第二章 一元二次方程 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

九年级数学BS版上册 第二章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）】 1.(2025一2026河源检测)下列方程中，是一元二次方程的是 A.3(x+1)2=2(.x-1) -2=0 C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x-1) 2.将方程x2-2x-3=0化为(x-m)2=n的形式，m,n分别是 A.1和3 B.-1和3 C.1和4 D.一1和4 3.根据下列表格的对应值，判断方程x2十x一1=0一个解的取值范围是 ( 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 x2+x-1 -0.0619 -0.0400 0.0179 0.0044 0.0269 A.0.59<x<0.60 B.0.60<x<0.61 C.0.61<x<0.62 D.0.62<x<0.63 4.若|x2-4x十4|与√2x-y-3互为相反数，则x十y的值为 A.3 B.4 C.6 D.9 5.如图，某学校计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m的矩形小花园 (墙长为15m).设与墙垂直的边长为x,则x为 ( A.10m或5m B.10m C.5m或8m D.5 m -30m 第5题图 第6题图 第10题图 6.如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC,BD的长度分别是一元二 次方程x2十mx+24=0的两个实数根，DH是AB边上的高.DH的长为 ( A.1.2 B.2.4 C.3.6 D.4.8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若关于x的一元二次方程2x2十(k十9)x一(2k一3)=0的二次项系数、一次项 系数、常数项之和是0，则k= 8.（2025一2026茂名检测)已知关于x的方程(m-1)x1m1+1-3.x十1=0是一元二 次方程，则m的值为 9.若关于x的一元二次方程x2十2m.x十m=0有两个根x1,x2,且满足x1x2一x1 一x=一1，则m的值为 10.如图，某小区有一块长为30m、宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相 同的矩形绿地，它们的面积之和为480，两块绿地之间及周边有宽度相等的 人行通道.人行通道的宽度为 m. 151 11.若W=5.x2-4xy十y2-2y+8.x+3(x,y为实数)，则W的最小值为 12.已知整数k满足不等式2k-9<0,若△ABC的边长均满足关于x的方程x2一 3√kx十8=0，则△ABC的周长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)用适当的方法解方程：x(3.x十2)=6x+4. (2)已知x=3是关于x的一元二次方程x2一2x十a=0的一个根，求a的值和 方程的另一个根. 14.已知关于x的一元二次方程x2十(2m十1)x十m2一1=0有两个实数根. (1)求m的取值范围. (2)若方程的两个根x1,x2满足x1十x2十x1x2一6=0，求m的值. 15.用直接开平方法解一元二次方程4(2x-1)2-25(x+1)2=0. 解：移项，得4(2x-1)2=25(x+1)2.第一步 两边开平方，得2(2x-1)=5(x+1),第二步 解得x=一7.第三步 上述解答过程错在第 步，原因是 .请写出正确的解答过程. 16.已知关于x的一元二次方程x2-6x十m十4=0有两个实数根x1,x2· (1)求m的取值范围. (2)若x1,x2满足3.x1=x2十2，求m的值. 17.刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利6400元，4月份的盈利达到8100元， 且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同. (1)求每个月盈利的增长率. (2)按照这个增长率，这家商店5月份的盈利将达到多少元？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.定义新运算：对于任意实数a,b,c,d有[a,b][c,d]=ac一bd,其中等式右 边是常用的乘法和减法运算.如：[4,3]*[2,1]=4×2-3×1=5. (1)求[2,4]*[3，一1]的值. (2)已知关于x的方程[x,1一x]*[x+2,m]=0的一个根为2，求m的值. 1141414 152 19.(2025一2026兴宁检测)为解方程x一3.x2一4=0，我们可以令x2=y,于是原 方程可转化为y2-3y一4=0，解此方程得y1=4,y2=一1.当y=4时，x2=4, x=士2：当y=一1时，x2=一1（无实数解，舍去）. 故原方程的解为x1=2,x2=一2 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想. 