第一章 3 第2课时 仰角、俯角及坡度问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

第2课时 仰角 已课内基础闯关 知识点①仰角、俯角问题 1.如图，有一信号塔CD,小红站在点F处，测 得信号塔顶D的仰角为28°，小红向前走了 40m,到达点E处，测得信号塔顶D的仰角 为56°，则信号塔CD的高度为 ( A.40sin28°m B.40tan28°m C.40sin56°m D.40tan56°m 信号塔 56° 280 5153o C E D45°C 第1题图 第2题图 2.(教材变式)如图，建筑物BC上有一根旗杆 AB.从与BC水平相距10m的D处观测旗 杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的 仰角为45°，则旗杆AB的高度约为 m(结果取整数，参考数据：sin53° ≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33). 3.如下图，小明用无人机测量教学楼的高度， 将无人机垂直上升到距地面30m的点P 处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将 无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点 Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则 教学楼AB的高度约为多少米（结果精确到 1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 0.80,tan37°≈0.75)？ P3745… 16 九年级数学BS版 俯角及坡度问题 知识点②坡度、坡角问题 4.如图，爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬 1m耗能(1.025一cosa)J.若某人爬了 1000m,该坡角为30°，则他耗能约（参考数 据：√5≈1.732，√2≈1.414) A.58J B.159J C.1025J D.1732J i=V3 B 30° 第4题图 第5题图 5.叁数法为贯彻落实“绿水青山就是金山银 山”的发展理念，某市大力开展植树造林活 动.如图，在坡度i= 的山坡AB上植树， 3 要求相邻两树间的水平距离AC为2√3m, 则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为 ) A.√3m B.2 m C.4m D.43m 知识点③ 三角函数的其他应用 6.某户外遮阳伞截面结构示意图如图所示.支撑 柱AB垂直于地面，AB=120√5cm,P是支撑 柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转， CD=CP=40√J15cm,斜拉杆AE可绕点A旋 转，AE=CP.若∠APE=30,则BP的长度 为 cm. D 地面 第6题图 已课外拓展提高 7.(2026九江都昌期中)舞狮文化源远流长，其 中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的 竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动， 成为传承中国传统文化的重要载体（如图 ①所示).在舞狮表演中，梅花桩AB,CD, EF垂直于地面，且B,D,F在同一直线上 (如图②所示).如果在桩顶C处测得桩顶A 和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩 与EF桩的高度差为1m,两桩的距离BF 为2m. 图① 图② (1)舞狮人从A跳跃至C,随后再跳跃至E, 所成的角∠ACE= (2)求桩AB与桩CD的距离BD的长（结果 精确到0.01m,参考数据：tan35°=0.7002， tan47°≈1.0724). 已综合能力提升 8.情境应用扬中塔 又称扬中新广播电 C 背水坡 迎水坡 视发射塔，位于扬 D 中市滨江公园内.如上图，扬中塔AB建在背水 坡坡比为√3，坡长CD=6m的环岛江堤上，塔 底B距离点C10m,小明在距离点D275m的 点E处测得塔顶A的仰角为30°.已知堤坝顶 部BC与地面DE平行，求扬中塔AB的高度 (结果保留整数，参考数据：√3≈1.732). 知识要点归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意画出几何图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之 间的关集，把实际问题转化为解直角三角形的问 题；(3)根据直角三角形（或通过添加辅助线构造 的直角三角形)各元素（边、角）之间的关集选择 合适的关系式，使运算简便、结果准确：(4)得出 数学问题的答案，并检验答案是否符合实际意 义，从而得到实际问题的解. 下册第一章 17∴.△ACD是直角三角形，∴.∠BCD=90°一37°=53°， ∴.∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°. CD 在R△ACD中，AC =sin A,CD=90 m, ..AC= CD 90 sin A 0.60 =150(m) ∠CDA=90°，∠BDA=53°， ∴.∠BDC=90°-53°=37°， ∴∠BCD+∠BDC=53°+37°=90°， ∴.∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形， .BC D=sin∠BDC, ∴.BC=CDsin∠BDC≈90×0.60=54(m), ∴.AB=AC-BC≈150-54=96(m). 故A,B两点间的距离约为96m. 5.480【解析】如图，过点O作OM ⊥BC于点M,ON⊥AC于点N. B ,AC⊥BC,.四边形ONCM为 h3.7 矩形，.ON=MC,OM=VC.设 OM=x,则NC=x,AN=840 1 x.在Rt△ANO中，∠OAN=45°. ∴.ON=AN=840-x,∴.MC=ON=840-x.在Rt△BOM 中，BM= OM am∠OBM≈24.BC=500m,∴840-x+ 24x=500,解得x=480,即点0到BC的距离约为480m. 6.解：如图，过点C作CH⊥AB于 点H. 60 :∠CAB=45°，AC=30 n mile, :459 609 ..AH=CH=ACsin45°= l5√2 n mile. 由题意，得∠CBH=60°， .BC-CH_15/ sin60° =10√6(n mile). 5 2 由题意，得∠HCD=60°，∠HCB=30°，∴.∠BCD=30° 又.∠CBD=30°+60°=90°， BC10√6 .在Rt△CBD中，CD= =20√2(n mile). cos30° √5 2 故C,D间的距离为20√2 n mile.. 7.解：(1)如图，过点C作CM⊥AB,交 AB的延长线于点M.由题意，得AB =40×1=40(n mile). 在Rt△BCM中，∠CBM=45°，'.M0 =MB. 设MC=MB=x n mile,则MA=(x +40)n mile. 在Rt△ACM中，∠CAM=30°，∴.tan∠CAM AM 3 √3 六十40-3，解得x=205+20, ∴.MB=MC=(20√3+20)n mile, ∴.BC=√2MB=√2×(20√3+20)≈77(n mile). (2)如图，过点C作CH⊥AD于点H,则四边形MAHC为 矩形. 由(1)，得CM=(20W3+20)n mile, ,∴.AH=CM=(20√3+20)n mile. 6 九年级数学BS版 :AM,/CH,∠1=∠CAM=30,.tan∠1=C7=3: AH 3 ∴.CH=√3AH=(60+20√3)n mile. .CH∥DN,∠NDC=37°，.∠2=∠NDC=37°， ∴.cos∠2=cos37=0、 ·CD=CH cos37(5+253)n mile, “维修船到达小岛总共用时5十CD≈+75+253、 60+50≈10 50 .47(h.货船从B到C用时77÷30=30(hD :品>27推修船能在货铅之前到达小岛C 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.C BC 2.3【解析】在R△BCD中，tan∠BDC=CD: .BC=CDtan∠BDC=10tan45°=10×1=10(m). 在R△ACD中，ian∠ADC=AC. CD .AC=CDtan∠ADC≈10×1.33≈13.3(m), ∴.AB=AC-BC≈3.3m≈3m. 故旗杆AB的高度约为3m. 3.解：如图，廷长AB与射线PQ交于点Pr节行 C,则∠ACP=90°. 由题意，得AC=30m,PQ=26.6m, ∠APC=37°，∠BQC=45°. 在R1△APC中，PC=,AC 30 an37≈0.75 =40(m), ∴.QC=PC-PQ≈40-26.6=13.4(m) 在Rt△BQC中，BC=QC≈13.4m, .AB=AC-BC≈30-13.4=16.6≈17(m) ∴.教学楼AB的高度约为17m. 4.B5.C 6.60√5【解析】如图，过点E作EF⊥ AP,垂足为F. :E是CP的中点，CP=4O√/5cm, ∴PE=2CP=20V店cm ·AE=2CP,AE=PE. ■ m地面 ..AP=2PF. 在Rt△PEF中，∠APE=30°， PF=PEcs30=20V5×5 2 =30W5(cm), ..AP=2PF=605 cm. AB=1205 cm,.'BP=AB-AP=60/5 cm, .BP的长度为60V5cm 7.解：(1)98 (2)如图，过点C作MN∥BF,分别交 AB,EF于点M,N. AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF,.AB∥ CD∥EF, ∴.四边形BDCM,BFNM,DFNC都是矩 D 形，.BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF 设BD=CM=xm,则CN=(2-x)m. 在Rt△AMC中，tan∠ACM=, ,.∴AM=CMtan∠ACM=xtan35. 在R△CEN中，m∠BRCN-祭 ∴.EN=CNtan∠ECN=(2-x)tan47°， .EF-AB=EN-AM=1, .(2-x)tan47°-xtan35°=1， 2tan47°-1 解得x=an47十ian35≈0.65(m. 故桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65m. 8.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN LED,垂足 为N. ,CB∥ED,AB⊥BC, ∴.∠AME=90°. 又，CN⊥ED, 背水坡A 迎水坡 ∴.四边形BCNM是矩形， DN M .'BC=NM=10 m,CN=BM. CN 设CN=xm.:背水坡坡比为V5心D六=5， DN- 3 m. 在Rt△CDN中，CD=6m, 根银勾股定理，得+（停）广-6。 解得x1=3√3，x2=-3√3（不合题意，舍去）， .BM=CN=3V3 m,DN=3 m. .'ED=275 m..'.EM=ED+DN+NM=288 m. 在Rt△AEM中，∠E=30°， AM=tan E EM=X288=96/3 (m) .∴.AB=AM-BM=96√5-3√5≈161(m). 故扬中塔AB的高度约为161m. ☆问题解决活动：利用三角函数测高 1.D【解析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°， .∠ABD=∠BAD=45°，BD=AD.在Rt△CBD中， ∠BCD=60°，∴.CD= BD_BD_3BD. an605-3 AC=AD-CD-BD-BD-8m. 3 8 .BD= =(45+12)m. 2.11 3.解：如图，过点D作DG⊥AF,垂足为G 设EG=xm,则FG=(x十2.2)m. 在Rt△EGD中，DG=EGtan53°≈ 4 m. DG 在R△DFG中，an45=F记1， GA 4 DG=FG,3x=x+2.2,解得x =6.6, ∴.DG=FG=x+2.2=8.8m. .灯管D距地面AF的高度约为8.8m. 4.(300+100√2)m 5.110【解析】如图，过点A作AH⊥BM ,1B 于点H.由题意可得AD=HM=50. 设BM=x,则MC=BM=x. As36.87H 63.449 .'BH=BM-HM,.BH=x-50, 在R△ABH中，AH=am36.7≈Q7万 BH -50 D .HC=HM+MC,..HC=50+x, HC ,.在Rt△AHC中，AH= tan63.44 0士合00兰，解得=10 2 2 故点B到水面的距离BM为110m. 6.解：如图，过点E作EH⊥AB,垂足为H 由题意，得EH=FB,EF=BH=1.6m 设EH=FB=xm, -.-- 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°， r ∴.AH=EHtan26.6°≈0.50xm ∴.AB=AH+BH≈(0.50.x+1.6)m. ,CD⊥FB,AB⊥FB,∴.∠CDF=∠ABF=90° 又∠CFD=∠AFB,i△CDFn△ABFB-F,」 2-兰4B=2m-00r+16=64 3 六ABt=4.8m,∴该绿观灯的高AB约为4.8m, 7.解：(1)（答案不唯一）AB (2)(答案不唯-)tan∠1=8tan∠2=，tan∠3=3，测 得图上AB=2mm. (3)如图，过点A作AF⊥MN于 M 点F,过点B作BG⊥MN于点 G,易知AB∥MN, .∠FAB=∠MFA=∠AFG= ∠FGB=90°， .四边形FABG是矩形， ∴AF=BG,FG=AB=2mm. 设MF=xmm,则MG=(x+2)mm. m∠MAF-ME-m∠MBG瓷-g MG 1 .'.AF=4x mm,BG=(3x+6)mm. AF=BG,.4x=3.x十6，解得x=6, ∴.MF=6mm,∴.AF=BG=4×6=24(mm). FN 1 :an∠FAN=AF=8FN=3mm, .MN=MF+FN=6+3=9(mm). (4)测得图上DE=3mm,设发射塔的实际高度为hm.由题 39 意，得2-方，解得h=36小发射塔的实际高度为36m, 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q. :四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=F 114.2°，∴∠FCQ=∠CBH=180°-114.2 =65.8°. .FC=57 cm, ∴.FQ=FCsin∠FCQ=57sin65.8°cm. 过点A作AP⊥MN于点P.由题意知AB ∥CDMN,FC∥AN, 下册详解详析