6.5 二次函数与一元二次方程(2) 课件 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

6.5 二次函数与一元二次方程(2) 兴化市戴泽初中 范和景 1 函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，你能看出方程x2－2x－3＝0的解吗？ 解：由图像可知抛物线与x轴交点的坐标为（-1，0），（3，0）， 所以方程x2－2x－3＝0的解为 x1＝-1，x2＝3. 复习引入 问题1 函数y＝x2+2x-5的图像如图所示，你能看出方程x2+2x-5＝0的解吗？ 解：由图像可知抛物线与x轴有两个交点，它们分别位于表示实数1和2、-4和-3的点之间，所以方程x2+2x-5＝0有两个解，分别介于实数1和2、-4和-3之间. 利用函数图像求一元二次方程根的近似值 方法引领 y 1 2 3 4 5 x 2 o -1 -2 -3 -4 -5 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 3 y＝x2+2x-5 由函数图像我们发现一元二次方程的根两边的自变量对应的函数值的符号恰好相反，由此得到函数值相反的两个自变量之间一定含有一元二次方程的根． 利用函数图像求一元二次方程根的近似值 下面我们探究方程x2+2x-5＝0介于1和2之间的根的近似值. y 1 2 3 4 5 x 2 o -1 -2 -3 -4 -5 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 3 y＝x2+2x-5 方法引领 如图，在1与2之间取它们的“中点”，即1.5，当自变量x=1时，函数值y=-2<0; 当自变量x=1.5 时，函数值y=0.25>0.   所以函数图像与x轴的公共点的横坐标在1与1. 5之间，即 1< x₁<1.5. 可以采取下面的方法探索方程x²+2x-5=0介于1,2之间的根x₁的近似值： 方法引领 在1与1.5之间取它们的“中点”，即1.25，当自变量 x=1.25时，函数值y<0; 当自变量 x=1.5 时，函数值y>0. 所 以1.25< x₁<1.5. 继续下去，可得1.375 < x₁ < 1.5，1.4375 < x₁ < 1.5，… 由此，可以不断缩小根所在的范围. 二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系 方法引领 在解决实际问题时，需要根据要求取一元二次方程的根的近似值. 例如，如果将1.4375看作方程x²+2x—5=0在1与2之间的根的近似值，那么该近似值与x₁之间的误差小于1.5减去1.4375，即误差小于0.0625. 利用二次函数的图像求一元二次方 程根的近似值的一般步骤: 1.画出二次函数y=ax2 +bx+c的图像; 2.确定函数图像与x轴公共点的位置，看公共点的横坐标介于哪两个数之间，初步估值； 3.在（2）的范围内，并利用两分法缩小范围逐次逼近的方法进行取值计算； 4.根据精确度的要求,求出y值最接近0时所对应的x值，即一元二次方程ax2 +bx+c=0根的近似值. 自主构建 例1.利用二次函数的图像，求方程x²+2x-5=0的另一个介于4与3之间的根的近似值（误差小于0.1）. 互动体验 在-3.5与-3之间取它们的“中点”，即-3.25， 当 x=-3.25时，函数值y<0; 所以-3.5< x2<-3.25. 继续下去，可得-3.5 < x2<-3.375，−3.5<x2 <−3.4375 此时误差小于−3.4375减去-3.5，即误差小于 0.0625. 解：如图，在-4与-3之间取它们的“中点”，即-3.5，当x=-3.5时，函数值y=0.25>0; 当x=-3 时，函数值y=-2<0.   所以函数图像与x轴的公共点的横坐标在-3.5与-3之间，即 -3.5<x2<-3 因此可取x2≈ −3.44作为此方程介于−4与−3之间的近似根，误差小于 0.1 1.已知二次函数y=x2-2x+0.5的图像如图所示，利用图像可得方程x2-2x+0.5＝0的近似根(精确到0.1)为( 　　) A．1.7或0.3 B．1.6或0.4 C．1.5或0.5 D．1.8或0.2 A 互动体验 2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示,则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A. x1 ≈－2.1，x2 ≈ 0.1 B. x1 ≈－2.5，x2 ≈ 0.5 C. x1 ≈－2.9，x2 ≈ 0.9 D. x1 ≈－3，x2 ≈ 1 解：由图像可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的对称轴为x＝－1， 而对称轴右侧图像与x轴交点到原点的距离约为0.5， ∴x2 ≈ 0.5； 又∵对称轴为x＝－1，则＝－1， ∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5. 故x1 ≈ －2.5，x2 ≈ 0.5. B O x 1 -1 1 y x2 x1 互动体验 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(－1，－3.2)，部分图像如图所示. 由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1≈1.3和x1≈(　　) A．－1.3 B．－2.3 C．－0.3 D．－3.3 D 互动体验 4.已知二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表： 则当x满足条件______________________时，y＝0； 当x满足条件______________________时，y＞0. x … -2 -1 0 1 2 3 … y … -16 -6 0 2 0 -6 … x＝0或x＝2 0<x<2 5.已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如下表： 现给出下列说法： ①该函数图像开口向下； ②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线； ③当x＝2时，y＝3； ④方程ax2+bx+c＝2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为___________．(只需写出序号) x … －1 0 1 3 … y … －3 1 3 1 … ①③④ 互动体验 6.利用二次函数的图像，求方程x²+x-3=0的根的近似值(误差小于0.1) . 互动体验 解：如图，函数y=x²+x-3图像与x轴的公共点的横坐标分别在1与2和-3与-2之间，即 1< x1<2，-3< x2<-2，下面分别对 x1和x2取近似值. 在1与1.5之间取它们的“中点”，即1.25， 当 x=1.25时，函数值y<0; 所以1.25<x1<1.5. 继续下去，可得1.25 <x1<1.375，1.25< x1<1.3125 此时误差小于1.3125减去1.25，即误差小于 0.0625. 当x=1.5时，函数值y=0.75>0; 当x=1时，函数值y=-1<0.   所以 1< x1<1.5 因此可取 x1 ≈1.3 同法可取 x2 ≈-2.3 综上：x1 ≈1.3， x2 ≈-2.3 2.图像法求方程近似根步一般步骤: ① 画图像：画出函数y=ax2+bx+c的图像； ② 定区间：找函数值一正一负的x，锁定根范围； ③ 缩区间：不断试值，两分法逐次逼近取值计算缩小范围； ④ 取近似：满足误差要求，写出近似根. 通过这节课的学习,你有什么收获? 智慧建构 数形结合 逼近思想 1.基本原理： 一元二次方程 ax2+bx+c=0的实数根 抛物线 y=ax2+bx+c与x 轴交点的横坐标. 1.如图，过点(0，1)且平行于x轴的直线与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax2＋bx＋c－1＞0的解集为(　　) C A. x＞1 B. 1＜x＜3 C. x＜1或x＞3 D. x＞3 x 3 2 5 O 4 1 6 1 2 y 3 4 5 补充习题 2.如图，直线y1＝kx＋b与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A(－1，m)，B(4，n)两点，若kx＋b＜ax2＋bx＋c，则x的取值范围是(　　) A. x＜－1　　 B. x＞4　　　 C.－1＜x＜4　　　D. x＜－1或x＞4 O x y A B C 补充习题 (2)关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的的两个根是_______________； 3. 已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图所示，根据图像直接回答下列问题： y O x 1 3 (3)不等式-x2+2x+k＞0的解集为______________. (1)函数图像与x轴的另一个交点的坐标为_______； (3，0) x1＝－1，x2＝3 －1＜x＜3 补充习题 4.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的图像的顶点为P(1，m)，经过点A(2，1)，有以下结论： ①a＜0； ②abc＞0； ③4a＋2b＋c＝1； ④x＞1时，y随x的增大而减小； ⑤对于任意实数t，总有at2＋bt≤a＋b； 其中正确的有___________.(填序号) ①③④⑤ O x y A(2，1) P(1，m) 补充习题 $