第四单元 比和比例（比的应用） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学六年级上册（新教材）

第四单元 比和比例（比的应用） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、比的应用核心思想 比的应用核心是利用两个量的倍比关系，通过"份数"或"分数"建立数量之间的对应关系，把比的问题转化为整数乘除法或分数乘除法问题解决。 ● 本质：把比看作份数的比，先求出1份对应的数量，再根据各部分的份数求出对应数量。 二、常见应用题型分类 1. 按比例分配（基础题型） 　　- 特征：已知两个或多个量的总和，以及这几个量的比，求每个量分别是多少。 　　示例：把120本图书按3:5分给甲、乙两个班，求两个班各分多少本。 2. 已知单个量与比，求其他量或总量 　　- 特征：已知其中一个量的具体数量，以及两个量的比，求另一个量或总量。 　　示例：男生有20人，男生和女生人数比是2:3，求女生人数。 3. 已知差量与比，求总量或各部分 　　- 特征：已知两个量的相差数量，以及两个量的比，求总量或每个量。 　　示例：苹果比梨多15千克，苹果和梨的质量比是4:1，求苹果和梨各多少千克。 4. 连比的应用 　　- 特征：已知三个量的比，以及总量、其中一个量或差量，求各部分数量。 　　示例：甲乙丙三个数的比是2:3:5，三个数的和是60，求三个数各是多少。 5. 实际场景中的比 　　- 行程问题：时间相同，路程比=速度比；路程相同，时间比=速度的反比。 　　- 工程问题：时间相同，工作量比=效率比；工作量相同，时间比=效率的反比。 　　- 购物问题：单价相同，总价比=数量比；总价相同，数量比和单价比成反比。 三、三种基本解题方法 1. 份数法（最常用） 　　把比看成份数之比，先求1份的量，再乘对应份数。 　　- 核心公式：； 　　- 优点：直观易懂，计算简单，适合绝大多数比的应用问题。 2. 分数法 　　把比转化为分率，用分数乘除法解决。 　　例如：甲乙两数比是2:3，甲是乙的，乙是甲的；甲占总数的，乙占总数的。 3. 方程法 　　设每份的量为，根据总量、差量的关系列方程求解。 　　例如：甲乙比是2:3，设甲为，乙为，根据和或差列方程。 四、常见易错点 1. 总份数算错，比如三个数的比2:3:4，总份数误算成8，正确是9； 2. 量和份数不对应，用差量除以总份数，正确应该除以份数差； 3. 已知长方形周长和长宽比，直接用周长乘对应分数，忘记周长是2倍的长宽和； 4. 连比问题中，中间量的份数不统一，直接写比导致错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：份数法——归一对应法 【解题思路】 把比转化为份数，找到已知量对应的份数，先算出1份的数量，再乘所求量对应的份数，核心是"先求一份，再求几份"。 【操作步骤】 第一步：根据比确定各部分的份数，算出总份数或份数差； 第二步：找到已知量对应的份数； 第三步：已知量÷对应份数 = 1份的量； 第四步：1份的量×所求量的份数 = 所求量。 【易错提升】 ● 易错点：总量对应份数差，差量对应总份数，搞反对应关系。 　　→ 规避技巧：总量对总份数，差量对份数差，先标注"谁对应谁"再计算。 方法点拨2：分数法——转化分率法 【解题思路】 把比转化为一个量是另一个量的几分之几，或者一个量占总量的几分之几，用分数乘除法解决。 【操作步骤】 第一步：确定单位"1"的量； 第二步：把比转化为对应分率； 第三步：单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法。 【易错提升】 ● 易错点：单位"1"找错，分率对应错误。 　　→ 规避技巧："比谁谁是单位1"，分率和单位1对应。 方法点拨3：方程法——设份法 【解题思路】 复杂的比的应用问题，设每份为，用含的式子表示各部分量，根据等量关系列方程求解。 【操作步骤】 第一步：根据比，设各部分量分别为几； 第二步：根据总量、和、差的关系列方程； 第三步：解方程求出，再求出各部分量。 【易错提升】 ● 易错点：设未知数时直接设所求量为，计算复杂。 　　→ 规避技巧：比的问题优先设每份为，计算更简便。 【第三部分】考点讲练 考点一：按比例分配问题（基础题型） 考查重点：掌握按比例分配的基本解法，能正确解决已知总量和比的问题。 【典例精讲】 题目：学校把180本课外书按2:3:4分给三、四、五年级，三个年级各分得多少本？ 【分析】 这是典型的按比例分配问题，总本数180本对应总份数份。先算出1份对应多少本，再分别乘三个年级对应的份数。 【详解】 总份数： 1份的本数：（本） 三年级：（本） 四年级：（本） 五年级：（本） 答：三年级分得40本，四年级分得60本，五年级分得80本。 【答案】三年级40本，四年级60本，五年级80本 【变式训练】 题目：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是5:3，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【分析】 长方形周长=（长+宽）×2，所以先要用周长除以2得到长宽和，再按5:3分配求出长和宽，最后算面积。注意不能直接用周长按比分配。 【详解】 长宽和：（厘米） 总份数： 1份的长度：（厘米） 长：（厘米） 宽：（厘米） 面积：（平方厘米） 答：这个长方形的面积是135平方厘米。 【答案】135平方厘米 考点二：已知单个量与比，求其他量或总量 考查重点：能根据一个量和对应的份数，先求一份量，再求另一个量或总量。 【典例精讲】 题目：六（1）班男生和女生人数的比是3:4，男生有24人，女生有多少人？全班一共有多少人？ 【分析】 男生人数已知，对应3份，先算出1份的人数，再乘女生对应的4份得到女生人数，最后相加得到全班人数。 【详解】 1份的人数：（人） 女生人数：（人） 全班人数：（人） 答：女生有32人，全班一共有56人。 【答案】女生32人，全班56人 【变式训练】 题目：修一条公路，已修的长度和未修的长度比是2:5，已修了120米，这条路全长多少米？ 【分析】 已修120米对应2份，先求1份的长度，总份数是份，乘总份数得到全长。 【详解】 1份的长度：（米） 总份数： 全长：（米） 答：这条路全长420米。 【答案】420米 考点三：已知差量与比，求总量或各部分 考查重点：掌握差量对应份数差的解题思路，能解决差比类问题。 【典例精讲】 题目：果园里苹果树和梨树的棵数比是5:3，苹果树比梨树多40棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【分析】 苹果树比梨树多份，对应多的40棵，先算出1份的棵数，再分别乘5份和3份得到两种树的棵数。 【详解】 份数差： 1份的棵数：（棵） 苹果树：（棵） 梨树：（棵） 答：苹果树有100棵，梨树有60棵。 【答案】苹果树100棵，梨树60棵 【变式训练】 题目：甲、乙两数的比是7:4，甲数比乙数大21。甲、乙两数的和是多少？ 【分析】 先根据差量和份数差求1份量，总份数是份，乘总份数得到两数之和。 【详解】 份数差： 1份的数： 总份数： 两数和： 答：甲、乙两数的和是77。 【答案】77 考点四：连比的应用 考查重点：掌握连比问题的解法，能统一中间量的份数，解决三个量的比的应用问题。 【典例精讲】 题目：学校运动会，六年级三个班的获奖人数比是2:3:5，二班有15人获奖，一班和三班各有多少人获奖？三个班一共有多少人获奖？ 【分析】 三个班的比是2:3:5，二班对应3份，是15人，先求1份的人数，再分别乘一班和三班的份数，最后算总人数。 【详解】 1份的人数：（人） 一班：（人） 三班：（人） 总人数：（人） 答：一班有10人获奖，三班有25人获奖，三个班一共有50人获奖。 【答案】一班10人，三班25人，一共50人 【变式训练】 题目：甲乙丙三个数的和是120，甲:乙=2:3，乙:丙=6:5。甲乙丙三个数分别是多少？ 【分析】 两个比中都有乙，先统一乙的份数。3和6的最小公倍数是6，把甲:乙=2:3化成4:6，这样连比就是甲:乙:丙=4:6:5，再按比例分配。 【详解】 统一乙的份数： 甲:乙 乙:丙 所以甲:乙:丙 总份数： 1份的数： 甲： 乙： 丙： 答：甲数是32，乙数是48，丙数是40。 【答案】甲32，乙48，丙40 考点五：比的综合实际应用 考查重点：能结合行程、工程、购物等场景，运用比的知识解决实际问题。 【典例精讲】 题目：甲乙两车同时从两地相向开出，速度比是4:5，相遇时甲车行了120千米，两地相距多少千米？ 【分析】 两车同时出发到相遇，行驶时间相同。时间相同的情况下，路程比等于速度比，所以甲乙路程比也是4:5。甲走了4份对应120千米，先求1份，再算总路程9份。 【详解】 时间相同，路程比=速度比 总份数： 1份路程：（千米） 两地相距：（千米） 答：两地相距270千米。 【答案】270千米 【变式训练】 题目：加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率比是5:3，师傅单独做需要15小时完成，徒弟单独做需要多少小时？ 【分析】 工作量相同，工作时间和工作效率成反比。效率比是5:3，时间比就是3:5。师傅时间对应3份，先求1份时间，再乘徒弟的5份。 【详解】 工作量相同，时间比=效率的反比 1份时间：（小时） 徒弟时间：（小时） 答：徒弟单独做需要25小时。 【答案】25小时 【第四部分】专项提升练习 1．甲、乙两数的比是3∶5，甲数比乙数少12，甲、乙两数分别是多少？ 【答案】18；30 【分析】根据甲乙两数的比，将甲数看作3份、乙数看作5份，利用两数的差求出每份的数值，再分别计算甲乙两数。 【详解】两数的份数差： 每份的数值： 甲数： 乙数： 答：甲数是18，乙数是30。 2．配制一种混凝土，所用水泥、黄沙、石子的比是2∶3∶5。现有水泥、黄沙、石子各48吨，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨，石子还需要增加多少吨？ 【答案】16吨；32吨 【分析】用黄沙的质量除以黄沙的份数，算出一份的质量；再乘水泥的份数，算出需要的水泥质量，求出与48的差即是水泥还剩的质量；用一份的质量乘石子的份数，算出需要的石子质量，再求出与48的差即是还需要的石子质量。 【详解】48÷3×2＝32（吨） 48－32＝16（吨） 48÷3×5＝80（吨） 80－48＝32（吨） 答：水泥还剩16吨，石子还需要增加32吨。 3．禹州旅游结束后，李叔叔一家开车沿原路线返回家，如果每小时比去时多行驶20千米，那么所用时间是去时的；如果每小时比去时少行驶20千米，那么所用时间比去时要多1小时。李叔叔家与禹州相距多少千米？ 【答案】400千米 【分析】路程不变，速度与时间成反比。已知提速后所用时间是去时的，因此提速后速度与去时速度的比为6∶5；用每小时比去时多行驶的20千米除以份数差，求出一份数，再用一份数乘5，求出去时的速度；用去时的速度减去20，求出减速后的速度： 根据比的意义得出减速后速度与去时速度的比，并化简比；根据路程不变，速度与时间成反比，得出减速后所用时间与去时时间的比，再结合减速后的时间差求出去时时间； 最后用去时的速度乘去时的时间，求出总路程。 【详解】去时速度： 20÷（6－5）×5 ＝20÷1×5 ＝100（千米/时） 减速后的速度：100－20＝80（千米/时） 减速后速度与去时速度的比为：80∶100＝（80÷20）∶（100÷20）＝4∶5 则减速后所用时间与去时时间的比为5∶4。 去时时间： 1÷（5－4）×4 ＝1÷1×4 ＝4（小时） 总路程： 100×4＝400（千米） 答：李叔叔家与禹州相距400千米。 4．藏戏具有悠久的历史，被誉为“西藏文化活化石”。在雪顿节期间参与藏戏演出的原来有36人，其中男、女生人数的比为5︰4，后来又有一些男生加入，这时男、女生人数的比为2︰1。现在参与藏戏演出的有多少人？ 【答案】48人 【分析】女生人数不变，是这道题的不变量；原来一共36人，男︰女＝5︰4，总份数：5＋4＝9（份），女生占4份，先求出女生人数；后来加入男生，女生数量没变，此时男︰女＝2︰1，也就是男生人数是女生的2倍，可以算出现在男生人数，再加女生人数得到现在总人数。 【详解】原来总份数：5＋4＝9（份） 女生人数：36÷9×4 ＝4×4 ＝16（人） 后来男︰女＝2︰1，男生人数：16×2＝32（人） 现在总人数：32＋16＝48（人） 答：现在参与藏戏演出的有48人。 5．给下面的每个小方格涂上蓝色或黄色，使蓝色方格数与黄色方格数的比是5∶3。两种颜色各应涂多少个方格？ 【答案】蓝色涂20个方格，黄色涂12个方格 【分析】方格一共有4行，每行8格，用行数乘每行格数算出方格总数，再根据蓝色和黄色的比求出总份数，用方格总数除以总份数得到一份的数量，再用一份的数量分别乘蓝色的份数、黄色的份数，求出两种颜色各要涂多少个方格。 【详解】方格总数：4×8＝32（个） 总份数：5＋3＝8（份） 一份：32÷8＝4（个） 蓝色：4×5＝20（个） 黄色：4×3＝12（个） 答：蓝色涂20个方格，黄色涂12个方格。 6．在如今这个环保意识日益加强的社会，越来越多的人开始关注自己的出行方式是否对环境造成了污染。小金从洛龙区先乘地铁然后乘坐公交回涧西老家。这段路程约12千米，乘坐公交车和地铁的路程比是2∶3。她乘坐公交车和地铁的路程分别是多少千米？ 【答案】乘公交车4.8千米；乘地铁7.2千米 【分析】已知乘坐公交车和地铁的路程比是2∶3，即乘公交车的路程是2份，乘地铁的路程是3份，一共是（2＋3）份；先用总路程除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘2、3，求出乘公交车、地铁的路程。 【详解】一份数： 12÷（2＋3） ＝12÷5 ＝2.4（千米） 乘公交车∶2.4×2＝4.8（千米） 乘地铁∶2.4×3＝7.2（千米） 答：她乘坐公交车的路程是4.8千米，乘地铁的路程是7.2千米。 7．我国民间常用生姜、红糖和水煎服以防治感冒。把生姜、红糖和水一般按照2∶5∶75的质量比配好后熬成姜汤。奶奶给小丽熬的姜汤里放入了6克生姜，小丽喝的姜汤有多少克？ 【答案】246克 【分析】根据题意，生姜、红糖、水的质量比是2∶5∶75，生姜占2份，放入了6克生姜，可以利用除法先求出1份是多少克；姜汤总份数＝生姜份数＋红糖份数＋水的份数，用1份的质量×总份数＝姜汤总质量。 【详解】1份的质量：6÷2＝3（克） 姜汤总份数：2＋5＋75 ＝7＋75 ＝82（份） 姜汤总质量：3×82＝246（克） 答：小丽喝的姜汤有246克。 8．某轻食店主打一款高纤维鹰嘴豆沙拉，制作时鹰嘴豆、彩椒和虾仁的分量之比为3∶4∶6，彩椒的用量比虾仁少8千克。为了制作这款沙拉，至少要准备多少千克鹰嘴豆？ 【答案】12千克 【分析】鹰嘴豆、彩椒和虾仁的分量之比为3∶4∶6，鹰嘴豆的质量是3份、彩椒的质量是4份、虾仁的质量是6份，用算出彩椒的用量比虾仁少的份数，对应的质量是8千克，用8除以少的份数算得1份的质量，再乘3，可算得鹰嘴豆的质量。 【详解】（份） （千克） （千克） 答：至少要准备12千克鹰嘴豆。 9．李鹏家到奶奶家全长18千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段长之比依次是1∶2∶3。星期天，李鹏骑自行车到奶奶家，走相应各段路所用的时间之比依次是3∶4∶5。已知他上坡速度为7.5千米/时，则他从家骑到奶奶家用多少时间？ 【答案】1.6时 【分析】全长18千米，按1∶2∶3分成上坡、平路、下坡，总份数6份。先求一份的长度，再分别求三段长度。上坡速度已知，可求上坡时间。三段所用时间比是3∶4∶5，上坡时间对应3份，用上坡时间除以3求一份时间，再乘总时间份数12份。 【详解】18×÷7.5 ＝18×÷ ＝3× ＝（小时） 时间总份数：3＋4＋5＝12（份） 一份时间：0.4÷3＝（时） 总时间：×12 ＝0.4×4 ＝1.6（时） 答：他从家骑到奶奶家用1.6时。 10．劳动实践课上，同学们一起做花纹巧克力，其中黑巧克力和白巧克力的用量比是，用到的黑巧克力比白巧克力少560克，白巧克力用了多少克？ 【答案】1960克 【分析】根据黑、白巧克力的用量比，先求出黑巧克力比白巧克力少的份数，用少的总重量除以少的份数得到每份的重量，再乘白巧克力对应的份数，即可求出白巧克力的用量。 【详解】7－5＝2（份） 560÷2＝280（克） 280×7＝1960（克） 答：白巧克力用了1960克。 11．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发相向而行，经过4小时相遇，两车所行的路程比是5∶6，其中甲车平均每时行75千米。A、B两地之间的距离是多少千米？ 【答案】660千米 【分析】先根据甲车速度乘相遇时间求出甲车行驶的路程，再结合两车路程比5∶6，令甲的路程是5份，乙的路程是6份，用甲的路程除以对应的份数，算出每份路程的长度，最后乘总份数得到两地总距离。 【详解】75×4＝300（千米） 300÷5＝60（千米） 5＋6＝11 60×11＝660（千米） 答：A、B两地之间的距离是660千米。 12．芳香疗法因能够安神、减压，受到很多人的青睐，越来越多的人开始根据自己的喜好制作芳香剂。刘阿姨用乙醇、香料、纯净水制作了231毫升的芳香剂，乙醇、香料、纯净水的体积比是45∶27∶5。她使用了多少毫升乙醇？ 【答案】135毫升 【分析】根据三种成分的体积比，先求出乙醇、香料、纯净水的总份数，用芳香剂的总体积除以总份数，求出每份的体积，再用每份的体积乘乙醇对应的45份，求出乙醇有多少毫升。 【详解】45＋27＋5＝77（份） 231÷77＝3（毫升） 3×45＝135（毫升） 答：她使用了135毫升乙醇。 13．甲、乙两车从相距500千米的A、B两地同时相对开出，4小时后相遇，甲、乙两车的速度比是13∶12，甲车每时行多少千米？ 【答案】 每时行65千米 【分析】先根据总路程和相遇时间求出两车速度和，再按速度比分配，求出总份数，用速度和除以总份数，算出1份的速度，最后算出甲车速度。 【详解】（千米/小时） （份） （千米/小时） 答：甲车每时行65千米。 14．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场举行。空中护旗梯队由45架直升机组成，其中直－10武装直升机与直－19武装直升机的数量比是3∶13，已知直－10武装直升机有6架，那么直－19武装直升机有多少架？ 【答案】 26架 【分析】已知直－10和直－19武装直升机的数量比为，将直－10武装直升机的数量除以对应的份数3份，求出1份的数量，再乘直－19对应的份数13份，即可解答。 【详解】6÷3×13 ＝2×13 ＝26（架） 答：直－19武装直升机有26架。 15．陶瓷是陶器与瓷器的统称，也是我国的一种工艺品。陶瓷厂第一周生产的瓷器与第二周的比是5∶3，第二周比第一周少生产了26件。两周一共生产了多少件瓷器？ 【答案】104件 【分析】根据比的意义：把第一周生产的数量看作5份，则第二周生产的数量是3份，则26件是（5－3）份，用除法求出一份是多少件，再乘两周生产的总份数（5＋3）即可解答。 【详解】26÷（5－3）×（5＋3） ＝26÷2×（5＋3） ＝13×8 ＝104（件） 答：两周一共生产了104件瓷器。 16．向海大道路边停车场上，停着小轿车、小客车、公共汽车共400辆，这三种车的辆数比是2∶3∶5，每种车各有多少辆？ 【答案】小轿车80辆；小客车120辆；公共汽车200辆 【分析】已知小轿车、小客车、公共汽车的辆数比是2∶3∶5，即小轿车、小客车、公共汽车的辆数分别占总辆数的、、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出每种车的辆数。 【详解】小轿车： （辆） 小客车： （辆） 公共汽车： （辆） 答：小轿车有80辆，小客车有120辆，公共汽车有200辆。 17．火药是我国古代的四大发明之一。将硝石、硫磺、木炭按照15∶2∶3进行配比可以做成火药。有木炭3.6千克，全部按配比做成火药，需要硝石和硫黄各多少千克？ 【答案】硝石18千克；硫黄2.4千克 【分析】已知硝石、硫黄、木炭按照15∶2∶3进行配比做成火药，即硝石占15份，硫黄占2份，木炭占3份；已知现有木炭3.6千克，用木炭的质量除以木炭的份数，求出一份数，再用一份数分别乘硝石、硫磺的份数，即可求出硝石、硫磺的质量。 【详解】一份数：3.6÷3＝1.2（千克） 硝石：1.2×15＝18（千克） 硫磺：1.2×2＝2.4（千克） 答：需要硝石18千克，硫磺2.4千克。 18．怀山药被医家评价为“温补”“性平”，是“药食同源”的典范。如果用怀山药粉和米粉按2：5制作一罐350g的怀山米粉，需要怀山药粉多少克？ 【答案】100克 【分析】根据怀山药粉与米粉的质量比是2∶5，可知制成的米粉的质量是7份，其中怀山药粉占7份中的2份，米粉占7份中的5份，即怀山米粉中怀山药粉占总质量的，米粉占总质量的，据此得解。 【详解】＝350×＝100（克） 答：需要怀山药粉100克。 19．我国北斗三号卫星导航系统由中圆地球轨道卫星、地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星共30颗组成。这三种卫星数量之比是8∶1∶1，这三种卫星分别有多少颗？ 【答案】中圆地球轨道卫星有24颗、地球静止轨道卫星有3颗、倾斜地球同步轨道卫星有3颗 【分析】比的各项相加是三种卫星的总份数，卫星总数÷总份数＝一份的量，用每份的量乘每种卫星所占的份数求出每种卫星的颗数。 【详解】30÷（8＋1＋1）＝3（颗） 中圆地球轨道卫星：3×8＝24（颗） 地球静止轨道卫星：3×1＝3（颗） 倾斜地球同步轨道卫星：3×1＝3（颗） 答：中圆地球轨道卫星有24颗，地球静止轨道卫星有3颗，倾斜地球同步轨道卫星有3颗。 20．某网站对100万人在2025年的拜年方式进行了调查：选择用手机微信拜年、打电话拜年及其他拜年方式的人数比是17∶9∶14。选择用手机微信拜年的有多少万人？ 【答案】 42.5万人 【分析】已知总人数和三种拜年方式的人数比，先求出总份数，用总人数除以总份数得到1份对应的人数，再乘手机微信拜年所占的份数，即可求出对应人数。 【详解】100÷（17＋9＋14） ＝100÷（26＋14） ＝100÷40 ＝2.5（万人） 2.5×17＝42.5（万人） 答：选择用手机微信拜年的有42.5万人。 21．张大伯用篱笆围了一个长方形的蔬菜园子，周长为48米，长和宽的比是5∶3。请问这个园子的面积是多少平方米？ 【答案】 平方米 【分析】需先根据长方形周长求出长与宽的和，再按的比分配得到长和宽，最后计算面积。 【详解】（米） （米） （米） （米） （平方米） 答：这个园子的面积是135平方米。 22．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组、“复兴号”高铁动车组的最高运营速度比是7∶8，“复兴号”高铁动车组的最高运营速度可达400千米/时，“和谐号”动车组的最高运营速度为多少？ 【答案】350千米/时 【分析】根据“和谐号”与“复兴号”的速度比，将“和谐号”的最高运营速度看作7份，“复兴号”的看作8份。先求出1份对应的速度，再乘7得到“和谐号”的速度。 【详解】（千米/时） （千米/时） 答：“和谐号”动车组的最高运营速度为350千米/时。 23．甲、乙两个粮仓原来的存粮质量之比是4∶3。从甲粮仓拿出1200千克粮食放入乙粮仓中，这时甲粮仓的存粮质量是乙粮仓的。甲、乙两个粮仓共有粮食多少千克？甲粮仓原来有粮食多少千克？ 【答案】7000千克；4000千克 【分析】甲、乙两个粮仓的存粮总量不变，将总量看作单位“1”。原来甲粮仓存粮占总量的，从甲粮仓拿出1200千克粮食放入乙粮仓中，这时甲粮仓的存粮质量是乙粮仓的，即甲粮仓存粮占总量的，1200千克粮食占总量的（－），求单位“1”，用1200÷（－），求出甲、乙两个粮仓共有粮食的总量，进而求出甲粮仓原来有粮食的数量，据此解答。 【详解】1200÷（－） ＝1200÷（－） ＝1200÷（－） ＝1200÷ ＝1200× ＝7000（千克） 7000× ＝7000× ＝4000（千克） 答：甲、乙两个粮仓共有粮食7000千克，甲粮仓原来有粮食4000千克。 24．学校把一批图书按3∶4∶5的比例分给四、五、六年级，已知六年级分到60本，四、五年级各分到多少本？ 【答案】36本；48本 【分析】已知按3∶4∶5的比例分给四、五、六三个年级图书，四年级占总数的3份，五年级占总数的4份，六年级占总数的5份，又因为“六年级分到60本”，一份就是60÷5＝12本，再用一份量×所求年级占的份数，即可解答。 【详解】60÷5＝12（本） 四年级：12×3＝36（本） 五年级：12×4＝48（本） 答：四年级分到36本，五年级分到48本。 25．盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是，红球个数与白球个数的比是，已知三种颜色的球共175个，红、黄、白球各有多少个？ 【答案】红球60个，黄球40个，白球75个。 【分析】本题需先统一三种球的数量比例。已知黄球与红球的比、红球与白球的比，红球是中间关联量，因此找其份数（3和4）的最小公倍数12，将两个比转化为连比，再通过“按比例分配”的思路，用总数除以总份数得到每份数量，进而求出各球个数。 【详解】（1）统一三种球的比例，黄球：红球＝2：3 ＝ （2×4）：（3×4）＝8：12，红球：白球＝4：5＝（4×3）：（5×3）＝12：15，故黄球：红球：白球＝8：12：15。 （2）计算总份数：8＋12＋15＝35 （份）    （3）求每份的数量175÷35＝5 （个）    （4）计算各球数量 黄球：8×5 ＝ 40（个）；红球：12×5＝60（个）；白球：15×5＝75（个）。 答：红球60个，黄球40个，白球75个。 26．把380棵树苗栽在两块长方形地里，一块地长25米，宽8米；另一块地长15米，宽12米，如果按面积大小进行分配栽种，这两块地分别栽种多少棵树苗？ 【答案】 第一块地200棵，第二块地180棵 【分析】根据长方形面积公式分别算出两块地的面积，第一块地面积为25×8＝200平方米，第二块地面积为15×12＝180平方米，得到面积比为200：180＝10：9。再按此比例分配380棵树苗，总份数10＋9＝19份，每份380÷19＝20棵，所以第一块地栽种20×10＝200棵，第二块地栽种20×9＝180棵。 【详解】第一块地栽种：380×＝200（棵） 第二块地栽种：380×＝180（棵） 答：第一块地栽种200棵树苗，第二块地栽种180棵树苗。 27．学校卫生室要配制一种消毒药水，药液与水的质量比是3∶17，如果有45克的药液，全部配制成这种消毒药水，需要多少克水？ 【答案】255克 【分析】药液与水的比是3：17，把药液看作3份，水看作17份，3份的药液是45克，那么1份就是克，再求17份的水是多少用乘法计算。 【详解】 （克） 答：需要255克水。 28．妈妈做一种咸菜，配菜时辣椒和胡萝卜要按3∶1的质量比进行备料，如果准备240克辣椒，能做多少克咸菜？ 【答案】320克 【分析】将比的前后项看成份数，辣椒质量÷对应份数＝一份数，一份数×总份数＝能做的咸菜质量，据此列式解答。 【详解】240÷3×（3＋1） ＝80×4 ＝320（克） 答：能做320克咸菜。 29．医保制度作为社会保障体系的重要组成部分，旨在为参保人员提供医疗费用的经济补偿，减轻因疾病带来的经济负担。昊昊生病住院用去医药费3760元，根据儿童医疗保险规定，个人负担和医院报销费用的比是1∶4，昊昊这次住院可以报销多少元？ 【答案】3008元 【分析】把昊昊生病住院用去医药费的钱数看作单位“1”，其中医院报销，根据分数乘法的意义，用昊昊生病住院用去医药费3760元乘就是昊昊可以报销医药费的钱数。 【详解】 ＝ ＝3008（元） 答：昊昊这次住院可以报销3008元。 30．老师为检验活动成果，开展一场5分钟的限时“环保知识”抢答赛，甲、乙、丙三组最终一共获得了25分，甲组和乙组的分数比是1∶4，乙组和丙组的分数比是6∶5，甲、乙、丙三组各得了多少分？ 【答案】甲：3分；乙：12分；丙：10分 【分析】先将甲、乙、丙三组的分数比统一，得到连比，再按比例分配总份数求出各组得分。 【详解】甲组和乙组的分数比是1∶4，将前项和后项同时乘3，得到 乙组和丙组的分数比是6∶5，将前项和后项同时乘2，得到 所以甲、乙、丙三组的分数比为 甲组得了： （分） 乙组得了： （分） 丙组得了： （分） 答：甲组得了3分，乙组得了12分，丙组得了10分。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例（比的应用） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、比的应用核心思想 比的应用核心是利用两个量的倍比关系，通过"份数"或"分数"建立数量之间的对应关系，把比的问题转化为整数乘除法或分数乘除法问题解决。 ● 本质：把比看作份数的比，先求出1份对应的数量，再根据各部分的份数求出对应数量。 二、常见应用题型分类 1. 按比例分配（基础题型） 　　- 特征：已知两个或多个量的总和，以及这几个量的比，求每个量分别是多少。 　　示例：把120本图书按3:5分给甲、乙两个班，求两个班各分多少本。 2. 已知单个量与比，求其他量或总量 　　- 特征：已知其中一个量的具体数量，以及两个量的比，求另一个量或总量。 　　示例：男生有20人，男生和女生人数比是2:3，求女生人数。 3. 已知差量与比，求总量或各部分 　　- 特征：已知两个量的相差数量，以及两个量的比，求总量或每个量。 　　示例：苹果比梨多15千克，苹果和梨的质量比是4:1，求苹果和梨各多少千克。 4. 连比的应用 　　- 特征：已知三个量的比，以及总量、其中一个量或差量，求各部分数量。 　　示例：甲乙丙三个数的比是2:3:5，三个数的和是60，求三个数各是多少。 5. 实际场景中的比 　　- 行程问题：时间相同，路程比=速度比；路程相同，时间比=速度的反比。 　　- 工程问题：时间相同，工作量比=效率比；工作量相同，时间比=效率的反比。 　　- 购物问题：单价相同，总价比=数量比；总价相同，数量比和单价比成反比。 三、三种基本解题方法 1. 份数法（最常用） 　　把比看成份数之比，先求1份的量，再乘对应份数。 　　- 核心公式：； 　　- 优点：直观易懂，计算简单，适合绝大多数比的应用问题。 2. 分数法 　　把比转化为分率，用分数乘除法解决。 　　例如：甲乙两数比是2:3，甲是乙的，乙是甲的；甲占总数的，乙占总数的。 3. 方程法 　　设每份的量为，根据总量、差量的关系列方程求解。 　　例如：甲乙比是2:3，设甲为，乙为，根据和或差列方程。 四、常见易错点 1. 总份数算错，比如三个数的比2:3:4，总份数误算成8，正确是9； 2. 量和份数不对应，用差量除以总份数，正确应该除以份数差； 3. 已知长方形周长和长宽比，直接用周长乘对应分数，忘记周长是2倍的长宽和； 4. 连比问题中，中间量的份数不统一，直接写比导致错误。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：份数法——归一对应法 【解题思路】 把比转化为份数，找到已知量对应的份数，先算出1份的数量，再乘所求量对应的份数，核心是"先求一份，再求几份"。 【操作步骤】 第一步：根据比确定各部分的份数，算出总份数或份数差； 第二步：找到已知量对应的份数； 第三步：已知量÷对应份数 = 1份的量； 第四步：1份的量×所求量的份数 = 所求量。 【易错提升】 ● 易错点：总量对应份数差，差量对应总份数，搞反对应关系。 　　→ 规避技巧：总量对总份数，差量对份数差，先标注"谁对应谁"再计算。 方法点拨2：分数法——转化分率法 【解题思路】 把比转化为一个量是另一个量的几分之几，或者一个量占总量的几分之几，用分数乘除法解决。 【操作步骤】 第一步：确定单位"1"的量； 第二步：把比转化为对应分率； 第三步：单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法。 【易错提升】 ● 易错点：单位"1"找错，分率对应错误。 　　→ 规避技巧："比谁谁是单位1"，分率和单位1对应。 方法点拨3：方程法——设份法 【解题思路】 复杂的比的应用问题，设每份为，用含的式子表示各部分量，根据等量关系列方程求解。 【操作步骤】 第一步：根据比，设各部分量分别为几； 第二步：根据总量、和、差的关系列方程； 第三步：解方程求出，再求出各部分量。 【易错提升】 ● 易错点：设未知数时直接设所求量为，计算复杂。 　　→ 规避技巧：比的问题优先设每份为，计算更简便。 【第三部分】考点讲练 考点一：按比例分配问题（基础题型） 考查重点：掌握按比例分配的基本解法，能正确解决已知总量和比的问题。 【典例精讲】 题目：学校把180本课外书按2:3:4分给三、四、五年级，三个年级各分得多少本？ 【变式训练】 题目：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是5:3，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 考点二：已知单个量与比，求其他量或总量 考查重点：能根据一个量和对应的份数，先求一份量，再求另一个量或总量。 【典例精讲】 题目：六（1）班男生和女生人数的比是3:4，男生有24人，女生有多少人？全班一共有多少人？ 【变式训练】 题目：修一条公路，已修的长度和未修的长度比是2:5，已修了120米，这条路全长多少米？ 考点三：已知差量与比，求总量或各部分 考查重点：掌握差量对应份数差的解题思路，能解决差比类问题。 【典例精讲】 题目：果园里苹果树和梨树的棵数比是5:3，苹果树比梨树多40棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 【变式训练】 题目：甲、乙两数的比是7:4，甲数比乙数大21。甲、乙两数的和是多少？ 考点四：连比的应用 考查重点：掌握连比问题的解法，能统一中间量的份数，解决三个量的比的应用问题。 【典例精讲】 题目：学校运动会，六年级三个班的获奖人数比是2:3:5，二班有15人获奖，一班和三班各有多少人获奖？三个班一共有多少人获奖？ 【变式训练】 题目：甲乙丙三个数的和是120，甲:乙=2:3，乙:丙=6:5。甲乙丙三个数分别是多少？ 考点五：比的综合实际应用 考查重点：能结合行程、工程、购物等场景，运用比的知识解决实际问题。 【典例精讲】 题目：甲乙两车同时从两地相向开出，速度比是4:5，相遇时甲车行了120千米，两地相距多少千米？ 【变式训练】 题目：加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率比是5:3，师傅单独做需要15小时完成，徒弟单独做需要多少小时？ 【第四部分】专项提升练习 1．甲、乙两数的比是3∶5，甲数比乙数少12，甲、乙两数分别是多少？ 2．配制一种混凝土，所用水泥、黄沙、石子的比是2∶3∶5。现有水泥、黄沙、石子各48吨，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨，石子还需要增加多少吨？ 3．禹州旅游结束后，李叔叔一家开车沿原路线返回家，如果每小时比去时多行驶20千米，那么所用时间是去时的；如果每小时比去时少行驶20千米，那么所用时间比去时要多1小时。李叔叔家与禹州相距多少千米？ 4．藏戏具有悠久的历史，被誉为“西藏文化活化石”。在雪顿节期间参与藏戏演出的原来有36人，其中男、女生人数的比为5︰4，后来又有一些男生加入，这时男、女生人数的比为2︰1。现在参与藏戏演出的有多少人？ 5．给下面的每个小方格涂上蓝色或黄色，使蓝色方格数与黄色方格数的比是5∶3。两种颜色各应涂多少个方格？ 6．在如今这个环保意识日益加强的社会，越来越多的人开始关注自己的出行方式是否对环境造成了污染。小金从洛龙区先乘地铁然后乘坐公交回涧西老家。