第一章 4 正方形的性质与判定&问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 色课内基础闯关 (2)若AB=3√2，BE=2,求四边形AECF 知识点正方形的性质 的周长 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 A.对角线互相垂直B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 2.(教材变式)如图，在正方形ABCD的外侧， 作等边三角形ADE,则∠BEC的度数为 ( A.45 B.30° C.15° D.10 4.如下图，E是正方形ABCD内一点，△BCE 是等边三角形，连接DE,AE,延长DE交 AB于点F (1)求证：△ABE≌△DCE. 第2题图 变式题图 (2)求∠AFD的度数： 变式题等边三角形在正方形外→等边三 角形在正方形内 如图，在正方形ABCD中，等边三角形 AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上， 则∠CEF的度数为 3.(教材变式)如下图，E,F是正方形ABCD 的对角线BD上的两点，且BE=DF,连接 AE,AF,CE,CF. (1)请判断四边形AECF的形状，并证明. 易错点点的位置不确定导致漏解 5.已知正方形ABCD的边长为6，如果P 是正方形内一点，且PB=PD=2√5，那 么AP的长为 九年级数学BS版 巴课外拓展提高 综合能力提升 6.（2025一2026瑞昌检测) 9.转化思想如图，已知正方形ABCD的边长 如图，E是正方形ABCD 为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是 边BC延长线上的一点， AB所在直线上任意一点，过点P分别作直 第6題图 且CE=BD,则∠E的度 线AC,BD的垂线PE,PF,垂足分别为 数为 E,F. A.20° B.22.5° C.259 D.30° (1)如图①，当点P在线段AB上时，PE+ 7.如图，正方形ABCD的边长为 A …D PF的值是否为定值？如果是，请求出它的 4,点E,F分别在边BC,CD 值；如果不是，请说明理由， 上，将AB,AD分别沿AE, (2)如图②，当点P在线段AB的延长线上 AF折叠，使点B,D恰好落在 第7题图 时，求PE一PF的值 点M处.若AE=AF,则DF的长为( A.42-4 B.42-2 C.1.5 D.22-1 8.如下图，已知正方形ABCD的边长为1，G为 图① 图② CD边上的一个动点（点G与点C,D不重 合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方 形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H. (1)求证： ①△BCG≌△DCE; ②BH⊥DE. (2)当BH平分DE时，求GC的长 知识要点归纳 正方形的性质：(1)四条边都相等；(2)四个角都 是直角：(3)对角线相等且互相垂直平分 上册第一章 11 第2课时 正方形的判定 课内基础闯关 的条件是 A.AB=CD,AB⊥CD 知识点①正方形的判定 B.AB=CD,AD=BC 1.（2025一2026抚州临川区检 C.AB=CD,AC⊥BD 测)如图，在菱形ABCD中， D.AB=CD,AD∥BC 对角线AC,BD相交于点 第1题图 O.添加下列条件，能使菱形 ABCD成为正方形的是 A.AC=BD B.AC⊥BD 第4题图 第5题图 C.AD=AB D.AC平分∠DAB 2.将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两 知识点③ 正方形的性质与判定的综合应用 次，然后剪下一个角，将剪下的部分展开.若 5.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC 要剪出一个正方形，则剪口线与折痕所成夹 上一点，过点P分别作PM⊥AD于点M, 角∠ACB的度数为 PN⊥AB于点N,E是AM上一点，且 ∠EPA=15°.若EP=2,则四边形PMAN A.c 的面积为 6.(2025一2026吉安检测)如下图，在等腰直角 第2题图 三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D 3.如下图，四边形ABCD为正方形，分别过点 是BC的中点，E是AD的中点，过点A作 A和点C作BD的平行线AE,CF,并延长 AF∥BC交BE的延长线于点F. CD,AD,分别交AE,CF于点E,F,连接 (1)证明：四边形ADCF是正方形 EF,AC.已知AE=CF,求证：四边形 (2)若AB=4√2，求正方形ADCF的面积. ACFE是正方形. 知识点②中点四边形 4.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线， 点E,F分别是AD,BC的中点，点M,N分 别是AC,BD的中点，连接EM,MF,FN, NE.要使四边形EMFN为正方形，需添加 412 九年级数学BS版 已课外拓展提高 已综合能力提升 7.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点 9.几何直观如下图，四边形ABCD为正方形， O,且AD∥BC,AD=BC.有下列条件： E为线段AC上一点，连接DE,过点E作 ①AB=CD.②AB=AD.③AC=BD. EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为 ④AC⊥BD.要使四边形ABCD为正方形， 邻边作矩形DEFG,连接CG. 可以添加的两个是 ( (1)求证：矩形DEFG是正方形. A.①② B.①③ (2)若AB=4,CE=2√2，求CG的长 C.②④ D.②③或③④ (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的 8.如右图，在四边形ABCD D 夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数. 中，∠ADC=∠B=90°，AD =CD,DP⊥AB于点P.若 四边形ABCD的面积是18，AP 求DP的长 知识要点归纳 正方形的判定方法： 三个角是直角 个角是直角 或对角线相号 一组邻边相等 或对角线互相垂 一个角是直角且 5种判定 一组郁边相 方法 或对角线互相垂直 “组邻边相等 一个角是直角 或对角线相等 四条边和等 上册第一章 13△ ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点作内嵌于正方形的正八边形 3.已知一块正方形空地，计划将其四个角围成 L.如图，正方形ABCD的内嵌正八边形为EF 四个全等的等腰直角三角形花坛.中间恰好 GHIJKL,则∠BFH的度数为 ( 为一个边长为6m的正八边形场地.求这个 A.20° B.25 正八边形场地的面积. C.22.5 D.30° E 第1题图 第2题图 2.如图，已知正方形ABCD,截去四个全等的 等腰直角三角形后得到一个边长为5cm的 正八边形，则正方形ABCD的边长为 cm. 变式题在边长为10cm的正方形内部，截 4.如下图，在正方形ABCD中，点M,N分别 去四个全等的等腰直角三角形，恰好形成 在AB,BC上，且BM=CN,AN与DM相 一个正八边形.求该正八边形的边长。 交于点P (1)求证△ABN≌△DAM. (2)若正方形ABCD剪去以AM为边长的 四个等腰直角三角形，正好可以得到一个周 长为40的内嵌正八边形，求AM的长。 金14 九年级数学BS版由(1)，得∠EAP=∠EPA, ..EA=EP, ..AC=PD, □APCD是矩形. (3)EM=EN 【解析】(3)由(1)，得∠EAP=∠EPA. ,∠AEP=a, :∠EAP=∠EPA=90°-2a, 1 ÷∠EAM=180-∠EAP=180-(90-2c) 由(2)，得EA=EP,四边形APCD是矩形， .∠APC=90°，∠CPB=90°. F是BC的中点，FP=FB, ∴.∠FPB=∠B=a, ,∴.∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB= 90°- +e=90+70… .∠EAM=∠EPN. 由旋转的性质，得∠MEA=∠NEP. 在△EAM和△EPN中， ∠MEA=∠NEP, EA=EP, ∴.△EAM≌△EPN(ASA), ∠EAM=∠EPN, ∴.EM=EN 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.A2.B变式题45° 3.解：(1)四边形AECF是菱形. 证明：如图，连接AC,交BD于点O ,四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,AO=CO,DO=BO. .BE=DF,.OB-BE OD-DF, OE=OF. ∴.四边形AECF是平行四边形. ,AC⊥EF,.四边形AECF是菱形. (2)由(1)，知四边形AECF是菱形. ,四边形ABCD是正方形，AB=3√2， ∴.AC=BD=6,∴.OA=OB=3. .BE=DF=2, ..OE=OF=1. AC⊥EF,∠AOE=90°， .AE=√OA+OE=√3+1下=√10， .四边形AECF的周长=4AE=4√10. 4.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=DC,∠BCD=∠ABC=90°. ,△BCE是等边三角形， ∴.BE=CE,∠EBC=∠ECB=60°， .∠ABE=∠DCE=30°，.∴.△ABE≌△DCE(SAS). (2),△BCE是等边三角形，.CE=BC ,四边形ABCD是正方形， :.CD=BC...CE=CD, ∠CDE7X180°-30)=75 ,AB∥CD,∴.∠AFD=∠CDE=75. 5.42或2√2 6.B【解析】如图，连接AC. :四边形ABCD是正方形， 1 AC=BD,∠ACB=2∠BCD =45°， .∠ACE=180°-∠ACB=135. 又CE=BD,AC=CE, ∴∠E=∠CAE=2(180-∠ACE)=2.5 7.A【解析】根据折叠的性质，得△ABE≌△AME, △ADF≌△AMF,∴.BE=ME,DF=MF,∠ABE= ∠AME,∠ADF=∠AMF.正方形ABCD的边长 是4，AE=AF,∴.AD=AB=BC=CD=4,∴.∠ADF =∠AMF=∠ABE=∠AME=90°，∴.∠AMF+ ∠AME=180°，∴E,M,F三点共线，.EM+MF =EF. :e0: .Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),BE=DF,.BE= DF=ME=MF.设DF=BE=x,则EF=2x,EC=4 一x,FC=4一x.在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF =EC2十FC2,即4x2=(4-x)2十(4-x)2,解得x1= 4V2-4,x2=-4√2-4（舍去）.故DF=4√2-4. 8.解：(1)证明：①，四边形ABCD为正方形， ∴.∠BCD=90°，BC=CD. 同理可得CG=CE,∠GCE=90°， ∴∠BCG=∠DCE=90°. BC=DC. 在△BCG和△DCE中，{∠BCG=∠DCE, CG=CE, ∴.△BCG≌△DCE(SAS). ②，△BCG≌△DCE, ∴.∠GBC=∠CDE. 在Rt△DCE中，∠CDE+∠CED=90°， .∠GBC+∠BEH=90°， ∴.∠BHE=180°-（∠GBC+∠BEH)=90°， .BH⊥DE. (2)如图，连接BD.正方形ABCD 的边长为1， ∴BD=√2. :BH垂直平分DE,BD=BE =2, .CG=CE=BE-BC=√2-1. 9.解：(1)PE十PF的值是定值. ,四边形ABCD为正方形，且边长为a, 上册详解详析 5 .AC⊥BD,BD=√2a,∠PBF=45°， .∠AOB=90°. :PF⊥BD,PE⊥AC, .∠PFO=∠PEO=90°，∴.∠EOF=∠PFO= ∠PEO=90°， .四边形PFOE为矩形，.PE=OF 又∠PBF=45°， ∴.∠BPF=90°-∠PBF=45°，∴.PF=BF, .PE+PF=OF+BF=OB=2BD- 2a. (2),∠EOF=∠PEO=∠PFO=90°， .四边形PFOE为矩形，∴.PE=OF. 又，∠PBF=∠ABO=45°， ∠FPB=90°-∠PBF=45°，PF=BF, ÷PE-PF=OF-BF=OB= 2a. 第2课时正方形的判定 1.A 2.45°【解析】一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角展 开后是菱形，菱形的两条对角线分别是两组对角的平 分线，故当剪口线与折痕所成夹角∠ACB的度数为 45时，菱形就变成了正方形. 3.证明：.AE∥BD,CF∥BD,∴.AECF. ,AE=CF,.四边形ACFE是平行四边形， ∴.DE=CD,AD=FD. .四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADC=90°， ∴.AF=CE,AF⊥CE, .四边形ACFE是正方形， 4.A【解析】点E,F分别是AD,BC的中点，点M,N 分别是AC,BD的中点， .EN,NF,FM,ME分别是△ABD,△BCD, △ABC,△ACD的中位线， ∴EN/AB/FM,ME/CD/NF,EN=号AB=FM, ME=CD=NF, ∴四边形EMFN为平行四边形. 当AB=CD时，EN=FM=ME=NF, ∴.□EMFN是菱形. 当AB⊥CD时，EN⊥ME,即∠MEN=90°， 菱形EMFN是正方形. 5.3【解析】.四边形ABCD是正方形，.∠BAD= 90°，AC平分∠BAD.,PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM =PN,∠PMA=∠PNA=90°，.四边形PMAN是 正方形，∴.∠APM=45°.，∠EPA=15°，.∠EPM ∠APM-∠EPA=30°.：'∠PMA=90°，∴.EM= 2EP=2×2=1.在R△PME中，由勾股定理，得 PMP=EP2一EM,即PM=2-1=3,∴.正方形 PMAN的面积为3. 6.解：(1)证明：，AF∥BC 46 九年级数学BS版 .∠AFE=∠DBE. E是AD的中点，AE=DE. 在△FAE和△BDE中， ∠AFE=∠DBE, ∠FEA=∠BED,∴.△FAE≌△BDE(AAS), AE=DE, ..AF=BD. ,D是BC的中点， ∴.BD=DC,.AF=DC 又，AF∥BC, ∴.四边形ADCF是平行四边形. ∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点， ÷在R△BAC中，AD=DC=号BC,AD1DC, .□ADCF是正方形. (2).AB=AC,AB=4√2 .AC=AB=42. 由(1)可知，AD=DC,ADI DC, 六在R△ACD中，AD=CD= 2AC=4, .S正方形ADF=AD2=16. 7.D 8.解：如图，过点D作DE⊥BC交 1,E BC的延长线于点E. DP⊥AB,∴.∠E=∠DPB= ∠B=90°， .四边形DPBE是矩形， .∠PDE=90°， .∠ADC=∠PDE=90°， .∴.∠ADC-∠CDP=∠PDE-∠CDP, ∴.∠ADP=∠CDE. DP⊥AB,∴.∠APD=90°， ∴.∠APD=∠E=90°. 「∠ADP=∠CDE, 在△ADP和△CDE中，{∠APD=∠E, AD=CD. .∴.△ADP≌△CDE(AAS), .DP=DE,S△ADP=S△cDE, .矩形DPBE是正方形. :S四边形AD=S△ADP十S图边形DPC, .S因边形ABCD=SE方形DPBE,∴.DP=√I8=3V2. 9.解：(1)证明：如图①，过点E作EP⊥ CD于点P,EQ⊥BC于点Q,∠EQF =∠EPD=90°.，∠DCA=∠BCA, .EQ=EP.EQ=EP,∠EQC= ∠QCP=∠EPC=90°，.四边形 B Q F 图① EQCP是正方形，∴.∠QEC=∠PEC =45°，∴.∠QEF+∠FEC=∠PED+∠FEC=45°， ∴.∠QEF=∠PED.在△EQF和△EPD中， I∠QEF=∠PED, EQ=EP, ,.△EQF≌△EPD(ASA),.EF ∠EQF=∠EPD, =ED,.矩形DEFG是正方形 (2)在Rt△ABC中，AC=√2AB= 42.,CE=22,∴.AE=CE= 22,∴点F与点C重合，如图②. 此时△DCE是等腰直角三角形，B C(F) .四边形DECG是正方形，.CG= 图② CE=2√2. (3)∠EFC=130°或40° ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.C 2.(5+5√2) 变式题解：设截去的等腰直角三角形的直角边长为 xcm,正八边形的边长为acm. 由题意，得/0+2x=10,0 x2+x2=a2.② 由②，得2x2=a2, 务得一瓷 把r=号a代入①，得a+2 √2 2a=10, 整理，得a(1+√2)=10， 解得a=10(√2-1). 故正八边形的边长为10(W2-1)cm. 3.解：设等腰直角三角形的直角边长为xm. 由题意，得x2十x2=6,解得x=3√2（负值已舍去）， ∴.正方形的面积为(3√2+3√2+6)2=(108+ 72√2)m2, ,这个正八边形的面积为(108+72√2)-4×2×3V2 ×3√2=(72+72√2)m2. 4.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB=BC,∠DAM=∠B=90°. .BM=CN, ∴.AB-BM=BC-CN,即AM=BN. 在△ABN和△DAM中， (AB=DA, ∠B=∠DAM, BN=AM, ,∴.△ABN≌△DAM(SAS). (2):内嵌正八边形的周长为40， .正八边形的边长为40÷8=5， √2AM=5, ∴AM=2E. 模型构建专题与正方形有关的基本模型 1.证明：如图，延长DE交AB的延长线于点H. ,E是BC的中点， .BE=CE. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CD,∠ABC=∠C=90°， ∴∠C=90°=∠HBE. 又，∠DEC=∠HEB, ,∴.△DCE≌△HBE(ASA), ∴.BH=CD=AB,即B是AH的 中点. 又.AG⊥DE,.∠AFH=90°， 1 BF=ZAH=AB,即AB=BF, 2.解：(1)AE=DF (2)证明：如图①，过点E作EM⊥BC于 点M, 则四边形ABME为矩形，∴.AB=EM. 在正方形ABCD中，AB=BC, B M .EM=BC. 图① :EM⊥BC, ∴.∠MEF+∠EFM=90. BG⊥EF,.∠BHF=90°， ∴∠CBG+∠EFM=90°， ∴∠CBG=∠MEF. 在△BCG和△EMF中， |∠CBG=∠MEF, BC=EM, ∠C=∠EMF ∴.△BCG≌△EMF(ASA),∴.EF=BG. (3)如图②，连接MN,过点E作EH ⊥BC于点H,过点M作MG⊥CD 于点G,则EH⊥MG,四边形ABHE 和四边形BCGM都为矩形. M,N两点关于EF对称， B月 .MNI EF. 图② 同(2)可得△EHF≌△MGN(ASA), .NG=HF. AE=2,BF=5, .NG=HF=BF-BH=BF-AE=5-2=3. 又，GC=MB=1, .∴.CN=NG+GC=3+1=4. 3.解：(1)证明：如图，延长BC至点H,使CH=AE,连 接DH ,四边形ABCD是正方形 .AD=CD,∠A=∠DCB=∠ADC =90°， ∴.∠A=90°=∠DCH. 又AE=CH, ∴.△DAE≌△DCH(SAS), ∴.DE=DH,∠ADE=∠CDH .∠ADC=90°，∠EDF=45°， ∴.∠ADE+∠FDC=45°， ∴.∠FDC+∠CDH=45°，即∠HDF=45°， ∴∠EDF=∠HDF=45°. 又DF=DF, ∴.△EDF≌△HDF(SAS), 上册详解详析