第二章 3 解题技巧专题 反比例函数与一次函数的综合(跨单元)&第二章 应用技巧专题 反比例函数与几何图形的综合(跨单元)-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

解题技巧专题 反比例函数与一次函数的综合（跨单元） 题型① 在同一平面直角坐标系中判断一次 4.如下图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别 函数与反比例函数的图象 交于点B,C(5,0,与反比例函数y=一的 6 1.若ab>0,则函数y=ax十b与y=a在同 图象交于点A(一1，m),D是反比例函数位 一平面直角坐标系中的大致图象是( 于第二象限内的图象上一点. (1)求m的值及直线BC的表达式. 个 (2)将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对 应点D'恰好落在直线BC上，求点D的 坐标. 变式题在同一坐标系中，函数y=k.x一 (k≠0)与y= 一的大致图象为 其半平平 题型② 利用反比例函数与一次函数图象的 交点解题 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= 2x+2的图象与x轴、y轴分别交于A,B k 两点，与函数y=(x>0)的图象相交于点 x C.若BC=2AB,则k的值为 ) A.6 B.8 C.10 D.12 第2题图 第3题图 3.分类讨论思想如图，正比例函数y1=k1x ,<0)的图象与反比例丽数，-(k,< O)的图象相交于A,B两点，点B的横坐标 为2.当y1>y2时，x的取值范围是 下册第二章 35△ 5.如下图，在平面直角坐标系xOy中，一次函 6,几何直观已知反比例函数y=(x>0)的 数y=一2x+十6的图象与反比例函数y= k 图象与正比例函数y=3x(x>0)的图象交 的图象相交于A(a,4),B两点. 于点A(2,a),B是线段OA上（不与点A重 (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标. 合)的一点. (2)过点A作直线AC,交反比例函数图象于 (1)求反比例函数的表达式 另一点C,连接BC.当线段AC被y轴分成 (2)如图①，过点B作y轴的垂线l,l与y= 长度比为1：2的两部分时，求BC的长。 (x>0)的图象交于点D.当线段BD=3 x 时，求点B的坐标. (3)如图②，将点A绕点B顺时针旋转90 k 得到点E.当点E恰好落在y=(x>0)的 图象上时，求点E的坐标 图① 图② 金36 九年级数学BS版 应用技巧专题 反比例函数与几何图形的综合（跨单元） 题型① 反比例函数与三角形的综合 E,连接OE,AC,DE. 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.若 (1)若△AOE的面积为2，则k= 反比例函数y-(k≠0)的图象经过点A, (2)DE与AC是否平行？请说明理由. B及AC的中点M,BC∥x轴，AB与y轴交 (3)是否存在点D,使得点B关于直线DE 于点V,则的值为 的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐 标；若不存在，请说明理由。 A.3 1 B.4 D.5 y=E2(x<0) 1(x>0) 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线 y1=二(x>0)上任意一点，连接AO,过点O k2 作AO的垂线与双曲线y2=二(x<0)交于 AO 点B,连接AB.已知 BO =2,则k A.4 B.-4 C.2 D.-2 题型②反比例函数与四边形的综合 3.如图，在平面直角坐标系中，菱 形ABCO的顶点O为坐标原 点，且与反比例丽数y兰的图 象相交于A,C两点，点C的纵 第3题图 坐标为一√3，B(2√3,2√3)，则k的值为 4.如图，在矩形OABC中，OA=3,OC=5,分 别以OA,OC所在直线为x轴、y轴建立平 面直角坐标系，D是边BC上的一个动点（不 与点B,C重合)，反比例函数y=(k>0, x>0)的图象经过点D且与边AB交于点 下册第二章 37△:点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，AB⊥x轴， SAm-Il_ 2 6. ,反比例函数图象在第一象限，.k>0, ,∴.k=|k|=2×6=12. 4.B【解析】连接AC交BD于点E,延长 BD交x轴于点F,连接OD,OB, 如图. ,四边形ABCD是正方形 ..AE=BE=CE=DE. AE=BE=CE=DE=m,D(3,a). 0 BDy轴，.B(3,a+2m),A(3+m,a十m). :点A,B都在反比例函数y=(x>0,k>0)的图象上· .k1=3(a十2m)=(3十m)(a+m). 又，m≠0，.m=3-a,.B(3,6-a). :点B(3,6-a)在反比例函数y= (x>0,k1>0)的图象 上，D(3,a)在反比例函数y= =2(x>0,k>0)的图象上， x .k,=3(6-a)=18-3a,k±=3a, ∴.k1+k2=18-3a+3a=18. 5.一4【解析】连接OC,OB,如图 :BC∥x轴，∴.S△Ar=S△oCB 2×121+21k1=3. k<0,∴k=-4. 6.解：(1)由题意，得点P的横坐标为2. 把x=2代人=名得y=3。 点P的坐标为(2,3)，点B的纵坐标为3 把y=3代人-兰得-号点B的坐标为刻（号） 2 2 (2):P(2,3),y1=x· .S网边形A0Bn=S矩形C0Dp一S△Ax一S△D=6-1一1=4. 3反比例函数的应用 1.C2.C 3,解：D设1关于R的函数表达式为1冬 k 将(0.3,80)代人函数表达式可得0.3=800·解得k=240, 1关于R的函数表达式为I=尺 240 240 (2)当1=0.1A时，0.1=R,此时R=2400(0): 240 当1=0.4A时，0.4=R,此时R=600(0). 故该台灯的电阻R的取值范围为600Ω≤R≤24002. 4.A5.C6.B 7.A【解析】设点A的坐标为(a,一3a十1)，点B的坐标为 (b,一3b+1),则点A'的坐标为（一2a+1,4a一1），点B'的 坐标为（一2b十1,4b一1）. “点A和点B均在反比例函数y=一三的图象上， .(-2a+1)(4a-1)=-3,(-2b+1)(4b-1)=-3, 1 解得a1=1,a:=一4，b,=1,b:= 、1 4 B(A) 当a=b=1时，-3a+1=-3b+1= 一2； 当a=b=二4时，-3a+1=-36+1 7 =-3x+1 4 故点A,B的坐标分别为(1，-2).(-子，子)或 (-7）.4-2 如图，设一次函数y=一3x十1的图象与x轴相交于点C.当 y=0时，-3x+1=0x=号点C的坐标为（号0）小， 8.解：(1)设校医对1间办公室和1间教室消毒分别要xmin和 y min. 根据题意，得3r十2y19解得=3. 2x+y=11, ly=5. 答：校医对1间办公室和1间教室消毒分别要3min和 5 min. (2),对1间教室消毒需要5min, ∴.对11间教室消毒需要55min. 当x=5时，y=2x=10,∴点A(5,10). 设反比例函数的表达式为y=工 将点A的坐标代人上式并解得k=50, 六反比例函数的表达式为y=50. 50 当x=55时，y一而<1心一班学生能进人教室. 解题技巧专题反比例函数 与一次函数的综合（跨单元） 1.A变式题C 2.D【解析】当x=0时，y=2x+2=2:当 Y↑ y=0时，0=2x+2,解得x=-1.一 次函数y=2x十2的图象与x轴、y轴分 别交于A,B两点， B .A(-1,0),B(0,2),∴.OA=1,OB=2. .BC=2AB,∴.AC=3AB. /0D 如图，过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CDA=90°= ∠AOB. 又，'∠BAO=∠CAD,∴.△BAO∽△CAD, OB AO AB 1 CD-AD-AC-3CD-30B-6.AD=3A0=3. .OD=AD-AO=2,.C(2,6). 把C26)的坐标代入y=兰，得6=专解得及=12. 3.x<-2或0<x<2 4解：)直线BC与函数y=一S的图象交于点A(一1，m), 6 m=-=6A(-1,6). 设直线BC的表达式为y=k.x十b, 下册详解详析 13 把A(-1,6).C(5,0)代人，得二+=6·解得k=一1， 5k+b=0, b=5, .直线BC的表达式为y=一x十5. (2)如图，设点D落在点D'处，连接OD,OD',过点D,D'分 别作x轴的垂线，垂足为E,F. ,∠DOD'=90°， .∠DOE+∠D'OF=90° 又.∠DOE+∠ODE=90°， ∴.∠ODE=∠D'OF 又·OD=OD',∠DEO=∠OFD'= 90°，∴.△DEO≌△OFD'(AAS) .DE=OF,OE=D'F 设点D的坐标为(e,一），则点D的坐标为(-日-a) ,对应点D'恰好落在直线BC上， 将点D的坐标代人y=一x十5，得6+5=一a, 6 解得a=一2或a=一3.当x=一2时，y=一 =3: 6 当x=一3时y=一元=2， 故点D的坐标为（一2,3）或（一3,2）. 5.解：(1)一次函数y=一2x十6的图象过点A(a,4), .4=一2a十6，∴.a=1,∴.点A的坐标为(1,4). :反比例函数y=冬的图象过点A,k=1X4=4, “反比例雨数的表达式为y兰 曲题意，得小=4 x ，解得=1，x=2, y=-2x+6, y1=4,y2=2, .点B的坐标为(2,2). (2)如图，过点A作AE⊥y轴于点 E,过点C作CF⊥y轴于点F,设AC 与y轴的交点为H,.AE∥CF, .易证△AEH∽△CFH, 品開 :线段AC被y轴分成长度比为1： 2的两部分， ∴可分以下两种情况讨论： ①当部-时.CP=2AE=2. 点C的坐标为（一2，一2）， ∴.BC=√(2+2)2+(2+2)2=42： @当公=2时，CF=AE=号 点C的坐标为（一子一8， ..BC= 2+2)+2+8y=5厘 经上所达，C的长为或平 6.解：(1)将A(2,a)代入y=3.x,得a=3×2=6,∴.A(2,6). k 将A(2,6)代入y= k ，得6=乞，解得k=12。 ∴反比例函数的表达式为y= 12 x (2)设点B的坐标为(m,3m),则点D的坐标为(m+3, 3m). 九年级数学BS版 :点D在y=1品(x>0)的图象上，3m(m+3)=12. 解得m1=1,m2=一4（舍去），.B(1,3) (3)如图，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H, 过点A作AF⊥FH于点F,则∠EHB=∠BFA=90°， .∠HEB+∠EBH=90. :点A绕点B顺时针旋转90°， ∴.∠ABE=90°，BE=BA, .∠EBH+∠ABF=90°， .∠BEH=∠ABF, ∴.△EHB≌△BFA(AAS) 设点B的坐标为(n,3n),则EH=BF =6-3n,BH=AF=2-n,∴.E(6-2n,4n-2). :点E在反比例函数图象上，∴(4n-2)(6-2n)=12,解得 3 m1=2n:=2(舍去)E(3,4). 应用技巧专题反比例函数 与几何图形的综合（跨单元） 1.B【解析】过点A作AD⊥BC于点D,设BC与y轴交于点 E,如图 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC,则D 是BC的中点 设A(a,会）Bb,) ..BD=DC=a-b, B ED c(2a-6,会) AC的中点为MM(a,g） 又“点M在反比例函数的图象上M(3a一b,k) 2'3a-6 2 :(a+6) k 2ab 3a-b' 2 整理，得(3a+b)(a一b)=0,解得b1=-3a,b2=a(舍去) 南题在可知AD/NE小-器二子-片 a 1 2.B【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE ⊥x轴于点E. :点A是双曲线，=(>O)上的点，点B是双曲线y, k2(x<0)上的点， .∠AOB=90°，∴.∠BOE+∠AOD=90 .∠AOD+∠OAD=90°，∴.∠BOE=∠OAD 又.∠BEO=∠ODA=90°，∴.△BOE△OAD, S△AoD /AO2 2 OB. 1 .k=一4 =22…k2 k =2(x<0) 1。 E1(x>0 EO D x 3.一9【解析】过点A作AE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x