第二章 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

九年级数学BS版下册 第二章 学业质量自我评价 （考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.若y=2x-为关于x的反比例函数，则a的值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.若反比例函数y=m一4的图象位于第一，第三象限，则m的取值范围是() A.m<-4 B.m>-4 C.m<4 D.m>4 k 3.在同一平面直角坐标系中，函数y=一k(x一1)与y= (k≠0)的图象可能是 12 4.如图，双曲线y=二(x>0)经过A,B两点，连接OA,AB,过点B作BD⊥y x 轴，垂足为D,BD交OA于点E,且E为AO的中点，则△AEB的面积是 A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5 )y1 0 A1 A2A3 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图所示的是某公园“水上滑梯”的侧面示意图.建立平面直角坐标系后，BC段 可看作一段双曲线，矩形AOEB内有向上攀爬的梯子.若OA=5m,AB∥OD, 且AB=2m,出口点C距水面的距离CD为1m,则点B,C之间的水平距离 DE的长度为 () A.5m B.6 m C.7 m D.8m 6.如图，△OA1B1,△A1A2B2,△A2AB,…是分别以A1,A2,A1,…为直角顶 点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C,(x1,y1), C).C(,y)…均在反比例函数y=产(x>0)的图象上，则十 y?十y+…十yo的值为 () A.2/10 B.6 C.4√2 D.2√7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若反比例函数y的图象经过点1..则长的值为 8.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为 “杠杆原理”，即阻力×阻力臂一动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已 知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m,则动力F(单位：N)关于动力臂l(单 位：m)的函数表达式为 44444 111 9.如果点A(xy),B(xy:)分别在反比例函数y=工y=一的第二象限的图象 上(k,k2≠0)，且点A在点B的下方，那么k:k2(填“>”“<”或 “=”) 10.如图，矩形ABCD的顶点A,C都在双曲线y=一(k>0,x>0)上.若顶点D 的坐标为(5,3)，则直线BD的函数表达式为 y↑ 0D x 第10题图 第11题图 第12题图 1.(2026深圳宝安区检测)如图，点A是反比例函数y=女（x<0)图象上的一 点，直线AD分别与x轴、y轴交于点D和点C,AB⊥y轴于点B.若△ABC 与△D0C的位似比为1：3，△ABC的面积为子，则k的值为 12.如图，反比例函数)=一(x>0)的图象与直线AB交于点A(23),直线AB与 x轴交于点B(4,0).过点B作x轴的垂线BC,交反比例函数的图象于点C. 若在平面内存在一点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边 形，则点D的坐标为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分】 13.(1)已知y=(m十1)x-2m-4是y关于x的反比例函数，求m的值. (2)如右图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=6,AB=4,边yY 0A在x销上.若双曲线y=兰经过边OB上一点D4,m),求 k的值. 14.已知反比例函数y=m一5 (I)若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围. (2)若其图象与一次函数y=一x十1的图象的一个交点的纵坐标是3，求m 的值. 15.已知y=y,十y,y1与(x-1)成正比例，y:与x成反比例.当x=2时，y=5; x=一2时，y=一11. (1)求y关于x的函数表达式 (2)当x=4时，y的值是多少？ 16.反比例函数y=一6 的图象如下图所示，一次函数y=虹十b(k≠0)与反比例 函数y=- 6的图象交于A(1,m),B(n3)两点. (1)求一次函数的表达式，并在图中画出该一次函数的图象 (2)观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤一6的解集： 5升 4 3 -2升 4321012345 17,如下图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A,B在函数y=(x>0)的 图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为(2,4)，过点A作 AD⊥x轴于点D,过点B作BC⊥x轴于点C,连接OA,AB. (1)求k的值. (2)若D为OC的中点，求四边形OABC的面积. D C 444143 112 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.函数y= 。的图象可以由函数y一兰的图象左右平移得到 k (1)将函数y=二的图象向右平移4个单位长度得到函数y=十a的图象，则 a= (2)有下列关于函数y=x十a的性质：①图象关于点（一a,0)对称：②y的值随 x值的增大而减小：③图象关于直线y=一x十a对称：④y的取值范围是y≠ 0.其中，正确的是 (填序号). (3)根据1)中4的值，写出关于工的不等式>】的解集。 x十ax 19.如右图，矩形ABCD的两边AB,BC的长分别为3,8，点 C,D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y=(x< O)的图象经过点E,且与BC交于点F,CF一BE=1. (1)求反比例函数的表达式 (2)若在y轴上存在一点P,使得S△cP= SAm,求点 2 P的坐标 20.某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100l 后，血液中酒精含量y(单位：mg/100ml)与时间x(单位：h)的关系可近似地用 如下图所示的图象表示.国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于 20mg/100ml时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路. (1)求部分双曲线BC的函数表达式. ↑y/mg100mL) A B 20-… 0133 x/h 32 44444码 113 (2)假设某人晚上8：00喝完100ml低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾 车出行？请说明理由. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）】 21.如下图，直线y=2x+3分别交x轴y轴于点A,C.点P是该直线与双曲线 在第一象限内的一个交点，PB⊥x轴于点B,且S△A即=16. (1)求证：△AOC∽△ABP (2)求点P的坐标. (3)设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上，且点Q在直线PB的右侧， 作QD⊥x轴于点D.当△BQD与△AOC相似时，点Q的横坐标为 6 22.小明根据学习函数的经验，对函数y=x一2的图象与性质进行了探究.下面 是小明的探究过程，请补充完整并解决问题. 6 (1)①函数y-x一2的自变量x的取值范围为 ②取几组y与x的对应值，填写在下表中， … -4-2-1011.21.252.752.83 45 6 8 y…11.52367.5887.563m1.51… m的值为 (2)如右图，在平面直角坐标系 xOy中，描出补全后的表中各组对 以 应值所对应的点，并画出该函数的 图象. 5 (3)①通过观察、分析、证明，可知函 6 3引 数y一工一2的图象是轴对称图形， 它的对称轴是 ②过点P(一1，n)(0<n<2)作直 -8-7-6-5-4-3-2-马012345678x -2 6 线1，x轴，与函数y=x一2的 图象交于点M,N(点M在点N的左侧)，则PN一PM的值为 六、解答题（本大题共12分） 23.(2026佛山南海区检测)如图①，在平面直角坐标系中，直线AB经过点 A(65,4),与x轴交于点B(25,0),C为AB的中点，反比例函数y=8的 图象刚好经过点C.将直线AB绕点A沿顺时针方向旋转60°得直线AD,直线 AD与x轴交于点D. (1)求出点C的坐标，并求证：AB=AD (2)如图@，点Q为射线BA上一动点.当DQ+2BQ取最小值时，求△DCQ 的面积。 (3)将△DCA沿射线AB方向进行平移，得到△D'C'A'且C'刚好落在y轴上. 巴知点M为反比例雨数y-8的图象上一点，点N为y轴上一点，若以M, N,B,D'为顶点的四边形为平行四边形，则所有满足条件的点N的坐标为 yt 0 D 图① 图② 4444141 114∴.人行桥东侧与乡村振兴大厦的水平距离AC的长约是 279m. (2)如图②，设乡村振兴大厦顶端D 为点D 由(1)得AC≈279m. 且∠CAD=9.3°. 在Rt△ACD中，tan∠CAD= 图② AC≈279≈0.16， CDCD ∴.CD≈44.6m. 点C距离地面2m,44.6+2≈47(m), ∴.乡村振兴大厦的高度约是47m. 23.解：(1)BE=2AF (2)①仍然成立.理由：在Rt△ABC中，sin∠ABC=sin30 在Rt△CEF中，sin∠FEC=sin(90°-∠ECF)=sin30°= CF 1 能器瓷器 ,∠ACB=∠ECF=60°，.∠BCE+∠ACE=∠ACF+ ∠ACE,∴.∠BCE=∠ACF, .BE BC △BCE∽△ACF心A-AC=2.BE=2AF ②cos∠EFA=2BC=2V2I. 【解析】(2)②易证△BCE∽△ACF,∴.∠BEC=∠AFC ,B,E,F三点共线，∴.∠BEC=150°，∴.∠AFC=150° ∴.∠AFE=∠AFC-∠EFC=60°， cos∠EFA=eos60= 如图，过点D作DH⊥BE,垂足 为H. .BD=DE, .BH=HE DH⊥BE,CF⊥EF, .DH//CF. 肥宁BH=E=E BE BC :△BCEn△ACF·AF-AC=2, ∴.BH=HE=EF=AF,∴.△EFA是等边三角形， ∴.BH=HE=EF=AF=AE=3, ∴.BF=9,CF=EFtan30°=√3， ∴.BC=√BF2+CF=2V√2I. 第二章学业质量自我评价 1.C2.D3.A4.A 5.D【解析】：四边形AOEB是矩形，∴.BE=OA=5m,AB =OE=2m,.B(2,5). 设双曲线BC的表达式为y-冬，由题意，得长=2X5=10, y=10 x ,当y=1时，x=10,.DE的长度为10一2=8(m). 6.A【解析】如图，过点C,,C2,C3,…分别作x轴的垂线，垂 足分别为D1,D2,D3,…,由题意可知，△COD1是等腰直 角三角形，且OD1=C,D.又，点C,在反比例函数y= 兰>0)的图象上点C 的坐标为(2,2)，即y1=2 C,为OB,的中点，CD1⊥ C2/ OA1,.C1D1∥B1A1· ,OD1_0C=1 D A D2A2 D:A3 A:D:BC .OD1=A1D1=2 设A,D2=a,则CzD2=a,此时点C2的坐标为(4十a,a), 代人y=兰得a4+o)=4 解得a=2√2-2（负值已舍去），即y2=2√2-2. 同理可得y=23-22,y4=24-2W5,…, y+y:+ya+…+yo=2+2V2-2+25-2√2+…+ 2/10-2√=2/10. 7.18.F=600 9.> 3 10.y=亏x【解析】：点D的坐标为(5,3)， ∴点A的坐标为（夸3）点C的坐标为(5，号) 点B的坐标为（停号） 设直线BD的函数表达式为y=m.x十n(m≠0). 把D(53.B(夸号)代入，得 5m十n=3, 3 k k解得 3m+n=5, n=0, 直线BD的函数表达式为y=号 11.一6【解析】连接OA,如图. Y↑ .△ABC与△DOC的位似比为1：3， 2.BC 1 "OC3· 3 SAAIC=4' .S△AB0=3, 0 D x .k=-6. 12(2,2)或(2，)或(6，-）【解析】把A2,3)代入y =冬(x>0),得k=xy=6,∴该反比例函数的表达式为y x 6 x 点B的坐标为(4,0)，BC⊥x轴， 六把=4代人反比例函数y=三得y=号-号， 63 “点C的坐标为(4，受） :A(2,3),B(4,0.C(4,）,BC⊥x轴。 若BC为边，则BC/AD,且BC=AD=是. 点A的坐标为(2,3)， ∴点D的坐标为(2，)或(2,2) 若BC为对角线，设点D的坐标为(x,y). 下册详解详析 49△ ,四边形ABDC是平行四边形， .AD与BC互相平分， .xD=4+(4-2)=6, w=0-(3-2）=-2 点D的坐标为(6，一) 综上所述，符合条件的点D的坐标为(2，）或(2,2)或 (6-) 13.解：(1)y=(m十1)x2-2m-4是y关于x的反比例函数， ∴.m2-2m-4=-1且m+1≠0，解得m=3. (2)如图，过点D作DF⊥OA于点F. ,点D的坐标为(4，m), ∴OF=4,DF=m. ∠OAB=90°， ∴.DF∥AB, .△DOF∽△BOA, 器器 OA=6,AB=4, 4 6m= ”= 3 ∴点D的坐标为(，受） :双衡线y=兰经过点D。 6-4x号-号 14.解：(1)由题意可知，m一5<0，解得m<5. (2)将y=3代入y=一x+1,得x=一2， .