第三单元 数与运算的再认识 专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学六年级上册（新教材）

第三单元 数与运算的再认识 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、数的意义与分类 本单元系统整理小学阶段学过的所有数，核心是理解各类数的意义和计数单位，建立完整的数系认知。 1. 整数 　　- 意义：表示物体个数的数，像-3、-2、-1、0、1、2、3……都是整数；自然数是整数的一部分，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 　　- 计数单位：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……每相邻两个计数单位间的进率都是10（十进制计数法）。 　　- 数位顺序：从右往左依次是个位、十位、百位、千位、万位…… 2. 小数 　　- 意义：把整数"1"平均分成10份、100份、1000份……表示这样的一份或几份的数，叫做小数。 　　- 计数单位：十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……每相邻两个计数单位间的进率也是10。 　　- 组成：小数由整数部分、小数点、小数部分组成。 3. 分数 　　- 意义：把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位。 　　- 分类：真分数（分子小于分母，小于1）、假分数（分子大于或等于分母，大于或等于1）、带分数（假分数的另一种写法）。 4. 百分数 　　- 意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫百分率或百分比。 　　- 特点：百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称。 　　- 计数单位：1%。 二、数的基本性质 1. 小数的性质：小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变。 　　应用：化简小数、把小数改写成指定位数的小数。 2. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 　　应用：通分、约分、化简分数。 三、数的大小比较 1. 整数大小比较：位数多的数大；位数相同，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，依次往下比。 2. 小数大小比较：先比整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同，再比十分位，十分位大的数大，依次往下比。 3. 分数大小比较： 　　- 同分母：分子大的分数大； 　　- 同分子：分母小的分数大； 　　- 异分母：先通分，再按同分母分数比较。 4. 不同类型数比较：通常先统一化成小数，再比较大小。 四、四则运算的意义 1. 加法：把两个数合并成一个数的运算。 　　各部分关系：加数 + 加数 = 和；和 - 一个加数 = 另一个加数 2. 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 　　各部分关系：被减数 - 减数 = 差；被减数 - 差 = 减数；差 + 减数 = 被减数 3. 乘法： 　　- 乘整数：求几个相同加数的和的简便运算； 　　- 乘分数（小数）：求一个数的几分之几（几倍）是多少。 　　各部分关系：因数 × 因数 = 积；积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 4. 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 　　各部分关系：被除数 ÷ 除数 = 商；被除数 ÷ 商 = 除数；商 × 除数 = 被除数 五、四则运算法则 1. 整数加减法：相同数位对齐，从低位算起，满十进一，退一当十。 2. 小数加减法：小数点对齐（相同数位对齐），从低位算起，得数的小数点和横线上的小数点对齐。 3. 分数加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再计算，结果要约分。 4. 小数乘法：先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 5. 分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分再计算。 6. 小数除法：除数是整数，按整数除法算，商的小数点和被除数对齐；除数是小数，先把除数化成整数，被除数同步扩大，再计算。 7. 分数除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 六、运算律与简便计算 整数的运算律对小数、分数同样适用，是简便计算的核心依据。 1. 加法运算律 　　- 交换律： 　　- 结合律： 2. 乘法运算律 　　- 交换律： 　　- 结合律： 　　- 分配律：； 3. 运算性质 　　- 减法性质： 　　- 除法性质：（b、c不为0） 七、四则混合运算顺序 1. 同级运算：从左往右依次计算； 2. 两级运算：先算乘除法，后算加减法； 3. 有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：数的大小比较法 【解题思路】 比较数的大小，先统一类型，再按对应法则从高位到低位依次比较，核心是"先比整数部分，再比小数/分数部分"。 【操作步骤】 第一步：判断数的类型，不同类型先统一化成小数； 第二步：先比整数部分，整数部分大的数整体就大； 第三步：整数部分相同，依次比十分位、百分位……或通分后比分子。 【易错提升】 ● 易错点：比较小数时，认为小数位数越多数越大。 　　→ 规避技巧：从高位往低位比，和位数多少无关，比如0.2＞0.199。 方法点拨2：四则运算通法 【解题思路】 计算四则运算，核心是"相同计数单位才能相加减"，乘除法本质是计数单位的缩放，按对应法则分步计算。 【操作步骤】 第一步：加减法：对齐数位（小数点），异分母先通分； 第二步：乘除法：小数按整数算再点小数点，分数先约分再相乘； 第三步：检验结果，加减法用逆运算验算，乘除法用逆运算验算。 【易错提升】 ● 易错点：小数加减法末尾对齐，不是小数点对齐。 　　→ 规避技巧：先点小数点，再对齐数位，最后计算。 方法点拨3：简便计算凑整法 【解题思路】 简便计算核心是凑整思想，通过运算律调整顺序，凑出整数、整十整百数，简化计算。 【操作步骤】 第一步：观察算式特征，找能凑整的数对； 第二步：连加连乘用交换结合律，乘加乘减用分配律； 第三步：连减连除用运算性质，凑出整数简化计算。 【易错提升】 ● 易错点：乘法分配律漏乘括号内的项，符号出错。 　　→ 规避技巧：展开后先数项数，和括号内项数一致再计算。 【第三部分】考点讲练 考点一：数的意义、计数单位与性质 考查重点：理解整数、小数、分数、百分数的意义，掌握计数单位和基本性质。 【典例精讲】 题目：填空。 （1）0.48的计数单位是（　），它有（　）个这样的计数单位，再添上（　）个这样的计数单位就是1。 （2）的分数单位是（　），再加上（　）个这样的分数单位就是最小的质数。 （3）小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小（　），这叫做（　）。 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）整数都比小数大。（　） （2）百分数就是分母是100的分数。（　） （3）分数的分子和分母同时乘同一个数，分数大小不变。（　） 考点二：数的大小比较与改写 考查重点：掌握各类数的大小比较方法，能正确比较和排序。 【典例精讲】 题目：把下面的数按从大到小的顺序排列。 　　　 【变式训练】 题目：在○里填上"＞""＜"或"＝"。 （1） ○ （2） ○ （3） ○ 考点三：四则运算的意义与各部分关系 考查重点：理解四则运算的意义，掌握各部分之间的关系，能进行互逆运算。 【典例精讲】 题目：根据，直接写出下面两道题的得数。 （1） （2） 【变式训练】 题目：在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是16.8，被减数是多少？ 考点四：四则运算法则与计算 考查重点：掌握整数、小数、分数的四则运算法则，能正确计算。 【典例精讲】 题目：计算下面各题。 （1） （2） （3） （4） 【变式训练】 题目：计算下面各题。 （1） （2） （3） （4） 考点五：运算律与简便计算 考查重点：能运用运算律和运算性质进行小数、分数的简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） （3） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 考点六：四则混合运算 考查重点：掌握四则混合运算顺序，能正确计算两步、三步混合运算。 【典例精讲】 题目：计算下面各题。 （1） （2） 【变式训练】 题目：计算： 【第四部分】专项提升练习 1．在括号里填合适的计数单位。 30.45＝( )( )( )。 ( )( )( )。 2．冬至这天，爸爸和妈妈一起包饺子，爸爸小时包了18个，妈妈小时包了20个。照这样的速度计算，他们小时一共能包( )个饺子。 3．丽丽把一个小数的小数点向左移动一位，发现比原来的数小72.9，原来的数是( )。 4．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28( )4.56   45000( )4.5万   28.5×0.5( )28.5÷2 3.4＋1.5( )2.6＋4.8   ( )   6.4×1.8( )6.4＋6.4×0.8 5．的积的计数单位是( )，计数单位的个数是( )。 6．440.04里面有4个( )、4个( )和4个( )。 7．一根绳子长2.34米，另一根绳子长3.04米。妈妈把两根绳子接在了一起（不计接头），现在的绳子有多长？该题的数量关系是( )，列式计算( )。 8．每组中的两个数分别可以看作哪两个整数比较大小？先在横线上写一写，再在括号里填“＞”或“＜”。 0.56( )0.65    1.2( )0.12    ( )    ( ) _____和_____    ____和_____    _____和_____    _____和_____ 9．在和这两个分数中，( )的计数单位较大，( )的计数单位的个数较多。 10．某市美术馆举办“建馆30周年系列展览”，星期六上午去参观的游客有392人，下午去参观的游客有585人。星期六去参观的游客一共有多少人？这个题的数量关系是( )＝( )＋( )。星期六去参观的游客一共有( )人。 11．冬春交替时节气温忽冷忽热，很容易引发感冒咳嗽。妈妈和朵朵都不小心患上了咳嗽，医生开了袋装止咳糖浆，用法用量标注为：成人一次袋，儿童一次袋，一日3次，她们一天一共要吃( )袋药。 12．数的运算道理其实是一样的。对比以下算式。 154＋173    2.41－1.36         上面算式中的“4”和“3”不可以直接加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，3表示3个( )。从这些算式中发现：整数、小数、分数加减法的算理是一样的，( )才可以相加减。 13． 有人说：数是数出来的。分数也一样，先在括号里填合适的数，再思考：上面直线上的分数，都可以看成是用（    ）作单位数出来的。 14．想一想，做一做。 王华在整理复习时发现整数、小数、分数乘法计算的算理和算法之间存在一定的联系，如下图所示。请你根据他的思路把分数乘法补充完整。 15．请观察下表，然后回答问题。 运算类型 具体算式 计算方法 本质核心 整数加法 4236＋367 相同数位对齐，从低位加起 统一为个、十、百、千等计数单位 小数减法 2.1－0.58 小数点对齐，从末位减起 统一为0.1、0.01等计数单位 同分母分数加法 分子相加，分母不变 统一为的计数单位 异分母分数加法 先通分，再按同分母分数加法计算 统一为的计数单位 你认为整数、小数、分数加减法的运算中最核心的是什么，请根据你的思考将下面的表述补充完整：所有加减法的本质都是( )计数单位的( )。 16．照样子、填一填。 在学习整数、小数、分数乘法时，我们这样想： ＝（_____）（_____） ＝( )×( ) ＝( )×( ) ＝( ) 17．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 20×300＝6000 0.2×0.03＝0.006 18．小明把整数、小数和分数乘法做了比较研究，发现都可以用计数单位来进行关联。请根据小明的思路，把表中“分数乘法”的计算过程补充完整。 整数乘法 如2×3＝（1×1）×（2×3）＝1×6＝6 6个1 小数乘法 如0.2×0.3＝（0.1×0.1）×（2×3）＝0.01×6＝0.06 6个0.01 分数乘法 如＝（    ） （    ） 19．根据每组中第一题的得数，直接写出其余各题的得数。 63＋57＝120     630＋570＝              6.3＋5.7＝ 85－46＝39      850－460＝            8.5－4.6＝ 20．计算下面各题，注意使计算简便。 282＋41＋159       800＋13.8＋16.2       8.5＋4.36－1.5 9.2－0.75－2.25               21．脱式计算，能用简便方法计算的用简便方法计算。                        22．逛累了，他们去陕西特色小吃店吃午饭，点了渭南时辰包子。店里师傅说：“做1个包子需要面粉千克。”琳琳妈妈早上刚买了一袋5千克的面粉，她决定用去这袋面粉的做时辰包子。琳琳妈妈能做多少个包子呢？ 23．在学习分数除法时，下面四位同学以“”为例，用不同的方法进行探究，想法不合理的是（    ）。请你结合如图选择你喜欢的一种方法把算理解释清楚。 24．亮亮学习了小数除法之后，进行了如下的思考。请你和亮亮一起思考吧。 计算整数除法时，可以这样计算： 40÷20＝（4×10）÷（2×10）＝4÷2＝2 ↓       ↓ 4个10   2个10 (1)小数除法是否也可以这样计算？试试看。（请你将括号里的内容填写完整） ①7.5   ÷   0.5 ↓        ↓ 75个0.1    5个0.1 ＝（75×0.1）÷（5×0.1） ＝75÷（    ） ＝（    ） ②0.8   ÷   0.05 ↓        ↓ 80个0.01    5个0.01 ＝（80×0.01）÷（5×0.01） ＝（    ）÷（    ） ＝（    ） 通过尝试和分析，发现：小数除法是否可以用整数除法的方法进行计算？ 是（    ）否（    ）（请在正确答案后面的括号里打“√”） (2)还没有学的分数除法是否也可以这样计算？继续尝试，借助画图进行分析。（请你继续将括号里的内容填写完整） ①计算，画图表示： 就是。 也可以看作6÷2。 所以， ＝（    ）÷（    ） ＝3 ②用同样的思路和方法，借助画图计算。 ＝（   ×   ）÷（   ×   ） ＝（    ）÷（    ） ＝（    ） 通过画图和分析，发现：分母相同的两个分数相除是否可以用整数除法的方法进行计算？ 是（    ）否（    ）（请在正确答案后面的括号里打”√”） 分母不同的两个分数相除是否也可以这样计算呢？今后将继续思考。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数与运算的再认识 专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、数的意义与分类 本单元系统整理小学阶段学过的所有数，核心是理解各类数的意义和计数单位，建立完整的数系认知。 1. 整数 　　- 意义：表示物体个数的数，像-3、-2、-1、0、1、2、3……都是整数；自然数是整数的一部分，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 　　- 计数单位：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……每相邻两个计数单位间的进率都是10（十进制计数法）。 　　- 数位顺序：从右往左依次是个位、十位、百位、千位、万位…… 2. 小数 　　- 意义：把整数"1"平均分成10份、100份、1000份……表示这样的一份或几份的数，叫做小数。 　　- 计数单位：十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……每相邻两个计数单位间的进率也是10。 　　- 组成：小数由整数部分、小数点、小数部分组成。 3. 分数 　　- 意义：把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其中一份的数，叫做分数单位。 　　- 分类：真分数（分子小于分母，小于1）、假分数（分子大于或等于分母，大于或等于1）、带分数（假分数的另一种写法）。 4. 百分数 　　- 意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫百分率或百分比。 　　- 特点：百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称。 　　- 计数单位：1%。 二、数的基本性质 1. 小数的性质：小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变。 　　应用：化简小数、把小数改写成指定位数的小数。 2. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 　　应用：通分、约分、化简分数。 三、数的大小比较 1. 整数大小比较：位数多的数大；位数相同，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，依次往下比。 2. 小数大小比较：先比整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同，再比十分位，十分位大的数大，依次往下比。 3. 分数大小比较： 　　- 同分母：分子大的分数大； 　　- 同分子：分母小的分数大； 　　- 异分母：先通分，再按同分母分数比较。 4. 不同类型数比较：通常先统一化成小数，再比较大小。 四、四则运算的意义 1. 加法：把两个数合并成一个数的运算。 　　各部分关系：加数 + 加数 = 和；和 - 一个加数 = 另一个加数 2. 减法：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 　　各部分关系：被减数 - 减数 = 差；被减数 - 差 = 减数；差 + 减数 = 被减数 3. 乘法： 　　- 乘整数：求几个相同加数的和的简便运算； 　　- 乘分数（小数）：求一个数的几分之几（几倍）是多少。 　　各部分关系：因数 × 因数 = 积；积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 4. 除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 　　各部分关系：被除数 ÷ 除数 = 商；被除数 ÷ 商 = 除数；商 × 除数 = 被除数 五、四则运算法则 1. 整数加减法：相同数位对齐，从低位算起，满十进一，退一当十。 2. 小数加减法：小数点对齐（相同数位对齐），从低位算起，得数的小数点和横线上的小数点对齐。 3. 分数加减法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，再计算，结果要约分。 4. 小数乘法：先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 5. 分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分再计算。 6. 小数除法：除数是整数，按整数除法算，商的小数点和被除数对齐；除数是小数，先把除数化成整数，被除数同步扩大，再计算。 7. 分数除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 六、运算律与简便计算 整数的运算律对小数、分数同样适用，是简便计算的核心依据。 1. 加法运算律 　　- 交换律： 　　- 结合律： 2. 乘法运算律 　　- 交换律： 　　- 结合律： 　　- 分配律：； 3. 运算性质 　　- 减法性质： 　　- 除法性质：（b、c不为0） 七、四则混合运算顺序 1. 同级运算：从左往右依次计算； 2. 两级运算：先算乘除法，后算加减法； 3. 有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：数的大小比较法 【解题思路】 比较数的大小，先统一类型，再按对应法则从高位到低位依次比较，核心是"先比整数部分，再比小数/分数部分"。 【操作步骤】 第一步：判断数的类型，不同类型先统一化成小数； 第二步：先比整数部分，整数部分大的数整体就大； 第三步：整数部分相同，依次比十分位、百分位……或通分后比分子。 【易错提升】 ● 易错点：比较小数时，认为小数位数越多数越大。 　　→ 规避技巧：从高位往低位比，和位数多少无关，比如0.2＞0.199。 方法点拨2：四则运算通法 【解题思路】 计算四则运算，核心是"相同计数单位才能相加减"，乘除法本质是计数单位的缩放，按对应法则分步计算。 【操作步骤】 第一步：加减法：对齐数位（小数点），异分母先通分； 第二步：乘除法：小数按整数算再点小数点，分数先约分再相乘； 第三步：检验结果，加减法用逆运算验算，乘除法用逆运算验算。 【易错提升】 ● 易错点：小数加减法末尾对齐，不是小数点对齐。 　　→ 规避技巧：先点小数点，再对齐数位，最后计算。 方法点拨3：简便计算凑整法 【解题思路】 简便计算核心是凑整思想，通过运算律调整顺序，凑出整数、整十整百数，简化计算。 【操作步骤】 第一步：观察算式特征，找能凑整的数对； 第二步：连加连乘用交换结合律，乘加乘减用分配律； 第三步：连减连除用运算性质，凑出整数简化计算。 【易错提升】 ● 易错点：乘法分配律漏乘括号内的项，符号出错。 　　→ 规避技巧：展开后先数项数，和括号内项数一致再计算。 【第三部分】考点讲练 考点一：数的意义、计数单位与性质 考查重点：理解整数、小数、分数、百分数的意义，掌握计数单位和基本性质。 【典例精讲】 题目：填空。 （1）0.48的计数单位是（　），它有（　）个这样的计数单位，再添上（　）个这样的计数单位就是1。 （2）的分数单位是（　），再加上（　）个这样的分数单位就是最小的质数。 （3）小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小（　），这叫做（　）。 【分析】 （1）两位小数的计数单位是百分之一（0.01），0.48里有48个0.01，1里面有100个0.01，相差52个。 （2）分数单位看分母，分母是7，分数单位就是；最小的质数是2，也就是，相差9个分数单位。 （3）考查小数的基本性质定义。 【详解】 （1）0.48是两位小数，计数单位是0.01；，有48个；，0.52里有52个0.01。 （2）的分母是7，分数单位是；最小的质数是2，，所以再添9个。 （3）小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的性质。 【答案】（1）0.01（百分之一），48，52；（2），9；（3）不变，小数的性质 【变式训练】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）整数都比小数大。（　） （2）百分数就是分母是100的分数。（　） （3）分数的分子和分母同时乘同一个数，分数大小不变。（　） 【分析】 根据数的意义和性质逐一判断。 【详解】 （1）×。例如整数2比小数3.5小，整数不一定比小数大。 （2）×。百分数只表示倍比关系，不能带单位；分母是100的分数可以带单位，两者意义不完全相同。 （3）×。必须同时乘或除以"0除外"的相同数，乘0的话分数就变了。 【答案】（1）×；（2）×；（3）× 考点二：数的大小比较与改写 考查重点：掌握各类数的大小比较方法，能正确比较和排序。 【典例精讲】 题目：把下面的数按从大到小的顺序排列。 　　　 【分析】 不同类型的数比较大小，先统一化成小数，再按小数大小比较方法排序。 【详解】 比较小数： 所以从大到小： 【答案】 【变式训练】 题目：在○里填上"＞""＜"或"＝"。 （1） ○ （2） ○ （3） ○ 【分析】 先统一化成小数，再比较大小。 【详解】 （1），，所以。 （2），所以。 （3），，所以。 【答案】（1）＞；（2）＝；（3）＜ 考点三：四则运算的意义与各部分关系 考查重点：理解四则运算的意义，掌握各部分之间的关系，能进行互逆运算。 【典例精讲】 题目：根据，直接写出下面两道题的得数。 （1） （2） 【分析】 根据乘法各部分的关系：积÷一个因数=另一个因数，直接写出结果。 【详解】 （1）积12除以因数2.5，等于另一个因数4.8，所以。 （2）积12除以因数4.8，等于另一个因数2.5，所以。 【答案】（1）4.8；（2）2.5 【变式训练】 题目：在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是16.8，被减数是多少？ 【分析】 根据减法各部分关系：差+减数=被减数，所以被减数+减数+差 = 被减数 + 被减数 = 被减数×2。 【详解】 因为：被减数 = 差 + 减数 所以：被减数 + 减数 + 差 = 被减数×2 = 16.8 被减数： 答：被减数是8.4。 【答案】8.4 考点四：四则运算法则与计算 考查重点：掌握整数、小数、分数的四则运算法则，能正确计算。 【典例精讲】 题目：计算下面各题。 （1） （2） （3） （4） 【分析】 按对应的四则运算法则计算：小数加法小数点对齐；分数减法先通分；小数乘法先按整数算再点小数点；分数除法乘倒数。 【详解】 （1） 4.56 + 3.8 ------- 8.36 （2） （3） 先算，两个因数共4位小数，得0.3000，化简为0.3。 （4） 【答案】（1）8.36；（2）；（3）0.3；（4） 【变式训练】 题目：计算下面各题。 （1） （2） （3） （4） 【分析】 按对应法则计算，注意退位、通分、小数点移动、约分。 【详解】 （1） （2） （3）（被除数除数同时乘100，算） （4）（先约分，5和15约，8和12约） 【答案】（1）6.94；（2）；（3）45；（4） 考点五：运算律与简便计算 考查重点：能运用运算律和运算性质进行小数、分数的简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） （3） 【分析】 （1）连加算式，4.75和5.25能凑整，用加法交换律交换位置先算。 （2）24是分母4和8的公倍数，用乘法分配律分别相乘再相加。 （3）连乘算式，把3.2拆成，分别和12.5、0.25凑整，用乘法结合律。 【详解】 （1） （2） （3） 【答案】（1）13.86；（2）15；（3）10 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【分析】 9.9接近10，拆成，用乘法分配律展开计算。 【详解】 【答案】86.13 考点六：四则混合运算 考查重点：掌握四则混合运算顺序，能正确计算两步、三步混合运算。 【典例精讲】 题目：计算下面各题。 （1） （2） 【分析】 （1）有减法和乘法，先算乘法，再算减法。 （2）有小括号，先算括号里的减法，再从左往右依次算乘除法。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）6.5；（2） 【变式训练】 题目：计算： 【分析】 有中括号和小括号，先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算括号外的除法。 【详解】 【答案】 【第四部分】专项提升练习 1．在括号里填合适的计数单位。 30.45＝( )( )( )。 ( )( )( )。 【答案】 10 0.1/ 0.01/ 【分析】30.45十位数字是3，表示3个十，也就是10×3，十分位数字是4，表示4个十分之一，也就是0.1×4，百分位上的数字是5，表示5个百分之一，也就是0.01×5； 将转换成，然后再利用积÷因数＝另一个因数解题。分数的计数单位是几分之一。 【详解】30.45＝100.10.01。 ＝， 所以 2．冬至这天，爸爸和妈妈一起包饺子，爸爸小时包了18个，妈妈小时包了20个。照这样的速度计算，他们小时一共能包( )个饺子。 【答案】86 【分析】工作效率＝工作总量÷工作时间，先分别求出爸爸和妈妈每小时包饺子的数量，也就是工作效率，再把两人的工作效率相加，得到两人合作的工作效率，最后用合作的工作效率乘工作时间，得到工作总量即可。 【详解】 ＝86（个） 答：他们小时一共能包86个饺子。 3．丽丽把一个小数的小数点向左移动一位，发现比原来的数小72.9，原来的数是( )。 【答案】81 【分析】根据小数点移动引起小数大小变化的规律，小数点向左移动一位，这个数就缩小到原来的，即原来的数是移动后数的10倍。原来的数比移动后的数大72.9，这72.9对应的是原来数与移动后数的倍数差，即（10－1）倍。据此先求出移动后的数，再乘10求出原来的数。 【详解】72.9÷（10－1）×10 ＝72.9÷9×10 ＝8.1×10 ＝81 原来的数是81。 4．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.28( )4.56   45000( )4.5万   28.5×0.5( )28.5÷2 3.4＋1.5( )2.6＋4.8   ( )   6.4×1.8( )6.4＋6.4×0.8 【答案】 ＜ ＝ ＝ ＜ ＞ ＝ 【分析】（1）小数比较大小，先看整数部分，整数部分大的小数就大。 （2）先统一计数单位，把45000改写成用“万”作单位，再比较。 （3）乘0.5的含义就是求原数的一半，除以2也是求原数的一半，计算出两边结果对比。 （4）分别计算左右两边小数加法算式的得数，再比较得数大小。 （5）一个不为0的数除以它本身结果等于1，再比较1和分数的大小。 （6）右边利用乘法分配律变形，6.4可以写成6.4×1，提取相同因数6.4，再对比两边。 【详解】（1）左边整数部分是3，右边整数部分是4，3＜4，所以3.28＜4.56。 （2）45000＝4.5万，左右两边相等，所以45000＝4.5万。 （3）左边：28.5×0.5＝14.25；右边：28.5÷2＝14.25，两边相等，所以28.5×0.5＝28.5÷2。 （4）左边：3.4＋1.5＝4.9；右边：2.6＋4.8＝7.4，4.9＜7.4，所以3.4＋1.5＜2.6＋4.8。 （5）左边：÷＝1；1＞，所以÷＞。 （6）右边：6.4＋6.4×0.8 ＝6.4×1＋6.4×0.8 ＝6.4×（1＋0.8） ＝6.4×1.8 左右两边算式完全一样，所以6.4×1.8＝6.4＋6.4×0.8。 5．的积的计数单位是( )，计数单位的个数是( )。 【答案】 1 【分析】分数的计数单位由分母决定，分母是几，分数单位就是几分之一。先计算分数乘法的积，再观察积的分母确定计数单位，分子就是计数单位的个数。 【详解】 积是，分母是6，所以计数单位是；分子是1，说明计数单位的个数是1。 6．440.04里面有4个( )、4个( )和4个( )。 【答案】 百 十 0.01 【分析】440.04从左向右数位依次是：百位、十位、个位、十分位、百分位，对应计数单位是百、十、个（一），0.1和0.01，一个数字在什么数位上，就表示有几个该数位的计数单位，据此解答。 【详解】440.04：最左边的4在百位上，表示4个百，中间的4在十位上，表示4个十，最右边的4在百分位上，表示4个0.01。 7．一根绳子长2.34米，另一根绳子长3.04米。妈妈把两根绳子接在了一起（不计接头），现在的绳子有多长？该题的数量关系是( )，列式计算( )。 【答案】 一根绳子的长度＋另一根绳子的长度＝现在绳子的总长度 2.34＋3.04＝5.38（米） 【分析】因为不计接头，所以总长度等于两根绳子各自长度的和；把两个长度相加就能得到现在绳子的长度。 【详解】数量关系是：一根绳子的长度＋另一根绳子的长度＝现在绳子的总长度，列式为2.34＋3.04＝5.38（米）。 8．每组中的两个数分别可以看作哪两个整数比较大小？先在横线上写一写，再在括号里填“＞”或“＜”。 0.56( )0.65    1.2( )0.12    ( )    ( ) _____和_____    ____和_____    _____和_____    _____和_____ 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 56 65 120 12 5 7 7 10 【分析】小数比较大小可先统一计数单位转化为整数比较；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此将分数先通分统一分母转化为同分母分数后比较分子（整数）大小。 【详解】0.56＝56×0.01，0.65＝65×0.01，56＜65，所以0.56＜0.65； 1.2＝120×0. 01，0.12＝12×0. 01，120＞12，所以1.2＞0.12； 5＜7，所以＜； ＝＝，7＜10，所以＜。 9．在和这两个分数中，( )的计数单位较大，( )的计数单位的个数较多。 【答案】 【分析】分数的计数单位（分数单位）是指把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，即分子为1，分母与原分数分母相同的分数；根据分子相同的分数，分母越小，分数越大（因为分母小表示“分的份数少，每份更大”），据此解答第一空；分子是几就表示有多少个计数单位，据此解答第二空。 【详解】的计数单位是，的计数单位是， 7＜8，＞， 所以在和这两个分数中，的计数单位较大。 有2个计数单位，有5个计数单位。 5＞2，所以的计数单位的个数较多。 10．某市美术馆举办“建馆30周年系列展览”，星期六上午去参观的游客有392人，下午去参观的游客有585人。星期六去参观的游客一共有多少人？这个题的数量关系是( )＝( )＋( )。星期六去参观的游客一共有( )人。 【答案】 星期六去参观的游客人数 星期六上午去参观的游客人数 星期六下午去参观的游客人数 977 【分析】星期六去参观的游客总人数＝星期六上午去参观的游客人数＋星期六下午去参观的游客人数，据此列式计算即可。 【详解】392＋585＝977（人） 这个题的数量关系是星期六去参观的游客人数＝星期六上午去参观的游客人数＋星期六下午去参观的游客人数。星期六去参观的游客一共有977人。 11．冬春交替时节气温忽冷忽热，很容易引发感冒咳嗽。妈妈和朵朵都不小心患上了咳嗽，医生开了袋装止咳糖浆，用法用量标注为：成人一次袋，儿童一次袋，一日3次，她们一天一共要吃( )袋药。 【答案】 【分析】把成人一次吃的袋数与小孩一次吃的袋数相加，再乘3求得她们一天一共吃的袋数。 【详解】 （袋） 12．数的运算道理其实是一样的。对比以下算式。 154＋173    2.41－1.36         上面算式中的“4”和“3”不可以直接加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，3表示3个( )。从这些算式中发现：整数、小数、分数加减法的算理是一样的，( )才可以相加减。 【答案】 一 相同计数单位 【分析】在计算整数加减法时，相同数位要对齐；计算小数加减法时，小数点要对齐，也就是相同数位要对齐；在计算异分母分数加减法时，要先通分，也就是分数单位要相同。 分析各算式中4和3的计数单位，计数单位不同时，不能直接加减。 【详解】154＋173中，4在个位，表示4个一，3在个位，表示3个一，计数单位相同，可以直接相加。 2.41－1.36中，4在十分位，表示4个0.1，3在十分位，表示3个0.1，计数单位相同，可以直接相减。 4－中，4在个位，表示4个一，3表示3个，计数单位不相同，不可以直接相减。 中，4表示4个，3表示3个，计数单位相同，可以直接相加。 上面算式中的“4”和“3”不可以直接加减的是，在这个算式中4表示4个一，3表示3个。从这些算式中发现：整数、小数、分数加减法的算理是一样的，相同计数单位才可以相加减。 13． 有人说：数是数出来的。分数也一样，先在括号里填合适的数，再思考：上面直线上的分数，都可以看成是用（    ）作单位数出来的。 【答案】；4；； 【分析】根据分数的意义，图中直线上把1个单位长度平均分成4份；在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位，每个分数的分子都可以表示分数单位的个数，据此数一数。 【详解】 上面直线上的分数，都可以看成是用作单位数出来的。 14．想一想，做一做。 王华在整理复习时发现整数、小数、分数乘法计算的算理和算法之间存在一定的联系，如下图所示。请你根据他的思路把分数乘法补充完整。 【答案】 【分析】20＝2×10，表示2个十，400＝4×100，表示4个百； 2个十×4个百＝（2×4）×（10×100）＝8×1000，即8个1000； 0.2＝2×0.1，表示2个0.1，0.04＝4×0.01，表示4个0.01； 2个0.1×4个0.01＝（2×4）×（0.1×0.01）＝8×0.001，即8个0.001； 据此即可推出第三个，找出对应的计数单位，看有几个计数单位。先计数单位相乘，再计数单位个数相乘。 【详解】，表示3个，，表示2个； 3个×2个＝（3×2）×＝6×，即6个。 15．请观察下表，然后回答问题。 运算类型 具体算式 计算方法 本质核心 整数加法 4236＋367 相同数位对齐，从低位加起 统一为个、十、百、千等计数单位 小数减法 2.1－0.58 小数点对齐，从末位减起 统一为0.1、0.01等计数单位 同分母分数加法 分子相加，分母不变 统一为的计数单位 异分母分数加法 先通分，再按同分母分数加法计算 统一为的计数单位 你认为整数、小数、分数加减法的运算中最核心的是什么，请根据你的思考将下面的表述补充完整：所有加减法的本质都是( )计数单位的( )。 【答案】 相同 个数相加减 【分析】整数加减法：对齐数位，统一成“一、十、百”相同计数单位后，单位个数相加减； 小数加减法：对齐小数点，统一成“0.1、0.01”相同计数单位后，单位个数相加减； 分数加减法：同分母直接加减分子，异分母先通分，统一成相同分数单位，再对单位个数相加减。四类运算的核心逻辑完全统一：只有计数单位一致，才能直接把单位的个数相加减。 【详解】所有加减法的本质都是相同计数单位的个数相加减。 16．照样子、填一填。 在学习整数、小数、分数乘法时，我们这样想： ＝（_____）（_____） ＝( )×( ) ＝( )×( ) ＝( ) 【答案】 3 3 3 3 9 【分析】结合整数、小数乘法的例子，运用分数单位的意义，把分数乘分数改写成分子乘分子、分数单位乘分数单位的形式，然后运用乘法运算定律进行简算，由此得出分数乘分数的计算方法。 【详解】×＝（3×）×（3×） ＝（3×3）×（×） ＝9× ＝ 17．“乐学”小组在整理复习时发现，整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如图所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整。 20×300＝6000 0.2×0.03＝0.006 【答案】 20×300＝6000 0.2×0.03＝0.006 【分析】观察可知，整数和小数乘法都是先求出两个因数计数单位个数的乘积，再求出计数单位的乘积，最后求出这两个结果的乘积就是算式的得数，由此求出分数乘法的计算结果。 【详解】 18．小明把整数、小数和分数乘法做了比较研究，发现都可以用计数单位来进行关联。请根据小明的思路，把表中“分数乘法”的计算过程补充完整。 整数乘法 如2×3＝（1×1）×（2×3）＝1×6＝6 6个1 小数乘法 如0.2×0.3＝（0.1×0.1）×（2×3）＝0.01×6＝0.06 6个0.01 分数乘法 如＝（    ） （    ） 【答案】；3个 【分析】通过研究整数乘法和小数乘法过程，发现规律：以“计数单位×计数单位”作为新的计数单位，再用“计数单位对应的个数相乘”得到新计数单位的个数。 ：​的计数单位是​，​的计数单位是，因此“计数单位×计数单位”为；有1个，有3个，计数单位的个数相乘为1×3；所以＝（）×（1×3）＝。的计数单位是，有3个。 【详解】根据分析，填写如下： 整数乘法 如2×3＝（1×1）×（2×3）＝1×6＝6 6个1 小数乘法 如0.2×0.3＝（0.1×0.1）×（2×3）＝0.01×6＝0.06 6个0.01 分数乘法 如＝（）×（1×3）＝×3＝ 3个 19．根据每组中第一题的得数，直接写出其余各题的得数。 63＋57＝120     630＋570＝              6.3＋5.7＝ 85－46＝39      850－460＝            8.5－4.6＝ 【答案】1200；；12； 390；；3.9 【解析】略 20．计算下面各题，注意使计算简便。 282＋41＋159       800＋13.8＋16.2       8.5＋4.36－1.5 9.2－0.75－2.25               【答案】482；830；11.36； 6.2；； 【分析】运用加法结合律简算； 运用加法结合律简算； 连同数字前面的运算符号一起交换数字位置，凑整简算； 运用减法的性质简算； 括号外面是减号，去括号后括号里面的减号变加号，连同数字前面的运算符号一起交换数字位置，凑整简算； 运用加法交换律和减法的性质简算。 【详解】282＋41＋159 ＝282＋（41＋159） ＝282＋200 ＝482 800＋13.8＋16.2 ＝800＋（13.8＋16.2） ＝800＋30 ＝830 8.5＋4.36－1.5 ＝8.5－1.5＋4.36 ＝7＋4.36 ＝11.36 9.2－0.75－2.25 ＝9.2－（0.75＋2.25） ＝9.2－3 ＝6.2 21．脱式计算，能用简便方法计算的用简便方法计算。                        【答案】 1； 6； 12； 28 【分析】（1）利用乘法分配律进行简便计算。 （2）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 （3）先利用乘法交换律，将算式转化为，先计算出5乘7的结果，再利用乘法分配律进行简便计算。 （4）先利用积不变的性质，将 转化为 ，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝1 ＝（65.5＋）× ＝66× ＝6 ＝ ＝ ＝ ＝7＋5 ＝12 ＝2.15×2.8＋7.85×2.8 ＝（2.15＋7.85）×2.8 ＝10×2.8 ＝28 22．逛累了，他们去陕西特色小吃店吃午饭，点了渭南时辰包子。店里师傅说：“做1个包子需要面粉千克。”琳琳妈妈早上刚买了一袋5千克的面粉，她决定用去这袋面粉的做时辰包子。琳琳妈妈能做多少个包子呢？ 【答案】25个 【分析】先算出用于做包子的面粉质量，再用做包子的面粉总质量除以做1个包子需要的面粉质量，即可求出能做的包子数量。 【详解】计算做包子用的面粉质量：（千克） 计算能做的包子数量： （个） 答：琳琳妈妈能做25个包子呢。 23．在学习分数除法时，下面四位同学以“”为例，用不同的方法进行探究，想法不合理的是（    ）。请你结合如图选择你喜欢的一种方法把算理解释清楚。 【答案】笑笑； 丽丽；（选择不唯一）；已知小时行驶的路程是2千米，求1小时行驶的路程。根据公式列算式是（千米）。 【分析】丽丽：该图表示小时走了2千米，求1小时走多少千米。这是典型的问题，列式为。利用线段图直观地表示了路程与时间的关系，符合分数除法的题意。 青青：该图表示2里面有几个，这是分数除法的包含意义（被除数里面有几个除数），列式为。符合分数除法的题意。 笑笑：。根据分数除法的计算方法，除以一个分数等于乘这个分数的倒数，即。3≠，不符合题意。 冬冬：商不变的性质（在除法中，被除数和除数同时乘相同的数0除外，商不变）。原式的被除数和除数同时乘3：，符合题意。 【详解】根据分析可知，想法不合理的是笑笑。 选择丽丽的方法进行解释：已知小时行驶的路程是2千米，求1小时行驶的路程。（选择不唯一） 根据公式 （千米） 答：1小时行驶的路程为3千米。 【点睛】 24．亮亮学习了小数除法之后，进行了如下的思考。请你和亮亮一起思考吧。 计算整数除法时，可以这样计算： 40÷20＝（4×10）÷（2×10）＝4÷2＝2 ↓       ↓ 4个10   2个10 (1)小数除法是否也可以这样计算？试试看。（请你将括号里的内容填写完整） ①7.5   ÷   0.5 ↓        ↓ 75个0.1    5个0.1 ＝（75×0.1）÷（5×0.1） ＝75÷（    ） ＝（    ） ②0.8   ÷   0.05 ↓        ↓ 80个0.01    5个0.01 ＝（80×0.01）÷（5×0.01） ＝（    ）÷（    ） ＝（    ） 通过尝试和分析，发现：小数除法是否可以用整数除法的方法进行计算？ 是（    ）否（    ）（请在正确答案后面的括号里打“√”） (2)还没有学的分数除法是否也可以这样计算？继续尝试，借助画图进行分析。（请你继续将括号里的内容填写完整） ①计算，画图表示： 就是。 也可以看作6÷2。 所以， ＝（    ）÷（    ） ＝3 ②用同样的思路和方法，借助画图计算。 ＝（   ×   ）÷（   ×   ） ＝（    ）÷（    ） ＝（    ） 通过画图和分析，发现：分母相同的两个分数相除是否可以用整数除法的方法进行计算？ 是（    ）否（    ）（请在正确答案后面的括号里打”√”） 分母不同的两个分数相除是否也可以这样计算呢？今后将继续思考。 【答案】(1)； 是（√） (2)； 是（√） 可以 【分析】（1）题干所给的方法是，把整数除法里的数看成几个十，去掉相同的计数单位 “十”，被除数和除数同时去掉相同的计数单位，商不变。 小数除法也可以用这个思路：把小数看成几个0.1、几个0.01 这样的计数单位，被除数和除数同时去掉相同的计数单位，就转化成整数除法来计算。 （2）题干中计算至时，类比小问1中的小数除法（75×0.1）÷（5×0.1）分析，小数除法中同时去掉了相同的0.1，那么分数除法中也可以去掉相同的。同理，计算时，也可以去掉相同的。 【详解】（1）①把7.5看成75个0.1，把0.5看成5个0.1，被除数和除数都有相同的计数单位0.1，同时去掉0.1，就变成整数除法75除以几： 7.5   ÷   0.5 ↓        ↓ 75个0.1    5个0.1 ＝（75×0.1）÷（5×0.1） ＝75÷（5） ＝（15） ②把0.8看成80个0.01，把0.05看成5个0.01，被除数和除数都有相同的计数单位0.01，同时去掉0.01，转化成整数除法计算： 0.8   ÷   0.05 ↓        ↓ 80个0.01  5个0.01 ＝（80×0.01）÷（5×0.01） ＝（80）÷（5） ＝（16） 通过尝试和分析，发现：小数除法也可以用整数除法的方法进行计算。即：是（√）。 （2）①填写如下： ＝（6）÷（2） ＝3 ② ＝ ＝8÷4 ＝2 通过画图和分析，发现分母相同的两个分数相除也可以用整数除法的方法进行计算。即：是（√）。 即使分母不同，也可以利用新知识进行转化，使它同样能使用整数除法的方法进行计算。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $