第一章 3 第1课时 方向角问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

∴.∠BCD=75°-30°=45°， ..CD=BD=3...AB=BD+AD=3+ √3，BC=3√2， ∴.AB+BC=3+√5+3√2≈3+1.7+3 ×1.4≈9. 故旗杆原来的高度约为9m. 4.40.0【解析】延长EB交AD于点H,如图. ,'AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN, .四边形AMND是矩形. ,四边形BEFC为矩形， .EH⊥AD, .四边形AMEH为矩形，∴.AM=EH, AH=ME. ∠ABE=152°， ∴∠ABH=180°-∠ABE=28°， .∠HAB=90°-28°=62°， 0-细218， ∴.BH≈20.0×1.88≈37.6(m), .AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m). 故“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 5.解：如图①，延长CA,DB交于点P ,∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥CD .∠C=60°，∠PBA=60° 在R△CDP中，tanC-CD PD ∴.PD=CDtan C=50W3×√3=150(m). 图① 在R△PAB中，an∠PBA=AB, PA ∴.PA=ABtan∠PBA=30V5X√5=90(m), 1 六Sm边形CDB=S△cmr-S△P4B=2X50V5X150一 2 303×90=2400√5(m2). 故这块土地的面积为2400√5m。 》一题多解法 如图②，过点A作AE⊥DB,交DB 的延长线于点E,作AF⊥CD于 点F. ∠ABD=120°，∴∠ABE=60, ∴.∠BAE=30°. 图2 ,AB=30√/3m,∴.AE=ABsin ∠ABE=45m, BE=ABsin∠BAE=l5V3m. 由题意可知，四边形AEDF为矩形 ∴.FD=AE=45m, ∴.CF=CD-FD=(50√3-45)m. ,AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120°， .∠ACD=60°， ∴.AF=CFtan∠ACD=(150-45√3)m, 1 二S得边影B=S阳商形nE一SAABE=2X（45十50V5) ×(150-45V5)-2×15v5×45=2400V5(m). 故这块土地的面积为2400√3m2. 6.解：(1)如图①，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G, 交DE的延长线于点H. :∠C=∠D=90°， .四边形GCDH为矩形， ∴.GH=CD=120cm,DH=CG,∠H= 90°.在Rt△ABG中，∠ABG=a=30°，160cm AB=30 cm, 120cm ..AG=15 cm.BG=15/3 cm, D ∴.AH=120-15=105(cm). 图① AE⊥AB,.∠EAH=30 又：∠H=90°，∴.EH=AHtan30°=35V5cm, ∴.DE=DH-HE=BC+BG-HE=160+15√3-35√3≈ 125.4(cm). (2)①BF=DE ②如图②，连接BD.在Rt△BCD中， BD=BC2+CD*=200 cm, 120 六sim∠1=200=0.6∠1≈36.9 160cm 在Rt△BAD中，AB=30cm, 120cm3 AB 30 D(E) 六sin∠2=BD200=0.15. 图② ∠2≈8.6°，.∠3≈90°-8.6=81.4， .a=180°-∠1-∠3≈180°-36.9° 81.4°=61.7°. 【解析】(2)①如图③，由平移的性质可知， AB=A'F,AB∥A'F, 160cm .四边形ABFA'为平行四边形， F120 cmi ∴.BF=AA' 同理可得，四边形AEDA'为平行四边形， 图③ ∴.DE=AA',.BF=DE 3三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.C【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H 由题意，得∠BAC=180°-80°-25° N 北 =75. :80° +东 ∠ABC=45,∠AHB=90°， 个 .∠BAH=45°， 25 H .∠CAH=∠BAC-∠BAH=75 459 -45°=30°. 在Rt△ABH中，.∠B=45°，AB=3√2km,.AH=BH= 3 km. 在Rt△ACH中，，∠CAH=30°， .CH-AHtan ZCAH-3X3 (km) .∴.BC=BH+CH=(3+√3)km. 2.解：如图，过点P作PC⊥AB,垂足为C. 北 由题意可知，∠A=∠1=37°，∠B=∠2=45 在Rt△APC中，：∠A=37°，AP= 100 n mile, ∴.PC=APsin A≈100X0.60=60(n mile), AC=APcos A≈100×0.80=80(n mile). 在Rt△PBC中，.∠B=45°， ∴.BC=PC≈60 n mile, ∴.AB=AC+BC≈80+60=140(n mile). 故这时B处距离A处约140 n mile. 3.25 n mile 4.解：：点A,B均在点C的北偏东37方向，点A在点D的正 北方向，且点D在点C的正东方向， 下册详解详析 ∴.△ACD是直角三角形，∴.∠BCD=90°一37°=53°， ∴.∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°. CD 在R△ACD中，AC =sin A,CD=90 m, ..AC= CD 90 sin A 0.60 =150(m) ∠CDA=90°，∠BDA=53°， ∴.∠BDC=90°-53°=37°， ∴∠BCD+∠BDC=53°+37°=90°， ∴.∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形， .BC D=sin∠BDC, ∴.BC=CDsin∠BDC≈90×0.60=54(m), ∴.AB=AC-BC≈150-54=96(m). 故A,B两点间的距离约为96m. 5.480【解析】如图，过点O作OM ⊥BC于点M,ON⊥AC于点N. B ,AC⊥BC,.四边形ONCM为 h3.7 矩形，.ON=MC,OM=VC.设 OM=x,则NC=x,AN=840 1 x.在Rt△ANO中，∠OAN=45°. ∴.ON=AN=840-x,∴.MC=ON=840-x.在Rt△BOM 中，BM= OM am∠OBM≈24.BC=500m,∴840-x+ 24x=500,解得x=480,即点0到BC的距离约为480m. 6.解：如图，过点C作CH⊥AB于 点H. 60 :∠CAB=45°，AC=30 n mile, :459 609 ..AH=CH=ACsin45°= l5√2 n mile. 由题意，得∠CBH=60°， .BC-CH_15/ sin60° =10√6(n mile). 5 2 由题意，得∠HCD=60°，∠HCB=30°，∴.∠BCD=30° 又.∠CBD=30°+60°=90°， BC10√6 .在Rt△CBD中，CD= =20√2(n mile). cos30° √5 2 故C,D间的距离为20√2 n mile.. 7.解：(1)如图，过点C作CM⊥AB,交 AB的延长线于点M.由题意，得AB =40×1=40(n mile). 在Rt△BCM中，∠CBM=45°，'.M0 =MB. 设MC=MB=x n mile,则MA=(x +40)n mile. 在Rt△ACM中，∠CAM=30°，∴.tan∠CAM AM 3 √3 六十40-3，解得x=205+20, ∴.MB=MC=(20√3+20)n mile, ∴.BC=√2MB=√2×(20√3+20)≈77(n mile). (2)如图，过点C作CH⊥AD于点H,则四边形MAHC为 矩形. 由(1)，得CM=(20W3+20)n mile, ,∴.AH=CM=(20√3+20)n mile. 6 九年级数学BS版 :AM,/CH,∠1=∠CAM=30,.tan∠1=C7=3: AH 3 ∴.CH=√3AH=(60+20√3)n mile. .CH∥DN,∠NDC=37°，.∠2=∠NDC=37°， ∴.cos∠2=cos37=0、 ·CD=CH cos37(5+253)n mile, “维修船到达小岛总共用时5十CD≈+75+253、 60+50≈10 50 .47(h.货船从B到C用时77÷30=30(hD :品>27推修船能在货铅之前到达小岛C 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.C BC 2.3【解析】在R△BCD中，tan∠BDC=CD: .BC=CDtan∠BDC=10tan45°=10×1=10(m). 在R△ACD中，ian∠ADC=AC. CD .AC=CDtan∠ADC≈10×1.33≈13.3(m), ∴.AB=AC-BC≈3.3m≈3m. 故旗杆AB的高度约为3m. 3.解：如图，廷长AB与射线PQ交于点Pr节行 C,则∠ACP=90°. 由题意，得AC=30m,PQ=26.6m, ∠APC=37°，∠BQC=45°. 在R1△APC中，PC=,AC 30 an37≈0.75 =40(m), ∴.QC=PC-PQ≈40-26.6=13.4(m) 在Rt△BQC中，BC=QC≈13.4m, .AB=AC-BC≈30-13.4=16.6≈17(m) ∴.教学楼AB的高度约为17m. 4.B5.C 6.60√5【解析】如图，过点E作EF⊥ AP,垂足为F. :E是CP的中点，CP=4O√/5cm, ∴PE=2CP=20V店cm ·AE=2CP,AE=PE. ■ m地面 ..AP=2PF. 在Rt△PEF中，∠APE=30°， PF=PEcs30=20V5×5 2 =30W5(cm), ..AP=2PF=605 cm. AB=1205 cm,.'BP=AB-AP=60/5 cm, .BP的长度为60V5cm 7.解：(1)98 (2)如图，过点C作MN∥BF,分别交 AB,EF于点M,N. AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF,.AB∥ CD∥EF, ∴.四边形BDCM,BFNM,DFNC都是矩 D 形，.BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF 设BD=CM=xm,则CN=(2-x)m.3三角函数的应用 第1课时 方向角问题 已课内基础闯关 小时到达C处，在C处观测到灯塔A位于 北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离 知识点①同一地点的两个方向角的应用 是 1.某校组织一次定向越野拉 N 北 80° 十→东 4.如右图，为了测量河对岸 北 练活动，如图，A为出发 人A C →东 A,B两点间的距离，某数学 点，途中设置两个检查点， 25 B 兴趣小组在河岸南侧选定 分别为B和C,行进路线 .53 观测点C,测得A,B均在 为A→B→C→A.点B在 第1题图 点C的北偏东37°方向.沿正东方向行走 点A的南偏东25°方向3√2km处，点C在 90m至观测点D,测得点A在点D的正北 点A的北偏东80°方向，∠ABC=45°，则检 方向，点B在点D的北偏西53°方向上.求 查点B和C之间的距离为 ) A,B两点间的距离（参考数据：sin37°≈ A.(6+6√3)km B.(3+3/3)km 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). C.(3+√3)km D.4.5 km 2.如右图，一艘海轮位于灯塔P的 北 点 北偏东37°方向，距离灯塔 37 100 n mile的A处，它沿正南方 向航行一段时间后，到达位于灯 45° 塔P的南偏东45°方向上的B 处.这时B处距离A处有多远（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)？ 色课外拓展提高 5.情境应用某区域平面示 意图如图，点O在河的一 侧，AC和BC表示两条互 45 相垂直的公路.若甲勘测 知识点②不同地点的两个方向角的应用 员在A处测得点O位于 第5题图 3.如图，轮船从B处以 北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南 B 50 n mile/,h的速度沿南偏 75 偏西73.7°，测得AC=840m,BC=500m,则点 30 东30°方向匀速航行，在B 1609 O到BC的距离约为 m(参考数据： 处观测到灯塔A位于南偏 第3题图 东75°方向上.轮船航行半 s87装m87名m87. 九年级数学BS版 6.转化思想如右图，海中 ↑北 站D发出信号，在D处的维修船接到通知 有一个小岛C,某渔船在 后立即准备维修材料，以50 n mile,/h的速度 :459 3060 60D 海中的A点测得小岛C B 沿DC前往小岛C.已知D在A的正东方 位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段 向，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维 时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30 修船准备材料时间一共6min,请计算说明 方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时 维修船能否在货船之前到达小岛C。 间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西 60方向上.已知A,C相距30 n mile,求C,D 间的距离 色综合能力提升 7.抽象能力如图，一货船从港口A出发，以 40 n mile/h的速度向正北方向航行，经过 1h到达B处，测得小岛C在B的东北方 向，且在港口A的北偏东30°方向（参考数 据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45，sin37 ≈0.60，c0s37°≈0.80). 知识要点归纳 (1)求B,C之间的距离（结果保留整数） 方向角：以观察点为中心，以正北或正南为始边 (2)货船在B处突发故障，立即以30 n mile/h 旋转到观察目标所成的锐角，称为方向角 的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修 下册第一章 15