第一章 易错重难专练-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

易错重 已易错易混专练 易错点① 对锐角三角函数的定义理解不 透彻 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的 边都扩大为原来的30倍，则锐角A的三角 函数：①sinA;②cosA;③tanA.其中函数 值不发生变化的是 (填序号). 易错点②求三角函数时没有明确三角形为 直角三角形 2.已知△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c,且a=13,b=12,c=5.求sinB 的值. 易错点③图形未知，涉及高时，忘分类讨论 3.在△ABC中，若∠A=30°，AC=40cm,BC =25cm,求△ABC的面积. 42 九年级数学BS版 难专练 易错点④忽略锐角三角函数的取值范围 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，x=sinA是方程 5x2一14x+8=0的一个根.求sinA的值. 已重点难点专练 重难点① 解直角三角形与几何图形的综合 5.（2026合肥庐江一模)如 图，在△ABC中，AB= AC=5,BC=8,D为BCBD 第5题图 边上一点，且△ABD满足最大内角与最小 内角之差为90°，则BD的长为 () 7 A.1 b. c或 25 11 D.4或2 6.如图，在□ABCD中，∠A=60°，AB=6,BC =1,P为边CD上的一动点，则PB+PD 2 的最小值为 第6题图 第7题图 重难点2 解直角三角形与函数综合 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，A为x轴 负半轴上一点，点P的坐标为(a,a)(a>0), 连接AP交y轴于点B.若AB:BP=5:4, 则tan∠PAO的值是 () D.4 8.如下图，在△ABC中，AC=6,BC=10,tanC =子，D是AC边上的动点（不与点C重合）. 过点D作DE⊥BC,垂足为E,F是BD的中 点，连接EF.设CD=x,△DEF的面积为S, 求S与x之间的函数关系式. 重难点③解直角三角形的实际应用 9.(2026上饶鄱阳一模)如图①，某仓库有一传 送带运输货柜，BC为水平地面，AB为斜坡上 的传送带，∠ABC=26.5°.在距离BD(BD长 为4m)的正上方4.5m处，有一限高装置 PQ.棱长为2m的正方体货柜（其侧面是正方 形MNFE)的底面在传送带上，从起点A出 发，传送到地面点B处（参考数据：sin26.5°≈ 0.45,cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50) 图① 图② 图3 (1)判断正方体货柜能否通过限高装置，并说 明理由. (2)如图②，因特殊要求，需在货柜底端放置 一块如图③所示的直三棱柱式楔子EFH一 E1F1H1,使得正方体货柜在传送带的运输过 程中与水平地面保持平行.已知直三棱柱式 楔子的一个底面为Rt△EFH,且∠EFH= 90°.楔子的侧面EFF,E1与正方体货柜的底 面完全重合，侧面EHH,E1与传送带重合. 判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并 求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两 个底面，结果保留两位小数). 下册第一章 23△.∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8° 又.'AN=43cm,∴.AP=ANsin∠ANP=43sin65.8°cm. 过点C作CH⊥AB于点H. .'BC=CE,BE=16.4 cm,.'.BH=8.2 cm, ∴.CH=BHtan∠CBH=8.2tan65.8°cm, ∴.靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FQ+AP一HC 57sin65.8°+43sin65.8°-8.2tan65.8°≈100×0.91-8.2× 2.23≈72.7(cm) ◆一题多解法《 如图，过点F作FQ⊥DC交DC的F: 延长线于点Q,过点C作CH⊥AB 于点H,延长AB交FQ于点S. BC=CE,BE=16.4 cm ∴.BH=8.2cm. 又：AB∥CD,∴.∠FCQ=∠HBC M =180°-114.2°=65.8°，.BC= cos∠IBCFS=FBsin∠FBS BH -FBsin /HBC-(57-cos 65.8 8.2 ×sin65.8° 57sin65.8°_8.2sin65.8 cos65.8°)cm.过点A作AP⊥MN 于点P.由题意知AB/CD∥MN,FC∥AN, ∴.∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8 又.'AN=43cm. .AP=ANsin∠AVp=43sin65.8°cm, ∴.靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FS十AP= 57sin65.8°-8.2tan65.8°+43sin65.8°= 100sin65.8°-8.2tan65.8°≈100×0.91-8.2×2.23 ≈72.7(cm). 2.解：(1)如图，过点O分别作OP⊥CD于点P,OQ⊥AM于 点Q. ,AM⊥CD,∴.∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， .四边形OQMP是矩形，.QM=OP. ,OC=OD=10dm,∠COD=60°， ∴.△COD是等边三角形 1 :0P⊥CD.∠CoP=2∠C0D=30, ∴.QM=OP=OCcos30°=5√3dm. :∠AOC=∠Q0P=90°， ∴.∠AOC-∠COQ=∠QOP-∠COQ,即∠AOQ=∠COP 1 30°，∴.AQ= 2 OA=5dm,∴.AM=AQ+MQ=5+5√3≈ 13.7(dm) 故点A离地面的距离AM约为13.7dm B oa.. EB M C P D水平地面 (2)如图，过点F分别作FK⊥OB于点K,FJ⊥OC于点J. 由(1)，得△COD是等边三角形，.∠ODC=60° :OB∥CD,∴.∠BOD=∠ODC=60°. 在Rt△OFK中，OK=OFcos60°=2dm,FK=OFsin60° 2/3dm. 九年级数学BS版 在Rt△FKE中，EK=√EF-FKT=√62-(2√3) 2√6(dm),∴.BE=OB-OK-KE=10-2-2√6=(8 26)dm 在Rt△OFJ中，OJ=OFcos60°=2dm,FJ=OFsin60°= 25dm. 在Rt△FJE'中，E'J=√EF2-FJ下=√62-(2√3)2 2√6(dm),.B'E'=OB'-(E'J-OJ)=10-(2√6-2)= (12-2√6)dm,.B'E-BE=12-26-(8-2√6)= 4(dm). 故B'E'一BE的值为4dm. 3.解：(1)26cm (2)如图①，作GH'⊥A'D'于点H',则 ∠D'G'H'+∠H'D'G'=90°. :∠E'D'G=90°， H ∴.∠H'D'G'+∠E'D'C'=90°， ∴∠D'G'H'=∠E'D'C' 又：∠G'H'D'=∠D'C'E'=90°，D'G =E'D', 图① .△D'G'H'≌△E'D'C'(AAS) ..G'H'=D'C'.D'H'=E'C'. 设A'H'=xcm,D'H'=ycm,则2x十y=50, ∴y=50-2.x. 在Rt△E'D'C'中，.x2+(50-2.x)2=500. 解得x=20, ∴.A'G'=√2x=20√2≈20×1.41=28.2(cm). A'G'的长度约为28.2cm. 【解析】(1)如图②，作GH⊥AD于点H ,正方形DEFG的面积为400cm, ∴.DG=20cm. 在Rt△DGH中，sin∠GDH= GH DG' cos∠GDH=DG: DH ∴.GH≈0.92×20=18.4(cm),DH≈ 图② 0.38×20=7.6(cm). :∠ACB=90°，AC=BC=50cm,∴.∠A=45°， ∴△AGH是等腰直角三角形，∴.AH=GH≈18.4cm, .AD=AH+HD≈18.4+7.6=26(cm). 易错重难专练 1.①②③ 2.解：由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+c2, 六△ABC为直角三角形，且∠A为直角nB=么=1吕 a-13 3.解：分两种情况讨论：①如图①，过点C作CD⊥AB于点D, 则AD=40cos30=20v5(cm).CD=2×40=20(em ∴DB=V25-20=15(cm).△ABC的面积为号×20 ×(20√3+15)=(200W3+150)cm2. D B 图① 图② ②如图②，过点C作CD⊥AB于点D,则AD=40cos30°= 20V5(cm).CD=2×40=20(cm), ∴.DB=√25-20=15(cm), “△ABC的面积为号×20×(205-15)=(2005- 150)cm2. 综上，△ABC的面积为(200√3+150)cm或(200√3一150)cm2 4.解：x=sinA是方程5.x2一14x+8=0的一个根， 5sinA-14sinA十8=0：解得snA=号或snA=2. 4 又：0<sinA<1,.sinA=5 5.B【解析】若∠ADB一∠B=90°，如 图①所示， 过点A作AE⊥BC于点E. .AB=AC.BC=8, D E .BE-BC4. 图① AE 3 六sinB一AB亏·利用科学计算器，可知∠B≈37， .∠ADB=90°+∠B≈127°， ∴.∠BAD=180°-∠B-∠ADB≈16°，此时∠B不是最小 角，不符合题意； 若∠ADB一∠BAD=90°，如图②所 示，过点D作DE⊥BC交AB于点 E,过点A作AF⊥BC交BC于点F, 则∠BDE=∠BFA=90°， 则∠EAD=∠EDA,此时DE=AE 图② AB-AC-5.BC-8.BF-BC4. ∴.AF=√AB2-BF=√5-4F=3. DE AF 3 tan B-BD-BF 设DE=AE=3x,BD=4.x,则AE=3.x, BE=BD+DET=5x,AB-8x=5,-8 5 5 此时BD=4红= 6.35【解析】如图，过点P作PQ⊥ 0 AD,交AD延长线于点Q. ,四边形ABCD是平行四边形 ∴AB/∥CD,∴∠PDQ=∠A=60°， G.PQ-PDsin ZPDQ=PD 当B,PQ三点共线时，PB+PD最小， 此时PB+受PD=BQ=ABin∠A=6X 2 =35. 7.B【解析】如图，过点P作PC⊥x轴于点C oL:铺B0/pc部祀 AB BP=5 4.OC=a,PC=a, A0=5 tan∠PAO=Pe=a一=。： 8.解：DE⊥BC,垂足为E,∴tanC=DE=3 CE 4' :CD=DE=子，CE=音BE=10-亭 3 F是BD的中点S=m=(0-号)·号 化简得S=一是+2 9.解：(1)可以通过限高装置.理由如下： 如图，过点P作PG⊥AB,垂足为G,设PD与AB相交于点K. M 在Rt△BDK中，BD=4m,∠ABC=26.5°， ∴.DK=BDtan∠ABC=4Xtan26.5°≈2(m). .PD=4.5m,∴.PK=PD-DK≈4.5-2=2.5(m). 在Rt△PGK中，∠PKG=∠DKB,∠G=∠KDB=90°， ∴.∠KPG=∠ABC=26.5°， ∴.PG=PKc0s∠KPG≈2.5×cos26.5°≈2.25(m)>2m, 正方体货柜能通过限高装置 (2),楔子的侧面EFF,E,与正方体货柜的底面完全重合， ∴.EF=2m. ∠FEH=∠ABC=26.5, ∴.在Rt△EFH中，FH=EFtan∠FEH=2Xtan26.5°≈ 1(m), EF 2 EH=eos∠FEH-cos26.F*0.9≈2.22(m, .NH=NF+FH≈2+1=3(m). 由(1)得PK≈2.5m, .NH=3m>PK≈2.5m, ,此时正方体货柜不能通过限高装置 直三棱柱式楔子的侧面展开图是三个矩形， 且EF=2m,EE1=2m,EH≈2.22m,FH≈1m, ∴直三棱柱式楔子的侧面积=2×2+2.22×2十1×2= 10.44(m2). 章末对点导练 1.C2.B 3.3【解析】取BC的中点D,连接AD,如图所示. AB2=52+52=50,AC2=72+12=50, .AB2=AC2,即AB=AC,.AD⊥BC AD=√6+32=3√5，BD=√2+1=5， im∠B-品-8 4.B 5.B【折rC-号+（停-m)=0 ∴.sinC= sB=∠C=45∠B=30 ∴∠A的度数为180°-45°-30°=105 6.30 7.解：1)原式-（分）+2×+1-4v5+()-+5 +1-45+=2-35 下册详解详析 9