第二单元 混合运算与数量关系（三）（小数的四则混合运算及简算）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学六年级上册（新教材）

第二单元 混合运算与数量关系（三）（小数的四则混合运算及简算）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、小数四则混合运算的运算顺序 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全一致，整数的所有运算顺序规则对小数同样适用。 1. 同级运算：算式中只有加减法或只有乘除法时，从左往右依次计算； 2. 两级运算：算式中既有加减法又有乘除法时，先算乘除法，后算加减法； 3. 括号运算：算式中有括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 二、运算律的适用性 整数加法和乘法的全部运算律，对小数运算同样适用，是小数简便计算的核心依据。 1. 加法运算律 　　- 加法交换律： 　　- 加法结合律： 2. 乘法运算律 　　- 乘法交换律： 　　- 乘法结合律： 　　- 乘法分配律：； 三、运算性质的拓展 整数减法和除法的运算性质，同样适用于小数运算： 1. 减法的性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 　　 2. 除法的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 　　（b、c不为0） 四、简便计算的核心与经典凑整 1. 核心思想：凑整思想，通过运算律调整运算顺序，使计算中出现整数、整十整百数，简化计算过程。 2. 经典凑整组合 　　- 乘法凑整：、、、 　　- 加法凑整：、 五、常见易错点 1. 运算顺序混乱：看到能凑整就优先计算，忽略"先乘除后加减"的基本规则； 2. 乘法分配律误用：只乘括号里第一项，漏乘第二项，或符号处理错误； 3. 除法误用分配律：只有被除数可以拆分，除数不能拆分用分配律； 4. 凑整计算错误：拆分小数时大小改变，或漏算进位、退位。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：按序计算法 【解题思路】 没有简便特征的算式，严格按照四则混合运算顺序计算，先定运算顺序、再分步计算，不跳步、不抢算。 【操作步骤】 第一步：标顺序：先判断有无括号，再区分乘除和加减，标出运算先后顺序； 第二步：分步算：按顺序一步步计算，每一步都写清楚过程； 第三步：查结果：计算完成后，检查顺序和计算是否正确。 【易错提升】 ● 易错点：同级运算中，看到后两位能凑整就先算，打乱从左到右的顺序。 　　→ 规避技巧：同级运算必须从左往右，有括号才能改变运算顺序。 方法点拨2：运算律迁移法 【解题思路】 有简便特征的算式，观察算式结构，对应迁移整数的运算律，通过调整运算顺序简化计算。 【操作步骤】 第一步：辨结构：连乘算式找能凑整的因数对；乘加/乘减算式找相同公因数； 第二步：套定律：连乘用交换/结合律，乘加乘减用分配律； 第三步：简计算：先凑整、再计算，得出结果。 【易错提升】 ● 易错点：乘法分配律只乘括号里的第一项，漏乘第二项。 　　→ 规避技巧：分配律展开后，先数项数，和括号里的项数一致再计算。 方法点拨3：拆分凑整法 【解题思路】 接近整数的因数（如、），拆成"整数+小数"或"整数-小数"，再用乘法分配律简化计算。 【操作步骤】 第一步：拆因数：把接近整数的数拆成整数与一个小数的和或差； 第二步：用定律：运用乘法分配律展开算式； 第三步：算结果：分别计算两部分的积，再相加或相减。 【易错提升】 ● 易错点：拆分时符号出错，比如把拆成。 　　→ 规避技巧：拆分后反向验算，确保拆分前后的数大小相等。 方法点拨4：提取公因数法 【解题思路】 反向运用乘法分配律，提取算式中每部分共有的因数，剩下的部分合并计算，简化运算。 【操作步骤】 第一步：找公因数：找出各部分相同的因数； 第二步：提出来：把公因数写在括号外，剩下的部分连符号放进括号； 第三步：算括号：先算括号里的加减，再算乘法。 【易错提升】 ● 易错点：提取公因数后，剩下的项漏写"1"，或者符号错误。 　　→ 规避技巧：提取完用分配律还原检查，确保和原式一致。 　　→ 规避技巧：提取完用分配律还原检查，确保和原式一致。 【第三部分】考点讲练 考点一：小数四则混合运算的基本顺序 考查重点：掌握四则混合运算顺序，正确计算无括号、有括号的小数混合运算。 【典例精讲】 题目：计算下面各题。 （1） （2） 【分析】 （1）算式中有加法和乘法，属于两级运算，先算乘法，再算加法； （2）算式有小括号，先算括号里的减法，再算括号外的除法。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【变式训练】 题目：计算： 【分析】 有中括号和小括号，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【详解】 【答案】 考点二：乘法运算律的基础简便计算 考查重点：掌握乘法交换律、结合律、分配律的基本应用，能识别简便特征并简算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【分析】 （1）连乘算式，和相乘得，用乘法交换律交换位置先算，更简便； （2）分别乘和都能凑整，用乘法分配律分别相乘再相加，计算更简便。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【分析】 乘加算式，两部分都有相同因数，反向运用乘法分配律，提取公因数，剩下的部分相加。 【详解】 【答案】 考点三：拆分法的简便计算 考查重点：掌握拆分因数的技巧，能运用乘法分配律解决接近整数的小数乘法简算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【分析】 （1）接近，拆成，和相乘时，分别相乘再相减，计算更简便； （2）接近，拆成，和相乘时，分别相乘再相加，计算更简便。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【分析】 可以拆成，和相乘得，用乘法结合律简化计算；也可以拆成用分配律计算，结合律法更简便。 【详解】 【答案】 考点四：连减、连除的运算性质简算 考查重点：掌握连减、连除的运算性质，能结合小数特点进行简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【分析】 （1）连减算式，两个减数和相加得，用减法的性质，减去两个数的和，计算更简便； （2）连除算式，用除法的性质转化为除以两个除数的积，，计算更简便。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【分析】 减法性质的逆用：减去两个数的和等于连续减去这两个数，减可直接凑整，简化计算。 【详解】 【答案】 【第四部分】专项提升练习 1．计算下面各题，能简算的要简算。                                        【答案】769；20； 25.6；52.88 【分析】第一题：根据乘法分配律的逆运算简便计算。 第二题：把64化为8×8，利用乘法结合律，分组计算1.25×8和8×0.25，利用固定乘积简化。 第三题：利用乘法分配律的逆运算简便计算。 第四题：先计算乘法，再计算加法。 【详解】7.69×101－7.69 ＝7.69×（101－1） ＝7.69×100 ＝769 1.25×64×0.25 ＝1.25×（8×8）×0.25 ＝1.25×8×8×0.25 ＝（1.25×8）×（8×0.25） ＝10×2 ＝20 0.32×6.4＋3.68×6.4 ＝（0.32＋3.68）×6.4 ＝4×6.4 ＝25.6 37.2＋2.8×5.6 ＝37.2＋15.68 ＝52.88 2．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 1.25×6.78×0.8         6.4×1.33＋3.6×1.33          58×10.1 【答案】6.78；13.3；585.8 【分析】运用乘法交换律，交换6.78和0.8的位置，再从左往右依次计算； 运用乘法分配律逆应用简算； 先把10.1变为10与0.1的和，再运用乘法分配律简算。 【详解】1.25×6.78×0.8 ＝1.25×0.8×6.78 ＝1×6.78 ＝6.78 6.4×1.33＋3.6×1.33 ＝1.33×（6.4＋3.6） ＝1.33×10 ＝13.3 58×10.1 ＝58×（10＋0.1） ＝58×10＋58×0.1 ＝580＋5.8 ＝585.8 3．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 5.6×1.25＋4.4×1.25             99×4.5＋4.5              0.25×5.7×0.4 【答案】12.5；450；0.57 【分析】（1）运用乘法分配律，把1.25提取出来，简便计算。 （2）把4.5看成1×4.5，运用乘法分配律，把4.5提取出来，简便计算。 （3）运用乘法交换律，先计算0.25×0.4，从而简便计算。 【详解】5.6×1.25＋4.4×1.25 ＝（5.6＋4.4）×1.25 ＝10×1.25 ＝12.5 99×4.5＋4.5 ＝99×4.5＋1×4.5 ＝（99＋1）×4.5 ＝100×4.5 ＝450 0.25×5.7×0.4 ＝0.25×0.4×5.7 ＝0.1×5.7 ＝0.57 4．怎样简便就怎样计算。 28.4×99＋28.4        2.05×8.2＋1.8       3.6×1.9＋0.36×81 3.6×19.9      3.2×12.5×2.5      1.25×3.6＋1.25×3.4＋1.25 【答案】 2840；18.61；36； 71.64；100；10 【分析】（1）将后面的看作，运用乘法分配律进行简便计算； （2）按照四则运算顺序，先算乘法，再算加法； （3）观察算式，根据积不变的性质，将转化为，提取公因数，运用乘法分配律计算； （4）观察算式，将拆分为，运用乘法分配律进行计算； （5）观察算式，将拆分为，运用乘法交换律和结合律，让与相乘，与 相乘； （6）观察算式，提取公因数，注意最后一项相当于，运用乘法分配律计算。 【详解】（1）28.4×99＋28.4 ＝28.4×99＋28.4×1 ＝28.4×100 ＝2840 （2）2.05×8.2＋1.8 ＝16.81＋1.8 ＝18.61 （3）3.6×1.9＋0.36×81 ＝3.6×1.9＋3.6×8.1 ＝3.6×(1.9＋8.1) ＝3.6×10 ＝36 （4）3.6×19.9 ＝3.6×（20－0.1） ＝3.6×20－3.6×0.1 ＝72－0.36 ＝71.64 （5）3.2×12.5×2.5 ＝4×0.8×12.5×2.5 ＝（4×2.5）×（0.8×12.5） ＝10×10 ＝100 （6）1.25×3.6＋1.25×3.4＋1.25 ＝1.25×3.6＋1.25×3.4＋1.25×1 ＝1.25×（3.6＋3.4＋1） ＝1.25×8 ＝10 5．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 7.3×2.4＋2.7×2.4            101×6.8－6.8                        0.125×9.2×0.8 【答案】24；680；0.92 【分析】（1）两边都有相同因数2.4，用乘法分配律简便计算。 （2）两边都有相同因数6.8，用乘法分配律简便计算。 （3）利用乘法交换律，先计算0.125×0.8，简便计算。 【详解】7.3×2.4＋2.7×2.4 ＝（7.3＋2.7）×2.4 ＝10×2.4 ＝24 101×6.8－6.8 ＝101×6.8－6.8×1 ＝（101－1）×6.8 ＝100×6.8 ＝680 0.125×9.2×0.8 ＝0.125×0.8×9.2 ＝0.1×9.2 ＝0.92 6．递等式计算，能简便的用简便方法计算。 0.8×（2.5＋1.25）      0.8×（2.5×1.25）      6.5×0.7＋3.5×0.7 2.5×6.4×1.25      3.6×10.1－0.36        17÷[（1.2＋0.8）×5] 【答案】 3；2.5；7 20；36；1.7 【分析】0.8×（2.5＋1.25），运用乘法分配律简便计算； 0.8×（2.5×1.25），运用乘法交换律和结合律简便计算； 6.5×0.7＋3.5×0.7，逆用乘法分配律简便计算； 3.6×10.1－0.36，把0.36转化成3.6×0.1，逆用乘法分配律简便计算； 2.5×6.4×1.25，拆分6.4为0.8×8，利用乘法结合律凑整。 17÷[（1.2＋0.8）×5]，先算小括号，再算中括号，最后算除法 乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c 逆用乘法分配律：a×b＋a×c＝a×（b＋c） 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 乘法交换律：a×b＝b×a 【详解】0.8×（2.5＋1.25） ＝0.8×2.5＋0.8×1.25 ＝2＋1 ＝3 0.8×（2.5×1.25） ＝（0.8×1.25）×2.5 ＝1×2.5 ＝2.5 6.5×0.7＋3.5×0.7 ＝（6.5＋3.5）×0.7 ＝10×0.7 ＝7 2.5×6.4×1.25 ＝2.5×（0.8×8）×1.25 ＝（2.5×0.8）×（8×1.25） ＝2×10 ＝20 3.6×10.1－0.36 ＝3.6×10.1－3.6×0.1 ＝3.6×（10.1－0.1） ＝3.6×10 ＝36 17÷[（1.2＋0.8）×5] ＝17÷[2×5] ＝17÷10 ＝1.7 7．脱式计算，能简算的要简算。 3.6×2.5－6.6÷1.5 37.9×9.9＋3.79 2026×0.15－26×0.15 3.2×2.5×1.25 【答案】4.6；379 300；10 【分析】先计算乘法和除法，再算减法。 把最后一个3.79看作3.79×1，再根据积不变的规律化为37.9×0.1，然后再利用乘法分配律逆运算进行简算。 利用乘法分配律逆运算进行简算。 把3.2化为0.4×8，再利用乘法交换律和结合律进行计算。 【详解】3.6×2.5－6.6÷1.5 ＝9－4.4 ＝4.6 37.9×9.9＋3.79 ＝37.9×9.9＋3.79×1 ＝37.9×9.9＋37.9×0.1 ＝37.9×（9.9＋0.1） ＝37.9×10 ＝379 2026×0.15－26×0.15 ＝（2026－26）×0.15 ＝2000×0.15 ＝300 3.2×2.5×1.25 ＝0.4×8×2.5×1.25 ＝（0.4×2.5）×（8×1.25） ＝1×10 ＝10 8．用简便方法计算。 0.25×7.54×4                 1.25×32×2.5 6.28×0.42＋6.28×0.58               0.8×0.25×0.4×12.5 【答案】 7.54；100； 6.28；1 【分析】（1）根据乘法交换律进行简便计算； （2）先将32分解为4×8，再根据乘法交换律和乘法结合律进行简便计算； （3）根据乘法分配律进行简便计算； （4）根据乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。 【详解】0.25×7.54×4 ＝0.25×4×7.54 ＝1×7.54 ＝7.54 1.25×32×2.5 ＝1.25×（4×8）×2.5 ＝1.25×8×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 6.28×0.42＋6.28×0.58 ＝6.28×（0.42＋0.58） ＝6.28×1 ＝6.28 0.8×0.25×0.4×12.5 ＝0.8×12.5×（0.25×0.4） ＝10×0.1 ＝1 9．计算下面各题，能简算的要简算。 8.7×99＋8.7                1.25×（4＋0.8） 0.25×12.5×0.4×0.8        58.3－18.3×0.5 【答案】 870；6；1；49.15 【分析】：把后一个转化为，这样式子就符合乘法分配律的形式，提取公因数，先算凑整，简化计算。 ：运用乘法分配律，把分别和括号里的、相乘，再把两个乘积相加，避免先算括号内加法的小数运算，更简便。 ：运用乘法交换律和结合律，把能凑成整数的、分别组合相乘，再把两个积相乘，大幅简化计算。 ：根据四则运算顺序，先计算乘法部分，再用减去得到的乘积，得出最终结果。 【详解】 10．计算下面各题，怎样简便怎样算。 7.8×10.1              3.5×3.4＋7.5×3.4﹣3.4              1.4÷（0.8＋1.2÷0.6） 78.5÷4÷2.5         6.8＋3.2÷2.5      1.25×34.8×80 【答案】78.78；34；0.5； 7.85；8.08；3480 【分析】把看作，利用乘法分配律展开计算； 把最后一个看作，利用乘法分配律的逆运算，提取共同的因数； 先算小括号里的除法，再算括号里的加法，最后算括号外的除法； 利用除法的性质，先算； 先算除法，再算加法； 利用乘法交换律，交换和的位置，再从左往右依次计算。 【详解】 11．计算下面各题，能简算的要简算。 1.83＋3.17×1.2     101×5.78－5.78     2.74×8.5＋0.274×15 1.25×3.2×2.5     20.5÷12.5÷0.8     0.8×（6－8.5÷1.7） 【答案】5.634；578；27.4； 10；2.05；0.8 【分析】（1）先算乘法，再算加法； （2）把减号后的5.78看成5.78×1，利用乘法分配律简算； （3）把0.274×15写成2.74×1.5，然后利用乘法分配律简算； （4）把3.2拆分成8×0.4，然后利用乘法结合律简算； （5）利用除法性质简算； （6）先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法。 【详解】1.83＋3.17×1.2 ＝1.83＋3.804 ＝5.634 101×5.78－5.78 ＝101×5.78－5.78×1 ＝（101－1）×5.78 ＝100×5.78 ＝578 2.74×8.5＋0.274×15 ＝2.74×8.5＋2.74×1.5 ＝2.74×（8.5＋1.5） ＝2.74×10 ＝27.4 1.25×3.2×2.5 ＝1.25×8×0.4×2.5 ＝（1.25×8）×（0.4×2.5） ＝10×1 ＝10 20.5÷12.5÷0.8 ＝20.5÷（12.5×0.8） ＝20.5÷10 ＝2.05 0.8×（6－8.5÷1.7） ＝0.8×（6－5） ＝0.8×1 ＝0.8 12．递等式计算。 34.2－6×0.8            10.1×9.7               1.25×32×2.5 25.5÷0.25×4            5.4＋4÷1.6             （4.32－0.64）÷0.23 【答案】29.4；97.97；100； 408；7.9；16 【分析】先算乘法再算减法； 10.1＝10＋0.1，拆分后再用乘法分配律计算； 32＝8×4，用1.25与8的乘积乘4与2.5的乘积； 依次计算除法、乘法； 先算除法再算加法； 先算括号内的减法再算除法。 【详解】34.2－6×0.8 ＝34.2－4.8 ＝29.4 10.1×9.7 ＝（10＋0.1）×9.7 ＝10×9.7＋0.1×9.7 ＝97＋0.97 ＝97.97 1.25×32×2.5 ＝1.25×（8×4）×2.5 ＝（1.25×8）×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 25.5÷0.25×4 ＝102×4 ＝408 5.4＋4÷1.6 ＝5.4＋2.5 ＝7.9 （4.32－0.64）÷0.23 ＝3.68÷0.23 ＝16 13．用你喜欢的方法计算。 0.95×4×2.5    4.8×1.25    3.3×0.38＋3.3×0.62 83÷2.5÷4    1.83＋3.17×1.2    8.4÷0.6＋8.4÷0.4 【答案】9.5；6；3.3； 8.3；5.634；35 【分析】（1）根据乘法结合律，把0.95×4×2.5变成0.95×（4×2.5），再进行简算； （2）把4.8×1.25变成0.6×8×1.25，再用乘法结合律进行简算； （3）根据乘法分配律把算式变成3.3×（0.38＋0.62），再进行简算； （4）根据除法的性质，把算式变成83÷（2.5×4），再进行简算； （5）先算乘法，再算加法； （6）先算除法，再算加法。 【详解】0.95×4×2.5 ＝0.95×（4×2.5） ＝0.95×10 ＝9.5 4.8×1.25 ＝0.6×8×1.25 ＝0.6×（8×1.25） ＝0.6×10 ＝6 3.3×0.38＋3.3×0.62 ＝3.3×（0.38＋0.62） ＝3.3×1 ＝3.3 83÷2.5÷4 ＝83÷（2.5×4） ＝83÷10 ＝8.3 1.83＋3.17×1.2 ＝1.83＋3.804 ＝5.634 8.4÷0.6＋8.4÷0.4 ＝14＋21 ＝35 14．计算下面各题，能简算的要简算。 1.5×102    1.25×0.7×0.8    2.7×3.7＋0.37×73 0.25×32×12.5    4.64＋0.8×3.16    76.1×17－76.1×6－76.1 【答案】153；0.7；37； 100；7.168；761 【分析】①先将102看作100＋2；再根据乘法分配律进行简便计算； ②根据乘法交换律进行简便计算； ③先根据积不变的规律将2.7×3.7转换为27×0.37；再根据乘法分配律进行简便计算； ④先将32看作4×8；再根据乘法结合律进行简便计算； ⑤先算乘法；再算加法； ⑥先将76.1看作76.1×1；再根据乘法分配律进行简便计算。 【详解】 15．脱式计算，能简算的要简算。 1.25×64×25             7.8×1.1－7.8 8.4×2.7＋7.3×8.4        14.25＋7.3＋5.75＋2.7 【答案】2000；0.78； 84；30 【分析】第1题，把64拆分成8与8的积，再利用乘法结合律进行简便计算。 第2题，利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 第3题，利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 第4题，利用加法结合律进行简便计算。 【详解】1.25×64×25 ＝1.25×（8×8）×25 ＝（1.25×8）×（8×25） ＝10×200 ＝2000 7.8×1.1－7.8 ＝7.8×1.1－7.8×1 ＝7.8×（1.1－1） ＝7.8×0.1 ＝0.78 8.4×2.7＋7.3×8.4 ＝8.4×（2.7＋7.3） ＝8.4×10 ＝84 14.25＋7.3＋5.75＋2.7 ＝（14.25＋5.75）＋（7.3＋2.7） ＝20＋10 ＝30 16．脱式计算，能简算的要简算。 7.8＋2.2×1.5            （4＋0.4）×2.5            753×9.9＋75.3 101×4.82            1.25×3.7×0.8            7.3×1.8＋8.2×7.3 【答案】11.1；11；7530； 486.82；3.7；73 【分析】先计算2.2×1.5，再把所得的积和7.8相加； 运用乘法分配律，分别用4和0.4与2.5相乘，再把所得的积相加。 先把75.3改写成75.3×1，这样两项乘法中都含有75.3，再用乘法的分配律提取75.3进行简便计算； 把101改写成（100＋1），再用乘法分配律进行简便计算，分别用100和1与4.82相乘，再把所得的积相加； 运用乘法的交换律和结合律，把1.25和0.8结合先乘，再和3.7相乘； 两项乘法中都含有7.3，运用乘法分配律提取7.3进行简便计算。 【详解】7.8＋2.2×1.5 ＝7.8＋3.3 ＝11.1 （4＋0.4）×2.5 ＝4×2.5＋0.4×2.5 ＝10＋1 ＝11 753×9.9＋75.3 ＝75.3×99＋75.3×1 ＝75.3×（99＋1） ＝75.3×100 ＝7530 101×4.82 ＝（100＋1）×4.82 ＝100×4.82＋4.82 ＝482＋4.82 ＝486.82 1.25×3.7×0.8 ＝1.25×0.8×3.7 ＝1×3.7 ＝3.7 7.3×1.8＋8.2×7.3 ＝7.3×（1.8＋8.2） ＝7.3×10 ＝73 17．计算下面各题，能简便的要简便。 3.14×25.74－3.14×15.74                2.4×2.5＋4.8÷1.2 12.5×0.32×2.5                       （4.36－0.36÷0.12）÷0.4 【答案】31.4；10； 10；3.4 【分析】第一题：观察到两项都含有相同因数3.14，因为符合乘法分配律的逆用形式，所以提取公因式3.14，先计算剩余两个数的差，再与3.14相乘。 第二题：按照四则运算顺序，先分别计算乘法和除法，因为乘除属于同级运算，优先于加减运算，所以得到乘积和商之后再相加得到结果。 第三题：先把0.32拆分为0.8×0.4，因为12.5和0.8相乘、2.5和0.4相乘都能得到整数，所以利用乘法结合律分组计算，再将两组结果相乘。 第四题：根据四则运算优先级，先算小括号内的除法，再算小括号内的减法，最后计算括号外的除法。 【详解】 18．脱式计算，能简算的要简算。 5.5×8.2＋1.8×5.5          4.8÷2.5÷4                78.2×9.9 25.2÷12＋2.9             0.32×1.25×2.5           32.6×1.01－0.1×3.26 【答案】 55； 0.48； 774.18； 5； 1； 32.6 【分析】（1）观察到两个乘法式子中都有相同因数，符合乘法分配律逆用形式，所以提取公因数，先计算剩余两个数的和，再与相乘，求得结果； （2）是连除运算，除法的性质连续除以两个数等于除以这两个除数的积，所以先计算和的乘积，再用被除数除以该乘积，求得结果； （3）把可写为的形式，符合乘法分配律形式，所以将分别乘和，再将所得结果相减即可； （4）不能简便运算，先计算除法，再计算加法即可； （5）将拆为，用乘法交换律将与交换位置，所以分别将与相乘、与相乘，再将两个乘积相乘； （6）先根据积不变规律把转化为（或把转化为），因为转化后两项有相同因数，所以提取公因数后，按乘法分配律逆运算计算即可。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 19．计算下面各题，能简便计算的要简便。 2.88÷1.2＋1.5×1.2                              0.8×0.4×（2.5×1.25） 8.6×2.56－86×0.056                            （14.5－1.5×1.2）÷1.27 【答案】4.2；1； 17.2；10 【分析】2.88÷1.2＋1.5×1.2，同时算出两边的除法和乘法，最后算加法； 0.8×0.4×（2.5×1.25），根据乘法交换律和乘法结合律，转化为（0.8×1.25）×（0.4×2.5），同时算出两边小括号里的乘法，再算括号外的乘法； 8.6×2.56－86×0.056，将86×0.056转化为8.6×0.56，逆用乘法分配律，先算（2.56－0.56），再与8.6相乘； （14.5－1.5×1.2）÷1.27，先算乘法，再算减法，最后算除法。 【详解】2.88÷1.2＋1.5×1.2 ＝2.4＋1.8 ＝4.2 0.8×0.4×（2.5×1.25） ＝（0.8×1.25）×（2.5×0.4） ＝1×1 ＝1 8.6×2.56－86×0.056 ＝8.6×2.56－8.6×0.56 ＝8.6×（2.56－0.56） ＝8.6×2 ＝17.2 （14.5－1.5×1.2）÷1.27 ＝（14.5－1.8）÷1.27 ＝12.7÷1.27 ＝10 20．计算下面各题，能简算的要简算。                          【答案】 1；42；481.14；45 【分析】第一题：先把拆分为，再用乘法结合律分组计算。 第二题：两个乘法项都有相同因数4.2，所以直接逆用乘法分配律进行简便计算。 第三题：将算式改写为，再用乘法分配律展开计算。 第四题：根据除法的性质，先计算两个除数的积，再用被除数除以该积。 【详解】 21．计算下列各题。（能简便的用简便方法计算） （1）6.2×9.8                    （2）1.25×7.1×0.8 （3）0.27×7.08＋7.08×0.73        （4）2.5×5.4＋4.6 【答案】（1）60.76；（2）7.1； （3）7.08；（4）18.1 【分析】（1）把9.8转化成10－0.2，利用乘法分配律，简化计算。 （2）利用乘法交换律，先算1.25×0.8凑整，简化计算。 （3）利用乘法分配律的逆运算，提取相同因数，简化计算。 （4）先算乘法，再算加法。 【详解】（1）6.2×9.8 ＝6.2×（10－0.2） ＝6.2×10－6.2×0.2 ＝62－1.24 ＝60.76 （2）1.25×7.1×0.8 ＝1.25×0.8×7.1 ＝1×7.1 ＝7.1 （3）0.27×7.08＋7.08×0.73 ＝7.08×（0.27＋0.73） ＝7.08×1 ＝7.08 （4）2.5×5.4＋4.6 ＝13.5＋4.6 ＝18.1 22．脱式计算。（能简算的要简算） 1.54＋2.38＋3.62        2.5＋1.3×0.5        0.63×14.5＋0.63×85.5 【答案】；；。 【分析】运用加法结合律，先算凑整简便计算； 没有简便算法，先算乘法，再算加法； 两个乘法算式都含有0.63，运用乘法分配律逆运算提取公因数简算。 【详解】 23．计算下面各题，能简算的要简算。 12.9＋7.2×3.5    2.25×4.5－0.25×4.5 8.941×99＋8.941    （10.4－5.8）×1.6 【答案】 38.1； 9； 894.1； 7.36 【分析】（1）先算乘法，再算加法； （2）（3）根据乘法分配律计算； （4）先算小括号里的减法，再算括号外的乘法。 【详解】12.9＋7.2×3.5 ＝12.9＋25.2 ＝38.1 2.25×4.5－0.25×4.5 ＝（2.25－0.25）×4.5 ＝2×4.5 ＝9 8.941×99＋8.941 ＝8.941×99＋8.941×1 ＝8.941×（99＋1） ＝8.941×100 ＝894.1 （10.4－5.8）×1.6 ＝4.6×1.6 ＝7.36 24．计算下面各题，能简算的要简算。 6.5＋3.79＋3.5                            2.4＋3.6×0.5 0.72×8.3－0.72×7.3                        0.4×99＋0.4 【答案】13.79；4.2； 0.72；40 【分析】（1）6.5和3.5相加可得到整数，利用加法交换律调整运算顺序，先计算6.5＋3.5，再加上3.79简化计算。 （2）四则运算规则要求先算乘除后算加减，所以先计算3.6×0.5，再将结果与2.4相加。 （3）两个乘法项都含有相同因数0.72，所以利用乘法分配律，提取0.72后先计算8.3－7.3，再与0.72相乘简化计算。 （4）将0.4看作0.4×1，因为两个乘法项都含有相同因数0.4，所以利用乘法分配律，提取0.4后先计算99＋1，再与0.4相乘简化计算。 【详解】6.5＋3.79＋3.5 ＝6.5＋3.5＋3.79 ＝10＋3.79 ＝13.79 2.4＋3.6×0.5 ＝2.4＋1.8 ＝4.2 0.72×8.3－0.72×7.3 ＝0.72×（8.3－7.3） ＝0.72×1 ＝0.72 0.4×99＋0.4 ＝0.4×99＋0.4×1 ＝0.4×（99＋1） ＝0.4×100 ＝40 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算与数量关系（三）（小数的四则混合运算及简算）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、小数四则混合运算的运算顺序 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算完全一致，整数的所有运算顺序规则对小数同样适用。 1. 同级运算：算式中只有加减法或只有乘除法时，从左往右依次计算； 2. 两级运算：算式中既有加减法又有乘除法时，先算乘除法，后算加减法； 3. 括号运算：算式中有括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 二、运算律的适用性 整数加法和乘法的全部运算律，对小数运算同样适用，是小数简便计算的核心依据。 1. 加法运算律 　　- 加法交换律： 　　- 加法结合律： 2. 乘法运算律 　　- 乘法交换律： 　　- 乘法结合律： 　　- 乘法分配律：； 三、运算性质的拓展 整数减法和除法的运算性质，同样适用于小数运算： 1. 减法的性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 　　 2. 除法的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 　　（b、c不为0） 四、简便计算的核心与经典凑整 1. 核心思想：凑整思想，通过运算律调整运算顺序，使计算中出现整数、整十整百数，简化计算过程。 2. 经典凑整组合 　　- 乘法凑整：、、、 　　- 加法凑整：、 五、常见易错点 1. 运算顺序混乱：看到能凑整就优先计算，忽略"先乘除后加减"的基本规则； 2. 乘法分配律误用：只乘括号里第一项，漏乘第二项，或符号处理错误； 3. 除法误用分配律：只有被除数可以拆分，除数不能拆分用分配律； 4. 凑整计算错误：拆分小数时大小改变，或漏算进位、退位。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：按序计算法 【解题思路】 没有简便特征的算式，严格按照四则混合运算顺序计算，先定运算顺序、再分步计算，不跳步、不抢算。 【操作步骤】 第一步：标顺序：先判断有无括号，再区分乘除和加减，标出运算先后顺序； 第二步：分步算：按顺序一步步计算，每一步都写清楚过程； 第三步：查结果：计算完成后，检查顺序和计算是否正确。 【易错提升】 ● 易错点：同级运算中，看到后两位能凑整就先算，打乱从左到右的顺序。 　　→ 规避技巧：同级运算必须从左往右，有括号才能改变运算顺序。 方法点拨2：运算律迁移法 【解题思路】 有简便特征的算式，观察算式结构，对应迁移整数的运算律，通过调整运算顺序简化计算。 【操作步骤】 第一步：辨结构：连乘算式找能凑整的因数对；乘加/乘减算式找相同公因数； 第二步：套定律：连乘用交换/结合律，乘加乘减用分配律； 第三步：简计算：先凑整、再计算，得出结果。 【易错提升】 ● 易错点：乘法分配律只乘括号里的第一项，漏乘第二项。 　　→ 规避技巧：分配律展开后，先数项数，和括号里的项数一致再计算。 方法点拨3：拆分凑整法 【解题思路】 接近整数的因数（如、），拆成"整数+小数"或"整数-小数"，再用乘法分配律简化计算。 【操作步骤】 第一步：拆因数：把接近整数的数拆成整数与一个小数的和或差； 第二步：用定律：运用乘法分配律展开算式； 第三步：算结果：分别计算两部分的积，再相加或相减。 【易错提升】 ● 易错点：拆分时符号出错，比如把拆成。 　　→ 规避技巧：拆分后反向验算，确保拆分前后的数大小相等。 方法点拨4：提取公因数法 【解题思路】 反向运用乘法分配律，提取算式中每部分共有的因数，剩下的部分合并计算，简化运算。 【操作步骤】 第一步：找公因数：找出各部分相同的因数； 第二步：提出来：把公因数写在括号外，剩下的部分连符号放进括号； 第三步：算括号：先算括号里的加减，再算乘法。 【易错提升】 ● 易错点：提取公因数后，剩下的项漏写"1"，或者符号错误。 　　→ 规避技巧：提取完用分配律还原检查，确保和原式一致。 　　→ 规避技巧：提取完用分配律还原检查，确保和原式一致。 【第三部分】考点讲练 考点一：小数四则混合运算的基本顺序 考查重点：掌握四则混合运算顺序，正确计算无括号、有括号的小数混合运算。 【典例精讲】 题目：计算下面各题。 （1） （2） 【变式训练】 题目：计算： 考点二：乘法运算律的基础简便计算 考查重点：掌握乘法交换律、结合律、分配律的基本应用，能识别简便特征并简算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 考点三：拆分法的简便计算 考查重点：掌握拆分因数的技巧，能运用乘法分配律解决接近整数的小数乘法简算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 考点四：连减、连除的运算性质简算 考查重点：掌握连减、连除的运算性质，能结合小数特点进行简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【第四部分】专项提升练习 1．计算下面各题，能简算的要简算。                                        2．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 1.25×6.78×0.8         6.4×1.33＋3.6×1.33          58×10.1 3．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 5.6×1.25＋4.4×1.25             99×4.5＋4.5              0.25×5.7×0.4 4．怎样简便就怎样计算。 28.4×99＋28.4        2.05×8.2＋1.8       3.6×1.9＋0.36×81 3.6×19.9      3.2×12.5×2.5      1.25×3.6＋1.25×3.4＋1.25 5．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。 7.3×2.4＋2.7×2.4            101×6.8－6.8                        0.125×9.2×0.8 6．递等式计算，能简便的用简便方法计算。 0.8×（2.5＋1.25）      0.8×（2.5×1.25）      6.5×0.7＋3.5×0.7 2.5×6.4×1.25      3.6×10.1－0.36        17÷[（1.2＋0.8）×5] 7．脱式计算，能简算的要简算。 3.6×2.5－6.6÷1.5 37.9×9.9＋3.79 2026×0.15－26×0.15 3.2×2.5×1.25 8．用简便方法计算。 0.25×7.54×4                 1.25×32×2.5 6.28×0.42＋6.28×0.58               0.8×0.25×0.4×12.5 9．计算下面各题，能简算的要简算。 8.7×99＋8.7                1.25×（4＋0.8） 0.25×12.5×0.4×0.8        58.3－18.3×0.5 10．计算下面各题，怎样简便怎样算。 7.8×10.1              3.5×3.4＋7.5×3.4﹣3.4              1.4÷（0.8＋1.2÷0.6） 78.5÷4÷2.5         6.8＋3.2÷2.5      1.25×34.8×80 11．计算下面各题，能简算的要简算。 1.83＋3.17×1.2     101×5.78－5.78     2.74×8.5＋0.274×15 1.25×3.2×2.5     20.5÷12.5÷0.8     0.8×（6－8.5÷1.7） 12．递等式计算。 34.2－6×0.8            10.1×9.7               1.25×32×2.5 25.5÷0.25×4            5.4＋4÷1.6             （4.32－0.64）÷0.23 13．用你喜欢的方法计算。 0.95×4×2.5    4.8×1.25    3.3×0.38＋3.3×0.62 83÷2.5÷4    1.83＋3.17×1.2    8.4÷0.6＋8.4÷0.4 14．计算下面各题，能简算的要简算。 1.5×102    1.25×0.7×0.8    2.7×3.7＋0.37×73 0.25×32×12.5    4.64＋0.8×3.16    76.1×17－76.1×6－76.1 15．脱式计算，能简算的要简算。 1.25×64×25             7.8×1.1－7.8 8.4×2.7＋7.3×8.4        14.25＋7.3＋5.75＋2.7 16．脱式计算，能简算的要简算。 7.8＋2.2×1.5            （4＋0.4）×2.5            753×9.9＋75.3 101×4.82            1.25×3.7×0.8            7.3×1.8＋8.2×7.3 17．计算下面各题，能简便的要简便。 3.14×25.74－3.14×15.74                2.4×2.5＋4.8÷1.2 12.5×0.32×2.5                       （4.36－0.36÷0.12）÷0.4 18．脱式计算，能简算的要简算。 5.5×8.2＋1.8×5.5          4.8÷2.5÷4                78.2×9.9 25.2÷12＋2.9             0.32×1.25×2.5           32.6×1.01－0.1×3.26 19．计算下面各题，能简便计算的要简便。 2.88÷1.2＋1.5×1.2                              0.8×0.4×（2.5×1.25） 8.6×2.56－86×0.056                            （14.5－1.5×1.2）÷1.27 20．计算下面各题，能简算的要简算。                          21．计算下列各题。（能简便的用简便方法计算） （1）6.2×9.8                    （2）1.25×7.1×0.8 （3）0.27×7.08＋7.08×0.73        （4）2.5×5.4＋4.6 22．脱式计算。（能简算的要简算） 1.54＋2.38＋3.62        2.5＋1.3×0.5        0.63×14.5＋0.63×85.5 23．计算下面各题，能简算的要简算。 12.9＋7.2×3.5    2.25×4.5－0.25×4.5 8.941×99＋8.941    （10.4－5.8）×1.6 24．计算下面各题，能简算的要简算。 6.5＋3.79＋3.5                            2.4＋3.6×0.5 0.72×8.3－0.72×7.3                        0.4×99＋0.4 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $