？ 20．北京2022年冬奥会奖牌，内设五环。五环同心，同心归圆，表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，也象征着奥林匹克精神将世界人民聚集在一起，共享冬奥荣光。据设计人员介绍，奖牌的直径是8.7cm，那么该奖牌的周长和面积分别是多少？（得数保留一位小数） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $