第四单元 比和比例（比例的应用） 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学六年级上册（新教材）

第四单元 比和比例（比例的应用） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、正比例与反比例的意义 比例的应用核心是利用正反比例关系解决实际问题，判断比例类型是解题的前提。 1. 正比例关系 　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 　　- 字母表示：（一定，且） 　　- 常见场景：速度一定，路程和时间成正比例；单价一定，总价和数量成正比例；工作效率一定，工作总量和时间成正比例。 2. 反比例关系 　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 　　- 字母表示：（一定，且） 　　- 常见场景：路程一定，速度和时间成反比例；总价一定，单价和数量成反比例；工作总量一定，工作效率和时间成反比例。 二、比例应用题的常见类型 1. 正比例应用题：对应数学中的"归一问题"，核心是单一量不变，求总量或对应数量。 2. 反比例应用题：对应数学中的"归总问题"，核心是总量不变，求单一量或对应数量。 3. 比例尺应用题：包括求比例尺、求图上距离、求实际距离三类基础题型。 4. 综合比例应用题：结合行程、工程、配制、几何等场景的复合比例问题。 三、比例应用题的通用解题步骤 1. 判：分析题意，找出两种相关联的量，判断它们成正比例还是反比例关系； 2. 设：设未知数为，通常直接设所求量为； 3. 列：正比例按"比值相等"列比例式，反比例按"乘积相等"列等式； 4. 解：根据比例的基本性质解比例，求出未知数的值； 5. 验：把结果代入原题，检验是否符合比例关系和实际意义； 6. 答：写出完整的答句，单位准确。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：比例判断法 【解题思路】 解决比例应用题的第一步是判断比例类型，核心是找不变的定量，看定量是比值还是乘积，对应判断正反比例。 【操作步骤】 第一步：找出题目中两种变化的相关联的量； 第二步：分析这两种量的关系，是比值不变还是乘积不变； 第三步：比值一定→正比例，乘积一定→反比例，和差一定→不成比例。 【易错提升】 ● 易错点：看到两个量同时增加就认为是正比例。 　　→ 规避技巧：必须是"比值固定"才是正比例，同增同减不一定是正比例。 方法点拨2：列比例式法 【解题思路】 判断完比例类型后，正比例按"两组对应量的比值相等"列比例式，反比例按"两组对应量的乘积相等"列等式。 【操作步骤】 - 正比例：第一组前项:第一组后项 = 第二组前项:第二组后项（前后项意义对应）； - 反比例：第一组第一个量×第一组第二个量 = 第二组第一个量×第二组第二个量。 【易错提升】 ● 易错点：正比例的前后项对应颠倒。 　　→ 规避技巧：写比例前标注每个量的含义，确保"同类量对应、顺序一致"。 方法点拨3：比例尺三求法 【解题思路】 比例尺的三个量（图上距离、实际距离、比例尺），已知任意两个可求第三个，核心是统一单位后按公式列比例求解。 【操作步骤】 第一步：统一单位，把实际距离的千米/米换算成厘米； 第二步：根据所求量选择对应公式，列出比例式； 第三步：计算结果，再换算成题目要求的单位。 【易错提升】 ● 易错点：单位不统一直接代入计算。 　　→ 规避技巧：计算前先写单位换算步骤，全部统一成厘米再计算。 【第三部分】考点讲练 考点一：正比例的实际应用（归一类） 考查重点：掌握正比例应用题的解法，能正确判断正比例关系，列比例求解归一问题。 【典例精讲】 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行驶了180千米。照这样的速度，这辆汽车5小时可以行驶多少千米？ 【变式训练】 题目：妈妈买3千克苹果花了24元。照这样计算，买8千克苹果需要多少元？ 考点二：反比例的实际应用（归总类） 考查重点：掌握反比例应用题的解法，能正确判断反比例关系，列等式求解归总问题。 【典例精讲】 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，4小时可以到达。如果每小时行驶80千米，几小时可以到达？ 【变式训练】 题目：工厂加工一批零件，每天加工150个，12天可以完成任务。如果每天加工180个，多少天可以完成任务？ 考点三：比例的综合实际应用 考查重点：能结合行程、配制、几何等场景，运用比例知识解决稍复杂的复合问题。 【典例精讲】 题目：配制一种农药，药粉和水的质量比是。 （1）现有药粉1.2千克，配制这种农药需要水多少千克？ （2）现有水2400千克，配制这种农药需要药粉多少千克？ 【变式训练】 题目：甲乙两车从相距270千米的两地同时出发，相向而行，速度比是。相遇时两车各行驶了多少千米？ 【第四部分】专项提升练习 1．小丽往调制盆里先倒入240毫升的酸梅原汁，再加入540毫升的水。要使口感最佳，小丽应该再往调制盆里加入多少毫升的酸梅原汁？ 2．我国风能资源丰富，风力发电架随处可见。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的竹竿直立在地上，测得竹竿在阳光下的影长是1.6米，风力发电架高多少米？ 3．经过几代人的竭尽奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，走出了一条自力更生、自主创新的道路。长征五号系列（简称CZ－5）运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。CZ－5基本型号运载火箭的箭体全长约57米。笑笑收藏了CZ－5基本型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶50，模型的高度是多少厘米？ 4．立夏表示即将告别春天，迎来夏天。春生、夏长、秋收、冬藏，时至立夏，万物繁茂。立夏当天中午小梦在学校里量得一根直立的竹竿高2米，其影长为1.5米，这时一幢教学楼的影长为13.5米，这幢教学楼高多少米？ 5．3D打印机是可以“打印”出真实物体的一种设备。一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的长度之比是1∶15，一架无人机的实际长度是240厘米，经过这款打印机生成后，这架无人机的3D模型的长度是多少厘米？ 6．为推进校园环保建设，学校大力推广可回收垃圾收集活动。每回收0.2千克废纸，大约能减少8千克水和木材的消耗。六（1）班同学五月份共回收105千克废纸，大约能减少多少千克水和木材的消耗？ 7．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？（用比例知识解决） 8．一辆汽车2小时行驶160千米，照这样的速度，从甲城到乙城还需要5.5小时，甲乙两地相距多少千米？（用比例解） 9．孝感首衡城•华中国际食品产业新城位于孝南区孝武大道，是华中地区规模最大、品类最全、设施最先进、功能最完善的全业态全产业链商贸物流产业集群。某物流公司有甲、乙两个配送车间，甲车间人数占两个车间人数的，如果从甲车间调出90人后，甲、乙两个车间人数的比是2∶3，原来两个车间一共有多少人？（提示：可以用比例解答） 10．复兴号动车组是中国自主研发、具有完全知识产权的标准动车组，集成了多种现代高新技术，是中国科技创新的重大成果。从北京到郑州高铁线路全长约700千米，动车仅需2.1小时。照这样计算，北京到深圳的铁路全长约是2400千米，乘动车需几小时到达？（用比例解答） 11．大雁塔是西安标志性建筑之一，不仅是一座宏伟的佛塔，更是承载着深厚历史文化的瑰宝，总高64米。某展馆设计制作了大雁塔的模型，模型高度与实际高度的比是1∶50。这个大雁塔模型的高度是多少？（用比例解） 12．我国高铁运营里程与高速公路通车里程的比约是4∶7，已知高速公路通车里程约17.5万公里，求高铁运营里程约是多少万公里？（用比例解） 13．甲、乙两个仓库原有货物的质量比是4∶5，后来甲、乙仓库都运出1.8吨货物，这时甲、乙两个仓库货物的质量比是2∶3。原来甲、乙两个仓库各有多少吨货物？（用比例解答） 14．中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递能力得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件，分拣准确率达99.99%。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 15．某村响应“绿水青山就是金山银山”的号召，组织村民在荒山上植树。原计划每天植树600棵，15天完成。为加快生态修复进度，村民们鼓足干劲，实际每天植树的棵数比原计划多。实际每天植树多少棵？（用比例解） 16．乐乐和妈妈一起玩跷跷板，乐乐的体重是30kg，她坐在距离支点15dm的地方。妈妈的体重是50kg，要保持跷跷板平衡，妈妈应坐在距离支点多少分米的地方？ 17．从甲城到乙城的距离是245千米，王叔叔驾车从甲城出发，前3时共行驶210千米。照这样计算，他到达乙城一共需要多长时间？（用比例知识解答） 18．在同一幅地图上，甲乙两地的距离是20厘米，甲丙两地的距离是12厘米。如果甲丙两地的实际距离是960千米，甲乙两地的距离是多少？（用比例解决问题） 19．某网上商城的空气炸锅和微波炉的价格比是8∶5，张叔叔发现，在“双十一”期间，两件电器均降价140元，价格比变为7∶4，降价后两件电器的价格分别是多少元？ 20．小明想在暑假期间练习钢笔字，他计划4天写8页。照这样的速度，暑假60天，他一共能写多少页？（用比例解） 21．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组、“复兴号”动车组和高速磁悬浮列车的速度比是，“复兴号”动车组每小时行350千米，高速磁悬浮列车每小时行多少千米？ 22．一棵树高12米，它的影长是15米，如果同一时间地点测得小明的身高是1.6米，它的影子长多少米？（用比例解答） 23．秦铜车马是中国国家一级保护文物，被誉为“青铜之冠”，它是将秦代真人车马按的比缩小制作的，其中一号车车前驾四匹铜马，车舆平面呈横长方形，前边两角呈弧形，舆宽74厘米，进深48.5厘米，那么秦代真人车马舆宽多少米？（用比例解） 24．为了迎接六一儿童节的到来，乐乐和欢欢用两条彩带装饰班级。两条彩带总长度为22米，乐乐把其中一条彩带剪去用来为同学们包装糖果袋，此时欢欢的那条彩带和乐乐的彩带的长度比是3∶2。乐乐和欢欢手里的彩带原来各为多长？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和比例（比例的应用） 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、正比例与反比例的意义 比例的应用核心是利用正反比例关系解决实际问题，判断比例类型是解题的前提。 1. 正比例关系 　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 　　- 字母表示：（一定，且） 　　- 常见场景：速度一定，路程和时间成正比例；单价一定，总价和数量成正比例；工作效率一定，工作总量和时间成正比例。 2. 反比例关系 　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 　　- 字母表示：（一定，且） 　　- 常见场景：路程一定，速度和时间成反比例；总价一定，单价和数量成反比例；工作总量一定，工作效率和时间成反比例。 二、比例应用题的常见类型 1. 正比例应用题：对应数学中的"归一问题"，核心是单一量不变，求总量或对应数量。 2. 反比例应用题：对应数学中的"归总问题"，核心是总量不变，求单一量或对应数量。 3. 比例尺应用题：包括求比例尺、求图上距离、求实际距离三类基础题型。 4. 综合比例应用题：结合行程、工程、配制、几何等场景的复合比例问题。 三、比例应用题的通用解题步骤 1. 判：分析题意，找出两种相关联的量，判断它们成正比例还是反比例关系； 2. 设：设未知数为，通常直接设所求量为； 3. 列：正比例按"比值相等"列比例式，反比例按"乘积相等"列等式； 4. 解：根据比例的基本性质解比例，求出未知数的值； 5. 验：把结果代入原题，检验是否符合比例关系和实际意义； 6. 答：写出完整的答句，单位准确。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：比例判断法 【解题思路】 解决比例应用题的第一步是判断比例类型，核心是找不变的定量，看定量是比值还是乘积，对应判断正反比例。 【操作步骤】 第一步：找出题目中两种变化的相关联的量； 第二步：分析这两种量的关系，是比值不变还是乘积不变； 第三步：比值一定→正比例，乘积一定→反比例，和差一定→不成比例。 【易错提升】 ● 易错点：看到两个量同时增加就认为是正比例。 　　→ 规避技巧：必须是"比值固定"才是正比例，同增同减不一定是正比例。 方法点拨2：列比例式法 【解题思路】 判断完比例类型后，正比例按"两组对应量的比值相等"列比例式，反比例按"两组对应量的乘积相等"列等式。 【操作步骤】 - 正比例：第一组前项:第一组后项 = 第二组前项:第二组后项（前后项意义对应）； - 反比例：第一组第一个量×第一组第二个量 = 第二组第一个量×第二组第二个量。 【易错提升】 ● 易错点：正比例的前后项对应颠倒。 　　→ 规避技巧：写比例前标注每个量的含义，确保"同类量对应、顺序一致"。 方法点拨3：比例尺三求法 【解题思路】 比例尺的三个量（图上距离、实际距离、比例尺），已知任意两个可求第三个，核心是统一单位后按公式列比例求解。 【操作步骤】 第一步：统一单位，把实际距离的千米/米换算成厘米； 第二步：根据所求量选择对应公式，列出比例式； 第三步：计算结果，再换算成题目要求的单位。 【易错提升】 ● 易错点：单位不统一直接代入计算。 　　→ 规避技巧：计算前先写单位换算步骤，全部统一成厘米再计算。 【第三部分】考点讲练 考点一：正比例的实际应用（归一类） 考查重点：掌握正比例应用题的解法，能正确判断正比例关系，列比例求解归一问题。 【典例精讲】 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行驶了180千米。照这样的速度，这辆汽车5小时可以行驶多少千米？ 【分析】 "照这样的速度"说明汽车行驶速度不变，速度=路程÷时间，比值一定，因此路程和时间成正比例关系。两组路程与时间的比值相等，据此列比例求解。 【详解】 解：设5小时可以行驶千米。 路程和时间成正比例，对应比值相等： 检验：（千米/时），（千米/时），速度一致，结果正确。 答：这辆汽车5小时可以行驶300千米。 【答案】300千米 【变式训练】 题目：妈妈买3千克苹果花了24元。照这样计算，买8千克苹果需要多少元？ 【分析】 苹果单价不变，总价÷数量=单价，比值一定，总价和数量成正比例关系。 【详解】 解：设买8千克苹果需要元。 答：买8千克苹果需要64元。 【答案】64元 考点二：反比例的实际应用（归总类） 考查重点：掌握反比例应用题的解法，能正确判断反比例关系，列等式求解归总问题。 【典例精讲】 题目：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，4小时可以到达。如果每小时行驶80千米，几小时可以到达？ 【分析】 甲乙两地的总路程固定不变，路程=速度×时间，乘积一定，因此速度和时间成反比例关系。两组速度与时间的乘积相等，据此列等式求解。 【详解】 解：设小时可以到达。 路程一定，速度和时间成反比例，对应乘积相等： 检验：（千米），（千米），路程一致，结果正确。 答：3小时可以到达。 【答案】3小时 【变式训练】 题目：工厂加工一批零件，每天加工150个，12天可以完成任务。如果每天加工180个，多少天可以完成任务？ 【分析】 零件总个数不变，工作总量=工作效率×工作时间，乘积一定，工作效率和工作时间成反比例。 【详解】 解：设天可以完成任务。 答：10天可以完成任务。 【答案】10天 考点三：比例的综合实际应用 考查重点：能结合行程、配制、几何等场景，运用比例知识解决稍复杂的复合问题。 【典例精讲】 题目：配制一种农药，药粉和水的质量比是。 （1）现有药粉1.2千克，配制这种农药需要水多少千克？ （2）现有水2400千克，配制这种农药需要药粉多少千克？ 【分析】 药粉和水的质量比固定，比值一定，成正比例关系。根据"药粉:水=1:800"分别列比例求解两问。 【详解】 （1）解：设需要水千克。 答：需要水960千克。 （2）解：设需要药粉千克。 答：需要药粉3千克。 【答案】（1）960千克；（2）3千克 【变式训练】 题目：甲乙两车从相距270千米的两地同时出发，相向而行，速度比是。相遇时两车各行驶了多少千米？ 【分析】 两车同时出发到相遇，行驶时间相同。时间相同的情况下，路程比等于速度比，因此甲乙路程比也是，总路程对应总份数，按比例分配求解。 【详解】 时间相同，路程比速度比 总份数： 每份路程：（千米） 甲车路程：（千米） 乙车路程：（千米） 比例法验证：设甲车行了千米，乙车行了千米。 乙车：（千米） 答：相遇时甲车行驶了120千米，乙车行驶了150千米。 【答案】甲车120千米，乙车150千米 【第四部分】专项提升练习 1．小丽往调制盆里先倒入240毫升的酸梅原汁，再加入540毫升的水。要使口感最佳，小丽应该再往调制盆里加入多少毫升的酸梅原汁？ 【答案】 120毫升 【分析】设小丽应该再往调制盆里加入x毫升的酸梅原汁，此时酸梅原汁的总量为（240＋x）毫升。酸梅原汁和水的比是4∶6时，口感最佳，据此可列比例为（240＋x）∶540＝4∶6，根据比例的基本性质将其转化为方程，先化简，再根据等式的性质求解即可。 【详解】解：设小丽应该再往调制盆里加入x毫升的酸梅原汁。 （240＋x）∶540＝4∶6 6（240＋x）＝540×4 6（240＋x）＝2160 6（240＋x）÷6＝2160÷6 240＋x＝360 240＋x－240＝360－240 x＝120 答：小丽应该再往调制盆里加入120毫升的酸梅原汁。 2．我国风能资源丰富，风力发电架随处可见。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的竹竿直立在地上，测得竹竿在阳光下的影长是1.6米，风力发电架高多少米？ 【答案】 80米 【分析】设风力发电架高x米，同一时间、同一地点，直立物体的高度与影长的比值是一定的，据此可列比例为2∶1.6＝x∶64，根据比例的基本性质，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质求解即可。 【详解】解：设风力发电架高x米。 2∶1.6＝x∶64 1.6x＝2×64 1.6x＝128 1.6x÷1.6＝128÷1.6 x＝80 答：风力发电架高80米。 3．经过几代人的竭尽奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，走出了一条自力更生、自主创新的道路。长征五号系列（简称CZ－5）运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。CZ－5基本型号运载火箭的箭体全长约57米。笑笑收藏了CZ－5基本型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶50，模型的高度是多少厘米？ 【答案】114厘米 【分析】先将实际高度的单位换算为厘米；模型高度与实际高度的比是1∶50，即实际高度50厘米对应模型高度1厘米，用实际高度除以50即可求出模型高度。 【详解】57米＝5700厘米 5700÷50＝114（厘米） 答：模型的高度是114厘米。 4．立夏表示即将告别春天，迎来夏天。春生、夏长、秋收、冬藏，时至立夏，万物繁茂。立夏当天中午小梦在学校里量得一根直立的竹竿高2米，其影长为1.5米，这时一幢教学楼的影长为13.5米，这幢教学楼高多少米？ 【答案】18米 【分析】同一时间、同一地点，直立物体的高度与影长的比值固定，令教学楼高度是x米，列比例关系：＝。 【详解】解：设教学楼高度是x米。 ＝ ＝2×13.5 ＝27 ÷1.5＝27÷1.5 ＝18 答：这幢教学楼高18米。 5．3D打印机是可以“打印”出真实物体的一种设备。一款3D打印机，通过扫描实物，生成的3D模型与实物的长度之比是1∶15，一架无人机的实际长度是240厘米，经过这款打印机生成后，这架无人机的3D模型的长度是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】3D模型与实物的长度比为，实物长度是240厘米，那么1∶15＝无人机的模型长度∶240。根据比例的基本性质，用实物长度乘1除以15即可得到模型长度。 【详解】（厘米） 答：这架无人机的3D模型的长度是16厘米。 6．为推进校园环保建设，学校大力推广可回收垃圾收集活动。每回收0.2千克废纸，大约能减少8千克水和木材的消耗。六（1）班同学五月份共回收105千克废纸，大约能减少多少千克水和木材的消耗？ 【答案】 4200千克 【分析】设大约能减少x千克水和木材的消耗。由题可知，减少的消耗质量÷回收的废纸质量＝每千克废纸能减少的消耗质量，这个比值是固定不变的，据此列出比例8∶0.2＝x∶105。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，把比例转化为方程，再根据等式的性质求解即可。 【详解】解：设大约能减少x千克水和木材的消耗。 8∶0.2＝x∶105 0.2x＝8×105 0.2x＝840 0.2x÷0.2＝840÷0.2 x＝4200 答：大约能减少4200千克水和木材的消耗。 7．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？（用比例知识解决） 【答案】58.3厘米 【分析】先把实际高度的单位换算成厘米，设模型的高度为x厘米；等量关系：模型高度∶实际高度＝1∶100，根据该等量关系列出比例方程，再解方程即可解答。 【详解】58.3米＝5830厘米 解：设这一模型的高度是x厘米。 x∶5830＝1∶100 100x＝5830×1 100x＝5830 100x÷100＝5830÷100 x＝58.3 答：这一模型的高度是58.3厘米。 8．一辆汽车2小时行驶160千米，照这样的速度，从甲城到乙城还需要5.5小时，甲乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】600千米 【分析】根据路程＝时间×速度可知，速度＝，汽车行驶速度不变，路程与时间的比值一定，所以二者成正比例关系，由题意可知，一辆汽车2小时行驶160千米，从甲城到乙城还需要5.5小时，所以总的时间＝已行驶的2小时＋还需的5.5小时，据此列正比例方程求解。 【详解】解：设甲乙两地相距千米。 （小时） 答：甲乙两地相距600千米。 9．孝感首衡城•华中国际食品产业新城位于孝南区孝武大道，是华中地区规模最大、品类最全、设施最先进、功能最完善的全业态全产业链商贸物流产业集群。某物流公司有甲、乙两个配送车间，甲车间人数占两个车间人数的，如果从甲车间调出90人后，甲、乙两个车间人数的比是2∶3，原来两个车间一共有多少人？（提示：可以用比例解答） 【答案】240人 【分析】根据甲车间人数占两个车间人数的，把两个车间人数看成8份，甲车间人数占5份，则乙车间人数占8－5＝3份。设原来甲车间有5x人，则乙车间有3x人，根据数量关系式：（甲车间原来人数－90）∶乙车间原来人数＝2∶3，列出方程。 【详解】8－5＝3（份） 解：设原来甲车间有5x人，则乙车间有3x人。 （5x－90）∶3x＝2∶3 6x＝3×（5x－90） 6x＝15x－270 15x－6x＝270 9x＝270 x＝270÷9 x＝30 5×30＝150（人） 3×30＝90（人） 150＋90＝240（人） 答：原来两个车间一共有240人。 10．复兴号动车组是中国自主研发、具有完全知识产权的标准动车组，集成了多种现代高新技术，是中国科技创新的重大成果。从北京到郑州高铁线路全长约700千米，动车仅需2.1小时。照这样计算，北京到深圳的铁路全长约是2400千米，乘动车需几小时到达？（用比例解答） 【答案】 7.2小时 【分析】动车速度不变，路程和时间成正比例关系。依据速度相等列出比例方程，再利用比例基本性质求解。 【详解】解：设乘动车需x小时到达。 答：乘动车需7.2小时到达。 11．大雁塔是西安标志性建筑之一，不仅是一座宏伟的佛塔，更是承载着深厚历史文化的瑰宝，总高64米。某展馆设计制作了大雁塔的模型，模型高度与实际高度的比是1∶50。这个大雁塔模型的高度是多少？（用比例解） 【答案】1.28米 【分析】根据模型高度与实际高度的比为1∶50，结合已知的实际高度，设模型高度为未知数，列比例式后利用比例的基本性质求解。 【详解】解：设这个大雁塔模型的高度是x米。 x∶64＝1∶50 50x＝64×1 x＝64÷50 x＝1.28 答：这个大雁塔模型的高度是1.28米。 12．我国高铁运营里程与高速公路通车里程的比约是4∶7，已知高速公路通车里程约17.5万公里，求高铁运营里程约是多少万公里？（用比例解） 【答案】10万公里 【分析】根据题意可知，高铁运营里程与高速公路通车里程的比是4∶7，已知高速公路通车里程是17.5万公里，求高铁运营里程。可以设高铁运营里程为x万公里，根据比例的意义列出比例式，再利用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）解方程求解。 【详解】解：设高铁运营里程约是x万公里 答：高铁运营里程约是10万公里。 13．甲、乙两个仓库原有货物的质量比是4∶5，后来甲、乙仓库都运出1.8吨货物，这时甲、乙两个仓库货物的质量比是2∶3。原来甲、乙两个仓库各有多少吨货物？（用比例解答） 【答案】甲仓库3.6吨，乙仓库4.5吨 【分析】根据原来甲、乙两个仓库货物的质量比是4∶5，可以设原来甲仓库货物有4x吨，乙仓库货物有5x吨。两个仓库都运出货物后，甲仓库剩（4x－1.8）吨，乙仓库剩（5x－1.8）吨。根据这时甲、乙两个仓库货物的质量比是2∶3，列出比例方程，解出x的值，进而求出原来甲、乙两个仓库各有多少吨货物。 【详解】解：设原来甲仓库货物有4x吨，乙仓库货物有5x吨。 原来甲仓库：4×0.9＝3.6（吨） 原来乙仓库：5×0.9＝4.5（吨） 答：原来甲仓库有3.6吨货物，乙仓库有4.5吨货物。 14．中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递能力得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件，分拣准确率达99.99%。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 【答案】45分钟 【详解】分拣速度不变，分拣快递的总件数与所需时间成正比，据此列出比例并求出未知数的值得解。 【解答】解：设完成7.2万件的分拣任务需要x分钟，则： 7.2万件＝72000件 72000∶x＝4800∶3 ＝45 答：完成7.2万件的分拣任务需要45分钟。 15．某村响应“绿水青山就是金山银山”的号召，组织村民在荒山上植树。原计划每天植树600棵，15天完成。为加快生态修复进度，村民们鼓足干劲，实际每天植树的棵数比原计划多。实际每天植树多少棵？（用比例解） 【答案】800棵 【分析】根据题意，把原计划每天植树的棵数看作单位“1”，那么实际每天植树的棵数是原计划每天植树的（1＋）。设实际每天植树为x棵，列比例为x∶600＝（1＋）∶1，据此即可解答。 【详解】解：设实际每天植树为x。 x∶600＝（1＋）∶1 x∶600＝∶1 x＝600× x＝800 答：实际每天植树800棵。 16．乐乐和妈妈一起玩跷跷板，乐乐的体重是30kg，她坐在距离支点15dm的地方。妈妈的体重是50kg，要保持跷跷板平衡，妈妈应坐在距离支点多少分米的地方？ 【答案】9分米 【分析】根据“杠杆原理”可知，要保持跷跷板平衡，应满足乐乐的体重乐乐与支点的距离＝妈妈的体重×妈妈与支点的距离，则妈妈与支点的距离＝乐乐的体重乐乐与支点的距离妈妈的体重。据此解答。 【详解】 （分米） 答：妈妈应坐在距离支点9分米的地方。 17．从甲城到乙城的距离是245千米，王叔叔驾车从甲城出发，前3时共行驶210千米。照这样计算，他到达乙城一共需要多长时间？（用比例知识解答） 【答案】3.5时 【分析】设他到达乙城一共需要x时，根据路程∶时间＝速度（一定），比值一定，路程与时间成正比例，据此列出比例解答即可。 【详解】解：设他到达乙城一共需要x时。 245∶x＝210∶3 210x＝245×3 210x÷210＝735÷210 x＝3.5 答：他到达乙城一共需要3.5时。 18．在同一幅地图上，甲乙两地的距离是20厘米，甲丙两地的距离是12厘米。如果甲丙两地的实际距离是960千米，甲乙两地的距离是多少？（用比例解决问题） 【答案】1600千米 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。设甲乙两地的距离是x千米，根据甲乙两地的图上距离∶甲乙两地的实际距离＝甲丙两地的图上距离∶甲丙两地的实际距离，列出比例解答即可。 【详解】解：设甲乙两地的距离是x千米。 20∶x＝12∶960 12x＝20×960 12x＝19200 12x÷12＝19200÷12 x＝1600 答：甲乙两地的距离是1600千米。 19．某网上商城的空气炸锅和微波炉的价格比是8∶5，张叔叔发现，在“双十一”期间，两件电器均降价140元，价格比变为7∶4，降价后两件电器的价格分别是多少元？ 【答案】空气炸锅980元；微波炉560元 【分析】根据“原来空气炸锅和微波炉的价格比是8∶5”，可以设空气炸锅的原价是8元，则微波炉的原价是5元。 根据“两件电器均降价140元，价格比变为7∶4”，可得出等量关系：（空气气炸锅的原价－140）∶（微波炉的原价－140）＝7∶4，据此列出比例方程，并求解，进而求出降价后两件电器的价格。 【详解】解：设空气炸锅的原价是8元，微波炉的原价是5元。 （8－140）∶（5－140）＝7∶4 7（5－140）＝4（8－140） 35－980＝32－560 35－32＝980－560 3＝420 ＝420÷3 ＝140 降价后空气炸锅的价格是： 140×8－140 ＝1120－140 ＝980（元） 降价后空气炸锅的价格是： 140×5－140 ＝700－140 ＝560（元） 答：降价后空气炸锅980元，微波炉560元。 20．小明想在暑假期间练习钢笔字，他计划4天写8页。照这样的速度，暑假60天，他一共能写多少页？（用比例解） 【答案】120页 【分析】暑假每一天的练字速度是一致的，据此列出比例，再解比例即可。 【详解】解：设他一共能写页。 答：他一共能写120页。 【点睛】本题考查了比例的应用，能根据题意列比例解比例是解题的关键。 21．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组、“复兴号”动车组和高速磁悬浮列车的速度比是，“复兴号”动车组每小时行350千米，高速磁悬浮列车每小时行多少千米？ 【答案】600千米 【分析】根据“复兴号”动车组速度和高速磁悬浮列车速度比等于7∶12，列比例式解答即可。 【详解】解：设高速磁悬浮列车每小时行千米。 答：高速磁悬浮列车每小时行600千米。 【点睛】此题考查的是列比例解答应用题，解答时根据比例的基本性质进行解答。 22．一棵树高12米，它的影长是15米，如果同一时间地点测得小明的身高是1.6米，它的影子长多少米？（用比例解答） 【答案】2米 【分析】树高：它的影长＝小明的身高：它的影子长，根据比例的基本性质解比例。 【详解】12∶15＝1.6∶x 12x＝15×1.6 12x＝24 x＝24÷12 x＝2 答：它的影子长2米。 【点睛】熟悉比例的定义与比例的基本性质是解决此题的关键。 23．秦铜车马是中国国家一级保护文物，被誉为“青铜之冠”，它是将秦代真人车马按的比缩小制作的，其中一号车车前驾四匹铜马，车舆平面呈横长方形，前边两角呈弧形，舆宽74厘米，进深48.5厘米，那么秦代真人车马舆宽多少米？（用比例解） 【答案】1.48米 【分析】由题干可知，根据图上距离∶实际距离＝比例尺（一定）列比例解决问题。 【详解】解：设秦代真人车马舆宽x米，依题意可得 1∶2＝74∶x 1x＝2×74 x＝148 148厘米＝1.48米 答：秦代真人车马舆宽1.48米。 【点睛】此题考查的是用比例解决问题，掌握图上距离∶实际距离＝比例尺是解题关键。 24．为了迎接六一儿童节的到来，乐乐和欢欢用两条彩带装饰班级。两条彩带总长度为22米，乐乐把其中一条彩带剪去用来为同学们包装糖果袋，此时欢欢的那条彩带和乐乐的彩带的长度比是3∶2。乐乐和欢欢手里的彩带原来各为多长？ 【答案】乐乐10米；欢欢12米 【分析】根据“两条彩带总长度为22米”，可以设乐乐手中的彩带原来长米，则欢欢手中的彩带原来长（22－）米； 根据乐乐把自己的彩带剪去用来包装糖果袋，可知乐乐现在彩带的长度是原来的（1－）； 根据“此时欢欢的那条彩带和乐乐的彩带的长度比是3∶2”可得出等量关系：欢欢原来彩带的长度∶乐乐原来彩带的长度×（1－）＝3∶2，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设乐乐手中的彩带原来长米，则欢欢手中的彩带原来长（22－）米。 （22－）∶（1－）＝3∶2 （22－）∶＝3∶2 ×3＝（22－）×2 2.4＝44－2 2.4＋2＝44 4.4＝44 ＝44÷4.4 ＝10 欢欢：22－10＝12（米） 答：乐乐手里的彩带原来为10米长，欢欢手里的彩带原来为12米长。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $