第四单元 比和比例（解比例） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学六年级上册（新教材）

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第四单元比和比例（解比例）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、解比例的定义 在比例中，如果已知其中的三项，求未知项的过程，叫做解比例。 ·本质：解比例是比例基本性质的直接应用，最终目的是求出比例中未知数的值。 ·未知项可以是比例的前项、后项，可以是内项，也可以是外项。 二、解比例的依据 解比例的核心依据是比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 1.比号形式：a:b=c:d(b、d0)一ad=bc 2.分数形式：号号(b、d0)一d=bc(分子分母交叉相乘，积相等) 三、解比例的规范步骤 1.写"解"：先写"解"字，明确解方程的格式： 2.转化方程：根据比例的基本性质，把比例转化为"外项积=内项积"的乘积方程； 3.解方程：按照整数、小数或分数方程的计算方法，求出未知数的值： 4.检验：把求出的未知数代入原比例，分别计算两边的比值，比值相等则计算正确。 第1页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、常见比例类型 1.整数比例：四项都是整数，是最基础的解比例题型： 2.分数比例：比例中含有分数，或本身是分数形式的比例： 3.小数比例：比例中含有小数，需注意小数点的计算： 4.实际比例：结合生活场景的比例，需要先根据数量关系列出比例，再求解。 五、常见易错点 1.忘记写"解"字，不符合解方程的规范格式： 2.分数形式的比例交叉相乘时，分子分母对应错误，导致方程列错： 3.内项和外项混淆，乘积等式写反： 4.计算过程中约分、小数计算出错； 5.解完不检验，结果是否符合比例关系不验证。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基础转化法（比号形式比例） 【解题思路】 比号形式的比例，先识别外项和内项，根据"外项积=内项积"直接转化为乘积方程，再解方 程。 【操作步骤】 第2页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第一步：标注比例的外项和内项： 第二步：外项相乘写等号一边，内项相乘写等号另一边： 第三步：解方程求出未知数： 第四步：代入检验比值是否相等。 【易错提升】 。易错点：把内项积和外项积写反。 →规避技巧：记住"两端是外项，中间是内项“，外项乘外项，内项乘内项。 方法点拨2：交叉相乘法（分数形式比例） 【解题思路】 分数形式的比例，核心是"交叉相乘"：左上分子×右下分母=右上分子×左下分母，直接转化 为方程。 【操作步骤】 第一步：明确分数比例的四个项： 第二步：对角线交叉相乘，写出乘积等式： 第三步：解方程求出未知数： 第四步：检验。 【易错提升】 第3页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ●易错点：未知数在分母时，交叉相乘对应错误。 →规避技巧：先标清楚四个项的位置，按"左上×右下=右上×左下"写等式，再计算。 方法点拨3：化简优先法（复杂比例） 【解题思路】 含有小数、分数的复杂比例，可以先把已知的比化成最简整数比，再解比例，简化计算过 程。 【操作步骤】 第一步：把已知的比化简为最简整数比： 第二步：根据最简比列新的比例： 第三步：解简化后的比例，求出未知数。 【易错提升】 ●易错点：化简比时前项后项同时变化，未知数跟着变。 → 规避技巧：只化简已知的比，未知项保持不变，再按性质求解。 【第三部分】考点讲练 考点一：整数比形式的解比例 考查重点：掌握比号形式整数比例的解法，规范解比例的步骤，正确应用比例的基本性质。 【典例精讲】 第4页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题目：解比例：12：8=x:6 【分析】 这是最基础的比号形式比例，12和6是外项，8和x是内项。根据比例的基本性质，外项积 等于内项积，转化为方程求解。 【详解】 解：8x=12×6 8x=72 X=72÷8 x=9 检验：左边12：8=1.5，右边9：6=1.5，比值相等，计算正确。 【答案】x=9 【变式训练】 题目：解比例：25：x=10:6 【分析】 x是比例的内项，根据比例的基本性质，内项积等于外项积，转化为方程求解。 【详解】 解：10x=25×6 10x=150 x=150÷10 X=15 第5页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 检验： 合边25：152 右边10：6=5 比值相等，计算正确。 【答案】x=15 考点二：分数形式的解比例 考查重点：掌握分数形式比例的交叉相乘解法，能正确求解含分数的比例。 【典例精讲】 题目：解比例： X=4 155 【分析】 这是分数形式的比例，x和5是外项，15和4是内项。根据交叉相乘的方法，外项积等于内 项积，转化为方程求解。 【详解】 解：5x=15×4 5x=60 X=60÷5 x=12 检验：东边号手右边是号 比值相等，计算正确。 15 【答案】x=12 【变式训练】 题目：解比例： 3_15 8 x 第6页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 未知数在分母位置，同样用交叉相乘的方法，3和x是外项，8和15是内项，外项积等于内 项积。 【详解】 解：3x=8×15 3x=120 x=120÷3 X=40 检验：左边 8 右边品君比位相等，计条工确， 【答案】x=40 考点三：含小数、分数的复杂比例 考查重点：能正确解含有小数、分数的比例，灵活选择化简法或直接转化法求解。 【典例精讲】 题目：解比例：0.6：0.15=x:0.2 【分析】 这是小数比例，可以直接用比例的基本性质转化为方程，也可以先把0.60.15化简成最简整数 比，再解比例。 【详解】 第7页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方法一：直接用基本性质 解：0.15x=0.6×0.2 0.15x=0.12 x=0.12÷0.15 x=0.8 方法二：先化简比 0.6:0.15=4:1 原比例化为： 4:1=x:0.2 解：X=4×0.2 x=0.8 【答案】x=0.8 【变式训练】 题目：解比例： 11 34 =X: 【分析】 分数比组成的比例，根据比例的基本性质转化为分数方程求解，也可以先化简左边的比。 【详解】 解：*号 1 1 2 4X=号 _2.1 x54 第8页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】x号 考点四：解比例的实际应用 考查重点：能结合实际场景，根据数量关系列出比例，再用解比例的方法解决问题。 【典例精讲】 题目：同一时间、同一地点，物体的高度与影长的比值是一定的。小明身高1.5米，影长1.2 米；同一时刻测得旗杆的影长是8米，旗杆高多少米？ 【分析】 同一时刻物体高度和影长成正比例关系，即"身高：影长=旗杆高：旗杆影长"，据此列出比 例，再解比例求出旗杆高度。 【详解】 解：设旗杆高x米。 1.5:1.2=x:8 1.2x=1.5×8 1.2x=12 x=12÷1.2 x=10 答：旗杆高10米。 【答案】10米 【变式训练】 第9页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题目：配制一种糖水，糖和水的质量比是1：20。现在有300克水，需要加多少克糖？ 【分析】 糖和水的质量比是1：20，已知水的质量，设糖的质量为未知数，列出比例求解。 【详解】 解：设需要加x克糖。 x:300=1:20 20x=300×1 20x=300 x=15 答：需要加15克糖。 【答案】15克 【第四部分】专项提升练习 1.解比例。 t:12s3.1 5=x 8:7= 48 315 3.5 【答案】x=72;x=25,x=4 第10页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 31 【分析】 x:12= 4`8根据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积转化为 1 3 x=12× 8 4,再根据等式的性质2两边同时除以8解方程。 5 x 315根据比例的基本性质转化为3x=5×15,再根据等式的性质2两边同时除以3解方程。 8:7= 比 3.5根据比例的基本性质转化为7x=3.5×8,再根据等式的性质2两边同时除以7解 方程。 【详解】x:12=31 48 1 3 x=12× 解：8 4 1 。x=9 8 t=9s1 8 x=9×8 x=72 315 解：3x=5×15 3x=75 第11页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=75÷3 x=25 8:7= 3.5 解：7x=3.5×8 7x=28 x=28÷7 x=4 2.解方程和比例。 1-1.1 (1)(100-3x)÷2=8 (2)2x+1.5x=17.5 (3)x4108 【答案】x=28;x=5:尤= 5 【分析】(1)根据等式的性质，方程两边同时乘2，然后再同时加3x,把方程改写成16+3x =100,两边再同时减去16，最后两边同时除以3即可求解。 (2)先把方程左边含有x的项合并，再根据等式的性质，方程两边同时除以3.5即可求解。 111 (3)利用比例的性质改写成方程，即为8x=10X4,然后方程两边同时乘8即可求解。 【详解】(1)(100-3x)÷2=8 第12页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：(100-3x)÷2×2=8×2 100-3x=16 100-3x+3x=16+3x 100=16+3x 16+3x=100 16+3x-16=100-16 3x=84 3x÷3=84÷3 x=28 (2)2x+1.5x=17.5 解：3.5x=17.5 3.5x÷3.5=17.5÷3.5 x=5 .11.1 (3)x410^8 11.1 一X三 X- 解：8104 11 -X= 840 第13页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 x×8= ×8 8 40 1 x=- 5 3.解比例。 112 36 11 2:X=6:5 7=X 0.5:5=4:x 【答案】 6 x= 1 5,x=14,10 【分析】解比例的主要依据是比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 据此将比例转化为方程求解。 112 11 一X=一X一 一X三 (1)根据比例的基本性质得625，把方程化简成65，然后根据等式的性质2， 1 方程两边同时除以6求出方程的解： 36 (2)7一x将其看作比例3：7=6：x,根据比例的基本性质得3x=7×6,把方程化简成 第14页共60页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3x=42 然后根据等式的性质2，方程两边同时除以3求出方程的解： 3)根据比例的基木性质符05x= 54,把方程化简成0.5x= 20,然后根据等式的性质 2,方程两边同时除以0.5求出方程的解。 112 一：X=一 【详解】(1)265 11.2 一X=一X一 解：625 11 一X= 6-5 1111 一X÷一 6656 1 X= ×6 5 6 x= 36 (2)7x 解：3：7=6：x 3x=7×6 3x=42 3x÷3=42÷3 第15页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=14 (305:'1 x 54 解 0.5x=1x1 54 0.5xs 20 0.5x÷0.5= -÷0.5 20 1 x= 10 4.解方程（或解比例）。 8 3(x-1.2)=4.80.25x÷120%=259 :x=25%:36 【答案】x=2.8;x=120:x=128 【分析】(1)根据等式的性质，两边先同时除以3，再同时加1.2： (2)先将120%转化成小数1.2，再根据等式的性质，两边先同时乘1.2，再同时除以0.25： 1 (3)将25%转化成分数4，再利用比例的基本性质（内项×内项=外项×外项），将比例转 第16页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 化成方程的形式，最后根据等式的性质，两边同时除以4。 【详解】3(x-1.2)=4.8 解：3(x-1.2)÷3=4.8÷3 x-1.2=1.6 x-1.2+1.2=1.6+1.2 x=2.8 0.25x÷120%=25 解：0.25x÷1.2=25 0.25x÷1.2×1.2=25×1.2 0.25x=30 0.25x÷0.25=30÷0.25 x=120 8 x=25%:36 8.x=1:36 :x= 解：94 4t=36x8 8 第17页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4t32 11 .1 =32÷ 444 x=32×4 x=128 5.解比例或解方程。 1.64 345 2.1._14 x0.3 4g6 x 3x+2x=15 4 【答案】x=0.12; 5:x=5 5 【分析】第一题：先根据比例的基本性质把比例变成普通方程，然后再根据等式的性质方程 两边同时除以4求解。 第二题：先根据比例的基本性质把比例变成普通方程，然后再根据等式的性质方程两边同时 J 除以6求解。 2.17 7 -X十一X三一X 第三题：先计算32一6，再根据等式的性质两边同时除以6求解。 第18页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.64 【详解】x0.3 解：4x=1.6×0.3 4x=0.48 x=0.48÷4 x=0.12 345 x: 496 543 解：694 51 一X= 63 15 x= 36 16 x= 35 2 x=3 5 2.114 x+ 3*T X三 215 4.314 一X十一X= 解：6615 714 6x=15 第19页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 147 x= 156 146 X=- 一X 157 4 x= 5 6.求未知数x的值。 0.94 1 ①2x-1.8=3.6②6 =x3 x-6=1x+4 ③4 5 【答案】①x=2.7;②x=0.2；③x=200 【分析】①方程两边先同时加上1.8，再同时除以2，求出方程的解； ②先根据比例的基本性质将比例方程改写成6x=0.9× 3,方程两边同时除以6，求出方程的 解： 1 1 一 ③方程两边先同时减去5，把方程变成2 1x-6=4, 然后方程两边先同时加上6，再同时 1 除以20，求出方程的解。 第20页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】①2x-1.8=3.6 解：2x-1.8+1.8=3.6+1.8 2x=5.4 2x÷2=5.4÷2 x=2.7 0.94 ②6 =X 3 解： 6r=0.9x4 6x=1.2 6x÷6=1.2÷6 x=0.2 -6=1 1 ③4 x+4 5 解：4-61 1 +4 -x 5 0-64 x=4 20 20 1 x-6=4 20 1 x-6+6=4+6 20 1 x=10 20 第21页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 x÷ =10÷ 20·20 20 x=10×20 x=200 7.解方程或解比例。 2 x-40%x=0.8 4:(5-x)=12:5 【答案】 10 x=3; x= 3 2 x-40%x= 【分析】先计算3 15,然后方程两边同时除以15： 根据比例的基本性质（内项积等于外项积）变形成12(5-)=4×5，计算发现60-12x=20」 然后两边同时加上12x，再同时减去20。最后两边同时除以12算出结果。 2 【详解】3 -40%x=0.8 4 x=0.8 解：15 第22页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 44 15x15 =0.8÷ 15 15 x=0.8× 4 x=3 4:(5-x)=12:5 解：1 2(5-x)=4×5 60-12x=20 60-12x+12x=20+12x 60=20+12x 12x+20-20=60-20 12x=40 12x÷12=40÷12 10 x= 3 8.解比例。 1.2.3 x38 3x=58 1.56 1.5:2.5=12:x =7.5:12 8 第23页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 【答案】x=16:x=9.5; x=20:x=5 213 【分析】第一题：解比例，原式化为：5x=3×8,再根据等式的性质2，方程两边同时除 2 以5即可。 第二题：解比例，原式化为：6x=1.5×38,再根据等式的性质2，方程两边同时除以6即可。 第三题：解比例，原式化为：1.5x=2.5×12,再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.5即 可。 第四题：解比例，原式化为：12x=8×7.5,再根据等式的性质2，方程两边同时除以12即可。 1 23 【详解】3：x=5:8 213 解：5X=3×8 21 5x=8 2212 5X÷5=8÷5 第24页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 x=8×2 U x=16 x38 1.5=6 解：6x=1.5×38 6x=57 6x÷6=57÷6 x=9.5 1.5:2.5=12:x 解：1.5x=2.5×12 1.5x=30 1.5x÷1.5=30÷1.5 X=20 8=7.5:12 解：12x=8×7.5 12x=60 12x÷12=60-12 第25页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=5 9.解比例。 1.1-27:x 7.5_x 63 2.53 1.75:2.8=x:12 【答案】x=54；x=9；x=7.5 1 1 【分析】(1)利用比例的性质，列出等式6 x=27×二 3,再根据等式的性质2解方程即可。 (2)利用比例的性质，列出等式2.5x=7.5×3,再根据等式的性质2解方程即可。 (3)利用比例的性质，列出等式2.8x=1.75×12,再根据等式的性质2解方程即可。 11 =27:x 【详解】(1)63 1 1 -x=27 解：6 、3 1 x=9 6 11 1 -x÷ =9÷ 66 6 x=9×6 x=54 第26页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.5x (2)2.53 7.5_x 解：2.53 2.5x=7.5×3 2.5x=22.5 2.5x÷2.5=22.5÷2.5 x=22.5÷2.5 x=9 (3)1.75:2.8=x:12 解：2.8x=1.75×12 2.8x=21 2.8x÷2.8=21÷2.8 x=21÷2.8 x=7.5 10.解比例或解方程。 5125 2 0 8 x 6:5=x:8 3x+0.5x=4.2 第27页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】x=200:x=120:x=3.6 【分析】根据交叉相乘相等转化为5x=125×8,再根据等式的性质2两边同时除以5，即可得 出x的值： 2 2 根据内项之积等于外项之积转化为5 x=6×8 再根据等式的性质2两边同时除以5，即可 得出x的值： 2 4,37 7 首先计算3 x+0.5x=-x+二x=-x 66一6，再根据等式的性质2两边同时除以6，即可得出x的 值。 5_125 【详解】8x 解： 5x=125×8 5x=1000 5x÷5=1000÷5 x=200 2 6:5=x:8 2 解：5t=6x8 48 2 第28页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22 2 5÷ 48÷ 5= 5 x=48× 2 x=120 2 3x+0.5x=4.2 21 解：3x+2=4.2 4.3 -x+x=4.2 6 6 77 1 6x*6 =4.2÷ x=4.2× 6 1 x=3.6 11.利用相关性质解下列方程或比例。 1.24 2 ①1.5x ②3x+0.5x=42 【答案】①x=5:②x=36 第29页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】①先根据比例的基本性质，将比例转化为方程1.2x=1.5×4;再化简方程，最后根据 等式的性质2，方程两边同时除以1.2求解。 7 ②先把小数转化为分数，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以6求解。 1.24 【详解】①1.5x 解：1.2x=1.5×4 1.2x=6 1.2x÷1.2=6÷1.2 x=5 2 x+0.5x=42 ②3 21 x+ 解：32 x=42 43 -x+二x=42 66 -x=42 6 6÷6=427 77 66 6 6 x=42× 第30页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=36 12.解下列方程。 2.15 2(x-3)=10 :x 3106 1 【答案】x=8:x=8 【分析】(1)先根据等式的性质2，方程两边同时除以2：再根据等式的性质1，方程两边同 时加上3求解。 215 (2)先根据比例的基本性质，将比例转化为方程3x=10×6；再化简方程，最后根据等式 2 的性质2，方程两边同时除以3求解。 【详解】(1)2(x-3)=10 解：2(X-3)÷2=10-2 x-3=5 x-3+3=5+3 第31页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=8 215 (2)3:10=6:x 215 解：3x=10×6 21 3x=12 2212 3X÷3=12÷3 13 X=12×2 1 x=8 13.解比例。 2.4:x=3:4 3.8x 191.5 9.6:0.8=x:0.5 【答案】 x=0.2x=0.3x=6 【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，将比例式转化为方程，把方程 第32页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 化简，然后根据等式的性质，方程两边同时除以3，求出方程的解： 根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，将比例式转化为方程，把方程化简，然 后根据等式的性质，方程两边同时除以19，求出方程的解； 根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，将比例式转化为方程，把方程化简，然 后根据等式的性质，方程两边同时除以08，求出方程的解。 【详解】 24:x=3: 1 解： 3x=2.4× 4 3x=0.6 x=0.6÷3 x=0.2 3.8= 191.5 解：19x=3.8×1.5 19x=5.7 x=5.7÷19 x=0.3 9.6:0.8=x:0.5 第33页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：0.8x=9.6×0.5 0.8x=4.8 x=4.8÷0.8 x=6 14.解比例。 31 :。=x:8 0.69 3:x=9:1542 x0.6 【答案】x=5:x=12:x=0.04 【分析】(1)根据比例的基本性质可得：9x=3×15,再根据等式的基本性质，等式的左右 两边同时除以9，即可求解： 13 (②)根据比例的基本性质可得：2式=×8，再根据等式的基本性质，等式的左右两边同时 1 除以2，即可求解： (3)根据比例的基本性质可得：9x=0.6×0.6,再根据等式的基本性质，等式的左右两边 同时除以9，即可求解。 第34页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)3：x=9:15 解：9x=3×15 9x=45 9x÷9=45÷9 x=5 31 (2)42 =x:8 13 5x=二×8 解：24 2x-6 1 x=6×2 x=12 0.69 (3)x0.6 解：9x=0.6×0.6 9x=0.36 9x÷9=0.36÷9 x=0.04 15.求未知数。 第35页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.6 =0.8:1.21-2x=3 X三 X 58 9_4.5 31 X三 -×0.6 x0.8 82 25 【答案】x=5.4:x=16; 4 x=1.6:x=5 【分析】(1)先根据比例的基本性质，将比例转化为方程0.8x=3.6×1.2;再化简方程，最后 根据等式的性质2，方程两边同时除以0.8求解。 2 w (2)根据等式的性质1，方程两边先同时加上5x,再同时减去8；最后根据等式的性质2， y 方程两边同时除以5求解。 (3)先根据比例的基本性质，将比例转化为方程4.5x=9×0.8:再化简方程，最后根据等式 的性质2，方程两边同时除以4.5求解。 3 (4)先把小数转化为分数，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以8求解。 第36页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1) 3.6=0.8:12 解：3.6：x=0.8:1.2 0.8x=3.6×1.2 0.8x=4.32 0.8x÷0.8=4.32-0.8 x=5.4 23 (2)1-5x=8 22 32 解：1-5x+5x=8+5x 32 1=8+5x 32 8+5x=1 32 3 8+5x-8=1-8 25 5x=8 2252 5X÷5=8÷5 55 X=8×2 第37页共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25 x=16 94.5 (3)x0.8 解：4.5x=9×0.8 4.5x=7.2 4.5x÷4.5=7.2÷4.5 x=1.6 3 1 (4)8x=2×0.6 313 解：8x=2×5 33 8x=10 3333 8X÷8=10÷8 38 X=10×3 x=5 16.解方程或比例。 155 4x-1.4×2.5=1.7 x:4=7:14 第38页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】x=1.3;x=2 【分析】(1)先化简方程，再根据等式的性质1，方程两边同时加上3.5：最后根据等式的 性质2，方程两边同时除以4求解。 515 (2)先根据比例的基本性质，将比例转化为方程14x=4×7;再化简方程，最后根据等式 5 的性质2，方程两边同时除以14求解。 【详解】(1)4x-1.4×2.5=1.7 解：4x-3.5=1.7 4x-3.5+3.5=1.7+3.5 4x=5.2 4x÷4=5.2÷4 x=1.3 155 (2)x:4=714 第39页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 515 解：14x=4×7 55 14X=28 55 55 14x÷14=28÷14 514 X=28×5 1 X=2 17.求未知数x的值。 4 x+-x=10.8 x12 5x-4=3672.1 【答案】x=6;x=8:x=40 A 【分析】(1)先将左边分数5化成小数0.8，再将x加0.8x得1.8x,再根据等式性质2，两 边同时除以1.8得到x的值 (2)先根据等式性质1和2，两边同时加4，再两边同时除以5得到x的值； (3)根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”将其转化为普通整式方程，再根据 第40页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等式性质2，两边同时除以2.1计算得到x的值 【详解】x+5x=10.8 4 5 解：x+0.8x=10.8 1.8x=10.8 1.8x÷1.8=10.8÷1.8 x=6 5x-4=36 解：5x-4+4=36+4 5x=40 5x÷5=40÷5 x=8 x12 72 解：2.1x=12×7 2.1x=84 2.1x÷2.1=84÷2.1 x=40 18.解方程。 第41页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :42 1.5+20%x=9 75 【答案】x=37.5,x=10 【分析】1.5+20%x=9,先把百分数化为小数，根据等式的性质，等式两边同时减去1.5，再 根据等式的性质，等式两边同时除以0.2： 3 方亏42，先变武为x:7=弓42 21 5， 再根据比例的基本性质变式为42x= 5,再根据等式 的性质，等式两边同时除以42。 【详解】1.5+20%x=9 解0.2x=9-1.5 0.2x=7.5 x=7.5÷0.2 X=37.5 742 第42页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 解： x:7= ÷42 42x=7× 21 42x= 5 21 x= ÷42 211 x= -X- 542 10 19.解方程。 3714 7.512 5x= 103 x5 0.35x-2.8×0.6=0 【答案】 x=4x=3.125x=4.8 7314 X=一X 【分析】(1)根据比例的基本性质将原方程先转化为1053，再根据等式的性质，方 第43页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 程两边同时除以10即可求解： (2)根据比例的基本性质将原方程先转化为12x=7.5×5,再根据等式的性质，方程两边同 时除以12即可求解： (3)先计算方程左边的2.8×0.6=1.68，再根据等式的性质，方程两边先同时加1.68后，再 同时除以0.35即可求解。 3714 :X= 【详解】5103 7143 解：10x=3×5 714 X= 105 147 x=510 x=14x10 57 x=4 7.5_12 x5 解：12x=7.5×5 12x=37.5 第44页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=37.5÷12 x=3.125 0.35x-2.8×0.6=0 解：0.35x-1.68=0 0.35x=1.68 x=1.68÷0.35 x=4.8 20.解方程或比例。 4x-8=24 x+40%x=56 0.8:3.2=15:x 【答案】x=8;x=40:x=60 【分析】第一题：根据等式的性质，给等式两边同时加8，再同时除以4即可求解。 第二题：先将百分数40%转化为小数0.4，然后再计算x+0.4x=1.4x,再根据等式的性质两 边同时除以1.4求解。 第三题：因为比例的基本性质是两内项之积等于两外项之积，所以先根据该性质将比例转化 第45页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为普通方程，再根据等式的性质方程两边同时除以0.8求解。 【详解】4x-8=24 解： 4x-8+8=24+8 4x=32 4x÷4=32÷4 x=8 x+40%x=56 解：1.4x=56 1.4x÷1.4=56÷1.4 x=40 0.8:3.2=15:x 解：0.8x=3.2×15 0.8x÷0.8=48÷0.8 x=60 21.解比例。 x701.1 2.46 43 1.5x 第46页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 【答案】x=2;x=3.75 【分析】根据比例的基本性质，先将比例式化成等积式，然后等式的两边同时除以3即可； 根据比例的基本性质，先将比例式化成等积式，然后等式的两边同时除以24即可。 1.1 【详解】x：10=43 1 x=10× 解：3 、4 15 3X=2 51 X= 23 X= ×3 2 15 X=2 2.46 1.5x 解：2.4x=1.5×6 2.4x=9 x=9:2.4 第47页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=3.75 22.求未知数x的值。 3x+10=22 I:x=1:1 13(x+5.5)=1696:x=104 【答案】x=4:x=7.5:x=12 【分析】(1)先根据等式性质1，等式两边同时减去10，算出3x的值：再根据等式性质2， 等式两边同时除以3，求出x: (2)先根据等式性质2，等式两边同时除以13，求出x+5.5的值：再根据等式性质1，等式 两边同时减去5.5，求出x: (3)先根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”转化成简易方程：再依据等式性 质，等式两边同时除以10，求出x。 【详解】(1)3x+10=22 解：3x+10-10=22-10 3x=12 第48页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3x÷3=12÷3 x=4 (2)13(x+5.5)=169 解：13(x+5.5)÷13=169÷13 x+5.5=13 x+5.5-5.5=13-5.5 x=7.5 111 :X= (3)610°4 111 一X=一X一 解：1064 11 一X= 1024 1x1-141 10102410 1 X= ×10 24 5 12 23.解方程或比例。 ①6.5：x=13:4 ②1.5x+3.4×5=26 ③)3，-x=2.5x 0.40.05 5 ④x-1.2 第49页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 ①x=2；②x=6: ③x=1.25；④x=9.6 【分析】①在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，将比例转化为方程，先化简，再根 据等式的性质，方程两边同时除以13求解x: ②先化简，再根据等式的性质，方程两边同时减去17，最后同时除以1.5求解x: ③把分数化为小数，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时加上x,交换两边位置，再 同时减去2求解x: ④分数形式的比例，分子、分母交叉相乘后积相等，将比例转化为方程，先化简，再根据等 式的性质，方程两边同时除以0.05求解x。 【详解】①6.5：x=13:4 解：13x=6.5×4 13x=26 13x÷13=26÷13 x=2 第50页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②1.5x+3.4×5=26 解：1.5x+17=26 1.5x+17-17=26-17 1.5x=9 1.5x÷1.5=9÷1.5 x=6 4 ③31x=2.5× 5 解：3.25-x=2.5×0.8 3.25-x=2 3.25-x+x=2+x 2+x=3.25 2+x-2=3.25-2 x=1.25 0.40.05 ④x-1.2 解：0.05x=0.4×1.2 0.05x=0.48 0.05x÷0.05=0.48÷0.05 第51页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=9.6 24.解比例。 x2-4 X 32 1 【答案】x=12:x=6.25 【分析】(1)先把比例改写成方程的形式，再根据等式的性质，方程两边同时除以4即可求 解。 (2)先把比例改写成方程的形式，再根据等式的性质，方程两边同时除以1.2即可求解。 2_1:4 【详解】x:32 21 解： 4x=二× 32 3 4x÷4=。÷4 3 11 X=一X 34 第52页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 x=12 2.5_x 123 解：1.2x=2.5×3 1.2x=7.5 1.2x÷1.2=7.5÷1.2 x=6.25 25.求未知数x. x20 x:16=7:3.5 7.6+0.4x=12.8 1.55 7x-3×0.9=2.9 4 【答案】x=13;x=6:x=0.8:x=8 【分析】7.6+0.4x=12.8先根据“加数=和一另一个加数”把原方程变为0.4x=12.8-7.6 然后根据等式性质2，方程两边同时除以0.4即可求解： x20 1.55根据比例的基本性质，将原式变成5x=1.5×20,再根据等式的性质2，方程两边同 时除以5，即可求解： 第53页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7x-3×0.9=2.9 先计算3×0.9=2.7，然后根据等式的性质1，方程两边同时加2.7，再根据等 式的性质2，方程两边同时除以7即可求解； 7 xl6=-:3.5 根据比例的基本性质，将原式变成3.516 4,再根据等式的性质2，方程两 边同时除以3.5，即可求解。 【详解】7.6+0.4x=12.8 解：0.4x=12.8-7.6 0.4x=5.2 0.4x÷0.4=5.2÷0.4 x=13 x20 1.55 解：5x=1.5×20 5x=30 5x÷5=30÷5 x=6 7x-3×0.9=2.9 解：7x-2.7=2.9 第54页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7x-2.7+2.7=2.9+2.7 7x=5.6 7x÷7=5.6÷7 x=0.8 I6=73.5 7 3.5x=16× 解： 4 3.5x=28 3.5x÷3.5=28÷3.5 x=8 26.解方程或解比例。 x2.4 ①4x+3×0.7=6.5 ②81.6 5.4=12:x ③69 【答案】①x=1.1:②x=12;③x=6.4 【分析】①4x+3×0.7=6.5:先简化方程为4x+2.1=6.5,等式两边同时减去2.1，再除以 第55页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2.4 ②81.6：把比例式改写成方程为1.6x=8×2.4,等式两边同时除以1.6； 三4-2：x:把比例式该写成方程为6 4 5 =12× ③69 9,为等式两边同时除以6。 【详解】①4x+3×0.7=6.5 解：4x+2.1=6.5 4x=6.5-2.1 4x=4.4 x=4.4÷4 x=1.1 x_2.4 ②81.6 解：1.6x=8×2.4 1.6x=19.2 x=19.2÷1.6 x=12 54 ③69 =12:x 5 4 x=12× 解：6 9 516 -X= 63 第56页共60页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 165 X= 36 166 x= 一X 35 x=6.4 27.求未知数x的值。 112 3.2x (1)5.3x+1.7x=10.5 (2635x (3)1.512 4 【答案】(1)x=1.5:(2)x=5;(3)x=25.6 【分析】(1)先化简等式的左边，再根据等式的性质，等式两边同时除以7。 (2)根据比例的基本性质，把等式转化为一般方程，再根据等式的性质，等式两边同时除以 1 6。 (3)根据比例的基本性质，把等式转化为一般方程，再根据等式的性质，等式两边同时除以 1.5。 【详解】(1)53x+1.7x=10.5 第57页共60页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：7x=10.5 7x÷7=10.5÷7 x=1.5 112 :X (2)635 112 解：6x=3×5 12 6x=15 2.1 X=- 156 2 X= ×6 15 4 x=5 3.2_x (3)1.512 解：1.5x=3.2×12 1.5x=38.4 x=38.4÷1.5 x=25.6 28.解方程或解比例。 第58页共60页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6_2.4 1 55 x 2 647 0.8+-x=4.8 7 【答案】x=5:X= 24;x=8 【分析】首先根据比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积)，将比例转化为普通 方程：然后根据等式的性质2，方程两边同时除以2.4，解出未知数。 首先根据比例的基本性质，将比例转化为普通方程；然后根据等式的性质2，方程两边同时 5 除以7，将分数除法转化为分数乘法（除以一个数相当于乘它的倒数），解出未知数。 首先根据等式的性质1，方程两边同时减0.8；再根据等式的性质2，方程两边同时除以2， 将分数除法转化为分数乘法，解出未知数。 62.4 【详解】x2 解：2.4x=6×2 2.4x=12 2.4x÷2.4=12÷2.4 x=5 第59页共60页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 155 x:- 647 515 一X=一X 解：764 55 7x=24 5555 x÷ 7 7247 57 x= 245 7 X= 24 1 0.8+-x=4.8 1 解 0.8+-x-0.8=4.8-0.8 2 1 x=4 11 2 22 x=4×2 x=8 第60页共60页 第四单元 比和比例（解比例） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、解比例的定义 在比例中，如果已知其中的三项，求未知项的过程，叫做解比例。 - 本质：解比例是比例基本性质的直接应用，最终目的是求出比例中未知数的值。 - 未知项可以是比例的前项、后项，可以是内项，也可以是外项。 二、解比例的依据 解比例的核心依据是比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 1. 比号形式：（） 2. 分数形式：（）（分子分母交叉相乘，积相等） 三、解比例的规范步骤 1. 写"解"：先写"解"字，明确解方程的格式； 2. 转化方程：根据比例的基本性质，把比例转化为"外项积=内项积"的乘积方程； 3. 解方程：按照整数、小数或分数方程的计算方法，求出未知数的值； 4. 检验：把求出的未知数代入原比例，分别计算两边的比值，比值相等则计算正确。 四、常见比例类型 1. 整数比例：四项都是整数，是最基础的解比例题型； 2. 分数比例：比例中含有分数，或本身是分数形式的比例； 3. 小数比例：比例中含有小数，需注意小数点的计算； 4. 实际比例：结合生活场景的比例，需要先根据数量关系列出比例，再求解。 五、常见易错点 1. 忘记写"解"字，不符合解方程的规范格式； 2. 分数形式的比例交叉相乘时，分子分母对应错误，导致方程列错； 3. 内项和外项混淆，乘积等式写反； 4. 计算过程中约分、小数计算出错； 5. 解完不检验，结果是否符合比例关系不验证。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：基础转化法（比号形式比例） 【解题思路】 比号形式的比例，先识别外项和内项，根据"外项积=内项积"直接转化为乘积方程，再解方程。 【操作步骤】 第一步：标注比例的外项和内项； 第二步：外项相乘写等号一边，内项相乘写等号另一边； 第三步：解方程求出未知数； 第四步：代入检验比值是否相等。 【易错提升】 ● 易错点：把内项积和外项积写反。 　　→ 规避技巧：记住"两端是外项，中间是内项"，外项乘外项，内项乘内项。 方法点拨2：交叉相乘法（分数形式比例） 【解题思路】 分数形式的比例，核心是"交叉相乘"：左上分子×右下分母 = 右上分子×左下分母，直接转化为方程。 【操作步骤】 第一步：明确分数比例的四个项； 第二步：对角线交叉相乘，写出乘积等式； 第三步：解方程求出未知数； 第四步：检验。 【易错提升】 ● 易错点：未知数在分母时，交叉相乘对应错误。 　　→ 规避技巧：先标清楚四个项的位置，按"左上×右下 = 右上×左下"写等式，再计算。 方法点拨3：化简优先法（复杂比例） 【解题思路】 含有小数、分数的复杂比例，可以先把已知的比化成最简整数比，再解比例，简化计算过程。 【操作步骤】 第一步：把已知的比化简为最简整数比； 第二步：根据最简比列新的比例； 第三步：解简化后的比例，求出未知数。 【易错提升】 ● 易错点：化简比时前项后项同时变化，未知数跟着变。 　　→ 规避技巧：只化简已知的比，未知项保持不变，再按性质求解。 【第三部分】考点讲练 考点一：整数比形式的解比例 考查重点：掌握比号形式整数比例的解法，规范解比例的步骤，正确应用比例的基本性质。 【典例精讲】 题目：解比例： 【变式训练】 题目：解比例： 考点二：分数形式的解比例 考查重点：掌握分数形式比例的交叉相乘解法，能正确求解含分数的比例。 【典例精讲】 题目：解比例： 【变式训练】 题目：解比例： 考点三：含小数、分数的复杂比例 考查重点：能正确解含有小数、分数的比例，灵活选择化简法或直接转化法求解。 【典例精讲】 题目：解比例： 【变式训练】 题目：解比例： 考点四：解比例的实际应用 考查重点：能结合实际场景，根据数量关系列出比例，再用解比例的方法解决问题。 【典例精讲】 题目：同一时间、同一地点，物体的高度与影长的比值是一定的。小明身高1.5米，影长1.2米；同一时刻测得旗杆的影长是8米，旗杆高多少米？ 【变式训练】 题目：配制一种糖水，糖和水的质量比是。现在有300克水，需要加多少克糖？ 【第四部分】专项提升练习 1．解比例。     2．解方程和比例。 （1）（100－3x）÷2＝8        （2）2x＋1.5x＝17.5        （3） 3．解比例。 ∶X＝∶        ＝        0.5∶＝∶x 4．解方程（或解比例）。          5．解比例或解方程。                              6．求未知数的值。 ①    ②    ③ 7．解方程或解比例。         4：（5－x）＝12：5 8．解比例。                   9．解比例。                       10．解比例或解方程。                     6∶＝x∶8                x＋0.5x＝4.2 11．利用相关性质解下列方程或比例。 ①        ② 12．解下列方程。      13．解比例。                                  14．解比例。          15．求未知数。                     16．解方程或比例。 4x－1.4×2.5＝1.7                            x∶＝∶ 17．求未知数的值。          18．解方程。 1.5＋20％x＝9                     19．解方程。                  20．解方程或比例。                      21．解比例。       22．求未知数的值。          23．解方程或比例。 ①                ② ③            ④ 24．解比例。                                  25．求未知数x。                              26．解方程或解比例。 ①        ②     ③ 27．求未知数x的值。 （1）5.3x＋1.7x＝10.5     （2）    （3） 28．解方程或解比例。          第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $