6.5 二次函数与一元二次方程(1) 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

6.5 二次函数与一元二次方程(1) 兴化市戴泽初中 范和景 1 打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度 y（单位：米）与飞行距离 x（单位：百米）满足二次函数 ：y＝ －5x2 ＋ 20x，这个球飞行的水平距离最远是多少米？ y(米） x(百米） 4 1 2 3 A o 10 情景创设 问题1 请画出二次函数y=x2-2x-3的图像，并指出图像与x轴的交点. 解：二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示. 图像与x轴两个交点为 M(－1，0)，N（3，0). 由上可知， 当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0； 所以x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根； 同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0. 所以x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的另一个根. 你发现了什么？ 归 纳： 二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2 ＋ bx ＋c＝0的根. 所以二次函数与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程去解决. 方法引领 例1.不画图像，求二次函数y=x2＋4x-5的图像与x轴的交点坐标. 解：令y=0，即x2＋4x-5＝0， 解得，x1＝ －5 ，x2 ＝ 1， ∴二次函数y＝x2＋4x－5的图像与x轴的交点坐标为：（－5，0），（1，0） 变式： 方程x2＋x-6＝0的根是 ；则函数 y=x2＋x-6的图像与x轴的交点有 个，其坐标是 ． x1＝2，x2＝-3 2 （2，0），（-3，0） 方法引领 例2.不画图像，判断二次函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点. 解：因为一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判别式 b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)=-7<0， 所以方程-x2+5x-8=0没有实数根. 二次函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴没有公共点 变式： 下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ） A.y=x2-2 B.y=x2-x C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+2 D 互动体验 抛物线y=ax2 ＋ bx ＋ c 　　抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明： 1.b2－4ac＞0 一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个不等的实数根． 与x轴有两个交点． 抛物线y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 2. b2－4ac＝0 一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 与x轴有唯一公共点． 抛物线y＝ax2 ＋ bx ＋ c 3. b2－4ac＜0 一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c＝0 与x轴没有公共点． 没有实数根． 自主构建 例3.判断二次函数x2-4x+c（c是常数）的图像与x 轴的公共点的情况. 互动体验 解：二次函数图像与x 轴的公共点的个数就是一元二次方程实数根的个数. 因为根的判别式 所以， ①当16+2c>0, 即 c>-8 时，函数图像与x轴有两个公共点； ②当16+2c=0, 即 c= - 8时，函数图像与x轴有一个公共点； ③当16+2c<0, 即 c< -8时，函数图像与x轴没有公共点. 互动体验 1.不画图象，判断下列函数的图象与x轴的公共点的个数： (1)y=x²-1; (2)y=-z²+6z-9; (3)y=3x²+6x+11. 解：(1)△=b2－4ac＝02－4×1×(－1)＝4>0 ∴函数图像与x轴有2个公共点； (2)△=b2－4ac＝62－4×(－1)×(－9)＝0 ∴函数图像与x轴有1个公共点； (3)△=b2－4ac＝62－4×3×11<0 ∴函数图像与x轴没有公共点； 互动体验 2.二次函数y=ax²+x+c的图象经过点(2,1)，请判断方程ax²+x+c=0 的实数根情况，并说明理由. 解：将点(2,1)代入y=ax²+x+c得 4a+2+c=1∴c=-1-4a ∴△=12－4ac ＝1-4a(-1-4a) =16a2+4a+1 =16(a+)2+>0 ∴ax²+x+c=0有两个不等的实数根． 3.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m＝0的两实数根是( 　　) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 B 4.二次函数y=x2-2x+1的图像与x轴的交点情况是( 　　) A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定 A 5.若函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　) A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1 A 解析： 因为函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有三个交点， 所以(－2)2－4b＞0，解得b＜1， 而b≠0，则b＜1且b≠0.故选A. 互动体验 6.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是________． 7.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）全部在x轴下方，则（ ） A、a＞0，b2-4ac＞0；B、a＞0，b2-4ac＜0 C、a＜0，b2-4ac＞0；D、a＜0，b2-4ac＜0 D 8.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部在x轴的上方，则满足的条件: . a>0，b2-4ac＜0 互动体验 9.已知关于x的函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图像与x轴只有一个公共点，求m的值. 解：当m2－1＝0，且2m＋2≠0，即m＝1时，该函数y＝－4x＋2是一次函数，其图像与x轴只有一个公共点； 能力提升 当m2－1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数， 其图像与x轴只有一个公共点， 则b2－4ac＝[－(2m＋2)]2－8(m2－1)＝0， 解得m＝3或m＝－1(舍去)． 综上:m的值是1或3. 二次函数与 一元二次方程 二次函数与相应的一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c的图像与x轴有两个的交点(x1,0),(x2,0)(x1≠x2)，那么一元二次方程ax2 ＋ bx ＋c＝0有两个不相等的实数根x＝x1，x＝x2. 二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系 若一元二次方程ax2 ＋ bx ＋c＝0的两个实数根是x1、x2，那么二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c的图像与x轴的两个交点的坐标为A(x1,0)，B(x2,0). b2－4ac＞0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 函数y=ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有两个交点 一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个不相等的实数根 函数y=ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有一个交点 一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个相等的实数根 函数y=ax2 ＋ bx ＋ c与x轴没有交点 一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0没有实数根 通过这节课的学习,你有什么收获? 智慧建构 数形结合 类比思想 1. 不画图象，判断下列函数的图像与x轴是否有公共点 .如果有，写出公共点的坐标. (1)y=2x²+x+1;                                                    (2)y=x²+x-6. 补充习题 解：(1)△=12－4×2×1＝-7<0 ∴函数图像与x轴没有公共点； (2)△=12－4×1×(-6)＝25>0 ∴函数图像与x轴有2个公共点 当y=0时，x²+x-6=0，解得x1=-3，x2=2 ∴函数图像与x轴公共点为(- 3，0)，(2，0). 2.已知二次函数y=ax²+bx+16(a,b 为常数，a≠0) 的图像经过点(- 2，40)和点(6，-8)，求一元二次方程ax²+bx+16=0的实数根 . 补充习题 解：将点 (-2, 40) 和点 (6, -8)代入y=ax²+bx+16得： 4a - 2b +16 = 40，即 2a - b = 12 ① 36a +6b +16 = -8，即 6a + b = -4 ② 由① ②解得a=1，b=-10  ∴y=x² - 10x+16.  原方程为x² - 10x+16=0，解得 x₁ = 2，x₂ = 8. 3.已知二次函数y＝kx2－2x－1的图像和x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A.k＞－1　　 B.k＜1　　　 C.k≥－1且k≠0　　 D.k＜1且k≠0 C 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则ax2＋bx＋c＋3＝0的根的情况是________________________． 有1个不相等的实数根 补充习题 5.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． 求证：此抛物线与x轴总有交点； 证明：∵一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0的根的判别式 b2-4ac=(m＋2)2－4m×2 ＝m2＋4m＋4－8m ＝(m－2)2≥0, ∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0总有实数根. ∴二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2的图像与与x轴总有交点. 补充习题 $