第六单元 比例尺（图形的放大与缩小）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学六年级上册（新教材）

第六单元 比例尺（图形的放大与缩小）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、图形放大与缩小的意义 生活中很多场景需要对图形进行放大或缩小（如照片冲印、绘制地图、零件图纸）。 1. 定义：把一个图形的所有边按一定的比进行放大或缩小，得到一个和原图形形状完全相同的新图形，叫做图形的放大或缩小。 2. 核心特征 - 形状不变：对应角的大小完全相等； - 大小改变：对应边的长度成比例，比值等于给定的变化比。 二、放大比与缩小比 表示图形变化的比，前项对应变化后图形的边长，后项对应原图形的边长，简称"变前原后"。 1. 放大：比的前项＞后项，如、，表示把图形各边放大到原来的2倍、3倍。 　　- 例：按放大，即变化后边长原边长，边长是原来的2倍。 2. 缩小：比的前项＜后项，如、，表示把图形各边缩小到原来的、。 　　- 例：按缩小，即变化后边长原边长，边长是原来的。 3. 等比：比的前项后项（如），图形大小不变，与原图完全一致。 三、变化规律（边长、周长、面积） 1. 线性长度（边长、周长、高、直径） 图形按放大，边长、周长都放大到原来的倍； 图形按缩小，边长、周长都缩小到原来的。 　　- 本质：所有一维长度的变化倍数与给定的比完全相同。 2. 面积 图形按放大，面积放大到原来的倍； 图形按缩小，面积缩小到原来的。 　　- 例：按放大，面积是原来的4倍；按缩小，面积是原来的。 四、方格纸作图步骤 1. 看：观察原图形，数出各边占的格数，确定所有关键顶点的位置； 2. 算：按给定的比，计算出新图形各边的长度、各顶点的新位置； 3. 画：描出新顶点，按顺序连接成完整图形； 4. 验：检查新图形与原图形形状是否一致，对应边比例是否正确。 五、常见易错点 1. 混淆比的前后项：误以为前项是原图形、后项是变化后的，导致放大缩小判断错误； 2. 认为角会同步缩放：图形放大缩小只改变边长，不改变角的大小，否则形状会变形； 3. 只改变部分边：放大缩小时所有对应边都要按相同比例变化，不能只变底不变高； 4. 混淆边长比和面积比：误以为面积也按边长比变化，实际面积比是边长比的平方。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：变化判断法 【解题思路】 判断放大/缩小、计算变化后边长，核心是牢记"变前原后"的对应关系。 【操作步骤】 第一步：比大小：前项＞后项是放大，前项＜后项是缩小； 第二步：算倍数：变化倍数 = 前项 ÷ 后项； 第三步：求长度：原边长×倍数=变化后边长；变化后边长÷倍数=原边长。 【易错提升】 ● 易错点：把比的前项当成原图形的边长。 　　→ 规避技巧：读题时标注"变化后:原"，明确对应关系再计算。 方法点拨2：方格作图法 【解题思路】 方格纸上画放大/缩小图形，以顶点为定位基础，所有点同步按比例移动，保证形状不变。 【操作步骤】 第一步：定顶点：找出原图形所有关键顶点，数出每个点的列数、行数； 第二步：算新位：横向、纵向都按比例计算新顶点的位置； 第三步：描连线：描出所有新顶点，按原顺序连接成图形； 第四步：查形状：对比原图，对应角相等、对应边成比例。 【易错提升】 ● 易错点：三角形、平行四边形只放大底，高不变，导致形状变形。 　　→ 规避技巧：所有边包括高都按相同比例变化，底和高同步缩放。 方法点拨3：规律速解法 【解题思路】 解决边长、周长、面积变化的选择题、填空题，利用"线同比、面平方"的规律快速判断，无需逐个计算。 【操作步骤】 第一步：确定变化比（或）； 第二步：边长、周长变化倍数 = （或）； 第三步：面积变化倍数 = （或）。 【易错提升】 ● 易错点：认为面积也按边长的比变化，比如按放大面积变2倍。 　　→ 规避技巧：面积=长×宽，两个维度都乘，所以总面积乘，记"面积平方倍"。 【第三部分】考点讲练 考点一：图形的放大与缩小 【典例精讲】 在方格纸上按要求完成作图。 (1)画出长方形绕O点顺时针方向旋转90°后的图形。。 (2)画出三角形ABC按2∶1放大后的图形，原三角形与放大后的图形的面积比（    ）。 【答案】(1) (2) ；1∶4 【分析】（1）以O点为旋转中心，把长方形的4个顶点分别沿顺时针方向转过90°；每个顶点到O点的距离保持不变，再依次连接4个新顶点。 （2）按2∶1放大，原三角形的每条边长都乘2；面积比等于边长比的平方，用1×1∶2×2求原三角形与放大后三角形的面积比。 【详解】（1）图略 （2）图略。面积比＝原图边长比的平方，即1×1∶2×2＝1∶4。 【变式训练】 按要求在方格纸上画图。（每个小正方形表示1平方厘米） （1）画一个面积与长方形面积相等的等腰三角形。 （2）把平行四边形绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）把三角形按1∶2的比缩小，画出缩小后的图形。 【答案】（1）（三角形画法不唯一） （2） （3） 【分析】（1）由题中给出的图可知，图中长方形的长是3厘米，宽是2厘米，画一个面积与长方形面积相等的等腰三角形，先求出长方形面积，再根据三角形面积等于底乘高除以2，画出一个两边相等的等腰三角形即可。（三角形画法不唯一） （2）找到平行四边形除A以外另外3个顶点；分别从A出发，看每个点到A横向、纵向格子，逆时针转90°后横、竖格子互换，方向改变；标出旋转后的3个新顶点；依次连接4个顶点，得到旋转后的平行四边形。 （3）三角形按1∶2缩小，数原来直角三角形两条直角边各占几格；两条直角边长度分别÷2，得到缩小后的两条直角边格数；画出缩小后的直角，再连接斜边。 【详解】（1）长方形的面积：3×2＝6（平方厘米） 三角形面积等于6平方厘米，只要满足三角形的底乘高等于12即可。图略 （2）图略 （3）原三角形的两条直角边分别是4厘米和2厘米4÷2＝2（厘米）2÷2＝1（厘米）图略 考点二：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】 把下面的三角形按2∶1放大。得到图形的面积是( )cm2。 【答案】30 【分析】三角形按2∶1放大，即每条边长扩大2倍，根据三角形面积＝底×高÷2，计算即可。 【详解】3×2＝6（cm） 5×2＝10（cm） 6×10÷2 ＝60÷2 ＝30（cm2） 【变式训练】 《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约( )cm，宽约( )cm。打印后，图的( )不变，( )改变。 【答案】106；5；形状；大小。 【分析】按的比缩小，意义就是原来的5份对应为现在的1份，根据此意义进行计算可得缩小后的长与宽。 图形按比放大与缩小，只改变图形的大小，图形的形状不改变。 【详解】（厘米） （厘米） 图形按比放大与缩小，只改变图形的大小，图形的形状不改变。 《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约106cm，宽约5cm。打印后，图的形状不变，大小改变。 【第四部分】专项提升练习 1．一个长为6cm，宽为4cm的长方形，按2∶1放大后，得到的图形的面积是( )cm2。 【答案】96 【分析】明确图形按比例放大的边长变化规律，因为是按2∶1放大，所以放大后的边长是原边长乘放大比例的前项除以后项。 分别计算放大后长方形的长和宽，用到乘法运算。 根据长方形面积公式S＝ab，将放大后的长和宽代入计算得到面积。 【详解】（6×2）×（4×2） ＝12×8 ＝96（） 2．一个圆的半径是3cm，按2∶1放大后，得到的图形面积是( )。 【答案】 【分析】图形按放大，圆的半径扩大到原来的倍，求出放大后的圆半径。用圆的面积公式 计算放大后图形的面积。 【详解】（） （） 3．下图是一张上蔡县“蔡明园”的风景明信片，它的长与宽的比是( )∶( )，如果把这张明信片放大，又要使风景图保持原样不失真，长增加32厘米，宽应该( )。 ∶ 【答案】 4 3 增加24厘米或扩大3倍 【分析】因为要求长与宽的比，所以直接用长的数值比宽的数值，再根据比的前项和后项同时乘或者除以同一个数比不变即可化简为最简整数比。 因为放大后图形不失真，所以放大前后长和宽的比值不变，先计算长增加后的总长度，得到长扩大的倍数，因为宽也要扩大相同的倍数，所以用原宽乘该倍数得到新的宽，再计算宽的变化量。 【详解】16∶12＝（16÷4）∶（12÷4）＝4∶3 （16＋32）÷16 ＝48÷16 ＝3 3×12－12 ＝36－12 ＝24（厘米） 即它的长与宽的比是4∶3，如果把这张明信片放大，又要使风景图保持原样不失真，长增加32厘米，宽应该增加24厘米或扩大3倍。 4．如果小正方形的面积是100平方厘米，那么把它按3∶1放大，放大后图形的面积是( )平方厘米。 【答案】900 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，算出原来正方形的边长；按3∶1放大，边长扩大到原来的3倍；算出放大后的边长，再求放大后正方形的面积。 【详解】100＝10×10 原正方形的边长是10厘米 10×3＝30（厘米） 30×30＝900（平方厘米） 5．把一个长和宽分别是和的长方形，按放大后，它的周长扩大到原来的( )倍，扩大后的面积是( )。 【答案】 4 240 【分析】由题意知，长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍，分别用长和宽乘放大到原来的倍数，即可求出放大后的长和宽；再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，分别求出扩大后的周长和原来的周长，用扩大后的周长除以扩大前的周长即可求出周长扩大到原来的几倍；最后根据长方形面积＝长×宽，求出扩大后的面积，据此解答。 【详解】扩大后的长：5×4＝20（dm） 扩大后的宽：3×4＝12（dm） 原来的周长：（5＋3）×2 ＝8×2 ＝16（dm） 扩大后的周长：（20＋12）×2 ＝32×2 ＝64（dm） 周长扩大到原来的：64÷16＝4 扩大后的面积：20×12＝240（dm2） 6．一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 6 2 【分析】图形按1∶2缩小，各边均缩小到原来的。我们所学过的周长是几条边之和，所以，图形按1∶2缩小，边长之和（周长）也是原来的；我们所学过的面积包括底×高，长×宽和底×高÷2，所以，图形按1∶2缩小，面积缩小到原来的（×）即，据此解答。 【详解】由分析可知： 图形按1∶2缩小， 周长：12×＝6（cm） 面积：8××＝2（cm2） 一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是6cm，面积是2cm2。 7．按要求作图。 (1)请以为对称轴，画出图①的另一半。 (2)请先画出图②绕点按顺时针方向旋转后的图形；再画出图②向下平移6格后的图形。 (3)请画出图③按1∶2缩小后得到的图形。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）轴对称图形两边的点互相对称，两个对称点到对称轴的距离相等，图①是个半径为2格长度的半圆，关于对称的另一半也是半径为2格长度的半圆； （2）把图②上的各个关键点绕点按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的对应点，再把各个对应点依次连线画出图形。把图②上的各个关键点向下平移6格，再把各点连线，画出平移后的图形； （3）图③是梯形，上下底和高分别是2格、6格、4格，按照1∶2缩小后，上下底和高分别是1格、3格、2格，据此作图。 【详解】（1）略 （2）略 （3）2÷2＝1（格） 6÷2＝3（格） 4÷2＝2（格） 图略 8．图形放大。画出下面长方形按2∶1放大后的图形。 【答案】 【分析】把长方形的长和宽都扩大为原来边长的倍，所得的图形就是按扩大后的图形。 【详解】（格） （格） 画图略 9． (1)分别画出把三角形A向右平移4格后的图形和绕O点逆时针旋转90°后得到的图形。 (2)画出图形B的所有对称轴，并将图形B按2∶1放大得到图形E。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平移时把三角形A的三个顶点都向右数4格确定新位置，再依次连线；旋转时固定O点不动，把另外两个顶点绕O点按逆时针方向转90°，找准对应点后再连接成三角形。 （2）长方形有2条对称轴，分别是对边中点连线；按2∶1放大就是把长方形的长和宽都乘2，再在方格里画出放大后的长方形。 【详解】（1）略 （2）放大后的长：3×2＝6 放大后的宽；2×2＝4 图略 10．按要求画一画。 （1）以虚线为对称轴，画出图①的轴对称图形。 （2）画出图①先向右平移5格，再向下平移4格后的图形。 （3）画出图②绕点P按逆时针方向旋转90°后的图形。 （4）画出图①按2∶1的比放大后的图形。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先确定图形①的所有顶点，因为轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，所以据此找出各顶点关于虚线的对称点，再顺次连接对称点。 （2）先确定图形①的所有顶点，如果要先向右平移5格，就将各顶点向右数5格确定位置，再向下平移4格，就将得到的点再向下数4格确定最终对应点，顺次连接对应点。 （3）先确定图形②的所有顶点，因为绕点P逆时针旋转90°时点P位置不变，其余点与P的连线绕P逆时针转90°且长度不变，所以据此确定各顶点旋转后的位置，顺次连接对应点。 （4）先确定图形①各边的格数长度，因为按2∶1放大就是各边长度变为原来的2倍，对应角大小不变，所以按放大后的边长确定各顶点位置，顺次连接对应点。 【详解】画图略。 11．先把三角形按3∶1放大，得到三角形，再将三角形按1∶2缩小，得到三角形C。 【答案】 【分析】3∶1放大的意思是新图形每条边的长度变成原图形的3倍，原来三角形的底是4格，高是2格，放大后底为4×3＝12格，高为2×3＝6格，据此画出B；1∶2缩小的意思是新图形每条边的长度变成之前图形的，缩小后三角形的底为12÷2＝6格，高为6÷2＝3格，据此画出C。 【详解】略 12．按要求画图。 (1)画出将平行四边形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 (2)画出将平行四边形①先向左平移4格，再向上平移3格后的图形。 (3)画出将平行四边形①按2∶1的比放大后的图形。 (4)画出一个与平行四边形①面积相等的三角形。 【答案】(1) (2) (3) (4)（答案不唯一） 【分析】（1）中心点O固定不动，把平行四边形除O外三个顶点，分别绕O顺时针转动90°，定位新顶点，顺次连线即可。 （2）平移只移动顶点，形状大小不变，四个顶点全部先向左数4格，再向上数3格，找准对应点后依次连接。 （3）先数出原平行四边形底和高所占格子数量，按2∶1放大，只需将底、高长度分别乘2得到新的底与高，保持内角不变，即可画出放大后的平行四边形。 （4）三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，只需让三角形与平行四边形等底、高扩大到原来发的2倍，或等高、底扩大到原来的2倍，面积即可相等。 【详解】（1）略 （2）略 （3）放大后的底：3×2＝6 放大后的高：2×2＝4 图略 （4）略 13．下面方格图中每个小正方形的边长表示1cm。 (1)以直线l为对称轴，画出小旗M的轴对称图形A。 (2)画出小旗M先绕点O顺时针旋转90°得到的图形B。 (3)画出小旗M按2∶1放大后的图形C，图形C的三角形的面积为（    ）。 【答案】(1) (2) (3) ；18 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点，依次连结即可补全这个轴对称图形； （2）根据旋转的特征，小旗M先绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （3）把小旗M各边的长度放大到原来的2倍，据此画出图形C，放大后三角形的两条直角边的长度分别为6cm、6cm，三角形的面积＝底×高÷2.。 【详解】（1）图略； （2）图略； （3）图略； 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 14．孟子曰：“不以规矩，不能成方圆”。“规”指圆规，是画圆的工具；“矩”很像现在的直尺，是画方形的工具。请你以“规、矩”为工具，按要求作图。 (1)先把三角形绕点O逆时针旋转90°，再向右平移2格。 (2)把梯形ABCD按2∶1的比放大。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动叫平移。平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转。旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。 （2）将上底、下底和高的长度乘以2，得到放大后梯形的上底、下底和高的格数，据此画出放大后的梯形。 【详解】（1）确定三角形除点O外的另外两个顶点绕点O逆时针旋转90°后的对应点位置，连接这三个点得到旋转后的三角形。将旋转得到的三角形的每个顶点向右移动2格，再连接各顶点，得到最终图形。 （2）原梯形的上底是3格，扩大2倍后的长度是3×2＝6（格），下底是4格。扩大2倍后的长度是4×2＝8（格），高是2格，扩大2倍后的长度是2×2＝4（格），按原梯形的形状画出上底为6格，下底为8格，高为4格的梯形。 15． (1)画出三角形向左平移4格后的图形。 (2)画出三角形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画出三角形按2∶1扩大后的图形。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据图形平移的性质，将三角形的各个顶点分别向左平移4格，确定平移后各顶点的位置，再依次连接各顶点，得到最终平移后的图形。 （2）根据图形旋转的性质，以点O为旋转中心，将三角形的各个顶点绕点O顺时针旋转90°，确定旋转后各顶点的位置，然后依次连接各顶点得到旋转后的三角形。 （3）图形放大的比例为2∶1，即放大后的边长是原边长的2倍。观察三角形，其底、高占3格，先计算出放大后的三角形的底和高占3×2＝6格，保持三角形的形状不变，以放大后的底和高画出三角形即可。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．按要求画图。 (1)画出图①向右平移2格，再向上平移2格后的图形。 (2)画出图②绕点O逆时针旋转90°后的图形。 (3)画出图③的另一半使它成为轴对称图形。 (4)画出按2∶1将图④放大后的图形。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将图①的每个顶点向右平移2格，再将这些向右平移2格后的顶点向上平移2格，把平移后的顶点依次连接起来，得到平移后的图形； （2）根据图形旋转的性质，以点O为旋转中心，将图②的各个顶点绕点O逆时针旋转90°，确定旋转后各顶点的位置，然后依次连接各顶点得到旋转后的图形。 （3）分别找出图③各顶点关于虚线对称轴的对称点，将找到的对称点依次连接，画出图③的另一半。 （4）图形放大的比例为2∶1，即放大后的边长是原边长的2倍。观察图④，为长方形，其长边占3格，宽占2格，先计算出放大后的长方形的长占3×2＝6格，宽占2×2＝4格，保持长方形的形状不变，以放大后的长和宽画出长方形即可。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 17． (1)把图中的三角形ABC绕C点逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形。 (2)三角形中，点的位置用有序数对表示是( )。 (3)按画出三角形ABC放大后的图形。 (4)放大后三角形的面积与原三角形的面积之比是( )。 【答案】(1) (2)（4，1） (3) (4)4∶1 【分析】（1）根据旋转的特征，三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后，点C的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的三角形。 （2）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此解答。 （3）根据放大的意义，把三角形ABC的各个边分别扩大到原来的2倍，画出扩大后的三角形。 （4）根据三角形面积＝底×高÷2，计算出扩大后三角形面积和原来三角形面积，再用扩大后三角形面积∶原来三角形面积，即可解答。 【详解】（1）图略 （2）点的位置用有序数对表示是（4，1）。 （3）三角形ABC的底：3格；高2格。扩大后三角形的底：3×2＝6（格），高：2×2＝4（格） 图略 （4）（6×4÷2）∶（3×2÷2） ＝（24÷2）∶（6÷2） ＝12∶3 ＝（12÷3）∶（3÷3） ＝4∶1 18．按要求在方格纸上画图形。 (1)画三角形AOB向右平移13格后的图形。 (2)画三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画以点B为圆心，BO为半径的圆。 (4)画出三角形AOB按1∶2缩小后的图形。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平移的特征，把三角形AOB的各顶点分别向右平移13格，依次连接即可得到平移后的图形。 （2）根据旋转的特征，三角形AOB绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形，即可画出旋转后的图形。 （3）根据画圆时“圆心定位置，半径定大小”，以点B为圆心，OB的长度为半径，据此画圆。 （4）直角三角形两直角边即可确定其形状，根据图形缩小的意义，把这个三角形两直角边均缩小到原来的后依次连接即可，所得到的图形就是原图形按1∶2缩小后的图形。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）缩小后的底和高： 略 19．按要求画一画。 （1）把下图中的三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把下图中的梯形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 【答案】 【分析】（1）按2∶1放大，三角形各边长度都扩大到原来的2倍。先数原三角形底和高各占几格，分别乘2得到新底和新高的格数。放大后形状不变。 （2）梯形绕点O逆时针旋转90度，点O不动。找出梯形其他各顶点，分别绕点O逆时针旋转90度确定新位置。旋转时，每个点与O连成的线段逆时针转90度，长度不变。找到新顶点后连线画出旋转后的梯形。 【详解】原三角形的边长和高为：2格；放大后为2×2＝4（格）；图略。 20．如图所示，每个小方格的边长都是1cm，四边形ABCD是个平行四边形。 (1)用数对确定位置。点A是（3，3），点D是（4，5），点C的位置是( )。 (2)作图：将平行四边形ABCD绕点C顺时针旋转180°得到图形①。 (3)把平行四边形ABCD按3∶1放大后得到的新图形的面积是( )cm2。 【答案】(1)（7，5） (2) (3)54 【分析】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，点C在点A的右边4列，上边2行位置，把点A列数加4，行数加2即为点C的列数和行数，据此写出点C位置的数对。 （2）根据旋转的特征，平行四边形ABCD绕点C顺时针旋转180°，点C的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （3）平行四边形ABCD的底为3cm，高为2cm，按3∶1放大后的平行四边形的底为3×3＝9（cm），高为2×3＝6（cm），平行四边形的面积＝底×高，把数据代入计算即可。 【详解】（1）用数对确定位置。点A是（3，3），点D是（4，5），点C的位置是（7，5）。 （2）略 （3）3×3＝9（cm） 2×3＝6（cm） 9×6＝54（cm2） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 比例尺（图形的放大与缩小）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、图形放大与缩小的意义 生活中很多场景需要对图形进行放大或缩小（如照片冲印、绘制地图、零件图纸）。 1. 定义：把一个图形的所有边按一定的比进行放大或缩小，得到一个和原图形形状完全相同的新图形，叫做图形的放大或缩小。 2. 核心特征 - 形状不变：对应角的大小完全相等； - 大小改变：对应边的长度成比例，比值等于给定的变化比。 二、放大比与缩小比 表示图形变化的比，前项对应变化后图形的边长，后项对应原图形的边长，简称"变前原后"。 1. 放大：比的前项＞后项，如、，表示把图形各边放大到原来的2倍、3倍。 　　- 例：按放大，即变化后边长原边长，边长是原来的2倍。 2. 缩小：比的前项＜后项，如、，表示把图形各边缩小到原来的、。 　　- 例：按缩小，即变化后边长原边长，边长是原来的。 3. 等比：比的前项后项（如），图形大小不变，与原图完全一致。 三、变化规律（边长、周长、面积） 1. 线性长度（边长、周长、高、直径） 图形按放大，边长、周长都放大到原来的倍； 图形按缩小，边长、周长都缩小到原来的。 　　- 本质：所有一维长度的变化倍数与给定的比完全相同。 2. 面积 图形按放大，面积放大到原来的倍； 图形按缩小，面积缩小到原来的。 　　- 例：按放大，面积是原来的4倍；按缩小，面积是原来的。 四、方格纸作图步骤 1. 看：观察原图形，数出各边占的格数，确定所有关键顶点的位置； 2. 算：按给定的比，计算出新图形各边的长度、各顶点的新位置； 3. 画：描出新顶点，按顺序连接成完整图形； 4. 验：检查新图形与原图形形状是否一致，对应边比例是否正确。 五、常见易错点 1. 混淆比的前后项：误以为前项是原图形、后项是变化后的，导致放大缩小判断错误； 2. 认为角会同步缩放：图形放大缩小只改变边长，不改变角的大小，否则形状会变形； 3. 只改变部分边：放大缩小时所有对应边都要按相同比例变化，不能只变底不变高； 4. 混淆边长比和面积比：误以为面积也按边长比变化，实际面积比是边长比的平方。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：变化判断法 【解题思路】 判断放大/缩小、计算变化后边长，核心是牢记"变前原后"的对应关系。 【操作步骤】 第一步：比大小：前项＞后项是放大，前项＜后项是缩小； 第二步：算倍数：变化倍数 = 前项 ÷ 后项； 第三步：求长度：原边长×倍数=变化后边长；变化后边长÷倍数=原边长。 【易错提升】 ● 易错点：把比的前项当成原图形的边长。 　　→ 规避技巧：读题时标注"变化后:原"，明确对应关系再计算。 方法点拨2：方格作图法 【解题思路】 方格纸上画放大/缩小图形，以顶点为定位基础，所有点同步按比例移动，保证形状不变。 【操作步骤】 第一步：定顶点：找出原图形所有关键顶点，数出每个点的列数、行数； 第二步：算新位：横向、纵向都按比例计算新顶点的位置； 第三步：描连线：描出所有新顶点，按原顺序连接成图形； 第四步：查形状：对比原图，对应角相等、对应边成比例。 【易错提升】 ● 易错点：三角形、平行四边形只放大底，高不变，导致形状变形。 　　→ 规避技巧：所有边包括高都按相同比例变化，底和高同步缩放。 方法点拨3：规律速解法 【解题思路】 解决边长、周长、面积变化的选择题、填空题，利用"线同比、面平方"的规律快速判断，无需逐个计算。 【操作步骤】 第一步：确定变化比（或）； 第二步：边长、周长变化倍数 = （或）； 第三步：面积变化倍数 = （或）。 【易错提升】 ● 易错点：认为面积也按边长的比变化，比如按放大面积变2倍。 　　→ 规避技巧：面积=长×宽，两个维度都乘，所以总面积乘，记"面积平方倍"。 【第三部分】考点讲练 考点一：图形的放大与缩小 【典例精讲】 在方格纸上按要求完成作图。 (1)画出长方形绕O点顺时针方向旋转90°后的图形。。 (2)画出三角形ABC按2∶1放大后的图形，原三角形与放大后的图形的面积比（    ）。 【变式训练】 按要求在方格纸上画图。（每个小正方形表示1平方厘米） （1）画一个面积与长方形面积相等的等腰三角形。 （2）把平行四边形绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）把三角形按1∶2的比缩小，画出缩小后的图形。 考点二：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】 把下面的三角形按2∶1放大。得到图形的面积是( )cm2。 【变式训练】 《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约( )cm，宽约( )cm。打印后，图的( )不变，( )改变。 【第四部分】专项提升练习 1．一个长为6cm，宽为4cm的长方形，按2∶1放大后，得到的图形的面积是( )cm2。 2．一个圆的半径是3cm，按2∶1放大后，得到的图形面积是( )。 3．下图是一张上蔡县“蔡明园”的风景明信片，它的长与宽的比是( )∶( )，如果把这张明信片放大，又要使风景图保持原样不失真，长增加32厘米，宽应该( )。 ∶ 4．如果小正方形的面积是100平方厘米，那么把它按3∶1放大，放大后图形的面积是( )平方厘米。 5．把一个长和宽分别是和的长方形，按放大后，它的周长扩大到原来的( )倍，扩大后的面积是( )。 6．一个图形的周长是12cm，面积是8cm2，将这个图形按1∶2缩小后，它的周长是( )cm，面积是( )cm2。 7．按要求作图。 (1)请以为对称轴，画出图①的另一半。 (2)请先画出图②绕点按顺时针方向旋转后的图形；再画出图②向下平移6格后的图形。 (3)请画出图③按1∶2缩小后得到的图形。 8．图形放大。画出下面长方形按2∶1放大后的图形。 9． (1)分别画出把三角形A向右平移4格后的图形和绕O点逆时针旋转90°后得到的图形。 (2)画出图形B的所有对称轴，并将图形B按2∶1放大得到图形E。 10．按要求画一画。 （1）以虚线为对称轴，画出图①的轴对称图形。 （2）画出图①先向右平移5格，再向下平移4格后的图形。 （3）画出图②绕点P按逆时针方向旋转90°后的图形。 （4）画出图①按2∶1的比放大后的图形。 11．先把三角形按3∶1放大，得到三角形，再将三角形按1∶2缩小，得到三角形C。 12．按要求画图。 (1)画出将平行四边形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 (2)画出将平行四边形①先向左平移4格，再向上平移3格后的图形。 (3)画出将平行四边形①按2∶1的比放大后的图形。 (4)画出一个与平行四边形①面积相等的三角形。 13．下面方格图中每个小正方形的边长表示1cm。 (1)以直线l为对称轴，画出小旗M的轴对称图形A。 (2)画出小旗M先绕点O顺时针旋转90°得到的图形B。 (3)画出小旗M按2∶1放大后的图形C，图形C的三角形的面积为（    ）。 14．孟子曰：“不以规矩，不能成方圆”。“规”指圆规，是画圆的工具；“矩”很像现在的直尺，是画方形的工具。请你以“规、矩”为工具，按要求作图。 (1)先把三角形绕点O逆时针旋转90°，再向右平移2格。 (2)把梯形ABCD按2∶1的比放大。 15． (1)画出三角形向左平移4格后的图形。 (2)画出三角形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画出三角形按2∶1扩大后的图形。 16．按要求画图。 (1)画出图①向右平移2格，再向上平移2格后的图形。 (2)画出图②绕点O逆时针旋转90°后的图形。 (3)画出图③的另一半使它成为轴对称图形。 (4)画出按2∶1将图④放大后的图形。 17． (1)把图中的三角形ABC绕C点逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形。 (2)三角形中，点的位置用有序数对表示是( )。 (3)按画出三角形ABC放大后的图形。 (4)放大后三角形的面积与原三角形的面积之比是( )。 18．按要求在方格纸上画图形。 (1)画三角形AOB向右平移13格后的图形。 (2)画三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画以点B为圆心，BO为半径的圆。 (4)画出三角形AOB按1∶2缩小后的图形。 19．按要求画一画。 （1）把下图中的三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把下图中的梯形绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 20．如图所示，每个小方格的边长都是1cm，四边形ABCD是个平行四边形。 (1)用数对确定位置。点A是（3，3），点D是（4，5），点C的位置是( )。 (2)作图：将平行四边形ABCD绕点C顺时针旋转180°得到图形①。 (3)把平行四边形ABCD按3∶1放大后得到的新图形的面积是( )cm2。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $