第二章 2 第2课时 反比例函数的性质&第二章 解题技巧专题 反比例函数中k的几何意义-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

如图，过点C作CH⊥DE,垂足为H. 在Rt△CDH中，sin∠CDH=CD, ∠CDH=12°，CD=22. .CH=CDsin∠CDH≈22×0.2=… D E 4.4. :∠CBO=∠BOH=∠OHC=90°， .四边形BCHO是矩形，∴BO=CH≈4.4， ∴.AB=AO-B0≈28.35-4.4≈24. 故引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m. 第二章反比例函数 1认识反比例函数 1.B2.A 3.B【解析】此题可根据等量关系“长=矩形的面积÷宽”，把 相关数值代人即可，故y=160 x 4.y=6000 5.k≠1 变式题5【解析】根据反比例函数的概念，得m2一4m一6 一1且m十1≠0，解得m1=5,m2=一1（舍去），∴.m=5. 6.解：(1)这个函数是反比例函数. 根据题意，得y·x=1000×5, 六所求函数的表达式为y=5000 ∴.比例系数是5000. 50005000 (2)当x=50时，y= =50-10. 这个函数值的实际意义是当动力臂长为50cm时，所需动力 为100N. 2反比例函数的图象 第1课时反比例函数的图象 1.B2.B3.k>14.1 5.一4【解析】将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点 B,.点B的坐标是(2，一2).，点B恰好在反比例函数y= 女的图象上∴k=2X(-2)=-4 6.解：点A(一2,1)，B(3,2),C(一6，m)分别在三个不同的 象限，点A(一2,1)在第二象限，点B(3,2)在第一象限， ∴.点C(一6，m)在第三象限。 :反比例函数y=冬(k≠0)的图象经过其中两点， :反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B(3,2),C(一6， m),.3×2=-6m,.m=一1. 7.D 8.0【解析】根据反比例函数图象的对称性可知，点(3，y1)和 (一3，y2)关于原点对称，∴y1与y2互为相反数，∴y1十y =0. 一题多解法 :反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(3y,)和 (-3,y2）, k y1=3y=-3, 9.解：如图所示. 543210 +4 5H 10.B 11.24【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于T 点E.:四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，AB=BC, ∴.∠OBA+∠EBC=90°. :∠OBA+∠OAB=90°， ∴.∠OAB=∠EBC. 又，∠AOB=∠BEC=90° .△AOB≌△BEC(AAS),.OA=EB,OB=EC. :点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,4)， .OA=2,OB=4,.EB=2,EC=4,∴.点C的坐标为(4,6) :反比例函数)y=兰（长≠0）的图象经过点C, .k=4×6=24. 12.解：(1)(a+2,3)(a+2,1) k (2):点A(a,3),C(a+2,1)都在反比例函数y=x（x> 0)的图象上，∴.3a=a+2,解得a=1,.A(1,3),∴.k=3. 13.解：(1)△AOM的面积为3，反比例函数的图象经过第一 象限∴21k1=3心k=6, :反比例函数的表达式为y=工 6 6 (2)当顶点D在反比例函数y=二的图象上时，点D与点 M重合即AB=AM.把x=1代人y=三得y=6, .点M的坐标为(1,6)，∴.AB=AM=6,∴.t=1十6=7. 当顶点C在反比例函数y=。的图象上时，AB=BC=1一 ∴.点C的坐标为(t,t一1)，.t(t一1)=6. 整理，得t2一1一6=0，解得11=3，t2=一2（舍去），∴.1=3. 综上所述，t的值为7或3. 第2课时反比例函数的性质 1.A2.D3.>变式题C4.1(答案不唯一) 5.B【解析】图①中，阴影部分面积为4：图②中，阴影部分面 积为号×4=2：图③中，阴影部分面积为2×号×4=4：图① 中，阴影部分面积为4X2×4=8,故阴影部分面积为4的 有2个 6.8 变式题D【解折】：1)轴PQ⊥x轴，∴SA=1 2 =l.:S6m=5a+5Am=15.4+l =4,S△0Q=2 2 =15,1k1=22,.k=士22.由图象可知k<0,∴k=-22. 下册详解详析 11个 7.3【解析】如图，连接AC交OB于点D.yt ,四边形OABC是菱形，∴.AC⊥OB,菱 形的面积=4S△D·又：顶点A在反比例 函数y=(x>0)的图象上，6=4× 2k,解得k=3. 8.20【解析】，点D的坐标为(4,5)，点D在反比例函数y= 兰的图象上k=4X5=20, D是BC的中点，.点B的坐标为(8,5). :四边形OABC为矩形，点D,E在反比例函数y=29的图 1 象上…S△am=SAONE=2k|=2X20=10,SN边形0aE =S第形0c一S△0xcD-S△0aE=8X5-10-10=20. 9.解：1：点A在，=-2(r>0)的图象上， 3 六S矩形0mAE=2,S矩形0E=2X2=3, 六k=3的表达式为为，=3 OE=AD=名“点B的横坐标为2 把代入%-三得头=令-2点B的坐标为（号，2）】 无 3 2 2 2 (2)直线BP的函数表达式为y=3x+1或y=一3x+3. 【解析】(2)设点P的坐标为(a,0). 1、3 SAME-2PE.BE-X2-2-3. 3 9 解得a,=一 2a2=2 六点P的坐标为（←20）或（号0） 3 设直线BP的函数表达式为y=mx十n(m≠0)，分以下两种 情况讨论： ①若直线经过点（号，2）(-号0)小： 3 2m十n=2, 则 3 2m十n=0, n=1, ·此时直线BP的函数表达式为y= 3x+1: ②若直线经过点(，2)（号0）。 2m+n=2, 则 解得 2m+n=0, n=3, ∴此时直线BP的函数表达式为y=一3x十3. 综上所述，直线BP的函数表达式为y=号x十1或y 2 -3x+3. 10.解：(1)k的取值范围为一8<k<0. :反比例函数y=人的图象与矩形OABC在第二象限内相 412 九年级数学BS版 交于D,E两点， ∴S,=2AD·A0=21k1.S:=2C0·BC=lk1 .S1=S2, (2)①由(1)可得-8<k<0,S1=S,当S1+S2=2时，S1 =S,=1=2k1k=-2. S=2AD0A=2AD·2=1AD=1. :S=20c.CE=2×4CE=1. 1 :.CE= 1 ∴D(-12.E(-4,2) ②：0A=2,0c=4AD=1.CE=号， .BD-AB-AD-3.BE-BC-CE- OD:=0A:+AD:=5.DE:BD:+BE:-45 ,OE2= 0c+cE-5.0D2+DE-0E, .△ODE是直角三角形且∠EDO=90° 0D=50D=6.DE=5DE-85, 2 △0DE的面积为20D·DE-宁×5×2-号 24 解题技巧专题反比例函数中k的几何意义 1.C【解析】选项A,B中，根据反比例函 y↑1M(1,3) 数系数k的几何意义，可得阴影部分 N(3,1) 的面积和为1×3=3.选项C中，如图， 根据反比例函数系数k的几何意义、 等积变形以及梯形面积求法可得出， 阴影都分的面积为3+合×1+3)×2 33 一？一2=4选项D中，根据点M,N的坐标以及三角形 面积求法得出，阴影部分的面积为2×1×6=3，综上，阴影 部分面积最大为4. 2.15【解析】由题意可知，点C的坐标为(3，n),且∠C=90°， .AC=m-n,BC=3-(-5)=8. :△ABC的面积为32∴号BC·AC=32. ÷×8(m-a)=32,整理，得m-n=8 k(k :点A(3,m),点B(-5,n)在同一个反比例函数y= >0)的图象上，k=3m=一5m.可列方程组m一”=8. 3m=-5n 郭得亿5=孤=15 3.12【解析】如图所示，连接OA,OC. AB⊥x轴， .AB∥y轴，即ABOD ∴.S△Mx=S△Ae=3. :点C为AB的中点， ∴.S△A0B=2S△AMx=6. :点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，AB⊥x轴， SAm-Il_ 2 6. ,反比例函数图象在第一象限，.k>0, ,∴.k=|k|=2×6=12. 4.B【解析】连接AC交BD于点E,延长 BD交x轴于点F,连接OD,OB, 如图. ,四边形ABCD是正方形 ..AE=BE=CE=DE. AE=BE=CE=DE=m,D(3,a). 0 BDy轴，.B(3,a+2m),A(3+m,a十m). :点A,B都在反比例函数y=(x>0,k>0)的图象上· .k1=3(a十2m)=(3十m)(a+m). 又，m≠0，.m=3-a,.B(3,6-a). :点B(3,6-a)在反比例函数y= (x>0,k1>0)的图象 上，D(3,a)在反比例函数y= =2(x>0,k>0)的图象上， x .k,=3(6-a)=18-3a,k±=3a, ∴.k1+k2=18-3a+3a=18. 5.一4【解析】连接OC,OB,如图 :BC∥x轴，∴.S△Ar=S△oCB 2×121+21k1=3. k<0,∴k=-4. 6.解：(1)由题意，得点P的横坐标为2. 把x=2代人=名得y=3。 点P的坐标为(2,3)，点B的纵坐标为3 把y=3代人-兰得-号点B的坐标为刻（号） 2 2 (2):P(2,3),y1=x· .S网边形A0Bn=S矩形C0Dp一S△Ax一S△D=6-1一1=4. 3反比例函数的应用 1.C2.C 3,解：D设1关于R的函数表达式为1冬 k 将(0.3,80)代人函数表达式可得0.3=800·解得k=240, 1关于R的函数表达式为I=尺 240 240 (2)当1=0.1A时，0.1=R,此时R=2400(0): 240 当1=0.4A时，0.4=R,此时R=600(0). 故该台灯的电阻R的取值范围为600Ω≤R≤24002. 4.A5.C6.B 7.A【解析】设点A的坐标为(a,一3a十1)，点B的坐标为 (b,一3b+1),则点A'的坐标为（一2a+1,4a一1），点B'的 坐标为（一2b十1,4b一1）. “点A和点B均在反比例函数y=一三的图象上， .(-2a+1)(4a-1)=-3,(-2b+1)(4b-1)=-3, 1 解得a1=1,a:=一4，b,=1,b:= 、1 4 B(A) 当a=b=1时，-3a+1=-3b+1= 一2； 当a=b=二4时，-3a+1=-36+1 7 =-3x+1 4 故点A,B的坐标分别为(1，-2).(-子，子)或 (-7）.4-2 如图，设一次函数y=一3x十1的图象与x轴相交于点C.当 y=0时，-3x+1=0x=号点C的坐标为（号0）小， 8.解：(1)设校医对1间办公室和1间教室消毒分别要xmin和 y min. 根据题意，得3r十2y19解得=3. 2x+y=11, ly=5. 答：校医对1间办公室和1间教室消毒分别要3min和 5 min. (2),对1间教室消毒需要5min, ∴.对11间教室消毒需要55min. 当x=5时，y=2x=10,∴点A(5,10). 设反比例函数的表达式为y=工 将点A的坐标代人上式并解得k=50, 六反比例函数的表达式为y=50. 50 当x=55时，y一而<1心一班学生能进人教室. 解题技巧专题反比例函数 与一次函数的综合（跨单元） 1.A变式题C 2.D【解析】当x=0时，y=2x+2=2:当 Y↑ y=0时，0=2x+2,解得x=-1.一 次函数y=2x十2的图象与x轴、y轴分 别交于A,B两点， B .A(-1,0),B(0,2),∴.OA=1,OB=2. .BC=2AB,∴.AC=3AB. /0D 如图，过点C作CD⊥x轴于点D,则∠CDA=90°= ∠AOB. 又，'∠BAO=∠CAD,∴.△BAO∽△CAD, OB AO AB 1 CD-AD-AC-3CD-30B-6.AD=3A0=3. .OD=AD-AO=2,.C(2,6). 把C26)的坐标代入y=兰，得6=专解得及=12. 3.x<-2或0<x<2 4解：)直线BC与函数y=一S的图象交于点A(一1，m), 6 m=-=6A(-1,6). 设直线BC的表达式为y=k.x十b, 下册详解详析 13第2课时 反比例函数的性质 巴课内基础闯关 知识点① 反比例函数的性质 1.(2026九江永修检测)关于反比例函数y= 图② 图③ 图④ ?,下列说法正确的是 第5题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.图象分布在第一、第三象限 6 6.如图，点A,B是双曲线y=°(x>0)上的 B.y随x的增大而增大 点，分别过点A,B作x轴和y轴的垂线段. C.点（一1,6）在该函数的图象上 若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩 D.当x>0时，函数值y<0 形的面积和为 2.下列函数中，在图象所在的每一个象限内，y 的值随x值的增大而减小的是 A.y=、1 B.y= 2 3 C.y=-二(x>0) 4 D.y=-(x<0) 第6题图 变式题图 3.点A(2,y1),B(3,y2)在反比例函数y= 工 变式题已知k的值求面积→已知面积求 图象上，则y y2(填“<”“>”或 k的值 “=”)为 如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正 半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直 变式题 在反比例函数y=4一的图象上 线1分别与反比例函数y=8和y=的 有两点A(x1y1),B(x2,y2),当x1<0< 图象交于P,Q两点.若S△Q=15,则k x2时，有y1<y2,则k的取值范围是 的值为 ( A.38 B.22 A.k<0 B.k>0 C.-7 D.-22 C.k<4 D.k>4 7.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 4开放题若反比例函数y= 二在其图象所 OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反 在的每个象限内，y都随x的增大而增大， 比例函数y=(x>O)的图象上.若菱形的 则k的值可以是 (写出一种情况 面积为6，则k= 即可) 知识点②反比例函数中k的几何意义 5.若如图所示的反比例函数图象的表达式均 为y=4,则阴影部分面积为4的有（) 第7题图 30 九年级数学BS版 已课外拓展提高 (1)直接写出k的取值范围，并探究S,与 8.如图，矩形OABC的边OA S2之间的关系。 在x轴上，OC在y轴上，反 (2)当S1+S2=2时， 比例函数y=的图象经过 ①求k的值及点D,E的坐标； 0 ②试判断△ODE的形 边BC上的点D和边AB上 第8题图 状，并求△ODE的面积. 的点E.若D恰好是BC的中点，其坐标为 (4,5),连接OD,OE,则四边形ODBE的面 积为 9.分类讨论思想如下图，四边形ABCD是矩 形，点A在反比例函数y,=一2 (x>0)的图 x 象上，点B在反比例函数y,=(x>0)的图 象上，AB交x轴于点E.已知点C与点D在 3 少轴上AD二2，SE形cBE2S矩形0D4E (1)求点B的坐标. (2)若点P在x轴上，且 S△BPE=3,请直接写出直线 BP的函数表达式. 知识要点归纳 1.反比例函数的性质：当k>0时，在图象所在的每 个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图象 所在的每个象限内，y随x的增大而增大 k 2.反比例函数y=上(k≠0)中k的几何意义： 已综合能力提升 10如图，反比例函数y=的图象与矩形 OABC在第二象限内相交于D,E两点， OA=2,OC=4.连接OD,OE,DE, SR△PMO 2 △OAD,△OCE的面积分别为S1,S2. 下册第二章 31Λ 解题技巧专题 反比例函数中k的几何意义 题型① 一个反比例函数的比例系数k的几 为3，则k1十k2= 何意义 A.36 B.18 C.12 D.9 1.下列选项中，阴影部分面积最大的是( y↑1M(1,3) y↑M(1,3) N(3,1) 0 N(-1,-3) 第4题图 第5题图 B 5.如图，在平面直角坐标系中，A是x轴上任 yt1M(1,3) y↑ M(1,3) 2 N(3,1) 意一点，BC∥x轴，分别交y=二(x>0),y 0 N(-1,-3)N =(x<O)的图象于B,C两点.若△ABC D 的面积是3，则k的值为 2.如图，点A(3,m)和点B(-5,n)在同一个 6 6已知反比例函数y名和的部分图象 反比例函数y=(k>0)的图象上，AC和 6 BC分别垂直于x轴和y轴.若△ABC的面 如下图所示，点P在y:=的图象上，PCL 积为32，则k的值为 2 x轴于点C,交y=二的图象于点A(2,1, 2 PD⊥y轴于点D,交M=的图象于点B, 连接OA,OB.求： (1)点B和点P的坐标. 第2题图 第3题图 3.(2026天长检测)如图，点A在反比例函数y (2)四边形AOBP的面积. 0)的图象上，点D在y轴 A作AB⊥x轴，取AB中点C,连接AD, CD.若△ACD的面积为3，则k的值是 题型② 多个反比例函数的比例系数k的几 何意义 4.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函 数y=(>0,k1>0)和y=(x>0,k >0)的图象上.若BD∥y轴，点D的横坐标 32 九年级数学BS版