用上述方法解决下列问题： (1)运用上述换元法解方程：(x2-2)2-13(x2一2)十42=0. (2)若实数x满足方程(x2一x)2一5(x2一x)=6,则2x2一2x+1的值是 20.已知方程x2+x一1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2倍 解：设所求方程的根为y,则y=2x,x=兰.把x=兰代人已知方程，得 ()°+-1=0 整理，得y2+2y一4=0. 故所求方程为y2+2y一4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用“换根法”求下列新方程（把新方程化成一般形式）： (1)已知方程x2十x一2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程 根的相反数 (2)已知关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个均不为零的实 数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 440444 153 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.某化工厂为了防止进厂人员携带易燃易爆危险品，准备在工厂外搭建一个检 测点.计划用33可移动的隔离带，搭建成如下图所示的临时检测点，这是一 个一面靠墙（墙足够长）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测 区，入口通道在BC边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽 均为1m. (1)若设AB=xm,则用含x的代数式表示BF的长为 m (2)所围成矩形ABFE的面积能否为96m？如果能，求出AB的长；如果不 能，请说明理由 (3)检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，现有的33m隔离带能否围 成120m的矩形ABFE?请说明理由. 登记区检测区 M通道N出口 入 22.【新知探究】 (1)关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)，若a十b十c=0,则必有一 个固定不变的常数根为x,= ,再由根与系数的关系可知，它的另一 个根为x2= (用含a,c的代数式表示). 【轻松尝试】 (2)方程2024x2-4049x十2025=0的两个根为 【拓展应用】 (3)若关于x的一元二次方程(m十1)x2-(4m-5)x+3m-6=0,其中一个根 是另一个根的2倍，求m的值. 六、解答题（本大题共12分） 23.阅读下列范例，按要求解答问题 3 已知实数a,b,c满足a十b+2c=1,a2+b+6c+2=0,求a,b,c的值. 解法1：由已知，得a十b=1-2c,① (a+6r-2ab+6c+8=0.@ 将①代入@，整理，得4c+2c-2ab+号=0，h=2r+e+号② 由①③可知，a,b是关于1的方程2-(1-2c)1+2c2+c+4 =0④的两个实 数根， 4=1-20)-4(2c+c+)≥0，即c+1)≤0. 又(c十1)2>0，∴.c十1=0，即c=-1. 将6=-1代入0，得-3+号=0，解得，=1： 2,即a=b=3 故a=6= 2c=-1. 解法2：a十6十2c=1,a十6=1-26.设a=1,20+1,6=1,2(-1.① 2 2 3 :a+b+6c±)=0(a+b)2=2ab+6c+号=0.② 将@代入@，得1-2-22+）(12-)+6c+-0 整理，得t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0,∴.t=0,c=-1. 将1c的值同时代人①，得a=号6=是放a=6=受0 2c=-1. (1)请你用第三种方法解答范例中的问题， (2)选用范例中的一种方法解答下列问题： 已知实数a,b,c满足a十b+c=6,a2+b2+c2=12,求证：a=b=c. 314111 154xcm,则PM=xcm,PD=(8一x)cm.分以下两种情 况讨论： ①当点Q在CF上时..FQ=1cm,.DQ=DF十 FQ=5 cm,QC=QM=CF-QF=3 cm,.'.PQ=PM 十QM=(x十3)cm.根据勾股定理，得(8-x)2+52= （十3)，解得z=铝AP的长为9cm ②当点Q在DF上时.，FQ=1cm,.DQ=DF FQ=3 cm,QC=QM=CF+QF=5 cm,.PQ=PM 十QM=(x十5)cm.根据勾股定理，得(8-x)2十32= 十5)，解得器AP的长为酷cm 40 .24 综上所述，AP的长为cm或3cm. 第二章学业质量自我评价 1.A2.C3.C4.A 5.B【解析】由题意可知，与墙平行的边长为(30一2x)m 根据题意，得(30一2.x)x=100.整理，得x2-15.x十50 =0,解得x1=5,x2=10.当x=5时，30一2x=20> 15,∴.x=5不合题意，舍去；当x=10时，30一2x=10 <15.故x为10m. 6.B【解析】：四边形ABCD是边长为5的菱形，DH 1 是AB边上的高，SAD=2AC·BD=AB· 1 DH,AB=5,2AC·BD=5DH. ,对角线AC,BD的长度分别是一元二次方程x2十 mx十24=0的两个实数根，.AC·BD=x1x2=24, 1 2X24=5DH,DH=2.4. 7.148.-1 9.-专【解折】：一元二次方程2+2mr十m=0有两 个根x1,x2∴.x1十x2=一2m,x1x2=m,△=(2m)2 4m≥0，.m≤0或m≥1.x1x2-x1一x2=x1x? 1 (x,十x2)=-1,∴.m-(-2m)=-1,m=-3: 10.2【解析】设人行通道的宽度为xm. 由题意，得(30-3x)(24-2x)=480, 解得x1=20(不合题意，舍去)，x2=2. 故人行通道的宽度为2m. 11.一2【解析】由题意，得5x2+(8一4y)x+(y2一2y +3-W)=0. x为实数，.(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)≥0， 即5W≥(y+3)2-10≥-10，.W≥-2，∴.W的最 小值为一2. 、12.10或6或12【解析：2k-9<0,k<?, 根据题意，得6-4ac=9k-32>≥0，解得k≥ 9 又：k为整数，k=4,.原方程为x2一6x十8=0， 解得x1=2,x2=4. 若△ABC为等腰三角形， 则三边的长分别为4,4,2，此时周长为10： 若△ABC为等边三角形，则三边的长分别为2,2,2 或4,4,4，此时周长为6或12. 综上所述，△ABC的周长为10或6或12. 13.解：(1)整理，得x(3x十2)=2(3x+2).移项，得x(3x +2)-2(3x+2)=0. 因式分解，得(3x+2)(x一2)=0，.3.x十2=0或x 2=0, 2 解得x1=一3x,=2. (2)将x=3代入x2-2x+a=0,得32-6+a=0, 解得a=一3. 将a=-3代入x2-2x十a=0,得x2-2x-3=0, 解得x1=3,x2=-1. 故a的值为一3，方程的另一个根为一1. 14.解：(1)：方程x2十(2m十1)x+m2-1=0有两个实 数根， .△=(2m+1)2-4(m2-1)≥0， 5 解得m≥一4 (2),x1和x2是一元二次方程x2+(2m十1)x+m 一1=0的两个根， .x1十x2=-(2m+1),x1x2=m2-1, ∴.x1十x2+x1x2一6=0， ∴.-(2m+1)+m2-1-6=0, .m2-2m-8=0, 解得m1=4,m2=-2. 5 由(1)知m≥-4： ∴.m=4. 15.解：二两边开平方求的是平方根，而不是算术平 方根 正确的解答过程如下： 移项，得4(2x-1)2=25(x十1)2. 两边开平方，得2(2x-1)=士5(x+1), 即2(2x-1)=5(x+1)或2(2x-1)=-5(x+1), 1 解得x1=-7,x2=一3 16.解：(1)，关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0 有两个实数根x1,x2, ,∴.△=（一6）2一4(m十4)=20一4m≥0，解得m≤5. 故m的取值范围是m≤5. (2),关于x的一元二次方程x2一6.x十m十4=0有 两个实数根x1,x2, ∴.x1十x2=6,x1x2=m十4. 又：3.x1=x2十2，∴.3(6-x2)=x2十2， ∴.x2=4,则x1=2, ∴.8=m十4，解得m=4. 17.解：(1)设每个月盈利的增长率为x. 上册详解详析 69△ 依题意，得6400(1十x)2=8100, 解得x1=0.125=12.5%,x2=-2.125(不合题意， 舍去). 故每个月盈利的增长率为12.5%. (2)8100×(1+12.5%)=8100×1.125 =9112.5(元). 故按照这个增长率，这家商店5月份的盈利将达到 9112.5元. 18.解：(1).[a,b]*[c,d]=ac一bd, .[2,4]￥[3，-1]=2×3-4×(-1)=10. (2)[x,1-x]￥[x+2,m]=0, .x(x+2)-m(1-x)=0. 把x=2代入方程， 得2×(2+2)-m(1-2)=0, 解得m=一8. 19.解：(1)令x2-2=y,原方程可转化为y2-13y+42 =0. 因式分解，得(y一6)(y-7)=0, 解得y1=6,y2=7. 当y=6时，x2-2=6,解得x1=-22,x2=2√2， 当y=7时，x2-2=7,解得x3=一3，x4=3. 故原方程的解为x1=一2√2，x2=2√2，x3=一3，x =3. (2)13 【解析】(2)令x2一x=y,原方程可转化为y2一5y =6. 因式分解，得(y-6)(y+1)=0, 解得y1=6,y2=-1. 当y=6时，x2-x=6,即x2-x-6=0, △=（一1）2一4×1×（一6）=25>0，该方程有实数解， 符合题意， 此时2x2-2x+1=2(x2-x)+1=2×6+1=13: 当y=-1时，x2-x=-1,即x2-x+1=0, △=（一1）2一4×1×1=一3<0，该方程无实数解，不 符合题意 综上可知，2.x2一2x十1的值是13. 20.解：(1)设所求方程的根为y,则x=一y. 把x=-y代人已知方程x2十x-2=0, 得(-y)+(-y)-2=0. 整理，得y2-y-2=0. 故所求方程为y2-y一2=0. (2)设所求方程的根为之，则x=之 1 把x=代入方程ar+bc十c=0,得a() +6 }+-0 整理，得a十bx十cz2=0. 若c=0,则a.x2十bx=0,于是方程ax2+bx十c=0有 一个根为0，不符合题意， c≠0.故所求方程为c22十bx十a=0(c≠0). 70 九年级数学BS版 21.解：(1)(36-3x) (2)能 根据题意，得x(36一3x)=96. 整理，得x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8. 故AB的长为4m或8m (3)不能围成面积为120m的矩形ABFE.理由 如下： 根据题意，得x(36一3.x)=120. 整理，得x2一12x十40=0， .△=b2-4ac=144-160=-16<0, .方程x2一12x+40=0没有实数根， .不能围成面积为120m的矩形ABFE. 2.解：11日 (2)x1=1,x:=2024 2025 (3),m+1-(4m-5)+3m-6=0, 方程的两个根为x=1x=m十1 3m-6 其中一个根是另一个根的2倍， 分以下两种情况讨论： 03m-6 m+1 =2,解得m=8.经检验，m=8是原分式方 程的解. ②3m-61 干专解得加是经检验m-是原分式 13 方程的解 .13 综上所述，m的值为8或， 23.解：(1)由已知，得c=1-a-6 2 3 :a2+b+6c+2=0, a2+b2+31-a-b)+2 3 =0, 即a2+b2-3a-3b+2 =0 配方得(a-》广+(-》广-0， 3 3 a=2b=2 .c=-1. 3 故a=b=2c=-1. (2)示例：证明：由已知，得a+b=6一c,① (a+b)2+c2-2ab=12.② 将①代人②，得(6-c)2+c2-2ab=12, ∴.ab=c2-6c+12.③ 由①③可知，a,b是关于t的方程2-(6-c)t+c2一 6c+12=0④的两个实数根， ∴.△=(6-c)2-4(c2-6c+12)≥0. 化简，得(c-2)2≤0. 又(c-2)2≥0， ∴.c-2=0,即c=2. 将c=2代入④，得t-4t十4=0， 解得t1=t2=2, .a=b=2, .a=b=c. 第三章学业质量自我评价 1.D2.B3.B 4.C【解析】，'△ABC∽△ODC,且AB=3OD,∴.AC= 3OC.:点A的坐标为(-2,0)，∴.OA=2,∴.AC=OA +OC=2+OC,.2+OC=3OC,∴OC=1,∴.点C的 坐标为(1,0). 5.C【解析】由题意可知，AB∥EF∥CD,∴∠A=∠D, ∠ABO=∠DCO,.△OABn△ODC, ..AB:DC=BF:CE. .'CD=0.9 m,BF=2 m,CE=1 m, .AB:0.9=2:1, ∴.AB=1.8m. 6.A【解析】：△DAB∽△DCA, 部0即与D四. 6 BD 解得BD=4, a-8-告-号AC-8AB .AC2=AB(AB+BC), :(受AB)=AB(AB+5 70 解得AB=4,∴AB=BD. 如图，过点B作BH⊥AD于点H, 5AH=2AD=3. ∴BH=√AB-AH=√4-3=√7 AD=3AP,AD=6,∴.AP=2. 当PQ⊥AB时，PQ的值最小， ∴.∠AQP=∠AHB=90°. 又∠PAQ=∠BAH,.△APQ∽△ABH, 品号-90-g ”47 效0的提小值是竖 8.(6-25)9.四10.5-1 2 1.专 【解析】如图所示， 延长BE交AC于点F,过 点D作DG⊥BE于点G. D :∠BED=60°，∴.∠FEC=∠DEB=60. ,∠ACD=30°，∴.∠CFE=180°-∠ACD-∠FEC =90°， ∴.BF⊥AC 又DG⊥BE,.DG∥AF, BG BD :△BDGD△BAF,BF-BA, BD 1.BG BD 1 AD=3BD.ABBF-AB4 :CD=4,点E是CD的中点， CE=7CD=2. 在R△CEF中，∠FCE=30,EF=号EC=1. 在Rt△DEG中，∠EDG=∠FCE=30°，∴.GE= DE-1.IXG-/DE--B, ∴.FG=2EF=2. 、BF-2-1 ·==,解得BF3··BC了=B分 2 G3二2=3 在R△DBG中，DB=VG+BC=√B)+() =3缸 3 AB-4DB-3T. 4 12.12或16或21【解析】，等边三角形ABC的边长为 7 cm, ∴∠B=∠C=60°，BC=7cm. BD BP 若△BDP∽△CPE,则CP=CE, 2BP=3cm或BP=4cm, 6 BP ·7-BP 3 4 1=0.2512或1=0.25=16. 若△BDP∽△CEP, 0即…g-7p BP 21 ·BP=21 4 -4cm1=0.25=21. 综上所述，t的值为12或16或21. 13解：0号-音- 2 4 x=3y=3y, :2-2y+-3x号-2+音-青 44 y (2)证明：由折叠的性质，得MN垂直平分AC, .∠COM=90°. 在矩形ABCD中，∠B=90°， .∠COM=∠B. 又，∠MCO=∠ACB, ∴.△COMp△CBA. 14.证明：AD·AB=AE·AC, 裙福 上册详解详析 71△