精品解析：天津市新华中学2026-2027学年高一年级第一次阶段性练习数学试卷

2026-2027学年度高一年级第一次阶段性练习 数学学科 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则下列图形能表示A与B关系的是． A. B. C. D. 3. 已知，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“，，使得”的否定形式是（ ） A. ，，使得 B. ，， 使得 C. ，， 使得 D. ，， 使得 5. 已知，，， 则（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. D. 7. 下面命题正确的是（ ） A. 命题“ 的否定是 B. 是 的充要条件 C. 若则的最小值为1 D. 不等式 对一切实数恒成立的充要条件是 8. 已知不等式 的解集为 若对,不等式 恒成立则实数m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 9. 已知x，y为正实数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分. 11. 已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________． 12. 若 给出下列不等式，其中错误的不等式是 ________(只填序号). ① ；②；③；④ . 13. 定义：对于非空集合A，若元素，则必有，则称集合A为“m和集合”.已知集合，则集合B的所有真子集中，是“8和集合”的集合有__________________个. 14. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________． 15. 不等式 的解集是 _______________________. 16. 已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________． 17. 已知正实数，满足，则的最小值为____________. 18. 已知，当时，关于的不等式 恒成立，则 的最小值是 ______________________. 三、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知集合，． （1）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围； （2）若，求m的取值范围； （3）若集合的元素中有且只有两个是整数，求m的取值范围． 20. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高一年级第一次阶段性练习 数学学科 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简集合，利用交集的定义计算得出答案． 【详解】∵，∴， 又，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 设集合，则下列图形能表示A与B关系的是． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合,,,故选A. 3. 已知，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】当时，则，但是，不是充分条件， 当时，因为，，所以，即， 当且仅当等号成立，所以是必要条件， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含. 4. 命题“，，使得”的否定形式是（ ） A. ，，使得 B. ，， 使得 C. ，， 使得 D. ，， 使得 【答案】D 【解析】 【详解】根据全称和特称量词命题的否定规则，依次变换量词并否定结论， 可得原命题的否定形式为“，，使得”. 5. 已知，，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】选项A，用基本不等式证明；选项B，利用“1”的代换，注意等号成立条件；选项C，作差法证明不等式；选项D，注意时不等式不成立. 【详解】对于选项A，因为，所以，即， 其中，由基本不等式得，所以， 化简得，当且仅当时等号成立，即当，时取得最小值， 因此，选项A正确； 对于选项B，， 当且仅当时，即，时等号成立，满足，因此，选项B错误； 对于选项C，当时，，选项C错误； 对于选项D，当时，，选项D错误. 6. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断AC，再由换元法及对勾函数的单调性判断B，根据均值不等式判断D. 【详解】当时，不成立，故A错误； ，令，则在上单调递增，故，故B错误； 当时，不成立，故C错误； 因为，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：D 7. 下面命题正确的是（ ） A. 命题“ 的否定是 B. 是 的充要条件 C. 若则的最小值为1 D. 不等式 对一切实数恒成立的充要条件是 【答案】C 【解析】 【分析】依次对特称命题的否定、充分必要条件判定、基本不等式求最值、含参一元二次不等式恒成立四类问题逐一分析，选出正确命题. 【详解】 对于A：特称命题的否定需将存在量词改为全称量词、否定结论且保留原变量取值范围， 故命题“，”的否定是“，”，A错误.  对于B：当时，，充分性成立； 当时，变形得，解得或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B错误.  对于C：由，根据基本不等式得得， 令，则，因式分解得，因，故， 即，当且仅当时等号成立，故最小值为1，C正确. 对于D：①当时，不等式为，对任意恒成立，符合条件； ②当时，需满足，解得. 综上所述，，D错误. 8. 已知不等式 的解集为 若对,不等式 恒成立则实数m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求出的值，再将恒成立问题转化为求函数最值问题，结合基本不等式即可求得的最大值. 【详解】不等式 的解集为 ，则，且方程有两个实根为和1， 由韦达定理，，解得. 将、代入不等式，得对恒成立， 即不等式对恒成立， 因，当且仅当时等号成立，即的最小值为， 故得，即实数m的最大值为4. 9. 已知x，y为正实数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将原式变形，换元设，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由题得，设， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为6． 故选：C． 10. 关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分. 11. 已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________． 【答案】5或－3 【解析】 【分析】 根据元素与集合关系列方程，再代入验证，即得结果. 【详解】因为9∈(A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9或a2＝9， 解得a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意； 当a＝3时，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重复，不符合题意，舍去； 当a＝－3时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意， 综上所述，a＝5或a＝－3. 故答案为：5或－3 【点睛】本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 若 给出下列不等式，其中错误的不等式是 ________(只填序号). ① ；②；③；④ . 【答案】②④ 【解析】 【分析】先推出，再逐个判断式子正负与大小. 【详解】由，得. ①，，正确； ②，错误； ③，相加得，正确； ④，，同乘：，错误. 13. 定义：对于非空集合A，若元素，则必有，则称集合A为“m和集合”.已知集合，则集合B的所有真子集中，是“8和集合”的集合有__________________个. 【答案】 14 【解析】 【分析】根据定义，将中元素按和为的关系分组，逐组选择，再排除本身． 【详解】由“和集合”的定义知，元素与、与、与必须分别同时出现或同时不出现，元素可以单独选择， 故满足定义的集合由、、、这组中的若干组组成，共有种选法， 排除集合本身，因此符合条件的集合共有个． 14. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，得，，得到，计算范围得到答案. 【详解】设， 故，解得，，，， 故，故. 故答案为：. 15. 不等式 的解集是 _______________________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出分母不为0的条件，再对分子分母进行因式分解并约去公因式，转化为简单分式不等式求解. 【详解】原不等式等价于且且. 因为，所以可约去公因式，得. 该不等式等价于且. 解，得或. 结合且，可得或或. 故原不等式的解集为. 16. 已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得集合p和集合q，然后结合题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果. 详解：求解绝对值不等式可得：， 求解二次不等式可得：, 若是的充分不必要条件,则：， 求解关于a的不等式组可得：， 结合可得实数的取值范围是（0，3]. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，二次不等式的解法，充分不必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17. 已知正实数，满足，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，将式子里面的替换为，展开化简分式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，， 所以. 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 18. 已知，当时，关于的不等式 恒成立，则 的最小值是 ______________________. 【答案】4 【解析】 【分析】比较两个因式在正半轴上的符号变化，确定二次因式的正根，结合函数性质可得、间关系，再利用基本不等式求最小值． 【详解】设， 因为方程的判别式，且两根之积为， 所以方程恰有一个正根，记为， 由二次函数的性质，当时，， 当时，； 又，故当时，， 当时，； 因为对任意恒成立，所以两个因式的正零点必须相同， 否则在两个正零点之间，两个因式异号，与题意矛盾， 因此，即，可得， 此时， 于是， 当且仅当，时，等号成立，故所求最小值为． 三、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 已知集合，． （1）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围； （2）若，求m的取值范围； （3）若集合的元素中有且只有两个是整数，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）计算集合和，由充分条件可得，列不等式组即可计算； （2）由得，分，两种情况讨论即可求； （3）由题意知，或，分情况讨论即可. 【小问1详解】 因为或， 所以， 因为“”是“”的充分条件， 所以，， 所以，解得， 所以，m的取值范围为. 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，或， 解得：或， 综上所述，m的取值范围为或. 【小问3详解】 因为， 若的元素中有且只有两个是整数， 则或， 当时，则有，解得； 当时，则有，解得， 综上所述，m的取值范围为或. 20. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. 【小问3详解】 由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $