第一章 ☆问题解决活动：利用三角函数测高-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

☆问题解决活动： @课内基础闯关 知识点①测量底部可到达的物体的高度 1.如图，小梦要测量旗杆的高度BD,在点A 处测得∠BAD=45°，在点C处测得∠BCD =60°.已知AC=8m,点A,C,D在同一直 线上，则旗杆的高度BD为 ( A.(4√3+4)m B.(7√3+7)m C.(143+14)m D.(43+12)m D 第1题图 第2题图 2.(教材变式)如图，小明为测量校园里一棵大 树AB的高度，在树底部B所在的水平面 内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的 位置，在D处测得树顶A的仰角为52°.若 测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约 为 m(结果精确到1m,参考数 据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.616，tan52 ≈1.280). 3.(2026九江永修检测)图①是太阳能路灯，图 ②是路灯的简易平面图.在地面E,F处测 得灯管D的仰角分别为53°，45°.点A,E,F 在同一条直线上，EF=2.2m.求灯管D距 地面AF的高度（结果精确到0.1m,参考数 据：sn53°≈号cos53*e子，an53≈号 3 图① 图② 18 九年级数学BS版 利用三角函数测高 知识点②测量底部不可到达的物体的高度 4.如图，一名游客从山脚A沿坡角为30°的山 坡AB行走600m到达景点B,再由景点B 沿山坡BC行走200m到达山顶C.若在山 顶C观测得到景点B的俯角为45°，则山的 高度CD为 A-136.87 63.44 456 D A D 第4题图 第5题图 5.如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B 的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的 俯角为63.44°.若此时无人机距水面的距离 AD为50m,则点B到水面的距离BM为 m(参考数据：sin36.87°≈0.60， cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75， sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45， tan63.44°≈2.00). 已课外拓展提高 6.情境应用一天晚上，小明和爸爸带着测角 仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不 可到达)的高AB.如下图所示，当小明爸爸 站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子 长为DF,测得DF=2.4m;当小明站在爸 爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为 26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8m,小明眼 睛到地面的距离EF=1.6m,点F,D,B在 同一条直线上，EF⊥FB,CD⊥FB,AB⊥ FB.求该景观灯的高AB(参考数据：sin26.6° ≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50). 已综合能力提升 7.抽象能力某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远 处小山坡上发射塔MN的高度（如图①），他们 通过自制的测倾器（如图②）在A,B,C三个位 置观测，测倾器上的示数如图③所示.测量时， 以题中图上距离为准，并精确到1mm. 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通 过测量、换算就能计算发射塔的高度. 【分析规划】(1)选择两个观测位置：点 和点 【获取数据】(2)写出所选位置观测角的正切 值，并测量观测点之间的图上距离. 【推理计算】(3)计算发射塔的图上高度MN. 【换算高度】(4)楼房实际宽度DE为12m, 请通过测量，换算发射塔的实际高度。 M 激光源 铅锤 一支杆 图① 图② -8 图③ 知识要点归纳 1.测量底部可以到达的物体的高度：先测量一个 直角三角形中的一个锐角的度数和一条直角边 的长，然后利用三角函数得出物体的高度， 2.测量底部不可以到达的物体的高度：需测出四 个数据，即测倾器在两个测，点分别所得的物体的 仰角，两个测点之间的距离及测倾器的高度。 下册第一章 19在Rt△AMC中，tan∠ACM=, ,.∴AM=CMtan∠ACM=xtan35. 在R△CEN中，m∠BRCN-祭 ∴.EN=CNtan∠ECN=(2-x)tan47°， .EF-AB=EN-AM=1, .(2-x)tan47°-xtan35°=1， 2tan47°-1 解得x=an47十ian35≈0.65(m. 故桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65m. 8.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN LED,垂足 为N. ,CB∥ED,AB⊥BC, ∴.∠AME=90°. 又，CN⊥ED, 背水坡A 迎水坡 ∴.四边形BCNM是矩形， DN M .'BC=NM=10 m,CN=BM. CN 设CN=xm.:背水坡坡比为V5心D六=5， DN- 3 m. 在Rt△CDN中，CD=6m, 根银勾股定理，得+（停）广-6。 解得x1=3√3，x2=-3√3（不合题意，舍去）， .BM=CN=3V3 m,DN=3 m. .'ED=275 m..'.EM=ED+DN+NM=288 m. 在Rt△AEM中，∠E=30°， AM=tan E EM=X288=96/3 (m) .∴.AB=AM-BM=96√5-3√5≈161(m). 故扬中塔AB的高度约为161m. ☆问题解决活动：利用三角函数测高 1.D【解析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°， .∠ABD=∠BAD=45°，BD=AD.在Rt△CBD中， ∠BCD=60°，∴.CD= BD_BD_3BD. an605-3 AC=AD-CD-BD-BD-8m. 3 8 .BD= =(45+12)m. 2.11 3.解：如图，过点D作DG⊥AF,垂足为G 设EG=xm,则FG=(x十2.2)m. 在Rt△EGD中，DG=EGtan53°≈ 4 m. DG 在R△DFG中，an45=F记1， GA 4 DG=FG,3x=x+2.2,解得x =6.6, ∴.DG=FG=x+2.2=8.8m. .灯管D距地面AF的高度约为8.8m. 4.(300+100√2)m 5.110【解析】如图，过点A作AH⊥BM ,1B 于点H.由题意可得AD=HM=50. 设BM=x,则MC=BM=x. As36.87H 63.449 .'BH=BM-HM,.BH=x-50, 在R△ABH中，AH=am36.7≈Q7万 BH -50 D .HC=HM+MC,..HC=50+x, HC ,.在Rt△AHC中，AH= tan63.44 0士合00兰，解得=10 2 2 故点B到水面的距离BM为110m. 6.解：如图，过点E作EH⊥AB,垂足为H 由题意，得EH=FB,EF=BH=1.6m 设EH=FB=xm, -.-- 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°， r ∴.AH=EHtan26.6°≈0.50xm ∴.AB=AH+BH≈(0.50.x+1.6)m. ,CD⊥FB,AB⊥FB,∴.∠CDF=∠ABF=90° 又∠CFD=∠AFB,i△CDFn△ABFB-F,」 2-兰4B=2m-00r+16=64 3 六ABt=4.8m,∴该绿观灯的高AB约为4.8m, 7.解：(1)（答案不唯一）AB (2)(答案不唯-)tan∠1=8tan∠2=，tan∠3=3，测 得图上AB=2mm. (3)如图，过点A作AF⊥MN于 M 点F,过点B作BG⊥MN于点 G,易知AB∥MN, .∠FAB=∠MFA=∠AFG= ∠FGB=90°， .四边形FABG是矩形， ∴AF=BG,FG=AB=2mm. 设MF=xmm,则MG=(x+2)mm. m∠MAF-ME-m∠MBG瓷-g MG 1 .'.AF=4x mm,BG=(3x+6)mm. AF=BG,.4x=3.x十6，解得x=6, ∴.MF=6mm,∴.AF=BG=4×6=24(mm). FN 1 :an∠FAN=AF=8FN=3mm, .MN=MF+FN=6+3=9(mm). (4)测得图上DE=3mm,设发射塔的实际高度为hm.由题 39 意，得2-方，解得h=36小发射塔的实际高度为36m, 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q. :四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=F 114.2°，∴∠FCQ=∠CBH=180°-114.2 =65.8°. .FC=57 cm, ∴.FQ=FCsin∠FCQ=57sin65.8°cm. 过点A作AP⊥MN于点P.由题意知AB ∥CDMN,FC∥AN, 下册详解详析