第二章 解题技巧专题 一元二次方程根的判别式的应用技巧&计算技巧专题 一元二次方程的解法-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

解题技巧专题 一元二次方程根的判别式的应用技巧 题型① 不解方程，判断一元二次方程根的 A.k≥-1 B.k≥-1且k≠0 情况 C.k≤-1 D.k≤1且k≠0 1.关于一元二次方程2x2一x+1=0的根的情 7.新定义题规定：对于任意实数a,b,c,有【a, 况，下列说法正确的是 b】★c=ac十b,其中等式右边是通常的乘法 A.有两个相等的实数根 和加法运算.如【2,3】★1=2×1+3=5.若 B.有两个不相等的实数根 关于x的方程【x,x十1】★(mx)=0有两个 ) C.无实数根 不相等的实数根，则m的取值范围为( D.只有一个实数根 A.m<4 1 B.m74 2.关于x的一元二次方程x2-√3x+1=0的 1 根的情况说法正确的是 C.m>4且m≠0 D.m<4且m≠0 A.只有一个实数根 1 8.若关于x的方程2x2-x十c=0有两个相 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 等的实数根，则c的值为 D.无实数根 9.已知关于x的一元二次方程x2一2x十k=0 3.已知关于x的一元二次方程x2一mx一n2十 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题 mn+1=0,其中m,n满足m-2n=3.关于 意的飞的值： 该方程根的情况，下列判断正确的是( 题型③用一元二次方程根的判别式进行证明 A.无实数根 B.有两个相等的实数根 10.(2025一2026洛阳检测)已知关于x的方程 (2-k)x2+kx-2=0. C.有两个不相等的实数根 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根. D.无法确定 (2)若此方程有两个整数根，求正整数 4.已知a,b,c是△ABC的三边长，那么关于x 的值. 的方程子-a-)x十c=0的根的情况 是 5.若直线y=-3.x一a不经过第三象限，则关 于x的方程a.x2一3.x十1=0的根的个数为 题型② 已知方程根的情况求参数或确定参 数的取值范围 6.(2025一2026茂名期末)关于x的一元二次 方程kx2+2x一1=0有实数根，则k的取值 范围是 上册第二章 33△ 计算技巧专题 元二次方程的解法 题型① 当变形后方程右边是0，左边能因式 解：令x2一3x=y,则原方程可化为y2一2y 分解时，优先考虑因式分解法 一8=0，解得y1=-2,y2=4, 1.解方程：3x(3x+1)=6x十2. 当y=一2时，x2-3x=一2，解得x1=2,x2 1;当y=4时，x2一3x=4,解得x3=4,x4= -1. 故原方程的解为x1=2,x2=1,x3=4,x4= -1. 题型②当方程是(x-m)2=n(n≥0)或(x 根据以上材料，解方程：(2x2一3x)2十5(2x2 -3.x)+4=0. -a)2=(x一b)2的形式时，优先考 虑直接开平方法 2.解方程：5(x-2)2=10. 题型③ 当方程的二次项系数为1，一次项系 数是偶数时，优先考虑配方法 题型⑥解含绝对值的一元二次方程 3.解方程：x2一4x+1=0. 6.阅读下面的材料，解答问题， 解方程：x2-3|x一10=0 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为x2-3x一10=0， 解得x1=5,x2=一2（不合题意，舍去）； 题型④以上三种方法都不易求解时，考虑 ②当x<0时，原方程化为x2+3.x一10=0， 用公式法求解 解得x1=-5,x2=2(不合题意，舍去). 4.解方程：2x2-6x一1=0. 综上所述，原方程的解是x1=5,x2=一5. 仿照上面的方法，解方程：x2一22x+3+9 =0. 题型⑤ 对于繁杂的方程，可先采用换元法， 化繁为简 5.阅读材料： 解方程：(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0. 434 九年级数学Bs版当a=一1时，原代数式无意义： 1 1 当a=4时，原式=4×(4-112 10.解：(1)方程x2十2x十1=0是“勾系一元二次方程”. 理由：√2c=2,∴c=√2.a=1,b=1,∴.a2+b2= c2,∴.以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形，且c 为斜边的长，∴.方程x2+2x十1=0是“勾系一元二次 方程” (2)证明：，a.x2十√2cx十b=0是“勾系一元二次方 程”，∴.a,b,c为同一直角三角形的三边长，且c为斜 边的长，.c2=a2+b2.△=（√2c)2-4ab=2c2 4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0，∴.关于x的 “勾系一元二次方程”a.x2十√2cx十b=0必有实数根. (3)2 【解析】(3)，x=-1是“勾系一元二次方程”ax2十 √2cx+b=0的一个根，∴.a-√2c+b=0,.a+b= 2c.,四边形ACDE的周长是12，.2(a十b)十√2d =12,∴.2W2c+√2c=12,∴.c=22,.a+b=√2× 2√2=4，∴.(a+b)2=16,.a2+2ab+b2=16.:a2+ b2=c2=(22)2=8,.2ab+8=16,.ab=4, 2×4=2. 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 1.D 2.解：(1)一代数式(x+3)的值可能为0 (2)移项，得2(x十3)2-x(x十3)=0， .(x+3)[2(x+3)-x]=0,即(x+3)(x+6)=0, 解得x1=-3,x2=一6. 3.C 4.解：(1)示例：选择x2-3x十1=0. .a=1,b=-3,c=1, 84=（-3》-4×1X1=9-4=5>0x=3±5 2 ,=3+5.=3-5 2x2 2 (2)①移项，得x2+3.x=10. 949 配方，得x2+3x+4=4 即(+)-9 -± 3 两边开平方，得x十 解得x1=-5,x2=2. ②.a=4,b=-7,c=2, .△=(-7)2-4×4×2=49-32=17>0， 7士√17 7+√177-17 8 x1= t,= 8 8 ③因式分解，得x(x一3)=0， .x=0或x一3=0，解得x1=0,x2=3. 5.D【解析】设小康和小明两人所集赞个数分别为x, (x一2).根据题意，得x(x一2)=960.整理，得x2-2x 418 九年级数学BS版 一960=0，解得x1=32,x2=一30（不符合题意，舍 去)，则32-2=30（个），∴.小康和小明两人所集赞个 数中的较小偶数是30. 6.A【解析】.5x一10=(x一2)2，整理，得(x一2)(x一 7)=0,∴.x一2=0或x一7=0， 解得x1=2,x2=7. 当三角形的第三边的长是2时，2+6=8，不符合三角 形三边的关系，舍去： 当三角形的第三边的长是7时，三角形的周长是6十8 +7=21. 综上所述，该三角形的周长是21. 变式题C【解析】令(x一6)(x一3)=0，解得x1=6, x2=3. 当三角形为等腰三角形时，若腰长为3，则三边长分别 为3,3,6，不能构成三角形，舍去； 若腰长为6，则三边长分别为6,6,3，三角形的周长为6 +6+3=15. 当三角形为等边三角形时，边长为3或6，三角形的周 长为9或18. 综上，三角形的周长为9或15或18. 7.C 8.D【解析】设y=m十n2,原方程可变形为y(y十2) 一8(y+2)=0.整理，得(y十2)(y一8)=0， 解得y1=-2,y2=8. m2+n≥0，.m2+n2的值为8. 9.一2【解析】根据题意，得x2+2x-(3.x十1)=5.整 理，得x2-x-6=0.因式分解，得(x十2)(x-3)=0, 解得x1=-2,x2=3.当x=-2时，3.x十1=-5<0， 符合题意；当x=3时，3x+1=10>0,不合题意， 舍去. 故x的值为一2. 10.解：设垂下的长度BF为xcm,则AE=BF=xcm. 根据题意，得(120+2(60+2+）=2×120×60， 整理，得x2+100x-2400=0,即(x-20)(x+120) =0, 解得x1=20,x2=一120（不符合题意，舍去）， 3 3 120+2x=120+2×20=160,60+2x=60+2× 20=90. 故这块桌布的长为160cm,宽为90cm. 11.解：(1)x2+4x+3=(x+3)(x+1)=0, .x十3=0或x+1=0,解得x1=-3,x2=-1. (2)2x2+3x-20=(x+4)(2x-5)=0, 5 r十4=0或2x-5=0,解得x1=-4,x,=2: 解题技巧专题一元二次方程根的 判别式的应用技巧 1.C2.D3.C 4.无实数根【解析】，a,b,c是△ABC的三边长，∴.a -b<c,a+c>b,∴.a-b-c<0,a-b+c>0.:△= [-(a-b]r-4xc2=a-6)2-c2=a-b-c)a -b+c)<0关于x的方程4x2-(a-b)x+c2=0 无实数根 5.1或2【解析】.直线y=一3x一a不经过第三象限， ∴.a=0或a<0. 当a=0时，原方程是一元一次方程，故有一个实数根： 当a<0时，原方程是一元二次方程，.△=（一3）2 4a=9-4a.a<0,∴.-4a>0,∴.9-4a>0,∴.△>0， ,.方程有两个不相等的实数根.综上，原方程的根的个 数为1或2 6.B 7.D【解析】由题意，得x·m.x十x十1=0，即m.x2十x 十1=0.，关于x的方程【x,x十1】★(m.x)=0有两个 不相等的实数根，∴△=12一4m>0,且m≠0，解得m <行且m0, 8号9.0（答案不唯-） 10.解：(1)证明：当2一k=0,即k=2时，方程为2x一2= 0,解得x=1; 当2一k≠0，即k≠2时，方程为一元二次方程，△=k -4(2-k)·(-2)=k2-8k+16=(k-4)2≥0， 则此时方程有实数根。 综上，无论k取何值，此方程总有实数根。 (2)此方程有两个整数根，.方程为一元二次方程， k≠2.a=2-k,b=k,c=-2,.x= 一k士√(k-4) 2(2-k) 一k-(k一42=1，x2= ,解得x,=2(2-k) -k+(k-4)一22 2(2-k)2-kk-2 :x1,x2为整数，k为正整数， .k=1或3或4. 计算技巧专题一元二次方程的解法 1.解：移项，得3.x(3.x+1)-2(3x十1)=0 因式分解，得(3x一2)(3x十1)=0， .3x-2=0或3x+1=0, 2 1 解得x=3=一3 2.解：整理，得(x-2)2=2. 两边开平方，得x一2=√2或x一2=一√2， x1=2十√2，x2=2-√2 3.解：移项，得x2-4x=一1. 配方，得x2-4x十4=-1十4，即(x一2)2=3. 两边开平方，得x一2=土√3， ∴.x1=2十√5，x2=2-√5. 4.解：a=2,b=-6,c=-1, ∴.△=b2-4ac=(-6)2-4×2×(-1)=44>0, x=-(-6)±V年_6±2页3士m 2×2 4 2 ,3+厘，3 2 2 5.解：令2x2-3.x=y,则原方程可化为y2+5y+4=0, 解得y1=-4,y2=-1. 当y=-4时，2x2-3x=-4,即2x2-3x+4=0,此 时△=（一3）2一4×2×4=一23<0，方程无实数根， 舍去； 当y=一1时，2x2一3x=一1， 1 解得x,=2x=1. 故原方程的解为=2：=1. 6.解：分两种情况： 0当2x+3≥0，即x≥-是时，原方程化为x 2(2x+3)+9=0. 整理，得x2-4.x十3=0，解得x1=1,x2=3; @当2r+8<0,即<一号时，原方程化为r+2(2x +3)十9=0.整理，得x2+4.x+15=0. ,△=4-4×1×15=-44<0， .方程无实数根，舍去. 综上所述，原方程的解是x1=1,x2=3. 3一元二次方程的根与系数的关系 1.A 2.A【解析】一元二次方程x2一3x十1=0的两个根 为x1,x2x-3.x1=-1,x1十x2=3, .x7-5x1-2x2=x-3.x1-2(x1+x2)=-1-2X3 =-7. 3.A【解析】：关于x的一元二次方程x2+2x十p=0 的两个根为x1,x2, ∴x1十x2=-2,x1x2=p. 1+1=3. TI T2 :,+=3,即-3，解得力=一号 2 JIT2 4.解：由题意，得△=16-4k+4≥0，解得k≤5. ,x1,x2是方程的两个实数根， .x1十x2=-4,x1x2=k-1. :gx+2写×(-40<2- 解得>子：6<长的取值范围是写<k< 5.一4【解析】.方程有两个实数根， .△≥0，即(2m)2-4(m2-m)≥0，解得m≥0. x1x2=2,即m2-m=2,解得m1=2,m2=-1(舍 去)， ∴.x1+x2=-2m=-2X2=-4. 6.5 7.q十p十1【解析】设关于x的方程a.x2+bx十c=0(a ≠0)的两个根为x1,x2,则x1十x2=p,x1x2=q,∴.关 于y的方程a(y-1)2十b(y-1)十c=0的两根为y1 上册详解详析 19个