第一章 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

九年级数学BS版下册 学业质量自我评价 第一章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.在R△ABC中，∠C=90,AB=9,c0sB=3,则AC的长为 A.6 B.2√5 C.3√5 D.95 2.如图，某水库堤坝的横断面为梯形，背水坡AD的坡度为。，坝高DE为10m 则背水坡AD长为 () A.5/13m B.15m C.613m D.无法确定 B B B >0 第2题图 第3题图 第4题图 3.在正方形网格中，∠AOB按图中所示的方式放置，则cos∠AOB的值为( A5-1 B5-2 2 c n号 4.如图，两个有一条公共边的直角三角形恰好能组成四边形OABC,∠A= ∠OBC=90°.若AB=BC=1,∠AOB=a,则tan∠BOC的值为 () A.sin a B.cos a C.tan a D.sin a 5.“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC, AC=3m,测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1m,冬至时的正午太阳高度 角∠ABC=a,则夏至到冬至的影长差BD为 () A.(3sin a-1)m a(a。-)m C.(3tang-1)m D.(ian1)m A汝 ☑南（午） 桃子子二 冬立春春分立夏夏 至立冬秋分立秋至 线 线 图① 图② 第5題图 第6题图 6.小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图①、图②所示，花洒安装在离 地面高度为160cm的点A处，花洒AD的长度为20cm.已知花洒与墙面所成 的角∠BAD=120°，当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成90°的角时，水流喷 射到地面的位置点C与墙面AB的距离为 ( A.2003 170√3 B.200 cm C. 3 cm D.170 cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若0为三角形的一个锐角，且2sin0-√3=0，则0= 8.如图所示，P是∠a的边OA上的一点，且点P的坐标为(6,8)，则tana等于 44444 107 y P(6,8) a 0 MD H 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形.若AB=AC=18cm,∠ABC= 27°，则BC约为 cm(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， tan27°≈0.51). 10.如图，在△ABC中，MN是△ABC的中位线，NH⊥BC于点H.已知AB= 6cm,BC边上的高线AD=4cm,则cos∠NMH的值为 11.如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向 航行12 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向 正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 n mile. C 北 60° A B B4 第11题图 第12题图 12.(2026九江一模)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD∥BC,AB= AD=2,在四边形ABCD的内部有一点P,使得△PAB与△PAD均为直角三 角形，则AP的长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)(2026萍乡模拟)2--sin30°+（π-3.14）°. (2)如下图，在R△BAD中，延长斜边BD到点C,使DC=2BD,连接AC.若 5 tanB=3,求tan∠CAD的值. D 14.随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活.小琪利用无人机从点O竖直上 升到点A,测得点A到点C的距离为800m,此时点C的俯角为30°（如下图）. 64s后无人机到达点B,此时测得点C的俯角为45°.