第一章 章末对点导练-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

章末对点导练 已单元考点整合 7.计算： (1)sin230°+2sin60°+tan45°-4tan60° 考点① 锐角三角函数 +c0s230° 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A,∠B, ∠C所对的边分别是a,b,c,那么下列等式中 成立的是 ( A.a=b·tanB B.c=b·cosA C.c= a D.a= sinA cos B (2)-3an60°+(-3)-13-121-(x 2.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=4, -√/2025)°+(3)3. tanC=3,则△ABC的面积为 ( ) A.12 B.18 C.24 D.36 sin 30 3 sin60°-sin245°-2cos60° (3) D 第2题图 第3题图 3.如图，网格中小正方形的边长均为1，点A,B, C都在格点（网格线交点）上，则∠B的正切值 是 考点③ 解直角三角形 考点② 特殊角的三角函数值 8.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平 4.下列三角函数中，值为？的是 移，得到△EFG,点E,F在坐标轴上.若 A.tan 30 B.cos 30 ∠A=90°，tanB= 2,A(-4,3),则点G的 C.cos60° D.sin 45 坐标为 () 5.在△ABC中，∠C,∠B为锐角，且满足 A.(11,-4) B.(10,-3) sin C- +/3 C.(12,-3) D.(9,-4) 2 -cosB)2=0,则∠A的 度数为 A.100 B.105° C.90 D.60° 第8题图 第9题图 9.如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的 6.若0°<a<45°，sin2a= 2则a 三等分点，连接DE,AF,两线相交于点G, 24 九年级数学BS版 连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF ,眼睛 的值是 看到鱼的位置302 水面 35 A 1 .3 C. 2 鱼的实际位置 D.3 第13题图 10.如图，在四边形ABCD中，连 14.综合与实践(2026吉安吉水一模)【主题】 接AC,BD,∠ABD 探究化学实验中的数学问题， ∠BCD=90°，∠DAB=60°， 【实践操作】图①所示的是排水法收集气体 BC=CD,则tan∠ACD的值 的化学实验装置示意图，安装要求为试管 第10题图 为 口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的 11.一题多解法如下图，在△ABC中，∠BAC 三分之一处 【数学建模】将图①的示意图抽象成图②， =120°，AC=6,BC=219.求AB的长. 已知试管AB的长为15cm,过点B作AH 的垂线段，垂足为C,交DG于点E,试管倾 斜角∠ABC=8°，试管与导管的夹角 ∠ABF=143° 试管 气 酒精灯 图① 图② 【问题解决】(1)求∠BFM的度数. (2)铁夹D到水平桌面HN的距离是 考点④ 三角函数的应用 17cm,测量可得导管露在水槽外的部分 BF为8cm.求水槽的高度MN(结果精确 12.古代数学文化《天工开 B 物》记载的用于春捣谷 到0.1cm.参考数据：√2≈1.41，sin8°≈ 物的工具一“碓”的平 0.14,cos8°≈0.99，tan8°≈0.14). 广 面示意图如图所示.已 第12题图 知AB⊥CD于点B,AB与水平线I相交于 点O,OE⊥l.若BC=4dm,OB=12dm, ∠BOE=60°，则点C到水平线l的距离 CF为 dm. 13.跨物理学科利用光的折射原理，叉鱼时应 瞄准鱼的下方.如图所示，当人看到水中的 “鱼”在水面下方1m处时，应对准“鱼”的 下方约 m处叉鱼（结果保留 小数点后两位，参考数据：√5≈1.732，√2≈ 1.414,tan55≈1.428，tan35°≈0.700). 下册第一章 25△ 已中考真题演练 18.（2026天津，有改动)在综合与实践活动中， 15.（2026湖南)门与 要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB 两面墙的平面示 的高度（如图①）. 墙 意图如图所示， 某学习小组设计了一个方案：如图②所示， 第15题图 墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转，F 点A,B,C,D,E在同一平面内，AB1 是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页 BC,BC∥DE,AB的延长线与水平线DE 打开后吸住定位的装置)，EF⊥AB于点 相交于点O.从地面C处沿步道CD(看作 E.已知AC=a,EF=b,∠ACF=a,且a 斜坡)前行至平台DE,CD=22m.在平台 D处测得纪念碑顶部A的仰角（∠ODA) >b,则门吸EF离墙AC的距离AE为 为42°，斜坡CD的倾斜角（∠ODC)为12°； ) 在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角 A.a·tana B.(a-b)sin a (∠OEA)为35°，DE=9m.根据该学习小 C.(a-b)cos a D.(a-b)tan a 组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB 16.(2026广东，有改动)在桌上放一块平面镜， 的高度（结果取整数，参考数据：tan35°≈0. 让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙 7,tan42°≈0.9，sin12°≈0.2). 壁上就会出现一个明亮的光斑（如图①） 如图②，∠1=∠2，若tan∠AOD=3 ,OB =8,则BC= B 0 D 图① 图② 光斑 面镜 桌子 A 0 图① 图② 第16题图 17.(2026成都)计算：(3)）-8+20s60°+ 11-22. 426 九年级数学BS版∴.DB=√25-20=15(cm), “△ABC的面积为号×20×(205-15)=(2005- 150)cm2. 综上，△ABC的面积为(200√3+150)cm或(200√3一150)cm2 4.解：x=sinA是方程5.x2一14x+8=0的一个根， 5sinA-14sinA十8=0：解得snA=号或snA=2. 4 又：0<sinA<1,.sinA=5 5.B【解析】若∠ADB一∠B=90°，如 图①所示， 过点A作AE⊥BC于点E. .AB=AC.BC=8, D E .BE-BC4. 图① AE 3 六sinB一AB亏·利用科学计算器，可知∠B≈37， .∠ADB=90°+∠B≈127°， ∴.∠BAD=180°-∠B-∠ADB≈16°，此时∠B不是最小 角，不符合题意； 若∠ADB一∠BAD=90°，如图②所 示，过点D作DE⊥BC交AB于点 E,过点A作AF⊥BC交BC于点F, 则∠BDE=∠BFA=90°， 则∠EAD=∠EDA,此时DE=AE 图② AB-AC-5.BC-8.BF-BC4. ∴.AF=√AB2-BF=√5-4F=3. DE AF 3 tan B-BD-BF 设DE=AE=3x,BD=4.x,则AE=3.x, BE=BD+DET=5x,AB-8x=5,-8 5 5 此时BD=4红= 6.35【解析】如图，过点P作PQ⊥ 0 AD,交AD延长线于点Q. ,四边形ABCD是平行四边形 ∴AB/∥CD,∴∠PDQ=∠A=60°， G.PQ-PDsin ZPDQ=PD 当B,PQ三点共线时，PB+PD最小， 此时PB+受PD=BQ=ABin∠A=6X 2 =35. 7.B【解析】如图，过点P作PC⊥x轴于点C oL:铺B0/pc部祀 AB BP=5 4.OC=a,PC=a, A0=5 tan∠PAO=Pe=a一=。： 8.解：DE⊥BC,垂足为E,∴tanC=DE=3 CE 4' :CD=DE=子，CE=音BE=10-亭 3 F是BD的中点S=m=(0-号)·号 化简得S=一是+2 9.解：(1)可以通过限高装置.理由如下： 如图，过点P作PG⊥AB,垂足为G,设PD与AB相交于点K. M 在Rt△BDK中，BD=4m,∠ABC=26.5°， ∴.DK=BDtan∠ABC=4Xtan26.5°≈2(m). .PD=4.5m,∴.PK=PD-DK≈4.5-2=2.5(m). 在Rt△PGK中，∠PKG=∠DKB,∠G=∠KDB=90°， ∴.∠KPG=∠ABC=26.5°， ∴.PG=PKc0s∠KPG≈2.5×cos26.5°≈2.25(m)>2m, 正方体货柜能通过限高装置 (2),楔子的侧面EFF,E,与正方体货柜的底面完全重合， ∴.EF=2m. ∠FEH=∠ABC=26.5, ∴.在Rt△EFH中，FH=EFtan∠FEH=2Xtan26.5°≈ 1(m), EF 2 EH=eos∠FEH-cos26.F*0.9≈2.22(m, .NH=NF+FH≈2+1=3(m). 由(1)得PK≈2.5m, .NH=3m>PK≈2.5m, ,此时正方体货柜不能通过限高装置 直三棱柱式楔子的侧面展开图是三个矩形， 且EF=2m,EE1=2m,EH≈2.22m,FH≈1m, ∴直三棱柱式楔子的侧面积=2×2+2.22×2十1×2= 10.44(m2). 章末对点导练 1.C2.B 3.3【解析】取BC的中点D,连接AD,如图所示. AB2=52+52=50,AC2=72+12=50, .AB2=AC2,即AB=AC,.AD⊥BC AD=√6+32=3√5，BD=√2+1=5， im∠B-品-8 4.B 5.B【折rC-号+（停-m)=0 ∴.sinC= sB=∠C=45∠B=30 ∴∠A的度数为180°-45°-30°=105 6.30 7.解：1)原式-（分）+2×+1-4v5+()-+5 +1-45+=2-35 下册详解详析 9 (2)原式=-3√5+(-3)-(2√5-3)-1+3√5=-35-3 -2√3+3-1+3√3=-23-1 3 (3)原式 -() 2 √31 43-1 2 2 3_3+13_2W3-1 42 4 4 8.B9.B 10.√3+1【解析】如图，延长AB,DC相 交于点E,过点A作AF⊥CD于点F BC=CD,∠BCD=9O°，∴∠CDB =∠CBD=45°..∠ABD=90°， .∠CBE=45°，.∠E=45, ∴∠FAB=45,AF=EF. 设AB=a,则AD=2a,BD=BE=√3a, AE-AB+BE-5+1a.CE-号BE-。 4, AE=6+2 ·EF=AF=2A 2a1 :.FC-EF-CE-6+/)a_a_ 2 2 2, V6+√2 AF 2 ,'.tan∠ACD= FC -=√5+1. √2 a 11.解：如图①，过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D. D B 图① .∠BAC=120°，.∠DAC=180°-120°=60°， .∠ACD=30°，∴.AD=ACsin∠ACD=3,CD= ACcos∠ACD=3V3 在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD=√BC2一CD √(2√19)2-(3√5)2=7， .AB=BD-AD=7-3=4. ◆一题多解法《 如图②，过点B作BE⊥AC,交CA的延长线于点E. E B 图② ,∠BAC=120°， ∴.∠BAE=180°-120°=60°，.∠ABE=30°. 设AB=2x,则AE=ABsin∠ABE=2xsin30°=x BE=ABcos∠ABE=2.xcos30°=√3x ,∴.CE=AC+AE=6+x. 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2=BE2十 CE2,即(2√19)2=(5x)2+(6+x)2,解得x=2 (负值已舍去)，.AB=2x=4 12.(6-23) 13.0.21【解析】如图，由题意，得AB=1m. 410 九年级数学BS版 ,眼睛 0 看到鱼的位置30 一水面 B的E 鱼的实际位置 在R△A0B中，iam30-识-号.OA=5m 在Rt△AOC中，∠ACO=∠COE=55°， ÷tam∠AC0=1an55=AC≈1.428， .AC≈1.213m,.BC≈1.213-1≈0.21(m), .应对准“鱼”的下方约0.21m处叉鱼. 14.解：(1)：∠ABF=143°，∠ABC=8, ∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=135. 由题意可知，BC∥MF, .∠BFM=180°-∠CBF=45 (2)如图，过点B作BP⊥FM,交FM的延长线于点P. D B E H GN “试管AB的长为15cm,BD=3AB, .'BD= A-5cm 在Rt△DEB中，∠ABC=8, ∴.DE=BDsin∠ABC≈5X0.14=0.7(cm). 在Rt△BPF中，∠BFP=45°， BP=BFsin45°=8x 2 =4√2(cm). .DG=17 cm, .MN=DG-DE-BP≈17-0.7-4√2≈10.7(cm). 故水槽的高度MN约为10.7cm. 15.D 16.6【解析】由题意可知，法线垂直于平面镜AB, .∠1+∠AOD=90°，∠2+∠BOC=90 :∠1=∠2，∴∠AOD=∠BOC. am∠A0D=子.1am∠B0C=是 在Rt△OBC中，∠OBC=90°，OB=8, :an∠B0C=OB-8 BC BC 3 BC=6. 17.解：原式 -2E+2x+2区-1=3-22+1+ 3 2√2-1=3. 18.解：根据题意，得∠AOE=90, AO 在Rt△AOD中，an∠ODA=0,∠ODA=42, AO ..DO= tan 42 在R1△AOE中，an∠OEA-A0,ZOEA=35 AO 得EO= tan 35 AO AO DE=9am35am42=9, ÷A0=9X1an35X1an42≈9X0.7X0,9=28.35. tan42°-tan35° 0.9-0.7 如图，过点C作CH⊥DE,垂足为H. 在Rt△CDH中，sin∠CDH=CD, ∠CDH=12°，CD=22. .CH=CDsin∠CDH≈22×0.2=… D E 4.4. :∠CBO=∠BOH=∠OHC=90°， .四边形BCHO是矩形，∴BO=CH≈4.4， ∴.AB=AO-B0≈28.35-4.4≈24. 故引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m. 第二章反比例函数 1认识反比例函数 1.B2.A 3.B【解析】此题可根据等量关系“长=矩形的面积÷宽”，把 相关数值代人即可，故y=160 x 4.y=6000 5.k≠1 变式题5【解析】根据反比例函数的概念，得m2一4m一6 一1且m十1≠0，解得m1=5,m2=一1（舍去），∴.m=5. 6.解：(1)这个函数是反比例函数. 根据题意，得y·x=1000×5, 六所求函数的表达式为y=5000 ∴.比例系数是5000. 50005000 (2)当x=50时，y= =50-10. 这个函数值的实际意义是当动力臂长为50cm时，所需动力 为100N. 2反比例函数的图象 第1课时反比例函数的图象 1.B2.B3.k>14.1 5.一4【解析】将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点 B,.点B的坐标是(2，一2).，点B恰好在反比例函数y= 女的图象上∴k=2X(-2)=-4 6.解：点A(一2,1)，B(3,2),C(一6，m)分别在三个不同的 象限，点A(一2,1)在第二象限，点B(3,2)在第一象限， ∴.点C(一6，m)在第三象限。 :反比例函数y=冬(k≠0)的图象经过其中两点， :反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B(3,2),C(一6， m),.3×2=-6m,.m=一1. 7.D 8.0【解析】根据反比例函数图象的对称性可知，点(3，y1)和 (一3，y2)关于原点对称，∴y1与y2互为相反数，∴y1十y =0. 一题多解法 :反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(3y,)和 (-3,y2）, k y1=3y=-3, 9.解：如图所示. 543210 +4 5H 10.B 11.24【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于T 点E.:四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，AB=BC, ∴.∠OBA+∠EBC=90°. :∠OBA+∠OAB=90°， ∴.∠OAB=∠EBC. 又，∠AOB=∠BEC=90° .△AOB≌△BEC(AAS),.OA=EB,OB=EC. :点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,4)， .OA=2,OB=4,.EB=2,EC=4,∴.点C的坐标为(4,6) :反比例函数)y=兰（长≠0）的图象经过点C, .k=4×6=24. 12.解：(1)(a+2,3)(a+2,1) k (2):点A(a,3),C(a+2,1)都在反比例函数y=x（x> 0)的图象上，∴.3a=a+2,解得a=1,.A(1,3),∴.k=3. 13.解：(1)△AOM的面积为3，反比例函数的图象经过第一 象限∴21k1=3心k=6, :反比例函数的表达式为y=工 6 6 (2)当顶点D在反比例函数y=二的图象上时，点D与点 M重合即AB=AM.把x=1代人y=三得y=6, .点M的坐标为(1,6)，∴.AB=AM=6,∴.t=1十6=7. 当顶点C在反比例函数y=。的图象上时，AB=BC=1一 ∴.点C的坐标为(t,t一1)，.t(t一1)=6. 整理，得t2一1一6=0，解得11=3，t2=一2（舍去），∴.1=3. 综上所述，t的值为7或3. 第2课时反比例函数的性质 1.A2.D3.>变式题C4.1(答案不唯一) 5.B【解析】图①中，阴影部分面积为4：图②中，阴影部分面 积为号×4=2：图③中，阴影部分面积为2×号×4=4：图① 中，阴影部分面积为4X2×4=8,故阴影部分面积为4的 有2个 6.8 变式题D【解折】：1)轴PQ⊥x轴，∴SA=1 2 =l.:S6m=5a+5Am=15.4+l =4,S△0Q=2 2 =15,1k1=22,.k=士22.由图象可知k<0,∴k=-22. 下册详解详析 11个