第一章 直角三角形的边角关系 单元检测 2026-2027学年北师大版数学九年级下册

北师大版（2024）九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元检测 一、选择题 1．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　） A． B． C．5•cos52° D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为(　　) A．2 B．8 C． D． 3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 （      ）  A．60 海里 B．60 海里 C．30 海里 D．30 海里 4．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米.用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是 （      ）  A． B． C． D． 5．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为 （      ）  A．30 海里 B．20 海里 C．10 海里 D．20 海里 6．计算6tan 45°－2cos 60°的结果是 （      ） A．4 B．4 C．5 D．5 7．如图，的顶点都在的正方形网格格点上，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（ ） A． B． C． D． 9．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是(　　) A．斜坡的坡角是10° B．斜坡的坡度是tan10° C．AC＝1.2tan 10°米 D．AB＝米 10．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45 m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（　　） A．30 m B．25 m C．20 m D．15 m 11．一等腰三角形的两边长为5 cm和8 cm，则它的底角的余弦值是(　　) A． B．或 C．或 D．或 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若△ABC的面积为2，tan∠ABD＝，则BD的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC＝__________. 14．如图，图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 __________ 分米（结果用含根号的式子表示）. 15．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，那么AC的长为__________ . 16．如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边的中点，过D作DE⊥AB，垂足为点E，如果AD＝2，AB＝6，那么cos∠ADE＝__________． 17．如图，△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB，F为垂足，连接FC，则tan∠CFB的值等于__________． 三、解答题 18．如图，灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32 °≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6) 19．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sin B＝. (1)求tan C的值； (2)求线段BC的长. 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，解这个直角三角形. 21．如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200 m，山坡CD的长为2000 m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山． （1）求山顶点C到水平面AD的距离； （2）求山坡AB﹣BC的长． 22．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF． （1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1 m）； （2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1 m）． （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 北师大版（2024）九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　） A． B． C．5•cos52° D． 【答案】B 【解析】∵∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，BC＝5， ∴cos52°＝＝， ∴AC＝, 故选：B． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为(　　) A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tanA＝＝＝，∴BC＝2.故选A. 3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 （      ）  A．60 海里 B．60 海里 C．30 海里 D．30 海里 【答案】B 【解析】如图，作PE⊥AB于点E.由题意得∠A＝45°，∠B＝30°. 在Rt△PAE中， ∵∠A＝45°，PA＝60海里， ∴PE＝60×sin 45°＝30（海里）， 在Rt△PBE中， ∵∠B＝30°，∴PB＝2PE＝60（海里）. 4．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米.用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是 （      ）  A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝28°，BC＝7米， ∵sin 28°＝， ∴AB＝， ∴按键顺序为 . 5．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为 （      ）  A．30 海里 B．20 海里 C．10 海里 D．20 海里 【答案】B 【解析】如图，过点C向正南方向作线段CD， 则∠ACD＝75°，∠CAB＝15°＋75°＝90°， ∴∠BCA＝180°－75°－60°＝45°， ∴∠B＝∠BCA＝45°， 根据题意得 AC＝40×＝20（海里）， ∴BC＝＝20（海里）. 6．计算6tan 45°－2cos 60°的结果是 （      ） A．4 B．4 C．5 D．5 【答案】D 【解析】原式＝6×1－2×＝5. 7．如图，的顶点都在的正方形网格格点上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：的顶点都在的正方形网格格点上， ，，， ， ， ． 故选：A． 8．小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由量角器读数可知， ， 故选：． 9．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是(　　) A．斜坡的坡角是10° B．斜坡的坡度是tan10° C．AC＝1.2tan 10°米 D．AB＝米 【答案】C 【解析】根据坡角的定义，得斜坡AB的坡角是10°，此结论正确；即A正确，根据坡度的定义，得斜坡AB的坡度是tan10°，此结论正确；即B正确，在Rt△ABC中，∠BAC＝10°，BC＝1.2，∴tan∠BAC＝，∴AC＝米，此结论错误，即C错误；在Rt△ABC中，∠BAC＝10°，BC＝1.2，∴sin∠BAC＝，∴AB＝米，此结论正确，即D正确．故选C. 10．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45 m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（　　） A．30 m B．25 m C．20 m D．15 m 【答案】A 【解析】由题意得：PA⊥AC，PD∥AC， ∴∠DPC＝∠ACP＝45°，∠DPB＝∠ABP＝α， 在Rt△ACP中，AP＝45 m， ∴AC＝＝45（m）， 在Rt△ABP中，tanα＝3， ∴AB＝＝＝15（m）， ∴BC＝AC﹣AB＝45﹣15＝30（m）， ∴河流的宽度BC为30 m， 故选：A． 11．一等腰三角形的两边长为5 cm和8 cm，则它的底角的余弦值是(　　) A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】过顶点A作底边BC的垂线AD，如图，①当5 cm是底边时，BD＝BC＝×5＝，cosB＝＝÷8＝，②当8 cm是底边时，BD＝BC＝×8＝4，cosB＝＝，综上所述，底角的余弦值是或.故选D. 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若△ABC的面积为2，tan∠ABD＝，则BD的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】过点D作AB的垂线，垂足为M， 在Rt△BDM中， tan∠ABD＝， 设DM的长为x，则BM的长为3x， 因为BC＝，△ABC的面积为2， 所以， 则AC＝． 由勾股定理得， AB＝． 在Rt△ABC中， tanA＝， 在Rt△ADM中， tanA＝， 则， 所以AM＝2x， 则2x+3x＝， 解得x＝， 所以BM＝． 在Rt△BDM中， BD＝． 故选：A． 二、填空题 13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC＝__________. 【答案】 【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝. 14．如图，图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 __________ 分米（结果用含根号的式子表示）. 【答案】(6－2) 15．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，那么AC的长为__________ . 【答案】6 【解析】在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8， ∴AC＝＝6. 16．如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边的中点，过D作DE⊥AB，垂足为点E，如果AD＝2，AB＝6，那么cos∠ADE＝__________． 【答案】 【解析】∵D是AC边的中点，AD＝2， ∴AC＝2AD＝4， ∵∠C＝90°， ∴由勾股定理得， ∴， ∵DE⊥AB， ∴∠A+∠ADE＝90°， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠ADE＝∠B， ∴， 故答案为：． 17．如图，△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB，F为垂足，连接FC，则tan∠CFB的值等于__________． 【答案】 【解析】过点C作AB的垂线，垂足为M， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°． 在Rt△AEF中， sinA＝， 即． 令EF＝3a，则AE＝6a， ∴AF＝． ∵AE：EC＝3：1， ∴EC＝2a， ∴AC＝6a+2a＝8a． 在Rt△ACM中， sinA＝， 则MC＝． cosA＝， 则AM＝． ∴MF＝AM﹣AF＝． 在Rt△CFM中， tan∠CFB＝． 故答案为：． 三、解答题 18．如图，灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32 °≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6) 【答案】解　如图，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x海里. 由题意得∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里. 在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴CD＝AD＝x海里. ∴BD＝BC＋CD＝(6＋x)海里. 在Rt△ABD中，tan∠ABD＝， ∴0.625≈， 解得x＝10. ∵10>9， ∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险. 19．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sin B＝. (1)求tan C的值； (2)求线段BC的长. 【答案】解　(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AB＝10， sin B＝， ∴， ∴AD＝6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2－AD2＝(2)2－62＝16， ∴CD＝4， ∴tan C＝. (2)在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， 由勾股定理得BD＝8， 由(1)得CD＝4， ∴BC＝BD＋CD＝12. 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，解这个直角三角形. 【答案】解　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2， ∴BC＝， ∵tan A＝＝1， ∴∠A＝45°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°. 21．如图，已知山坡AB的坡度为 i1＝1：2.4，b山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为200 m，山坡CD的长为2000 m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山． （1）求山顶点C到水平面AD的距离； （2）求山坡AB﹣BC的长． 【答案】解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F． 在Rt△CDF中， ∵sinD＝，∠D＝30°，CD＝2000 m， ∴CF＝sinD•CD＝×2000＝1000（m）． 答：山顶点C到水平面AD的距离为1000 m． （2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，垂足分别为H、E． ∴四边形BHFE是矩形． ∴BH＝EF＝200 m，CE＝CF﹣EF＝800 m， 在Rt△ABH中， ∵AB的坡度为 i1＝1：2.4＝， ∴AH＝200×2.4＝480（m）． ∴AB＝＝＝520（m）． 在Rt△BEC中， ∵山坡BC的坡度为i2＝1：0.75＝， ∴BE＝0.75CE＝600（m）． ∴BC＝＝＝1000（m）． ∴山坡AB﹣BC的长为：520+1000＝1520（m）． 答：山坡AB﹣BC的长为1520 m． 22．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF． （1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1 m）； （2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1 m）． （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【答案】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G， ∴∠AGO＝90°， 由题意得：AC∥OD， ∴∠DOG＝∠AGO＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， ∵O为AB的中点， ∴OA＝AB＝3（米）， 在Rt△AOG中， ∴AG＝AO＝1.5（米），OG＝AG＝1.5≈2.6（米）， ∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米； （2）设OG交A1C1于点H， 由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米， ∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°， 在RtΔOA1H中，A1H＝OA1•cos37°＝3×0.8≈2.4（米）， ∵AG＝1.5米， ∴A1H﹣AG＝2.4﹣1.5＝0.9（米）， ∴点A上升的高度约为0.9米． 学科网（北京）股份有限公司 $