这段路程约12千米，乘坐公交车和地铁的路程比是2∶3。她乘坐公交车和地铁的路程分别是多少千米？ 7．我国民间常用生姜、红糖和水煎服以防治感冒。把生姜、红糖和水一般按照2∶5∶75的质量比配好后熬成姜汤。奶奶给小丽熬的姜汤里放入了6克生姜，小丽喝的姜汤有多少克？ 8．某轻食店主打一款高纤维鹰嘴豆沙拉，制作时鹰嘴豆、彩椒和虾仁的分量之比为3∶4∶6，彩椒的用量比虾仁少8千克。为了制作这款沙拉，至少要准备多少千克鹰嘴豆？ 9．李鹏家到奶奶家全长18千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段长之比依次是1∶2∶3。星期天，李鹏骑自行车到奶奶家，走相应各段路所用的时间之比依次是3∶4∶5。已知他上坡速度为7.5千米/时，则他从家骑到奶奶家用多少时间？ 10．劳动实践课上，同学们一起做花纹巧克力，其中黑巧克力和白巧克力的用量比是，用到的黑巧克力比白巧克力少560克，白巧克力用了多少克？ 11．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发相向而行，经过4小时相遇，两车所行的路程比是5∶6，其中甲车平均每时行75千米。A、B两地之间的距离是多少千米？ 12．芳香疗法因能够安神、减压，受到很多人的青睐，越来越多的人开始根据自己的喜好制作芳香剂。刘阿姨用乙醇、香料、纯净水制作了231毫升的芳香剂，乙醇、香料、纯净水的体积比是45∶27∶5。她使用了多少毫升乙醇？ 13．甲、乙两车从相距500千米的A、B两地同时相对开出，4小时后相遇，甲、乙两车的速度比是13∶12，甲车每时行多少千米？ 14．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场举行。空中护旗梯队由45架直升机组成，其中直－10武装直升机与直－19武装直升机的数量比是3∶13，已知直－10武装直升机有6架，那么直－19武装直升机有多少架？ 15．陶瓷是陶器与瓷器的统称，也是我国的一种工艺品。陶瓷厂第一周生产的瓷器与第二周的比是5∶3，第二周比第一周少生产了26件。两周一共生产了多少件瓷器？ 16．向海大道路边停车场上，停着小轿车、小客车、公共汽车共400辆，这三种车的辆数比是2∶3∶5，每种车各有多少辆？ 17．火药是我国古代的四大发明之一。将硝石、硫磺、木炭按照15∶2∶3进行配比可以做成火药。有木炭3.6千克，全部按配比做成火药，需要硝石和硫黄各多少千克？ 18．怀山药被医家评价为“温补”“性平”，是“药食同源”的典范。如果用怀山药粉和米粉按2：5制作一罐350g的怀山米粉，需要怀山药粉多少克？ 19．我国北斗三号卫星导航系统由中圆地球轨道卫星、地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星共30颗组成。这三种卫星数量之比是8∶1∶1，这三种卫星分别有多少颗？ 20．某网站对100万人在2025年的拜年方式进行了调查：选择用手机微信拜年、打电话拜年及其他拜年方式的人数比是17∶9∶14。选择用手机微信拜年的有多少万人？ 21．张大伯用篱笆围了一个长方形的蔬菜园子，周长为48米，长和宽的比是5∶3。请问这个园子的面积是多少平方米？ 22．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组、“复兴号”高铁动车组的最高运营速度比是7∶8，“复兴号”高铁动车组的最高运营速度可达400千米/时，“和谐号”动车组的最高运营速度为多少？ 23．甲、乙两个粮仓原来的存粮质量之比是4∶3。从甲粮仓拿出1200千克粮食放入乙粮仓中，这时甲粮仓的存粮质量是乙粮仓的。甲、乙两个粮仓共有粮食多少千克？甲粮仓原来有粮食多少千克？ 24．学校把一批图书按3∶4∶5的比例分给四、五、六年级，已知六年级分到60本，四、五年级各分到多少本？ 25．盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是，红球个数与白球个数的比是，已知三种颜色的球共175个，红、黄、白球各有多少个？ 26．把380棵树苗栽在两块长方形地里，一块地长25米，宽8米；另一块地长15米，宽12米，如果按面积大小进行分配栽种，这两块地分别栽种多少棵树苗？ 27．学校卫生室要配制一种消毒药水，药液与水的质量比是3∶17，如果有45克的药液，全部配制成这种消毒药水，需要多少克水？ 28．妈妈做一种咸菜，配菜时辣椒和胡萝卜要按3∶1的质量比进行备料，如果准备240克辣椒，能做多少克咸菜？ 29．医保制度作为社会保障体系的重要组成部分，旨在为参保人员提供医疗费用的经济补偿，减轻因疾病带来的经济负担。昊昊生病住院用去医药费3760元，根据儿童医疗保险规定，个人负担和医院报销费用的比是1∶4，昊昊这次住院可以报销多少元？ 30．老师为检验活动成果，开展一场5分钟的限时“环保知识”抢答赛，甲、乙、丙三组最终一共获得了25分，甲组和乙组的分数比是1∶4，乙组和丙组的分数比是6∶5，甲、乙、丙三组各得了多少分？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $