第一章 应用技巧专题 解直角三角形与特殊几何图形的综合应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

应用技巧专题 解直角三角形与特殊几何图形的综合应用 题型① 解直角三角形与特殊三角形的综合 2.图①是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣 应用 架左右晾衣臂张开后的示意图如图②所示， 1.一题多解法今年五一劳动节假期期间，小 两支脚OC=OD=10dm,展开角∠COD= 陈、小余和家长去沙滩公园游玩，坐在如图 60°，晾衣臂OA=OB=10dm,晾衣臂支架 ①所示的椅子上休息时，小陈感觉很舒服， GH=EF=6dm,且HO=FO=4dm(参考 她对这把椅子起了好奇心，就想出个问题考 数据：√3≈1.73) 考小余，小陈先测量，根据测量结果画出了 R G 图①的示意图（图②）.在图②中，已知四边 E 形ABCD是平行四边形，座板CD与地面 MN平行，△EBC是等腰三角形，且BC= MC D水平地面 图① 图② CE,∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm,支 (1)当∠AOC=90时，求点A离地面的距离 架AN=43cm,扶手的一部分BE= AM(结果精确到0.1dm). 16.4cm.这时她问小余，你能算出靠背顶端 点F距地面(MN)的高度是多少吗？请你 帮小余算出结果（结果保留一位小数，参考 数据：sin65.8°≈0.91，cos65.8°≈0.41， tan65.8°≈2.23). 图① 图② 420 九年级数学BS版 (2)当OB从水平状态旋转到OB'(CO延长 【测量过程】如图①，测得∠ACB=90°，AC 线上)时，点E绕点F随之旋转至OB'上的 =BC=50cm,∠ADG=67.5°. 点E'处，求B'E'一BE的值 【任务要求】裁剪出的正方形配件DEFG的 面积为400cm2,点D,G分别在AC,AB 边上 【任务完成】(1)AD的长度为 (参考数据：sin67.5°≈0.92，cos67.5°≈ 0.38,tan67.5°≈2.41). 乙小组活动流程： 【测量过程】如图②，测得∠A'CB'=90°， A'C'=B'C'=50cm. 【任务要求】裁剪出的正方形配件D'E'F'G 的面积为500cm2,点D',E',G'分别在 A'C',B'C',A'B'上 【任务完成】(2)请你根据以上数据信息，求 A'G的长度（参考数据：√2≈1.41）. 题型②解直角三角形与特殊四边形的综合 应用 3.项目式学习(2026阜阳颍上检测)【活动主 题】甲、乙两个劳动实践小组到乡镇企业开 展活动，利用边角料制作机械配件。 【问题背景】在两块全等的等腰直角三角形 铝板中裁剪出两个面积不同的正方形配件， 【工具准备】卷尺、测角仪、切割机等. 图① 图② 请你完成以下任务(1)和(2). 甲小组活动流程： 下册第一章 21在Rt△AMC中，tan∠ACM=, ,.∴AM=CMtan∠ACM=xtan35. 在R△CEN中，m∠BRCN-祭 ∴.EN=CNtan∠ECN=(2-x)tan47°， .EF-AB=EN-AM=1, .(2-x)tan47°-xtan35°=1， 2tan47°-1 解得x=an47十ian35≈0.65(m. 故桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65m. 8.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN LED,垂足 为N. ,CB∥ED,AB⊥BC, ∴.∠AME=90°. 又，CN⊥ED, 背水坡A 迎水坡 ∴.四边形BCNM是矩形， DN M .'BC=NM=10 m,CN=BM. CN 设CN=xm.:背水坡坡比为V5心D六=5， DN- 3 m. 在Rt△CDN中，CD=6m, 根银勾股定理，得+（停）广-6。 解得x1=3√3，x2=-3√3（不合题意，舍去）， .BM=CN=3V3 m,DN=3 m. .'ED=275 m..'.EM=ED+DN+NM=288 m. 在Rt△AEM中，∠E=30°， AM=tan E EM=X288=96/3 (m) .∴.AB=AM-BM=96√5-3√5≈161(m). 故扬中塔AB的高度约为161m. ☆问题解决活动：利用三角函数测高 1.D【解析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°， .∠ABD=∠BAD=45°，BD=AD.在Rt△CBD中， ∠BCD=60°，∴.CD= BD_BD_3BD. an605-3 AC=AD-CD-BD-BD-8m. 3 8 .BD= =(45+12)m. 2.11 3.解：如图，过点D作DG⊥AF,垂足为G 设EG=xm,则FG=(x十2.2)m. 在Rt△EGD中，DG=EGtan53°≈ 4 m. DG 在R△DFG中，an45=F记1， GA 4 DG=FG,3x=x+2.2,解得x =6.6, ∴.DG=FG=x+2.2=8.8m. .灯管D距地面AF的高度约为8.8m. 4.(300+100√2)m 5.110【解析】如图，过点A作AH⊥BM ,1B 于点H.由题意可得AD=HM=50. 设BM=x,则MC=BM=x. As36.87H 63.449 .'BH=BM-HM,.BH=x-50, 在R△ABH中，AH=am36.7≈Q7万 BH -50 D .HC=HM+MC,..HC=50+x, HC ,.在Rt△AHC中，AH= tan63.44 0士合00兰，解得=10 2 2 故点B到水面的距离BM为110m. 6.解：如图，过点E作EH⊥AB,垂足为H 由题意，得EH=FB,EF=BH=1.6m 设EH=FB=xm, -.-- 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°， r ∴.AH=EHtan26.6°≈0.50xm ∴.AB=AH+BH≈(0.50.x+1.6)m. ,CD⊥FB,AB⊥FB,∴.∠CDF=∠ABF=90° 又∠CFD=∠AFB,i△CDFn△ABFB-F,」 2-兰4B=2m-00r+16=64 3 六ABt=4.8m,∴该绿观灯的高AB约为4.8m, 7.解：(1)（答案不唯一）AB (2)(答案不唯-)tan∠1=8tan∠2=，tan∠3=3，测 得图上AB=2mm. (3)如图，过点A作AF⊥MN于 M 点F,过点B作BG⊥MN于点 G,易知AB∥MN, .∠FAB=∠MFA=∠AFG= ∠FGB=90°， .四边形FABG是矩形， ∴AF=BG,FG=AB=2mm. 设MF=xmm,则MG=(x+2)mm. m∠MAF-ME-m∠MBG瓷-g MG 1 .'.AF=4x mm,BG=(3x+6)mm. AF=BG,.4x=3.x十6，解得x=6, ∴.MF=6mm,∴.AF=BG=4×6=24(mm). FN 1 :an∠FAN=AF=8FN=3mm, .MN=MF+FN=6+3=9(mm). (4)测得图上DE=3mm,设发射塔的实际高度为hm.由题 39 意，得2-方，解得h=36小发射塔的实际高度为36m, 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q. :四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=F 114.2°，∴∠FCQ=∠CBH=180°-114.2 =65.8°. .FC=57 cm, ∴.FQ=FCsin∠FCQ=57sin65.8°cm. 过点A作AP⊥MN于点P.由题意知AB ∥CDMN,FC∥AN, 下册详解详析 .∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8° 又.'AN=43cm,∴.AP=ANsin∠ANP=43sin65.8°cm. 过点C作CH⊥AB于点H. .'BC=CE,BE=16.4 cm,.'.BH=8.2 cm, ∴.CH=BHtan∠CBH=8.2tan65.8°cm, ∴.靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FQ+AP一HC 57sin65.8°+43sin65.8°-8.2tan65.8°≈100×0.91-8.2× 2.23≈72.7(cm) ◆一题多解法《 如图，过点F作FQ⊥DC交DC的F: 延长线于点Q,过点C作CH⊥AB 于点H,延长AB交FQ于点S. BC=CE,BE=16.4 cm ∴.BH=8.2cm. 又：AB∥CD,∴.∠FCQ=∠HBC M =180°-114.2°=65.8°，.BC= cos∠IBCFS=FBsin∠FBS BH -FBsin /HBC-(57-cos 65.8 8.2 ×sin65.8° 57sin65.8°_8.2sin65.8 cos65.8°)cm.过点A作AP⊥MN 于点P.由题意知AB/CD∥MN,FC∥AN, ∴.∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8 又.'AN=43cm. .AP=ANsin∠AVp=43sin65.8°cm, ∴.靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FS十AP= 57sin65.8°-8.2tan65.8°+43sin65.8°= 100sin65.8°-8.2tan65.8°≈100×0.91-8.2×2.23 ≈72.7(cm). 2.解：(1)如图，过点O分别作OP⊥CD于点P,OQ⊥AM于 点Q. ,AM⊥CD,∴.∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， .四边形OQMP是矩形，.QM=OP. ,OC=OD=10dm,∠COD=60°， ∴.△COD是等边三角形 1 :0P⊥CD.∠CoP=2∠C0D=30, ∴.QM=OP=OCcos30°=5√3dm. :∠AOC=∠Q0P=90°， ∴.∠AOC-∠COQ=∠QOP-∠COQ,即∠AOQ=∠COP 1 30°，∴.AQ= 2 OA=5dm,∴.AM=AQ+MQ=5+5√3≈ 13.7(dm) 故点A离地面的距离AM约为13.7dm B oa.. EB M C P D水平地面 (2)如图，过点F分别作FK⊥OB于点K,FJ⊥OC于点J. 由(1)，得△COD是等边三角形，.∠ODC=60° :OB∥CD,∴.∠BOD=∠ODC=60°. 在Rt△OFK中，OK=OFcos60°=2dm,FK=OFsin60° 2/3dm. 九年级数学BS版 在Rt△FKE中，EK=√EF-FKT=√62-(2√3) 2√6(dm),∴.BE=OB-OK-KE=10-2-2√6=(8 26)dm 在Rt△OFJ中，OJ=OFcos60°=2dm,FJ=OFsin60°= 25dm. 在Rt△FJE'中，E'J=√EF2-FJ下=√62-(2√3)2 2√6(dm),.B'E'=OB'-(E'J-OJ)=10-(2√6-2)= (12-2√6)dm,.B'E-BE=12-26-(8-2√6)= 4(dm). 故B'E'一BE的值为4dm. 3.解：(1)26cm (2)如图①，作GH'⊥A'D'于点H',则 ∠D'G'H'+∠H'D'G'=90°. :∠E'D'G=90°， H ∴.∠H'D'G'+∠E'D'C'=90°， ∴∠D'G'H'=∠E'D'C' 又：∠G'H'D'=∠D'C'E'=90°，D'G =E'D', 图① .△D'G'H'≌△E'D'C'(AAS) ..G'H'=D'C'.D'H'=E'C'. 设A'H'=xcm,D'H'=ycm,则2x十y=50, ∴y=50-2.x. 在Rt△E'D'C'中，.x2+(50-2.x)2=500. 解得x=20, ∴.A'G'=√2x=20√2≈20×1.41=28.2(cm). A'G'的长度约为28.2cm. 【解析】(1)如图②，作GH⊥AD于点H ,正方形DEFG的面积为400cm, ∴.DG=20cm. 在Rt△DGH中，sin∠GDH= GH DG' cos∠GDH=DG: DH ∴.GH≈0.92×20=18.4(cm),DH≈ 图② 0.38×20=7.6(cm). :∠ACB=90°，AC=BC=50cm,∴.∠A=45°， ∴△AGH是等腰直角三角形，∴.AH=GH≈18.4cm, .AD=AH+HD≈18.4+7.6=26(cm). 易错重难专练 1.①②③ 2.解：由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+c2, 六△ABC为直角三角形，且∠A为直角nB=么=1吕 a-13 3.解：分两种情况讨论：①如图①，过点C作CD⊥AB于点D, 则AD=40cos30=20v5(cm).CD=2×40=20(em ∴DB=V25-20=15(cm).△ABC的面积为号×20 ×(20√3+15)=(200W3+150)cm2. D B 图① 图② ②如图②，过点C作CD⊥AB于点D,则AD=40cos30°= 20V5(cm).CD=2×40=20(cm),