第二章 反比例函数 单元检测 2026-2027学年北师大版数学九年级下册

北师大版（2024）九年级下册 第二章 反比例函数 单元检测 一、选择题 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 2．已知点A(－1,5)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则该函数的解析式为(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝－x D．y＝ 3．用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y=（k不为零）交点个数为（　　） A．一定是1个 B．一定有2个 C．1个或者2个 D．0个 4．如图，图象对应的函数表达式为(　　) A．y＝5x B．y＝2x C．y＝ D．y＝－ 5．点，，均在函数.的图象上，且，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．将点P(4,3)向下平移1个单位长度后，落在函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为(　　) A．k＝12 B．k＝10 C．k＝9 D．k＝8 7．当温度不变时，某气球内的气压p(kPa)与气体体积V(m3)成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p>120 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是 A．不大于 m3 B．大于 m3 C．不小于 m3 D．小于 m3 8．下列各函数中，反比例函数有(　　) ①y＝，②y＝，③y＝，④y＝2x－1，⑤y＝，⑥3xy＝1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C．或 D．或 10．函数≤x≤2时，≤y≤1，则这个函数可以是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 11．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象不可能是(　　) A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图象上的一个动点，以为顶点，原点对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是（ ） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．一直减小 二、填空题 13．李明同学的家与学校的距离为2000米，如果他上学步行的速度为y米/分，从家里到学校的时间为x分钟，则y与x之间的函数关系式为y＝__________． 14．已知点A(1，m)，B(2，n)在反比例函数y＝－的图象上，则m与n的大小关系为__________． 15．数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h=20 cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25 cm，则该液体的密度ρ=__________ g/cm3. 16．若点，，都在反比例函数的图象上，则，， 大小关系是__________． 17．如图，平行四边形的面积为4，顶点A与原点O重合，顶点B在x轴的负半轴上，顶点C，D分别落在反比例函数和的图象上，则k的值等于__________. 三、解答题 18．星期天，小明在眼镜店配了一副200度的近视眼镜，感觉不太放心，回到学校后，在老师的帮助下，用仪器验得此镜片的焦距为0.4米.资料显示，近视镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，你认为小明配的这幅眼镜合格吗？说出你的理由. 19．在同一直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝的图象，利用这两个图象回答： (1) x取什么值时，x比大？ (2) x取什么值时，x比小？ 20．一个水池内原有水升，现在以升分钟的速度向水池内注水，分钟可注满水池． (1) 水池的容积是多少？ (2) 若水池为空的，设注水的速度为升分钟，注满水池需要分钟，写出与之间的函数关系式； (3) 若水池为空的，分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？ 21．阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题． 公元前3世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为 阻力×阻力臂＝动力×动力臂 若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500 N和0.4 m. (1) 动力F(N)与动力臂l(m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头需要多大的力？ (2) 若想使动力F(N)不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ (3) 请用数学知识解释：我们使用棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力． 22．如图，点P是双曲线y＝第二象限上的点，且P(－2,3)，在这条双曲线第二象限上有点Q，且△PQO的面积为8，求点Q的坐标． 北师大版（2024）九年级下册 第二章 反比例函数 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)， 故设反比例函数解析式为I=， 将(8,6)代入函数解析式中，解得k=48，故I=， 故选C． 2．已知点A(－1,5)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则该函数的解析式为(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝－x D．y＝ 【答案】C 【解析】解：将P(－1,5)代入解析式y＝，得k＝(－1)×5＝－5，解析式为y＝－.故选C. 3．用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y=（k不为零）交点个数为（　　） A．一定是1个 B．一定有2个 C．1个或者2个 D．0个 【答案】A 【解析】解：如图，二次函数图象经过第一、二象限， 若k>0，则反比例函数图象位于第一、三象限，两个函数图象在第一象限有一个交点， 若k<0，则反比例函数图象位于第二、四象限，两个函数图象在第二象限有一个交点， 所以，交点个数一定是1个． 故选A. 4．如图，图象对应的函数表达式为(　　) A．y＝5x B．y＝2x C．y＝ D．y＝－ 【答案】D 5．点，，均在函数.的图象上，且，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴图象位于一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， 故选：D. 6．将点P(4,3)向下平移1个单位长度后，落在函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为(　　) A．k＝12 B．k＝10 C．k＝9 D．k＝8 【答案】D 7．当温度不变时，某气球内的气压p(kPa)与气体体积V(m3)成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p>120 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是 A．不大于 m3 B．大于 m3 C．不小于 m3 D．小于 m3 【答案】C 【解析】∵函数图象是双曲线的一条分支，且过点， ∴k=1.6×60=96，则p=， ∴≤120，∴V≥. 8．下列各函数中，反比例函数有(　　) ①y＝，②y＝，③y＝，④y＝2x－1，⑤y＝，⑥3xy＝1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：①y＝，不是函数关系，②y＝，是反比例函数，③y＝，是反比例函数，④y＝2x－1不是反比例函数，⑤y＝不是反比例函数关系，⑥3xy＝1，即y＝是反比例函数关系．∴反比例函数有3个．故选C. 9．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】将代入， 可得：， ∴， 将代入， 可得：， ∴， ∴点坐标为， 根据为轴上的一点，可设点的坐标为， 即， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或. 故选：C. 10．函数≤x≤2时，≤y≤1，则这个函数可以是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】A 11．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：若k＞0时，此时k－1＞－1，正比例函数图象必定过一、三象限，当－1＜k－1＜0时，∴反比例函数y＝必定经过二、四象限，故C的图象有可能，当k－1＞0时，∴反比例函数y＝必定经过一、三象限，故B的图象有可能，若k＜0时，此时k－1＜－1，正比例函数图象必定过二、四象限，∴反比例函数y＝必定经过二、四象限，故A的图象有可能，故选D. 12．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数在第三象限图象上的一个动点，以为顶点，原点对称中心作矩形，轴于点，过点的直线分别交、边于点、，以为一边作矩形，且直线恰好经过点，如果点在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形的面积的大小变化情况是（ ） A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．一直不变 D．一直减小 【答案】C 【解析】解：连接、 ∵四边形是以原点对称中心作矩形， ∴，，， ∵轴轴⟂轴， ∴ ∴ ∴轴，轴， ∴四边形是矩形， 同理可证：四边形，四边形，四边形都是矩形， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积的大小不变， 故选C． 二、填空题 13．李明同学的家与学校的距离为2000米，如果他上学步行的速度为y米/分，从家里到学校的时间为x分钟，则y与x之间的函数关系式为y＝__________． 【答案】 【解析】解：根据题意可知， 故答案为：． 14．已知点A(1，m)，B(2，n)在反比例函数y＝－的图象上，则m与n的大小关系为__________． 【答案】m＜n 【解析】解：∵反比例函数y＝－中，k＝－2＜0，∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴A、B两点均在第四象限，∴m＜n. 15．数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h=20 cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25 cm，则该液体的密度ρ=__________ g/cm3. 【答案】 【解析】设h关于ρ的函数表达式为h=(k≠0)， 把ρ=1，h=20代入表达式，得k=1×20=20， ∴h关于ρ的函数表达式为h=， 把h=25代入h=，得25=， 解得ρ=0.8， 故该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. 16．若点，，都在反比例函数的图象上，则，， 大小关系是__________． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴双曲线两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内随着的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点A在第三象限，在第一象限，∴， ∵，∴，∴； 故答案为： 17．如图，平行四边形的面积为4，顶点A与原点O重合，顶点B在x轴的负半轴上，顶点C，D分别落在反比例函数和的图象上，则k的值等于__________. 【答案】 【解析】延长交y轴于E，过点C，轴于点F，过点D作轴于点G，如图所示： 则， 根据反比例函数k的几何意义：矩形的面积为5，矩形的面积为， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积为4， ∴平行四边形的面积为4， ∴， ∵， ∴解得：， 故答案为：. 三、解答题 18．星期天，小明在眼镜店配了一副200度的近视眼镜，感觉不太放心，回到学校后，在老师的帮助下，用仪器验得此镜片的焦距为0.4米.资料显示，近视镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，你认为小明配的这幅眼镜合格吗？说出你的理由. 【答案】解　根据题意，设y＝， 把x＝0.25，y＝400代入y＝，得400＝， 解得k＝100， 所以y＝， 把y＝200代入y＝，解得x＝0.5≠0.4， 所以小明配的眼镜不合格. 19．在同一直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝的图象，利用这两个图象回答： (1) x取什么值时，x比大？ (2) x取什么值时，x比小？ 【答案】解：在y＝x经过点(0，0)和(1，1). (1) 当－1＜x＜0或x＞1时，x比大； (2) 当x＜－1或0＜x＜1时，x比小． 20．一个水池内原有水升，现在以升分钟的速度向水池内注水，分钟可注满水池． (1) 水池的容积是多少？ (2) 若水池为空的，设注水的速度为升分钟，注满水池需要分钟，写出与之间的函数关系式； (3) 若水池为空的，分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？ 【答案】解： (1) 依题意得：水池的容积（升）； (2) 依题意得，，∴； 则与之间的函数关系式为：； (3) 由（）得：与之间的函数关系式为， 当代入，，得， ∴注水的速度应达到升分钟． 21．阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题． 公元前3世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为 阻力×阻力臂＝动力×动力臂 若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500 N和0.4 m. (1) 动力F(N)与动力臂l(m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头需要多大的力？ (2) 若想使动力F(N)不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ (3) 请用数学知识解释：我们使用棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力． 【答案】解： (1) 根据“杠杆定律”有FL＝1 500×0.4， ∴函数的解析式为F＝，当L＝1.5时，F＝＝400, 因此，撬动石头需要400 N的力； (2) 由(1)知，FL＝600， ∴函数解析式可以表示为L＝， 当F＝400×＝200时，L＝3,3－1.5＝1.5(m)， 因此若用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5米； (3) 因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数， 设其为k，则动力F与动力臂L的函数关系式为F＝kL， 根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂L的增大而减小， 所以动力臂越长越省力． 22．如图，点P是双曲线y＝第二象限上的点，且P(－2,3)，在这条双曲线第二象限上有点Q，且△PQO的面积为8，求点Q的坐标． 【答案】解：作PN⊥x轴于N，QM⊥x轴于M， 如图，把P(－2,3)代入y＝，得k＝－2×3＝－6， 所以反比例函数解析式为y＝－， ∵S△PNO＝S△QOM＝×|－6|＝3，∴S梯形PQMN＝S△PQO＝8，设Q的坐标为（t,）， ∴当点Q在点P左边时，，解得t1＝(舍去)，t2＝－6， 当点Q在点P右边时，解得t1＝－(，t2＝6(舍去)， ∴Q点坐标为(－6,1)或（-,9）． 学科网（北京）股份有限公司 $