期中学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

九年级数学BS版下册 期中学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.(2026南昌进贤期末)下列函数中，y是x的反比例函数的是 A= B.xy=2026 cy=马 D.y-- -=2 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3 ,则tanA ( 4 3 4 A.3 B.4 D.5 3.已知点A(一2，)，B(3,y,)在反比例函数y=a二2的图象上，若y,<y,则a 的取值范围是 () A.a>0 B.a>2 C.a<2 D.a<0 4.桔槔俗称“吊杆”“秤杆”（如图①），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城 门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图②所示，OM是垂直于 水平地面的支撑杆，OM=3m,AB是杠杆，AB=6m,OA:OB=2：1.当点A 位于最高点时，∠AOM=130°.此时，点A到地面的距离为 () A.6sin50°m 4 B.5 m C.(3+4sin40)mD.(3+sin40)m IB dM 地面 图 图② 第4题图 第6题图 5.已知点A(3,3),B(3,).反比例函数y=兰(k≠0)图象的一支与线段AB有交 点，则k的值可能为 () A.-6 B.10 C.8 D.2 6.如图，函数y=上（x>0)和y=生（红>0)的图象分别是4和1，点P在1，上， x PA∥y轴交I1于点A,PB∥x轴交I1于点B,则△PAB的面积为 () A.1 B.4 C 3 D.4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.在△ABC中，∠A,∠B都是锐角.如果snA= 2,osB=② ，那么∠C= 8.把反比例函数y=3的图象沿y轴翻折，可以得到反比例函数 的图象 9.如图，在△ABC中，AB=BC,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C 244444 115 和点D,再分别以点C,D为圆心，大于2CD长为半径画弧，两弧相交于点E, 作射线AE交BC于点M.若CM=1,BD=3,则sinB= E B /B O C 第9题图 第10题图 第11题图 1 10.如图，在△ABC中，ianB=2,∠ACB+2∠B=90°，线段CD平分∠ACB.已 知CD=4√2，则线段BC的长为 0≠)=C源的卧H凶与荡阁阳(0≠)9+”人豫欢一此白·阔呼 0)的图象交于第一象限内的点A,与x轴负半轴交于点B,过点A作AC⊥x 轴于点C,D为AB的中点，线段CD交y轴于点E,连接BE.若△BEC的面 积是6，则k的值是 12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(10,0)，点C的 坐标为(0,8)，四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的 一动点.若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y= 0 A 上，则k值可以是 第12题图 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） c0s2459 13.1)计算：an30,n60+an60. (2)已知函数y=(m+1)x3-m是反比例函数，且当x>0时，y随x的增大而 减小，求m的值. 14.已知点（红y,)和(x)在反比例函数y=的图象上. (1)如果x1>x,那么y1与y2有怎样的大小关系？ (2)当x1>0,x>0,且x1-x,=2时，求二少的值. yiya 15.如下图，在6×6的正方形网格中，线段AB的端点A,B均在格点上. (1)请仅用无刻度直尺作格点三角形ABP(点A,B,P都在格点上)，使 Sin∠ABP二二（保留作图痕迹，不写作法， (2)若网格中小正方形的边长为1，则(1)中△ABP的面积为 B 16.如图①，“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.如图②，某校综合实践活 动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好 与“香底”D在同一水平线上，然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行 110m,到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度 (测角器的高度忽略不计，结果精确到1m,参考数据：W2≈1.414w3≈1.732). 60° 3045 图① 图② 17.如下图，在平面直角坐标系Oy中，R△ABC的顶点A,B在函数y=(k> 0,x>0)的图象上，AC∥x轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M,交AC的 延长线于点E,点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1，CE=1. (1)求点C和点E的坐标及k的值. (2)连接BE,求△MBE的面积. 4444143 116 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗 E 杆的高度.如右图，测得BC∥AD,斜坡AB的长为6m, 坡度i一父，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°，点 B到旗杆底部C的距离为4m. i=V3 B570C 3 (1)求斜坡AB的坡角a的度数. A D (2)求旗杆顶端离地面的高度ED的长（参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈ 0.342,tan70°≈2.747.结果精确到0.1m). 19.给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p(单位： kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，其图象如下图所示 (1)当气球内的气压超过150kPa时，气球会爆炸.若将气球近似看成一个球 体，试估计气球的半径至少为多少时，气球不会爆炸（球体的体积公式V= 3,x取3）： (2)请你利用p与V的关系式解释为什么超载的车辆容易爆胎 tp/kPa 120 00.04 V/m 444444 117 20.如下图，在平面直角坐标系中，直线y=k1x十b交x轴于点A(一4,0)，交y轴 于点B(0,3),并与y-:的图象在第一象限内交于点C,CD1x轴，垂足为 D,B是AC的中点. (1)求一次函数与反比例函数的表达式. (2)若C'是点C关于x轴的对称点，求△ABC的面积. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.图①是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图②，桌面E℉可绕点D转动.该会 议桌打开后，EF∥AB,DE=DF=DC=25cm,DB=25√10cm,∠CAB=45°，点B 是点F在地面的正投影（参考数据：√2≈1.414，√5≈2.236，tan71.6°≈3）. 图① 图② (1)求桌面EF到地面AB的距离和∠ACD的度数（结果精确到0.1°）. (2)求桌脚AC的长（结果精确到0.1cm). 2.有这样一个问题：探究函数)一，一十x的图象与性质：小明根据学习函数的 经验，对函数y= 一十x的图象与性质进行了探究. (1)函数y一x一十x的自变量x的取值范围是 (2)下表是y与x的几组对应值，请你求m的值. 1 3 5 3 C -3 -2 0 2 3 5 2 4 2 13 7 3 3 1321 7 1 21 -1 3 32 m 2 4 2 2 4 (3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组数值为坐标的点， 请你画出该函数的图象， (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 6 5 4 4-3-2-1110123456x 六、解答题（本大题共12分） 23.【问题初探】定义：过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点 与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”.在“点足三角形”中，以这个定点 为顶点的角称为“垂角” A 一M PSa 图① 图② 图③ 如图①.OA⊥l1,OB⊥l2,垂足分别为A,B,则△OAB为“点足三角形”， ∠AOB为“垂角” 【性质探究】(I)两条直线相交且所夹锐角为α°，则过平面内一点所画出的“点 足三角形”的“垂角”度数为 (用a表示). (2)如图②，O为平面内一点，OA⊥I1,OB⊥2，垂足分别为A,B,将“垂角”绕着点 O旋转一个角度，分别与l1,l2相交于点C,D,连接CD.求证：△OAB∽△OCD. 【迁移运用】(3)如图③，∠MPV=a,点A在射线PM上，B是射线PV上的点， 且1ama=，PA=4,则∠MPN的外部是否存在一点O,使得“点足三角 24 形OAB”的面积为25？若存在，请直接写出此时PB的长：若不存在，请说明 理由 444414 118.DQ+BQ-DQ+QE. .DQ+QE≥DE ∴.当D,Q,E三点共线时，DQ十 BQ最短，最小值为DE的长。 1 由(1)可知，∠ABG=30°，AB AD. 图② ∠ABG=∠ADG=30°， ∴∠FBG=∠FBA+∠ABG=30°+30°=60°， ∴.∠BFD=180°-∠FBD-∠ADB=180°-60°-30°= 90°， ∴当点E与点F重合时，DE取得最小值，此时DE与DF 重合，点Q与点A重合，如图③所示，过点C作CH⊥BD 于点H,连接CD, C(43,2),A(65,4),B(25, 0), .CH=2,GB=65-23=45, (E AG=4. (Q) AB=AD,AG⊥BD ∴.BD=2BG=8√3， ∴.S△O=S△DAB-S△xB= 图③ BD·AGBD·CH_83X4 2 2 2 83×2=85. 2 (3)(0,-5)或(0,6)或(0，-6) 【解析】(3)设直线AB的表达式为y=m:x十n,代入A(6√3， 4),B(2√3,0)， 4=6√5m+n·解得m一 3 0=2√3m+n, n=-2, ∴直线AB的表达式为y= 3x-2. 令x=0,得y=-2, .C(0,-2) :将△DCA沿射线AB方向进行平移，得到△D'C'A', C(45,2), ∴平移方式为向左平移43个单位，再向下平移4个单位. 由(2)可知，BD=8√3，OB=2√3， ∴.D(103,0). A(63,4) ∴.A'(65-4√5,4-4)，D'(103-43,0-4) 即A'(2√3,0)，D'(6√3，一4)，如图④，连接CD 设M(.8）N0. y↑ 又B(25,0) 当BD',MN为平行四边形的对角 线时，则BD',MN的中点重合， 4') t+0=2√+6√3. 83 十s=0-4, 图④ 解得=83. s=-5, .N(0,-5). 当BM,D'N为平行四边形的对角线时，则BM,D'N的中 52 九年级数学BS版 点重合， t+2W3=0+6√5， 85+0=s-4, 解得1=43， s=6, t .N(0,6). 当BN,D'M为平行四边形的对角线时，则BN,D'M的中 点重合， 2W3+0=1+63, s+0=8y5-4, 解得=一4v3, 8=一6， t ∴.N(0,-6). 综上所述，点N的坐标为(0，一5)或(0,6)或(0，一6). 期中学业质量自我评价 1.B2.A3.B4.C5.C 6.C【解析】如图，延长PA,PB分别交xyt 轴、y轴于点C,D,连接OA,OB.设点A 的横坐标为x,则点A的纵坐标为二，点 P的纵坐标为，PA=PC-AC=工 生 4 一上=3.：点B在反比例函数y=的 xx 图象上，点B的纵坐标为子∴点B的横坐标为子，即BD 1 13 4x心PB=PD-BD=x-x= ×2×= 六SAPAR=ZPA·PB=ZX 7.1058y=-29.号 3 10.4V5【解析】如图，过点C作CE⊥BA 交BA的延长线于点E. ,CD平分∠ACB, ÷∠BCD=∠ACB.∠EDC=∠B +∠DCB=2(2∠B+∠ACB)=2X90=45, :CE=CDsin∠EDC=4W2x9=4.:anB=CE=号 2 BE=2 ∴.BE=8,∴.BC=√CE2+BE=√4+8=45. 11.12【解析】设OC=a,OE=b,OB=c.:△BEC的面积是 2Bc0E=626(a+e)=6,即6a+c)=12.D是 AB的中点，△ABC是直角三角形，.CD=AD=BD, .∠ECO=∠ABC.又，∠ACB=∠EOC=90°，∴.△ACB n△mc器-0即cAc-ae b 吕点A的坐标为(，号)：点A(,吕)在反比例函 a 数y=兰（>0)的图象上k=y=a·品-12 12.32或40或48【解析】①当OA=PA时，如图①，过点P 作PD⊥OA于点D. A(10,0),C(0,8),四边形ABCO为矩形， ∴.PA=10,AB=8,.PB=6, 点P的坐标为(4,8)， ∴.k=4×8=32. ②当OP=PA时，如图②，过点P作PE⊥OA于点E. 易得点P的坐标为(5,8)， .k=5X8=40. ③当OP=OA时，如图③，过点P作PF⊥OA于点F. 由(1)可知，点P的坐标为(6,8)， .k=6X8=48. 综上所述，k的值可以是32或40或48. 肉内 2 13.解：(1)原式= +√3 2 =1+√5. 3-m2=-1, (2)依题意，得{ m+1>0, 解得m=2. 14.解：(1)当x1x2同号， 即0<xe<x1或x2<x1<0时，y1<y2: 当x1x2异号，即x1>0>x:时，y1>y2: (2②)：点)和(x)是反比例函数y=图象上的 两点， 1 -y=1-1 =x1一x2 yiy2 yi y2 x1-x2=2 出=2 15.解：(1)如图，△ABP即为所求 e号 B 16.解：如图，过点B作BF⊥DN于点F,过 点B作BE⊥AD于点E. ,∠D=90°，四边形BEDF是矩形. 1609 .'BE=DF,BF=DE. B 在Rt△ABE中，AE=ABcos30°=110 4045 x3-553.BE-ABsin 30"-110X 1 2=55. 设BF=x,则AD=AE+ED=55W3十x. 在Rt△BFV中，NF=BFtan60°=√3.x, .DN=DF+NF=55+√3x .∠NAD=45°， ∴.AD=DN,即55W5+x=√3x+55, 解得x=55, ∴.DN=55+√3x≈150. 故“一炷香”的高度约为150m. 17.解：1)根据题意，得点A的坐标为（冬，2），点B的坐标为 (1,k). 又，AC∥x轴，且△ACB为直角三角形，∴.点C的坐标为 (1,2). 又，CE=1,.点E的坐标为(2,2) :点E在线段AB的垂直平分线上， ∴.EA=EB. 在Rt△BCE中，BC2+CE2=EB2, 2-+1=(2-)》广. k=26:=号 当k=2时，A,B,C三点重合，不能构成三角形，故舍去， = 3,BC=3,CE=1. 4 (2)由(1)可知AC= 设AB的中点为D,AB=VAC+BC-号5，BD AB= :∠MBD=∠ABC,∠BDM= y ∠BCA=90°， .△BDM∽△BCA 微肥 E BM=x265 4 36· ∴Sam=合BM.CE=专×音X1=是 1、5 5 18.解：(1)如图所示，过点B作BF⊥ AD于点F i=m∠aAF-器-g V3 B70°C ∴.∠BAF=30°，即a=30° (2)在Rt△ABF中， 3 Y∠BAP=30,AB=6,∴BF2AB=3m ,'BC⊥CD,BF⊥AD,CD⊥AD, ∴.四边形BCDF是矩形， .'CD=BF=3 m. 在Rt△BCE中，∠BCE=90, ,∠EBC=70°，BC=4m, '.EC=BCtan∠EBC=4Xtan70°≈10.99(m), ∴.ED=EC+CD≈10.99+3=13.99≈14.0(m). 故旗杆顶端离地面的高度ED的长约为14.0m. 19,解：1)设函数表达式为p=台 根据图象，得k=pV=120×0.04=4.8, p= ∴当p=150时.v=8-a,082. 号×3=0.032.解得r=02. k=4.8>0,∴p随V的增大而减小， ∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2， ∴.气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸 (2)车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎 下册详解详析 53 20.解：(1)把A(-4,0),B(0,3)代入y=k1x十b中，可得k1= 3 .一次函数的表达式为y=4x+3. B是AC的中点， 点C的坐标为(4,6) .k:=4×6=24, 六反比例函数的表达式为y=4 (2)连接DC',如图. ,C'是点C关于x轴的对称点，CD ⊥x轴， D是CC'的中点， 1 ∴.Saeb=2 SACAC· :B是AC的中点， 1 六SaAr=2SACAC, 1 SAAN=SACAD=2X8X6=24. 21.解：(1)如图①，连接FB, :点B是点F在地面的正投影， .FB⊥AB.'EF∥AB ∴.∠ABF=∠F=90 在Rt△DFB中，DF=25cm, DB=25/10cm, ∴.BF=√DB2-DF=√(25√10)2-252=75(cm), FB 75 tan∠FDB=DF=25 =3, ∴.∠FDB≈71.6 'EF∥AB,∴∠FDB=∠ABC≈71.6. ∠CAB=45°，.∠ACD=∠CAB+∠ABC≈116.6 故桌面EF到地面AB的距离为75cm,∠ACD的度数约 为116.6 (2)如图②，过点C作CG⊥AB,垂足为G 在Rt△CGB中，∠ABC≈71.6°， im∠ABc- ≈3，∴.CG=3BG .DC=25 em,DB=25 v10 cm, 图② ∴.BC=BD-CD=(25√/10-25)cm ,BG2+CG2=BC2,∴.BG2+(3BG)2=(25√10-25)2， ∴BG=(25-号而)m ∴cG=3BG=(75-5）m CG 在Rt△ACG中，∠CAB=45°，.AC= sin 45 75-5而 =75√W2-15√5≈72.5(cm). 2 故桌脚AC的长约为72.5cm. 22.解：(1)x≠1 13 (2)把x=4代人y=x一十，得y=3 m一号 (3)该函数的图象如图所示 54 九年级数学BS版 3 2 4-3-2-寸0123456 2 -3 A (4)函数图象与y轴交于点(0，一1)（答案不唯一） 23.解：(1)a (2)证明：将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与1,12 相交于点C,D,∴∠AOC=∠BOD. .OA⊥AC,OB⊥BD, 六在R△CA0中，cos∠AOC=0A OC' 在Rt△DBO中，cos∠BOD= OB OD' ∴.cos∠AOC=cos∠BOD,即 OA OB OcOD· 又·∠AOB=∠COD,∴△OAB∽△OCD. (3)存在，PB的长为9或号 13 【解析】(3)①当定点O在两直线的同 侧，且在PN的下方时，记OA与PN 交于点D,过点A作AE⊥PN于点E, 如图①. 图① OA⊥PM,OB⊥PN,且∠ADP=∠BDO, ∴.∠P=∠O=a. 又：AE⊥PN,OA⊥PM,∠ADP=∠ADP, .∠P=∠EAD=a. AD 3 在Ri△PAD中，ianP=ana=AP=子，PA=4, ..AD=3, ∴.PD=/AP2+AD=16+9=5. ED 3 在R△EAD中，tan∠EAD=tana=AE=4 设DE=3.x,则AE=4x,且AD=3. 在Rt△EAD中，AD=AE2+DE, 即3=(3x)+(4x),解得x=(负值已舍去 DE-号AE-号 BD 3 在Rt△BOD中，tanO=tana=OB=4: 3 设OB=y,则BD= 4y. SANOMS6ADB+Saron7 DB·(AE+OB,即2 ×（+）得y=负值已会去 OB=吉，BD=号PB=PD+BD-8 4 3 ②当定点O在两直线的同侧，且在PM的上方时，记OB与 PM交于点D,过点B作BE⊥PM于点E,如图②. :OA⊥PM,OB⊥PN,且∠ADO=∠BDP, .∠P=∠O=a. 又，'BE⊥PM,OB⊥PN,∠PDB=∠PDB, .∠P=∠EBD=a. BE 3 在Rt△PBE中，tanP=tana=PE=4' PE=专BE, ED 在Rt△EBD中，tan∠EBD=tana=BE 图② 3 ED=是BE. 在R△OAD中，tanO=AD 3 -OA-tana- .AD-30A. :AP=PE+DE+DA-音BE+子BE+是OA=4,整 理，得BE=48-9OA 25 设AD=1,则0A=专，BE=482 4 25 DA(BE+OA) 即结名(822+号)解得x=是（负值已合去） 25=2x(25 ..AD= 3 4 :PD=AP-AD=4-是 在R△PBD中，tanP-B=tama=. BD 设BD=3y,则PB=4y. 在Rt△PBD中，DP=BD+PB,即16=9y+16y 解得y品负值已合去)PB=4×品-号 综上，PB的长为号我号 第三章学业质量自我评价 1.C2.D3.A 4.D【解析】如图，过点O作OH⊥AB于点 HBH=2AB=号×6=3. 0 ⊙0的半径为5，.0B=5, .OH=√OB2-BH=4, C/CH ∴当点C和点H重合时，OC的值最小，最小值是4，则CD 的最小值是4+5=9：当CD是圆的直径时，CD的值最大， 最大值是5×2=10， ∴.CD的取值范围是9≤CD≤10. 5.A【解折：(XLAB,AB=5AD=BD=号AE是 ⊙O的直径，∠B=90°，.OD∥BE.:O为AE的中点， .OD为△ABE的中位线，.BE=2OD. ,在Rt△DBE中，BD+BE=DE2,DE=3OD, ÷空+0D=900,解得0=（负值已含去 6.D【解析】如图，设直线y=3x十25与x轴交于点C,与y 轴交于点D,连接OA,OP. ,PA为⊙O的切线，∴.OA⊥PA, PA=√OP-OA=√OP-i, .当OP最短时，PA最短. 过点O作OH⊥CD于点H,如图， 当x=0时，y=√5x+23=2√3，则点D的 坐标为(0,23) ∴.OD=25. 当y=0时W3x十2√5=0，解得x=一2，则点C的坐标为 (-2,0),∴.OC=2,∴.CD=√OC2+OD7=4. :2cD.0H=20c.0D0H=2X2y5=g, 4 .OP长最短为3，PA长最短为√3-I=√2. 7.72°8.元9.35 10.9y5_13:【解析1：在△ABC中，AB=AC=3,∠BAC 412 =120.∠C=2×(180°-120)=30.“△ABC的面积 =扇形ACF的面积十扇形DAE的面积一S2十S1,.S1 S,=△ABC的面积一扇形ACF的面积一扇形DAE的面 3X sin 30'x3X cos 0'2-30X120gX1 360 360 _9V3_9x_4x_9513x 41212412 11.4【解析】如图，过点O作OH⊥CD于 点H,连接OF. 1 EF=6.FH=2EF=2X6=3. AB=10, 1 0F=7AB=2×10=5. 在Rt△OFH上，OH=√OF2-FH=√5-3=4. ,四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, ..AD=OH=4. 12.2或2-√5或2+√5【解析】：AB为直径，DE为弦， .DE≤AB,.当DE的长为正整数时，DE=1或2.分以 下三种情况讨论： ①当DE=2,即DE为直径时，，DE⊥AB, .点F与点A重合，.FB=2 ②当DE=1,且点C在线段OB之间时， 如图①，连接OD, 则0D=专AB=1 DE⊥AB,.DC= DE=合 1 图① .0C-JODDCBC=0B-0C-23 2 ∴.BF=2BC=2-√5. ③当DE=1,且点C在线段 OA之间时，连接OD,如图② 同理可得BC=2十3 2 .BF=2BC=2+3. 图② 综上，线段FB的长为2或2一√或2十√3 13.解：(1)△ABC是等边三角形. 理由：AC=BC,.AC=BC 下册详解详析 55