第一章 模型构建专题 与正方形有关的基本模型&解题技巧专题 特殊平行四边形中的分类讨论问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

模型构建专题 与正方形有关的基本模型 模型① “十字架”模型 2.(2025一2026菏泽检测)(1)如图①，在正方形 模型解读 ABCD中，AE,DF相交于点O,且AE⊥DF, 如图，分别连接正方形两组对边上的任意 则AE和DF的数量关系为 两点，得到的两条线段若垂直，则相等， (2)如图②，在正方形ABCD中，E,F,G分 E D 别是边AD,BC,CD上的点，BG⊥EF,垂足 为H.求证：EF=BG (3)如图③，在正方形ABCD中，E,F,M分别 B G 是边AD,BC,AB上的点，AE=2,BF=5,BM 图① 图② 图③ =1.将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好 1.如下图，在正方形ABCD中，E是BC的中 与CD边上的点N重合.求CN的长度 点，连接DE,过点A作AG⊥DE,交ED于 点F,交CD于点G,连接BF.求证：AB =BF. 图① 图② 图3 上册第一章 15△ 模型② “半角”模型 4.项目式学习【初步探究】如图①，在正方形 模型解读 ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连 (1)如图①，在正方形ABCD中，若 接AE,AF,EF.若∠EAF=45°，将△ADF ∠EAF=45°，则①EF=BE+DF; 绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG.易证： ②C△ErC=2AB;③FA平分∠DFE,EA △AEF≌△AEG. 平分∠BEF;④MN=BM+DN2 (1)∠EAG= 【迁移探究】(2)如图②，在正方形ABCD中 若点E在CB的延长线上，点F在DC的延 长线上，∠EAF=45°.证明：BE+EF =DF. 图① 图② 【拓展探索】(3)如图③，已知正方形ABCD (2)如图②，在正方形ABCD中，若∠EAF= 的边长为3√2，E,F分别在BC,CD上， 45°，则FA平分∠DFE,EF=DF-BE. ∠EAF=45°，连接BD分别交AE,AF于点 3.如下图，正方形ABCD的边长为3，E,F分 M,N.若点M恰好为线段BD的三等分点， 别是边AB,BC上的点，且∠EDF=45°. 且BM<DM.线段MN的长为 (1)求证：EF=AE+CF. (2)当AE=1时，EF的长为 图② 16 九年级数学Bs版 解题技巧专题 特殊平行四边形中的分类讨论问题 题型① 点的位置不确定 1.如图，O为坐标原点，四边形OABC是矩形， A(10,0),C(0,4),D是OA的中点，点P在 线段BC上运动.当△ODP是腰长为5的等 第5题图 第6题图 腰三角形时，点P的坐标为 6.如图，在矩形ABCD中，BC=4,AB=a,E 为AD的中点，F为射线AB上一点，连接 CF,BF=3.若将△AEF沿直线EF折叠 后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的 值为 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E, 第1题图 第2题图 F分别是边BC,CD上的点，连接AE,EF 2.如图，点E在正方形ABCD的对角线BD ⊥AE,将△ECF沿EF翻折得到△EC'F, 上，∠BAE=30°.若在正方形ABCD的边 上有一点F,且AE=EF,则∠AEF的度数 连接AC'.当BE= 时， 为 △AEC'是以AE为腰的等腰三角形. 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,连 接AC.若点P在图中任意线段上，且AP CP,则BP的长为 第7题图 第8题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC 第3题图 第4题图 4.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， =6.D是直线BC上一点，连接AD,∠ADC =60°，E是线段AD的中点，连接CE,以CE AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E 为边在AC左侧作正方形CEFG,则△DEG 在AC上.若OE=√3，则CE的长为 的面积为 题型③ 直角的位置不确定 题型②边的位置不确定 9.如图，在菱形ABCD中， 5.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M AB=4,∠B=2∠A,E,F 是边AD的中点，点N在边AB上移动，把 分别是AD,AB的中点， ∠A沿MN折叠，使点A落在点E处，连接 动点P从点B出发，沿着 第9题图 CE.若△MNE是直角三角形，则线段CE 顺时针方向运动到点C.当△PEF为直角三 的长为 角形时，BP的长为 上册第一章 17=ED,.矩形DEFG是正方形 (2)在Rt△ABC中，AC=√2AB= 42.,CE=22,∴.AE=CE= 22,∴点F与点C重合，如图②. 此时△DCE是等腰直角三角形，B C(F) .四边形DECG是正方形，.CG= 图② CE=2√2. (3)∠EFC=130°或40° ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.C 2.(5+5√2) 变式题解：设截去的等腰直角三角形的直角边长为 xcm,正八边形的边长为acm. 由题意，得/0+2x=10,0 x2+x2=a2.② 由②，得2x2=a2, 务得一瓷 把r=号a代入①，得a+2 √2 2a=10, 整理，得a(1+√2)=10， 解得a=10(√2-1). 故正八边形的边长为10(W2-1)cm. 3.解：设等腰直角三角形的直角边长为xm. 由题意，得x2十x2=6,解得x=3√2（负值已舍去）， ∴.正方形的面积为(3√2+3√2+6)2=(108+ 72√2)m2, ,这个正八边形的面积为(108+72√2)-4×2×3V2 ×3√2=(72+72√2)m2. 4.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB=BC,∠DAM=∠B=90°. .BM=CN, ∴.AB-BM=BC-CN,即AM=BN. 在△ABN和△DAM中， (AB=DA, ∠B=∠DAM, BN=AM, ,∴.△ABN≌△DAM(SAS). (2):内嵌正八边形的周长为40， .正八边形的边长为40÷8=5， √2AM=5, ∴AM=2E. 模型构建专题与正方形有关的基本模型 1.证明：如图，延长DE交AB的延长线于点H. ,E是BC的中点， .BE=CE. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CD,∠ABC=∠C=90°， ∴∠C=90°=∠HBE. 又，∠DEC=∠HEB, ,∴.△DCE≌△HBE(ASA), ∴.BH=CD=AB,即B是AH的 中点. 又.AG⊥DE,.∠AFH=90°， 1 BF=ZAH=AB,即AB=BF, 2.解：(1)AE=DF (2)证明：如图①，过点E作EM⊥BC于 点M, 则四边形ABME为矩形，∴.AB=EM. 在正方形ABCD中，AB=BC, B M .EM=BC. 图① :EM⊥BC, ∴.∠MEF+∠EFM=90. BG⊥EF,.∠BHF=90°， ∴∠CBG+∠EFM=90°， ∴∠CBG=∠MEF. 在△BCG和△EMF中， |∠CBG=∠MEF, BC=EM, ∠C=∠EMF ∴.△BCG≌△EMF(ASA),∴.EF=BG. (3)如图②，连接MN,过点E作EH ⊥BC于点H,过点M作MG⊥CD 于点G,则EH⊥MG,四边形ABHE 和四边形BCGM都为矩形. M,N两点关于EF对称， B月 .MNI EF. 图② 同(2)可得△EHF≌△MGN(ASA), .NG=HF. AE=2,BF=5, .NG=HF=BF-BH=BF-AE=5-2=3. 又，GC=MB=1, .∴.CN=NG+GC=3+1=4. 3.解：(1)证明：如图，延长BC至点H,使CH=AE,连 接DH ,四边形ABCD是正方形 .AD=CD,∠A=∠DCB=∠ADC =90°， ∴.∠A=90°=∠DCH. 又AE=CH, ∴.△DAE≌△DCH(SAS), ∴.DE=DH,∠ADE=∠CDH .∠ADC=90°，∠EDF=45°， ∴.∠ADE+∠FDC=45°， ∴.∠FDC+∠CDH=45°，即∠HDF=45°， ∴∠EDF=∠HDF=45°. 又DF=DF, ∴.△EDF≌△HDF(SAS), 上册详解详析 .EF=HF. .HF=CF+CH=CF+AE, ..EF=AE+CF. 5 (2)2 【解析】(2)设EF=x,则FH=x. 正方形ABCD的边长为3， ∴.AB=BC=3. AE=1, ∴.BE=2,CH=1, .FC=x-1, .∴.BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x. 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2十BF2=EF2, 2+(4-x)2=x2,解得x=2 5 F-多 4.解：(1)45 (2)证明：如图①，在DC上截取DH=BE,连接AH. 在△ABE和△ADH中， AB=AD, ∠ABE=∠D=90°， BE=DH, ∴.△ABE≌△ADH(SAS), 图① ∴.AE=AH,∠BAE=∠DAH, .∠BAE+∠BAH=∠BAH+∠DAH=9O°，即 ∠EAH=∠BAD=90. :∠EAF=45°， ∴.∠EAF=∠FAH=45. 在△EAF和△HAF中， AE-AH. ∠EAF=∠HAF, AF=AF, ∴.△EAF≌△HAF(SAS), .EF=HF. .DH+HF=DF,..BE+EF=DF. (3)2.5 【解析】(3)如图②，将△ADN绕 点A顺时针旋转90°得到 △ABK,连接KM. ·四边形ABCD是正方形， ,.AB=AD=3√2，∠BAD=90° 图② ∴.∠ABD=∠ADB=45°，BD=√AB+AD=6, BM=专BD=2. ∴.DM=BD-BM=4. 由旋转的性质可得，∠KAN=90°，AK=AN,BK= DN,∠ABK=∠ADB=45°， .∠KBM=∠ABK+∠ABD=90. ∠KAN=90°，∠MAN=45°， .∠KAM=∠MAN=45. 又：AM=AM, .△AMK≌△AMN(SAS), .∴.KM=MN. 8 九年级数学BS版 设KM=MN=x,则BK=DN=4-x. 在Rt△BMK中，BK2+BM=KM, (4-x)2+2=x2,解得x=2 ∴.MN=2.5. 解题技巧专题特殊平行四边形中的 分类讨论问题 1.(8,4)或(2,4)或(3,4) 【解析】①当OD=PD=5(点P 在点D右侧)时，如图①所示， 过点P作PQ⊥x轴于点Q. DQA 在Rt△DPQ中，由勾股定理， 图① 得DQ=√DP2-PQ=3,∴.OQ=OD+DQ=5+3= 8,点P的坐标为(8,4). ②当OD=PD=5(点P在点D 左侧)时，如图②所示，过点P 作PQ⊥x轴于点Q. 在Rt△DPQ中，由勾股定理， Q 图② 得QD=√PD-PQ=3, .OQ=OD-QD=5-3=2, ∴点P的坐标为(2,4). ③当PO=OD=5时，如图③所 示，过点P作PQ⊥x轴于点Q. 在Rt△OPQ中，OP=OD=5, 图③ PQ=4. 根据勾股定理，得OQ=√OP-PQ=3,则点P的 坐标为(3,4). 综上所述，点P的坐标为(8,4)或(2,4)或(3,4) 2.60或90°或150°【解析】分三种情况： ①如图①，当点F在AD上时， ,四边形ABCD是正方形， ∠BAD=90°. ∠BAE=30°， .∠EAF=∠BAD-∠BAE=60°. :AE=EF,△AEF是等边三角形， .∠AEF=60°. ②如图②，当点F在CD上时，连接CE. :四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADE=∠CDE=45°，ED=ED, ,.△ADE≌△CDE(SAS), ∴AE=CE,∠DAE=∠DCE=60°， ∴.∠AED=∠CED=180°-60°-45°=75°， ∴.∠AEC=150°. .AE=EF, ..CE=EF, △ECF是等边三角形， ∴∠CEF=60°， ∴∠AEF=∠AEC-∠CEF=150°-60°=90°. ③如图③，当点F和点C重合时，由②知∠AEC= 150°，.∴∠AEF=150. 综上所述，∠AEF的度数为60°或90°或150°. C( 图① 图② 图③ 3.2√5或√4I或3【解析】在矩形ABCD中，∠ABC= ∠BAD=∠D=90°，AD=BC,CD=AB. AB=4,BC=8,.根据勾股定理，得AC= √AB+BC=√4+8=45.当AP=CP时，分情 况讨论：①P为AC的中点，如图①所示，则BP= 2AC=25. 图① 图② ②点P在AD边上，如图②所示 设AP=CP=x,则PD=8-x. 在Rt△PCD中，根据勾股定理，得PD十DC2=PC2, 即(8-x)2+42=x2,解得x=5,∴.AP=5. 在Rt△BAP中，根据勾股定理，得BP=√AB十AP =√4+5=√4红. ③点P在BC边上，如图③所示 设AP=CP=x,则BP=8-x. 在Rt△ABP中，根据勾股定理 得BP2+AB2=AP2,即(8-x) +4=x2, 图③ 解得x=5, .BP=8-5=3. 综上所述，BP的长为2√5或√4T或3. 4.4V3或23【解析】：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD=6,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC :∠BAD=60°，.△ABD是等边三角形， .BD-AB-6...OB-7BD-3. .OC=OA=√AB2-OB2=33. :点E在AC上，OE=√3， ∴.当点E在线段AO上时，CE=OC+√J3=4√3： 当点E在线段CO上时，CE=OC-√5=2√5. 综上所述，CE的长为43或23， 5.√7或2【解析】由题意，得∠MEN≠90°.①如图①，当 ∠MNE=90°时，过点C作CF⊥AB于点F. :∠MEA=∠A=60°， D ∠AME=60°， .△AME是等边三角形. A-E ..Ci 又，M是边AD的中点， B 图① AE-AM=2AD=1. .BE=AB-AE=2-1=1. ,四边形ABCD是菱形， .BC=AD=AB=2,AD∥BC, ∴∠A=∠CBF=60°， 则∠BCF=90°-60°=30BF=2BC=1. ∴.CF=√BC-BF=√22-1下=√3，EF=BE+BF =1+1=2, ∴.CE=√CF+EF=√(W5)2+2=√7. ②如图②，当∠EMN=90时，点E与点D重合，点N 与点B重合，这时CE=CD=2.综上所述，线段CE的 长为√7或2. D(E) 图② 6.4或1【解析】①如图①，当点F在线段AB上时，连 接EC.:四边形ABCD为矩形，∴.∠A=∠B=∠D =90°，DC=AB=a.:E为AD的中点，.AE=DE -2AD.由折叠的性质，得AE=GE,∠BGF=∠A 90°，∴.GE=DE. :点G在CF上，.∠CGE=180°-∠EGF=90°， ∴∠CGE=∠D.GE=DE,CE=CE,Rt△CGE ≌Rt△CDE(HL),.CG=CD.,BF=3,BC=4, ∴.CF=√BF+BCz=5. .AF=a-3,.CG=5-(a-3)=8-a, .8-a=a,∴.a=4. ②如图②，当点F在AB延长线上时，AF=a十3，由勾 股定理，得CF=√BF+BC=5,由①易得Rt△CGE ≌Rt△CDE(Hl),.CG=5-(a+3)=2-a, .2-a=a,.a=1. 综上所述，a的值为4或1. D 图① 图② 7名或号【解标】设BE=,则BC=4- 由题意，得EC'=EC=4-一x 分情况讨论：①当AE=EC'时，AE=4-x. ,四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90. ,在Rt△ABE中，AB2+BE=AE2, ∴.32+x2=(4-x)2, 7 7 解得x=8BE=g ②当AE=AC'时，如图，过点A作AH⊥EC'于点H, 则∠AHE=90°. ,四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°=∠AHE. 9 上册详解详析 EF⊥AE, ∴.∠AEF=∠AEC'+∠FEC'=90 ∴.∠AEB+∠FEC=90. 由题意，得∠FEC'=∠FEC, .∠AEB=∠AEH. 又AE=AE, ∴.△ABE≌△AHE(AAS), ∴.BE=HE=x. :AE=AC',AH⊥EC, EC'=2HE,即4-x=2x,解得x=3, 4 六班= 综上所述，当BE=名或号时，△AEC'是以AE为腰的 7 等腰三角形 8.3√3+3或3√3-3【解析】①如图①，当点D在BC 上时，分别过点E,G作BC的垂线，垂足分别为 M,N. 在Rt△ACD中，∠ACD=90°， ∠ADC=60°， ∠CAD=30,CD=号AD.由勾 股定理，得AD2一CD2=AC2,即B4 4CD2-CD=62,解得CD=2√3， ∴.AD=2CD=4V5. 图① E是线段AD的中点， .CE-DE-7AD-25. .△EDC是等边三角形， ∴.∠ECD=60°. EM LCD..CM-DC- ∴.EM=√CE2-CM=3. 由正方形的性质，得CG=CE=2√3，∠ECG=90°， ∴.∠DCG=30°， N-CGB 1 SAOm=SACDE+SACD-SAR-X23X3+2 ×25×5-号×25×25=35+3-6=35-3. ②如图②，当点D在BC延长线 上时，分别过点E,G作BC的垂 线，垂足分别为M,N. 同理可得GN=3,CD=23, EM=3,EF=2√3， 图② SADEG=SACDE SAECG -SACDG -×23×3+ ×2后×25-号×25×5-36+6-3=85+8 综上所述，S△pc的值为33十3或33-3. 10 九年级数学BS版 9.3或√I3或2√3【解析】：四边形ABCD为菱形，AB =4, ∴.AB=BC=CD=AD=4. AD∥BC, .∠A+∠B=180°. ∠B=2∠A, .∠A+2∠A=180°， ∴.∠A=60°. ,E,F分别是AD,AB的中点， ∴AE=2AD,AF=2AB, ..AE=AF=2. 连接EF,△AEF是等边三角形.分情况讨论： ①如图①，当点P在AB边上，且P是AF的中点时， △PEF为直角三角形，此时AP=号AF=1, .BP=AB-AP=4-1=3. ②如图②，当点P在AD边上，且P是AE的中点时， △PEF为直角三角形，此时AP=PE=AE,连接 BD,BE,BP」 AB=AD,∠A=60°， .△ABD是等边三角形， ∴.BE⊥AD 由勾股定理，得BE=√4-2=2√3. 由勾股定理，得PB=√BE2+PE=√I2+I=√I3, ③如图③，当点P在CD边上，且P是CD的中点时， 连接BD,AC,PE,PF,EF,PB,则PC=2CD=2. ,PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线， .PE∥AC,EF∥BD. AC⊥BD, ∴PE⊥EF, ∴.△PEF为直角三角形. 易证△BCD是等边三角形， ∴.BP⊥CD. 由勾股定理，得PB=√BC一PC =W16-4 =23. 综上，PB的长为3或√13或2√3. 3