这个交点的坐标为（一2,3）. 将（一23）代入y=”,得m=-1。 15.解：(1)y1与(x一1)成正比例， .设y1=k1(x一1). :y2与x成反比例， 设：空 y=y+y:, 六y=1(x-1D+ :当x=2时，y=5:x=-2时，y=-11. 5=6,+ 2 解得/，3， -1=-+ k2=4, 小y关于x的函数表达式是y=3(x-1)十4 即y=3x+4 -3. (2)当x=4时y=3X4+-3=10, 16.解：)：反比例函数y=一的图象经过A1,m,B(. 3)两点， 6 m=一、，3三一，解得m=一6，n=一2y .A(1,-6),B(-2,3). Y50 九年级数学BS版 :y=kx+b(k≠0)的图象经过A(1,一6)，B(-2,3)两点， 作经。架得伦 .一次函数的表达式为y=一3x一3. 画出图象如图所示. 5432 02343 (2)-2≤x<0或x≥1 17解：1将A2,0代入y=会>0)，得=2×4=8 (2).k=8, 反比例西数的表达式为y一兰 点A的坐标为(2,4)，AD⊥x轴， .OD=2,AD=4. ,D为OC的中点， .OC=4. :BC⊥x轴， 点B的横坐标为4. 将x=4代入y=三得y=2, .点B的坐标为(4,2)， ∴Sae=Sm+Sam=号×2X4+号×(2+ 4)×2=10. 18.解：(1)-4 (2)①④ （③)如图，可得关于：的不等式，十。>士的解集为>4或 x<0. 2 -5 19.解：(1)E是AD的中点，四边形ABCD是矩形， ..AE= 2AD=号BC=4,∠A=90 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=√3+4=5. ,CF一BE=1,.CF=6,.点F的横坐标为一6. 设F(一6，m),则E(一4，m十3). :点E,F都在反比例函数y=冬(x<O)的图象上， ∴.一6m=一4(m十3)，解得m=6, .F(-6,6),.k=-36, 六反比例函数的表达式为y=一36 x ②Sam-号san 7×4cp-号x8x8 .CP=8.由(1)，得点C的坐标为(0,6)， ∴.点P的坐标为(0,14)或(0，一2). 20.解：(1)设0A的函数表达式为y=kx(≠0)，则3=20， .=60, ∴0A的函数表达式为y=60z(0<r<号）， 3 六当x=2时y=90. 设部分双曲线BC的函数表达式为y=”(m≠0，x≥3)， 由图可知，当x=3时，y=90,∴.m=270, 270 .部分双曲线BC的函数表达式为y= (x≥3). (2)不能驾车出行.理由如下： 在y=270中，令y<20,则270<20. ∴.x>13.5,即喝酒后13.5h以后才能驾车出行. :晚上8：00到第二天早上9：00的时间间隔为9+4= 13(h),13h<13.5h, .此人第二天早上9：00不能驾车出行. 21.解：(1)证明：，PB⊥x轴于点B,OC⊥x轴， ∴.OC∥PB,.△AOC∽△ABP. (2)对于直线y=2x+3, 令x=0,得y=3:令y=0,得x=一6. ∴.A(-6,0),C(0,3),∴.OA=6,OC=3. :△AOCn△ABP. CO PB∥ S△An=16,SAN=20A·0C=2X6X3=9, CO AO 3 六PB=AB4 即品-头 ∴.PB=4,AB=8,.OB=2, .点P的坐标为(2,4). (3)1+√/17或1+5 【解析】(3)设反比例函数的表达式为y=,把P(2,4)代 入，得k=xy=2X4=8, 二反比例函数的表达式为y=8 x :点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为。，号）a>2, 六BD=n-2,QD=8 OA OC 6 3 ①当△BQDn△AC0时·DB-DQ-28 整理，得n2一2n一16=0， 解得n1=1十√17，n2=1-√17（舍去. ②当△BQDn△CA0时，DQDB· OA OC 整理，得n2一2n一4=0，解得n1=1十√5，n,=1一√5（舍 去) 综上所述，点Q的横坐标为1十17或1十√5. 22.解：(1)①x≠2②2 (2)函数图象如图所示 7 6 4/ 2 -8-7-6-54-3-2-012345678x -2 (3)①直线.x=2 ②6【解析】(3)②，l∥x轴，点M在点N的左侧， m°唧1x-2引= 6 n 6十2. 解得x,=一6+2x,= .0<n<2, -66 nn (-g+2n)N(g+2m）. P(-1,n), PN=+2-(-D=+8,PM=-1-(-+2) 6 n -3PN-PM=9+3-(g-)=6 23.