6.4 用二次函数解决问题（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级下册

6.4 用二次函数解决问题（2） 第六章 二次函数 学 习 目 标 1 2 能根据实际问题中给出的条件，用待定系数法确定二次函数的表达式． 能利用二次函数的顶点坐标求出实际问题中的最大值（或最小值）． 3 能根据抛物线形实物建立恰当的平面直角坐标系，并据此求解相关宽度、高度等实际量． 知识回顾 1．二次函数的一般形式是什么？它的顶点坐标公式是什么？ 一般式形式是 y＝ax²＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）． 顶点坐标公式是． 可设二次函数表达式为 y＝ax²＋bx＋c，再将三个点的坐标代入，解出 a,b,c 即可． 3．抛物线y＝ax2 的顶点在什么位置？对称轴是哪条直线？ 2．已知二次函数图象经过三个点的坐标，怎样求它的表达式？ 顶点在原点，坐标为 (0，0)；对称轴是 y 轴（即直线 x＝0）． 例题讲解 例2 研究显示，沫蝉跳跃的最大高度可以达到体长的一百多倍．已知一只沫蝉从起跳开始，跳跃过程中的高度 y(mm)与起跳时间 t(s)满足二次函数关系．下表是由高速相机拍摄的沫蝉某次跳跃过程中的数据，求沫蝉这次跳跃的最大高度． 起跳时间 t /s 0 0.25 0.5 0.75 跳跃高度 y /mm 0 500 500 0 分析： 如何设二次函数关系式？选哪几组数据代入？ 例题讲解 例2 研究显示，沫蝉跳跃的最大高度可以达到体长的一百多倍．已知一只沫蝉从起跳开始，跳跃过程中的高度 y(mm)与起跳时间 t(s)满足二次函数关系．下表是由高速相机拍摄的沫蝉某次跳跃过程中的数据，求沫蝉这次跳跃的最大高度． 解：根据题意，可设跳跃高度 y(mm)和起跳时间 t(s)之间的函数表达式为y＝at2＋bt＋c． 因为当t＝0时，y＝0，所以 c＝0． 把 t＝0.5，y＝500与t＝0.75，y＝0分别代入函数表达式，得 解这个方程组，得 所以 y＝－4 000t2＋3 000t＝－4 000(t－0.375)2＋562.5． 所以当t＝0.375时，y的值最大，最大值为562.5． 答：沫蝉这次跳跃的最大高度为562.5 mm． 讨论交流 用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？ ① 根据实际规律确定函数模型； ② 利用已知数据求函数表达式里面的参数； ③ 将题目给定的自变量代入函数表达式计算函数值； ④ 写出实际问题的答案，带上单位． 设 ↓ 代 ↓ 解 ↓ 写 例题讲解 例3 河上有一座抛物线形的拱桥，桥下水面宽 6 m时，水面离桥拱顶部3 m．因降雨水位上升1m，此时桥下水面宽为多少（结果精确到 0.1m）？ 问题1 拱桥轮廓看成二次函数图象的一部分，如何表示？ 问题2 要确定二次函数表达式需要什么条件？ 问题3 如何建立平面直角坐标系？ 例题讲解 例3 河上有一座抛物线形的拱桥，桥下水面宽 6 m时，水面离桥拱顶部3 m．因降雨水位上升1m，此时桥下水面宽为多少（结果精确到 0.1m）？ 解：如图，以桥拱的最高点为原点，过原点的水平线为横轴， 过原点的铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系． 抛物线形的桥拱轮廓可看作二次函数 y＝ax2图象的一部分． 因为当水面宽 AB＝6 m 时，水面离桥拱顶部 3 m，所以点 A 的坐标为(3，－3)． 把 x＝3，y＝－3代入 y＝ax2，得－3＝a×32． 解得 a＝－，所以 y＝－x2． A B O 1 2 3 x 4 -1 -2 -3 -4 -1 y -2 -3 1 (3,－3) 例题讲解 例3 河上有一座抛物线形的拱桥，桥下水面宽 6 m时，水面离桥拱顶部3 m．因降雨水位上升1m，此时桥下水面宽为多少（结果精确到 0.1m）？ A B C D O 1 2 3 x 4 -1 -2 -3 -4 -1 y -2 -3 1 设水位上升 1 m后水平线与抛物线形桥拱的交点是C，D， 则点C，D的纵坐标都是－2． 把 y＝－2代入 y＝－x2，得 －2＝－x2， 解得 x＝±． 所以点C，D的坐标分别为(，－2)，(－，－2)， CD＝－(－)＝2≈4.9(m)． 所以水位上升1m时，桥下水面宽约为4.9m． 讨论交流 在例3中，还有哪些建立平面直角坐标系的方法？ A B O 4 5 6 x 3 2 1 -1 y 3 2 1 A B O 1 2 3 x 4 -1 -2 -3 -4 -1 y 2 1 3 探索交流 　　根据例3给出的条件，一艘装满物资的小船，露出水面部分的高度为 0.5m、宽为 4m（横断面如图）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 0.5m x O y 解：∵ 小船露出水面部分的高为0.5m， ∴ y＝－1.5． 把 y＝－1.5 代入 y＝－x²得－1.5＝－x²， 解得 x＝． ∴ )＝． ∵ ＞4， ∴ 这艘船能从这座拱桥下通过． 4m 讨论归纳 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤是什么？ ①建坐标：建立适当的平面直角坐标系,将抛物线形状图形放在坐标系中； ②设函数：设出二次函数表达式； ③定系数：结合图像和已知条件，用待定系数法求出二次函数表达式； ④求点解：利用函数表达式求出未知点的坐标，结合实际问题得出结论． 同一问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，通常以已知点所在 的位置为原点建立平面直角坐标系，以方便求解为原则． 新知巩固 1．赵州桥距今已有1 400多年历史，在世界建筑史上占有极其重要的地位．如图，假设赵州桥的桥拱是抛物线形，已知石拱跨径约37.02m，拱圈矢高约7.23m．试建立恰当的平面直角坐标系，把拱桥看作一个二次函数的图象的一部分，求这个函数的表达式（系数保留两位小数）． x O y (18.51,－7.23) 解：如图，以桥拱的最高点为原点，过原点的水平线为横轴， 过原点的铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系． 抛物线形的桥拱轮廓可看作二次函数 y＝ax2图象的一部分． 因为石拱跨径约37.02m，拱圈矢高约7.23m，所以点B 的坐 标为(18.51,－7.23)． 把 x＝18.51，y＝－7.23代入 y＝ax2，得－7.23＝a×18.512． 解得 a≈－0.02，所以 y＝－0.02x2． 新知巩固 2．渡槽是水利水电工程中一种重要的架空输水建筑物，我国南水北调工程就广泛使用了这一技术．某槽体内部成抛物线形，截面图如图所示．水深0.6 m时，测得水面宽度为4 m．求当水深4m时的水面宽度（结果精确到0.1 m）． x O y 解：如图，以渡槽底部最低点为原点，过原点的水平线为横轴， 过原点的铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系． 槽体内部轮廓看作二次函数 y＝ax2图象的一部分． 因为水深0.6 m时，测得水面宽度为4 m，所以点 A 的坐标为(2,0.6)． 把 x＝2，y＝0.6代入 y＝ax2，得0.6＝a×22． 解得 a＝0.15，所以 y＝0.15x2． 当水深4m，即y＝4时，代入 y＝0.15x2得 4＝0.15x2， 解得 x2＝＝，x＝．此时水面宽度为×2＝≈10.3m． A B (2,0.6) 课堂小结 6.4 用二次函数解决问题（2） 知识：两大类型：①最值问题； ②抛物线形问题 关键：合理建立直角坐标系是解题关键， 尽量使顶点在原点， 对称轴为 y 轴， 此时二次函数表达式最简 步骤：建坐标 →设函数→ 定系数 → 求点解 感谢聆听！ $