下册 1.2 三角函数的应用-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

类的有12种结果，所以P(小丽投放的两袋垃圾不同 类)名 (9分) 3.解：()2：)=4（个），4-2-1=1（个）。六袋中蓝球的 个数为1； (4分) (2)画树状图得： 开始 第一次 2 (7分) 第二次白黄蓝白黄蓝白白蓝 白白黄 :共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种 情况，“.P(两次都是摸到白球)=26 21 (9分) 14解：写 (3分) (2)补全树状图如下： 开始 道口A 下一道口 直 左右直左右直左右 结果朝向西南北南东西北西东 (6分) 共有9种等可能的结果，向西参观的概岸为号行，向 南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概率= 2 向西参观的概率大。 (9分) 九下 第一章直角三角形的边角关系 锐角三角函数及解直角三角形 1.B2.A3.B4.C 5.B【解析】过点D作DE⊥AB于E,过点A作AF⊥DC 于F,在Rt△ADE中，AD=5,an∠BAD= 4,AB=4, DE=3,又AD是△ABC的中线，.SADC=15=S AADR= 24B·DB7×3XMB=15,AB=10,BB=AB-AB=I0 -4=6。在Rt△BDE中，BD=√BE+DE=35=CD, Sae=I5=2CD:AC,AF=25。在R△ADF中，DF =√AD2-AF=√5，.FC=CD-DF=35-√5=25。在 Rt△AFC中，AF=FC=25,AC=2√10。故选B。 6.B7.C8.459.8 10.√2+1【解析】作Rt△ABC,使LC=90°，∠ABC=45° 再延长CB到点D,使BD=BA,连接AD,·AB=BD ∠ABC=∠BMD+∠D∠D=7LABC=25,设AC t,则BC=t,AB=√2t,∴.CD=BC+BD=(2+1)t,在Rt △ADC中，cot22.5°=cotD=MC=V2+L。 1.解：(1)原式=()23x3=31 32 +1=42 1 4 (5分) (2)原式=2+1-2+1=2。 (10分) 12.解：(1)AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是直角 三角形，在Rt△ABD中，sinB=4D-4 AB=5,AD=8,.AB= 追梦之旅铺路卷·九年 10,∴.BD=AB2-AD2=6。 (2分) 又，BC=21,CD=BC-BD=15。 (5分) (2)在Rt△ACD中，E为斜边AC的中点，.ED=EC= 2AC,∠C=LEDC, (8分) tanLEDC=tanC=DC=15 AD 8 (10分) 13.解：作DG⊥AB于G。△DEF是等边三角形，.EG= FG=3dm,DG=EG·tan60°=33dm。 (3分) 在Rt△DGB中，.∠B=45°，.∴.DG=BG=3√3dm, （6分) .BE=(3+33)dm,∴.AE=AB-EB=20-(3+3,3)=（17 -3√3)dm,BF=BG-FG=(3√3-3)dm。 (10分) 14.解：(1)4.8 (3分) (2)过点F作FG⊥AB,垂足为G,AF平分∠CAB,FC ⊥AC,FG⊥AB,.FC=FG,△ACF的面积+△ABF的 面积=△ABC的面现号4C,CP分4B,PG=分4C ·BC,∴.AC·CF+AB·FG=AC·BC,∴.6CF+10FG= 48,.CF=3, (6分) 在R△ACF中，an∠CAF=CE-3=⊥ AC=6=2。:AF平分 LCAB,.LCAF=LBMF,tam∠BAF=-tanLCAF=L。 (10分) 三角函数的应用 1.B2.D3.C4.A 5.D【解析】过，点B作BD⊥AC于点D。在Rt△BCD中， .∠BDC=90°，∠ACB=25°+20°=45°，BC=30km,.∴.BD =CD=BC=52km,在R△ABD中，：∠BDA=90 ∠ABD=30°，∴.AD=BD·tan30°=5√6km,.CA=CD+AD =15,2+56(km)。即C到A的距离为(15√2+56) km。故选D。 6.237.(100+1003) 铺 9 【解析]作AD1MN,垂足为D。在R△ADC中，CD 1 帮 =tanl0°，即CD=_1 tan1O°。在RL△ABD中，2=tan8°，g即 案 AD 1 BC+CD=tan8°， BC+1 =tan8,解得BC=35 (m)。 tanl0° 953 2 10.解：过点B作BE⊥CD,垂足为点E。由题意知∠CAB= ∠ACE=∠BEC=90°，∴.四边形ABEC是矩形，∴.CE= AB=1km。 (3分) 在△BC中.B服=e6-子a。5 在Rt△BED中，∠EBD=45°，∴.ED=BE,∴.CD=CE+ =16(km/h)。故货船的速度约为 16km/h。 (9分) 11.解：(1). .CG =0.12,HG=20m,∴.CG=0.12·HG= HG 2.4m,答：主坡道的铅直高度CG为2.4m; (3分) 级·BS·数学第36页 1 BH (2)①由题意得2×0.12=0.06，H0.06,4=5m, ∴.BH=0.06·AH=0.3(m),.AK=2.4+0.3×2=3 (m),答：车库高度AK为3m; (5分) ②符合设计规范，理由如下：过点E作HG的垂线交HC 于点M,过点M作AK的垂线MT交HB的延长线于点 N,:DE=22m,∴.MW=20+5-22=3(m),BC的坡度 BN 为0.12，WN0.12,BN=0.36m,.HN=BH+BN= 0.66m,∴.EM=AK-HN=2.34m,延长EM交BG于S 点，则∠MEF=a,:在Rt△EFM中，∠EFM=90°， EF 六cosMEF=cosw=EM0.9,EF=0.9·BM=2 3166m,2.3166>2.2,∴.符合设计规范。 (9分) 第二章反比例函数 认识反比例函数及反比例函数的图象 1.C2.D3.D4.A5.C6.B 7.D【解折1设D,兰)，点D为0A的中点，A(2, 2k、 1,2kk ,AB1x轴，C(24,2),S0c=2（222) ·（-2t)=6,k=-4。故选D。 8.-29.>10.4 11.-24【解析】：AC⊥x轴，AB=4BC,.S△o4B=4S△0Bc= 8,.SAo8c=2。双曲线在第二象限，k<0,k2<0, SAo-kSAoRe+SAo=10,SAOm=-=2,k= -4,k1=-20,∴.k1+k2=-24。 12.解：(1)点A(1,2)在这个函数的图象上，.k-1=1× 2,解得k=3; (2分) (2:在函数)=-图象的每一支上，y随的增大而 增大，.k-1<0,解得k<1; (5分) (3)点C不在这个函数的图象上，理由如下：k=13, 铺 有-1=2，心反比例函数的解析式为y2,将点卫 12 12 的坐标代人y子，得3-是点B在5数y2的的 答案 象上，将点C的坐标代入y,由5号 2,可知点C的 坐标不满足函数关系式，：点C不在函数)y=12的图象 上。 (8分) 13.解：(1)作CE⊥AB,垂足为E,AC=BC,AB=6,.AE= BE=3。在Rt△BCE中，CE=√BC-BE=4。:OA= 8,∴.C(4,3)。 (2分) :反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,∴.k=4×3= 12。 (4分) (2)设A点的坐标为(m,0),:BD=BC=5,AB=6,.AD =1,.D,C两点的坐标分别为：(m,1),(m-4,3)。 （5分) 点C,D都在反比例函数y=二(x>0)的图象上，∴.m =3(m-4),.m=6,.C点的坐标为(2,3)，0C= √22+32=√13. (9分) 14.解：(1)③如图： 追梦之旅铺路卷·九年 -4-32-1234x (2分) ④a.该函数图象关于y轴对称；b.当x>0时，y随x增 大而减小，当x<0时，y随x增大而增大。(4分) (2)①x≠-1 (5分) ②函数y=x 的图象向左平移1个单位长度，再向上 1 平移1个单位长度，可得到函数y中1的图象。 (7分) ③a.图象关于直线x=-1对称；b.当x>-1时，y随x增 大而减小，当x<-1时，y随x增大而增大。 (9分) ④-2<x<-1或-1<x<0。 (10分) 反比例函数的应用 1.A2.B3.D4.D5.D 6.C【解析】由图象可得，k<0,k2<0,则k,+k2<0,故①正 确；由图象得不等式x+b>2的解集是<-2或0<x<1, 故②错误y=的图象过A(-2,m,B(1,）两点， 1 -2m=n,心2m+n=0,m+2n=0,故④正确；直线y= kx+b过A(-2,m),B(1,n)两点，∴. -2kb=m,解得 lk,+b=n kg 6=2n+m -2m=n,∴.k1=-m,b=-m,直线y= 3 -mx-m,∴.当x=-1时，y=0,当x=0时，y=-m,点P 的坐标为(-1,0)，点Q的坐标为(0，-m),.S△Ao= --分5w- 1-ml×1_m 2 2=2Sa0r=SA0,故③ 正确。故选C。 7.-3<x<0或x>18.7.875 9.3【解析】过点A作AE⊥CO于点E,过点B作BF⊥C0 于点F,由一次函数y=2x+2得C点坐标(0,2)，D点坐 I∠AEC=∠DOC 标为(-1,0)，：△CAE和△CD0中，∠ACE=∠DC0, AC=CD ∴.△ACE≌△DC0(AAS),AE=D0=1,CE=C0=2, 飞标为（山，4），心反比例函数关系式为 y=2x+2 程组 的郑无行三4行-子所以点日的金标为 y (-2,-2》Saw=5awt5n-7*2x1+分2x2=3。 10.解：(1)把Q(8,1)代入，=m得m=8×1=8,反比例 函数的解析式为=8（心0）。 (2分) x 把P(2,a)代入2=8得a=4,P(2,4)。把P(2,4), 及·BS·数学第37页三角函娄 测试时间：35分钟 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量 学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A 的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为 1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为 6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系 式正确的是( A.tan550=6 x-1 B.tan559=x-1 6 C.sin55*-1 6 D.cos550=*-1 BC A BB 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要 测量小河两岸相对的两点P,A的距离，他 和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA= α，根据上述测量数据可计算得到小河宽度 PA为( A. 0米 B.50sina米 sin G、0 米 D.50tana米 tana 3.生活情境·梯子如图，某梯子长10米，斜靠 在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角 为x时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底 端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向 墙面靠近，使梯子与地面所成角为B,已知 sina=-cosB=,则梯子顶端上升了( A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 4.文化情境·数学文化图1是第七届国际数 学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中 选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得 到如图2所示的四边形OABC,若AB=BC= 1,∠AOB=a,则OC2的值为( ) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 玫的应用 测试分数：45分 ICME.7 图1 图2 A.、1 +1 B.sin2a+1 sin a c.- 2-+1 D.cos2a+1 coS Q 5.如图，客轮在海上由B向C 北外 航行，在B处测得灯塔A的 80°4 东 方位角为北偏东80°，测得 B 20o C处的方位角为南偏东 25°，航行30km后到达C 处，在C处测得A的方位角为北偏东20°， 则C到A的距离是() A.15/6 km B.15√2km C.15(6+√2)kmD.(5√6+15√2)km 二、填空题（每小题3分，共12分） 6.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡角是30°， 坝高BC=√3m,则坡面AB的长度是 mo B 北 西十东 南 C D 夕 第6题图 第7题图 7.如图，河宽CD为100√3米，在C处测得对 岸A点在C点南偏西30方向、对岸B点在 C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离 是 米。（结果保留根号） 8.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A射出的光线AB、AC与地面MN所夹的锐角 分别是8°和10°。大灯A离地面的距离为 1m,则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m。(不考虑其他因素)（参考数据： 4 9 sin8° 25,tan8o 7,sinl0°= 25,m10°=28 A MB 九年级·BS·数学第29页 9.如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的 高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰 角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处， 又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑 的高度AB的长= 米.（结果保留 根号) 309 D B 三、解答题（共18分） 10.(9分)一艘货船在一段笔直的河道上由西 向东匀速航行，小明和小亮想测得该货船 的速度。如图，他们分别站在与河道平行 的公路上的A点和B点。当货船经过河 道上的点C时，站在点A处的小明测得货 船位于他的正北方向上，站在点B的小亮 测得货船位于他的北偏西31°方向上；10 min后，货船到达河道上的点D处，小亮在 点B处测得货船位于他的北偏东45°方向 上。已知小明和小亮的距离AB=1km,求 货船的速度。（结果精确到1km/h。参考 数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31° ≈0.60，√2≈1.41) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 11.「生活情境·地下车库(9分)某学校计划修 建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库 建筑设计规范》与所学知识，为学校地下 车库设计并绘制了入库坡道示意图（如 图)，相关信息如下： (i)直线主坡道BC的水平距离为20m, 坡度为0.12； (ⅱ)左、右两段缓坡道为AB,CD,水平距 离均为5m; (ⅲ)DE和车库地面均与水平方向平行。 已知坡度= 铅直高度 水平距离 试根据上述信息解 决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度CG; (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡 度为主坡道坡度的)坡道的最小净高不 低于2.2m。（坡道的净高为车库上方横 梁到坡道的垂直距离) ①求车库高度AK; ②若DE=22m,判断该坡道的最小净高 EF是否符合设计规范，并说明理由。（参 考数据：当tana=0.12时，sina≈0.12， c0sa≈0.99) 车库上方横梁E D A B 直线主坡道 缓坡道7车库入口地面 车库地而缓坡道口 G 5m 20m 5m 九年级·BS·数学第30页