求无人机从点A到点B 的平均速度（结果精确到0.1m/s,参考数据：√3≈1.73）. 30 0 15.如图，射线OA放置在由小正方形组成的网格中，请分别在图①、图②的网格 中添加射线OB,使1am∠AOB的值分别为1，号（仅用无刻度直尺作图，保留 作图痕迹，不写作法). 0 图① 图② 16.如下图，已知两点A(2,0),B(0,4),且∠1=∠2，求tan∠OCA的值. y↑ B A 17.某学校的数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动.如下图，桥墩AB刚好 在坡角为30°的河床斜坡边BC上，斜坡BC的长为42m,CD平行于水平线 BM,CD的长为9√3m,在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°.求桥墩AB 的高（结果保留小数点后一位，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35 ≈0.70√3≈1.73). 35ò 30CD B M 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.图①所示的是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图②.已知AD⊥ CD,∠A=60°，∠C=110°，AB=2m,AD=4m. (1)求∠B的度数. (2)求BC的长（结果精确到0.1m,参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75). 图① 图② 4444114 108 19.如右图，某校教学楼AB后面有一山包，其坡度i 4a5 、3 ,山包坡面上点E处有一休息亭，测得山包 坡脚C与教学楼AB的水平距离BC=20m,与 口 亭子的距离CE=16m,周老师从教学楼楼顶A 处测得点E的俯角为45°.求： (1)山包坡角的度数. 水平地面 (2)教学楼AB的高度（结果保留根号）. 20.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,sin∠ABC= 3,D是边AB上 一点，且CD=AC,BE⊥CD的延长线于点E.求： (1)AD的长. E (2)∠EBC的正切值. D B 444444 109 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.关于三角函数有如下公式： sin(a+B)=sin acos B+cos asin B,sin(a-B)=sin acos B-cos asin B,cos(a+ B)=cos acos B-sin asin B,cos(a-B)=cos acos B+sin asin B,tan(a+B)= 2中2m2n9≠0.ma一g=ane2+≠0， 1-tan atan B 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来 求值. tan45°+tan60°1+√3 如：tan105°=tan(45°+60)= =-2 1-tan45°tan60° 1-√3 -3」 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题： 如右图所示，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24m,从 点A测得点D的俯角a=15°，测得点C的俯角3=75°.求建筑 物CD的高度. B 22.（2026赣州南康区模拟)小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大 厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如下图，人行桥AB长120m, 乡村振兴大厦点C在点A的正西方，点B在点A南偏西57.7°方向，点C在点 B北偏西70.2°方向（结果精确到整数，参考数据：sin57.7°≈0.85，cos57.7°≈ 0.53,sin70.2°≈0.94，tan70.2°≈2.78，tan9.3°≈0.16，tan13.6°≈0.24). (1)求人行桥东侧与乡村振兴大厦的水平距离AC的长， (2)已知测量点A,B,C在同一水平面上，且点C距离地面2m,在点A处测得 乡村振兴大厦顶端的仰角为9.3°：在点B处测得乡村振兴大厦顶端的仰角为 13.6°.求乡村振兴大厦的高度. 乡村振 兴大厦 人行桥 安居工B 程小区 六、解答题（本大题共12分） 23.在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，点D在斜边BC上，且满足BD= 3BC,将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,记旋转角为a,连接CE,BE,以CE 为斜边在其右侧作Rt△CEF,且∠CFE=90°，∠ECF=60°，连接AF. B✉ D D 图① 图② 图③ (1)如图①，当a=180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系 (2)当0°<a<180时， ①如图②，(1)中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由： ②当B,E,F三点共线时，如图③，连接AE.若AE=3,请直接写出cos∠EFA 的值及线段BC的长. 44414 110学业质量自我评价 第一章学业质量自我评价 1.C2.A3.D4.A 5.D【解析】在Rt△ABC中，AC=3m,∠ABC=a. ana=Bc·BCAC=3 tan a tana m, :.BD-BC-CD-(:3.-1)m. tan a 6.A【解析】如图，过点A作AE⊥AB交CDD 于点E,过点E作EF⊥BC于点F. 依题意，得∠BAD=120°，∠D=90°，ABI BC.AB=160 cm.AD=20 cm..AE LAB, EF⊥BC,AB⊥BC,∴.四边形ABFE为矩 形，∴AE=BF,AB=EF=160cm,∠BAE ∠AEF=9O°，·∠DAE=∠BAD-∠BAE B F =30°，∴∠AED=180°-∠DAE-∠D=60°，∴.∠CEF= 180°-∠AED-∠AEF=30°.在Rt△ADE中，AD=20cm, DAE=30.COs /DAE =AF AEAD coS∠DAE 2040√3 c0s30° cm.在Rt△EFC 3 (cm),.BF=AE=405 3 CF 中，∠CEF=30,EF=160cm,tan∠CEF=EF.CF=EF an∠CEF=160Xtan30°=160 (cm),∴.BC=BF十CF= 3 3©m,一水流喷射到地面的位置点C与墙面AB的距 200√3 离为0。m 7608专9.2.0410号 11.(6√5+6)【解析】如图，过点 C作CD⊥AB,交AB的延长 北 线于点D.由题意可知，∠CAD =30°，∠CBD=45°，AB= 1609 45 l2 n mile,∴.CD=BD.设CD= A BD=x n mile. CD CD 在Rt△ACD中，AD tan CAD tan 30=V3.x n mile. .AB=12 n mile, ∴.√3x一x=12,解得x=6√3+6. 故渔船与灯塔C的最短距离是(6√3+6)n mile,. 121或后或 【解析】如图①所示， 过点A和点D分别作BC的垂线，垂 足分别为E,F,连接AC, 图① ∴.∠AEB=∠AEF=∠DFE= ∠DFC=90 .AD∥BC, ∴.∠ADF=∠DFC=90°，∠ADC=180°-∠BCD=120°， ∴.四边形AEFD是矩形， ..EF=AD=2.DF=AE 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=60°，AB=2, ∴.AE=ABsin B=√3，BE=ABcos B=1, .DF=AE=√3. 在Rt△CDF中，∠DFC=90°，∠DCF=60°， ..CF DF tan∠DCF=1,CD sin∠DCF=2, ..AD=CD. ÷∠DAC=∠DCA=180°-∠ADC=30. ∴.∠ACB=∠BCD-∠DCA=30°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°， AB AC=an∠AcB-2WB. ①如图②所示，当点P在AC上，且 AP⊥DP时，△PAB与△PAD均为 直角三角形. 'AD=CD,DP⊥AC, 图② AP-AC-5. ②如图③所示，当点P在AC上，且AD⊥DP时，△PAB 与△PAD均为直角三角形. 在Rt△ADP中，∠ADP=90°， ∠DAP=30°，AD=2, AD 43 ..AP= coS∠DAP=3 6 图3 ③如图④所示，当AP⊥BD时，△PAB与△PAD均为直 角三角形. 同理可得∠BAD=120° ,AB=AD,AP⊥BD, ∴∠BAP=∠BAD=60, 图④ ∴.AP=ABcos∠BAP=1. 综上所述，AP的长为1或厅支 11 13.解：1)原式=2-2+1 =1. (2)如图，过点C作CE⊥AD,交AD 的延长线于点E 5mB=号脚8-子 5 .设AD=5.x,则AB=3x. :∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD, ∴.△CDEo△BDA, .CE_DE_CD ·BA DA BD2· CE-3.DE- 5 3 .AE= 2tan∠CAD=CE271 15 AE15- 5 2 14.解：由题意，得∠ACO=30°，∠BCO=∠CBO=45°，∠BOC =90°，∴.OB=OC. :AC=800m0A=号AC=号×800=40(m.0C= ACcos∠ACO=400V5(m), .OB=400√3m, ∴.AB=OB-OA=(400√5-400)m, ÷无人机从点A到点B的平均速度为005-0≈4.6(m/. 64 15.解：如图①，射线OB即为所求； 如图②，射线OB即为所求 下册详解详析 47Λ 图①D 图② 16.解：，OA⊥OB ∴.∠1+∠OAB=∠2+∠OCA=90° .∠1=∠2， ∴∠OAB=∠OCA. A(2.0),B(0.4). .OA=2,OB=4, im∠0AB-8-2, .tan∠OCA=2. 17.解：如图，延长DC交AB于点E,则 ∠BCE=∠CBM=30°，∠BEC=∠AED =90. 在Rt△BCE中，∠BCE=30°，BC=42, 358 C D 30 cam∠CE-S5BR-C-21.cE =BCcos∠BCE=42Xcos30°=21√3，∴.DE=CD+CE= 9√3+21V3=30√3. 在R△ADE中，∠ADE=35,an∠ADE=DE AE .AE=DEtan∠ADE=30√5×tan35°≈30×1.73×0.70 =36.33,.AB=AE+BE≈36.33+21≈57.3. 故桥墩AB的高约为57.3m. 18.解：(1)在四边形ABCD中，∠A=60°，∠C=110°，AD⊥ CD, ∴∠B=360°-∠A-∠C-∠D=360°-60°-110°-90°= 100°. (2)如图，过点B分别作BF⊥DC,BE⊥AD, 垂足分别为F,E AD⊥CD, ∴四边形BFDE为矩形， ∴.BE=DF,BF=ED .∠BCD=110°， ∴.∠BCF=70°. .AB=2m,∠A=60°， 六AE=2AB=1m, .ED=BF=AD-AE=3 m, BF 3 ∴.BC sin70≈0.94≈3.2(m). 故BC的长约为3.2m. 19.解：(1)如图，过点E作EF⊥BF于点F. 由坡度= 3,得an∠ECF= 3 ∴.∠ECF=30° 故山包坡角的度数为30° 458 i=V3 B F水平地面 (2)如图，过点E作EG⊥AB于点G. 48 九年级数学BS版 .∠HAE=45°，EG⊥AB, .AH∥GE,∴.∠AEG=45°，.AG=GE :∠EGB=∠GBF=∠EFC=90°， .四边形BFEG为矩形，∴.BG=EF,GE=BF ,∠ECF=30°，CE=16m,BC=20m. ∴.CF=CEcos∠ECF=83m,EF=CEsin∠ECF=8m, .GE=BC+CF=(20+83)m,BG=8m, .AB=AG+BG=(28+8W3)m. 故教学楼AB的高度为(28十8√3)m. 20.解：(1)如图，过点C作CH⊥ AD于点H. .CD=AC...AH=DH. .·∠ABC+∠BCH=90°， ∠ACH+∠BCH=90°， ∠ACH=∠ABC,.sin∠ACH=sin∠ABC=3 在Rt△ACH中，AH=ACsin∠ACH=1, .AD=2AH=2. (2)由(1)可知，∠ACH=∠HCD=∠ABC AC 在R△ABC中，AB=sn∠ABC=9. ..BD=AB-AD=7. ,'BE⊥CD,∠EDB=∠HDC,∴.∠HCD=∠EBD, ∴sm∠EBD=sn∠ABC-3∴DE=号BD-子， E=VD-驱-√-()-142 3 CE3+34W2 在Rt△EBC中，tan∠EBC BE142 7 3 21.解：由题意，得tan75°=tan(30°+45) tan30°+tan45 1-tan30°tan45 =2十√3. tan45°-tan30° an15=tan(45'-30)=1十an451an30=2-5. 如图所示，延长CD交AE于点E,易知CE⊥AE 在Rt△AEC中，AE=BC=24m,∠CAE= 75°，CE=AEtan∠CAE=24X(2+V3)=(48 +24√5)m. 在Rt△AED中，DE=AEtan∠DAE=24X (2-√3)=(48-243)m, ∴.CD=CE-DE=485m. 故建筑物CD的高度为48√3m. 22.解：(1)如图①，过点B作BE⊥AC于点E 由题意，得∠ABE=57.7°，AB=C 120m, ∴.在Rt△ABE中，sin∠ABE= 瓷0.5，as∠ABE-E AE AE 图① =BE 20≈0.53， .AE≈102m,BE≈63.6m. ∠CBE=70.2°， 在R△CBE中，m∠CBE-8是*2,78. ∴.CE≈176.8m, ∴.AC=AE+CE≈279m, ∴.人行桥东侧与乡村振兴大厦的水平距离AC的长约是 279m. (2)如图②，设乡村振兴大厦顶端D 为点D 由(1)得AC≈279m. 且∠CAD=9.3°. 在Rt△ACD中，tan∠CAD= 图② AC≈279≈0.16， CDCD ∴.CD≈44.6m. 点C距离地面2m,44.6+2≈47(m), ∴.乡村振兴大厦的高度约是47m. 23.解：(1)BE=2AF (2)①仍然成立.理由：在Rt△ABC中，sin∠ABC=sin30 在Rt△CEF中，sin∠FEC=sin(90°-∠ECF)=sin30°= CF 1 能器瓷器 ,∠ACB=∠ECF=60°，.∠BCE+∠ACE=∠ACF+ ∠ACE,∴.∠BCE=∠ACF, .BE BC △BCE∽△ACF心A-AC=2.BE=2AF ②cos∠EFA=2BC=2V2I. 【解析】(2)②易证△BCE∽△ACF,∴.∠BEC=∠AFC ,B,E,F三点共线，∴.∠BEC=150°，∴.∠AFC=150° ∴.∠AFE=∠AFC-∠EFC=60°， cos∠EFA=eos60= 如图，过点D作DH⊥BE,垂足 为H. .BD=DE, .BH=HE DH⊥BE,CF⊥EF, .DH//CF. 肥宁BH=E=E BE BC :△BCEn△ACF·AF-AC=2, ∴.BH=HE=EF=AF,∴.△EFA是等边三角形， ∴.BH=HE=EF=AF=AE=3, ∴.BF=9,CF=EFtan30°=√3， ∴.BC=√BF2+CF=2V√2I. 第二章学业质量自我评价 1.C2.D3.A4.A 5.D【解析】：四边形AOEB是矩形，∴.BE=OA=5m,AB =OE=2m,.B(2,5). 设双曲线BC的表达式为y-冬，由题意，得长=2X5=10, y=10 x ,当y=1时，x=10,.DE的长度为10一2=8(m). 6.A【解析】如图，过点C,,C2,C3,…分别作x轴的垂线，垂 足分别为D1,D2,D3,…,由题意可知，△COD1是等腰直 角三角形，且OD1=C,D.又，点C,在反比例函数y= 兰>0)的图象上点C 的坐标为(2,2)，即y1=2 C,为OB,的中点，CD1⊥ C2/ OA1,.C1D1∥B1A1· ,OD1_0C=1 D A D2A2 D:A3 A:D:BC .OD1=A1D1=2 设A,D2=a,则CzD2=a,此时点C2的坐标为(4十a,a), 代人y=兰得a4+o)=4 解得a=2√2-2（负值已舍去），即y2=2√2-2. 同理可得y=23-22,y4=24-2W5,…, y+y:+ya+…+yo=2+2V2-2+25-2√2+…+ 2/10-2√=2/10. 7.18.F=600 9.> 3 10.y=亏x【解析】：点D的坐标为(5,3)， ∴点A的坐标为（夸3）点C的坐标为(5，号) 点B的坐标为（停号） 设直线BD的函数表达式为y=m.x十n(m≠0). 把D(53.B(夸号)代入，得 5m十n=3, 3 k k解得 3m+n=5, n=0, 直线BD的函数表达式为y=号 11.一6【解析】连接OA,如图. Y↑ .△ABC与△DOC的位似比为1：3， 2.BC 1 "OC3· 3 SAAIC=4' .S△AB0=3, 0 D x .k=-6. 12(2,2)或(2，)或(6，-）【解析】把A2,3)代入y =冬(x>0),得k=xy=6,∴该反比例函数的表达式为y x 6 x 点B的坐标为(4,0)，BC⊥x轴， 六把=4代人反比例函数y=三得y=号-号， 63 “点C的坐标为(4，受） :A(2,3),B(4,0.C(4,）,BC⊥x轴。 若BC为边，则BC/AD,且BC=AD=是. 点A的坐标为(2,3)， ∴点D的坐标为(2，)或(2,2) 若BC为对角线，设点D的坐标为(x,y). 下册详解详析 49△