解：(1)过点A作AG⊥BD于点y1 G,如图①. A(6√3,4)，B(2√3,0)，C为AB 的中点， ∴.C(43,2),AG=4,BG=6√3- 2√5=4√3. ,AG⊥BD, 图① AG4√3 ∴tan∠ABG-BG4V5-3 .∠ABG=30°， ∴.∠BAG=60. :将直线AB绕点A沿顺时针方向旋转60°得直线AD,直 线AD与x轴交于点D, ∴.∠BAD=120°， .∠DAG=∠BAD-∠BAG=120°-60°=60°，∴∠BAG =∠DAG. .AG⊥BD, ,∴.∠AGB=∠AGD=90° AG=AG. ∴.△BAG≌△DAG(ASA), .'.AB=AD. (2)如图②，在BQ的上方作射线BM交AD于点F,使 ∠MBQ=30°，过点Q作QE⊥BM于点E,连接DE,过点 A作AG1BD于点G,则QE=2BQ, 51 下册详解详析 .DQ+BQ-DQ+QE. .DQ+QE≥DE ∴.当D,Q,E三点共线时，DQ十 BQ最短，最小值为DE的长。 1 由(1)可知，∠ABG=30°，AB AD. 图② ∠ABG=∠ADG=30°， ∴∠FBG=∠FBA+∠ABG=30°+30°=60°， ∴.∠BFD=180°-∠FBD-∠ADB=180°-60°-30°= 90°， ∴当点E与点F重合时，DE取得最小值，此时DE与DF 重合，点Q与点A重合，如图③所示，过点C作CH⊥BD 于点H,连接CD, C(43,2),A(65,4),B(25, 0), .CH=2,GB=65-23=45, (E AG=4. (Q) AB=AD,AG⊥BD ∴.BD=2BG=8√3， ∴.S△O=S△DAB-S△xB= 图③ BD·AGBD·CH_83X4 2 2 2 83×2=85. 2 (3)(0,-5)或(0,6)或(0，-6) 【解析】(3)设直线AB的表达式为y=m:x十n,代入A(6√3， 4),B(2√3,0)， 4=6√5m+n·解得m一 3 0=2√3m+n, n=-2, ∴直线AB的表达式为y= 3x-2. 令x=0,得y=-2, .C(0,-2) :将△DCA沿射线AB方向进行平移，得到△D'C'A', C(45,2), ∴平移方式为向左平移43个单位，再向下平移4个单位. 由(2)可知，BD=8√3，OB=2√3， ∴.D(103,0). A(63,4) ∴.A'(65-4√5,4-4)，D'(103-43,0-4) 即A'(2√3,0)，D'(6√3，一4)，如图④，连接CD 设M(.8）N0. y↑ 又B(25,0) 当BD',MN为平行四边形的对角 线时，则BD',MN的中点重合， 4') t+0=2√+6√3. 83 十s=0-4, 图④ 解得=83. s=-5, .N(0,-5). 当BM,D'N为平行四边形的对角线时，则BM,D'N的中 52 九年级数学BS版 点重合， t+2W3=0+6√5， 85+0=s-4, 解得1=43， s=6, t .N(0,6). 当BN,D'M为平行四边形的对角线时，则BN,D'M的中 点重合， 2W3+0=1+63, s+0=8y5-4, 解得=一4v3, 8=一6， t ∴.N(0,-6). 综上所述，点N的坐标为(0，一5)或(0,6)或(0，一6). 期中学业质量自我评价 1.B2.A3.B4.C5.C 6.C【解析】如图，延长PA,PB分别交xyt 轴、y轴于点C,D,连接OA,OB.设点A 的横坐标为x,则点A的纵坐标为二，点 P的纵坐标为，PA=PC-AC=工 生 4 一上=3.：点B在反比例函数y=的 xx 图象上，点B的纵坐标为子∴点B的横坐标为子，即BD 1 13 4x心PB=PD-BD=x-x= ×2×= 六SAPAR=ZPA·PB=ZX 7.1058y=-29.号 3 10.4V5【解析】如图，过点C作CE⊥BA 交BA的延长线于点E. ,CD平分∠ACB, ÷∠BCD=∠ACB.∠EDC=∠B +∠DCB=2(2∠B+∠ACB)=2X90=45, :CE=CDsin∠EDC=4W2x9=4.:anB=CE=号 2 BE=2 ∴.BE=8,∴.BC=√CE2+BE=√4+8=45. 11.12【解析】设OC=a,OE=b,OB=c.:△BEC的面积是 2Bc0E=626(a+e)=6,即6a+c)=12.D是 AB的中点，△ABC是直角三角形，.CD=AD=BD, .∠ECO=∠ABC.又，∠ACB=∠EOC=90°，∴.△ACB n△mc器-0即cAc-ae b 吕点A的坐标为(，号)：点A(,吕)在反比例函 a 数y=兰（>0)的图象上k=y=a·品-12 12.32或40或48【解析】①当OA=PA时，如图①，过点P 作PD⊥OA于点D. A(10,0),C(0,8),四边形ABCO为矩形， ∴.PA=10,AB=8,.PB=6, 点P的坐标为(4,8)， ∴.k=4×8=32. ②当OP=PA时，如图②，过点P作PE⊥OA于点E.