第一章 教材变式专题 构造直角三角形解决问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

教材变式专题 构造直角三角形解决问题 【例】（教材第25页题20）一块四边形空地如 A.h=h2 B.h<h2 下图所示（单位：m),求此空地的面积（结果精确到 C.h>h2 D.以上都有可能 0.01m2). B 55 1255 0 R 30 第1题图 第2题图 ○60 60°CC 50 20 2.如图，CD是△ABC的中线，sinB= 2, D 【解】如下图，连接BD,作BE⊥AD于点 tan A= 2AC=5 E,作DF⊥CB于点F. (1)AB的长为 的 (2)tan∠CDB的值为 30 50 3.情境应用如右图，一滑板 F ○609 60>C 运动场斜坡上的点A处竖 E 50 20 直立着一根旗杆，旗杆在 D 点B处折断，旗杆顶部落 309 .∠A=∠C=60°，.BE=30sin60° 在斜坡上的点C处，AC=2√5m,折断部分 =15√3(m),DF=20sin60°=103(m), 与斜坡的夹角∠BCA为75°，斜坡与水平地 .S四边形ABCD=S△ABD十S△DBC= 2AD·BE+ 面的夹角为30°.求旗杆原来的高度（参考数 CB·DF-×0×158+号×50×105 据：2≈1.4，√3≈1.7.结果精确到1m). ≈1082.53(m2). 【方法指导】锐角三角函数是在直角三角 形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三 角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意 观察图形特点，作辅助线将其转化为直角三角 形来解.一般在遇到有直角而没有三角形时， 通常连接两个定，点或延长两条边相交于一点 构造直角三角形.遇见无直角、无等角涉及三 角函数时，通常作高得到直角三角形， 变式①无直角、无等角三角形作高 1.如图，△ABC底边BC上的高为h1,△PQR 底边QR上的高为h2,则 () 12 九年级数学BS版 变式②有直角、无三角形连接顶点或延长边 6.应用意识图①是某浴室花洒的侧面示意图， 4.情境应用图①是世界第一“大碗”一景德 已知活动调节点B(可以上下调整高度)离地面 镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵 CD的初始距离BC=160cm.设花洒臂与墙面 感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷 的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒 之母”.如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主 臂长AB=30cm.假设水柱AE垂直AB直线 体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD 喷射，小华在离墙面120cm处淋浴. ∥EF,AM,DN是太阳光线，AM⊥MN,DN :q A ⊥MN,点M,E,F,N在同一条直线上.经测 ME=FN =20.0 m,EF=40.0 m,BE= 160cn 160cm 2.4m,∠ABE=152°，则“大碗”的高度AM 120cm 120cm C D D(E 的长为 m(结果精确到0.1m, 图① 图② 参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan (1)当a=30°时，水柱正好落在小华的头顶 62°≈1.88) 上，求小华的身高DE. 太阳光线 (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE,使 点E与点D重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点B向下移动. 移动的距离BF与小华的身高DE之间有什么 图① 图② 第4题图 数量关系？请直接写出你的结论； 5.一题多解法如下图，一块四边形土地AC ②活动调节点B不动，只要调整α的大小， DB,其中∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥ 如图②.试求α的度数.（结果保留一位小数， CD,AB=30√3m,CD=50√3m.求这块土 参考数据：√3≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈ 地的面积（结果保留根号）. 0.60,tan36.9°≈0.75) 下册第一章 13△2解直角三角形 1.C 2.解：(1)由勾股定理，得b=√c2-a=√/(9√2)2-92=9. mA=号= =1,∴.∠A=45°，∴.∠B=90°-∠A=45. 故b=9,∠A=45°，∠B=45°. (2)由勾股定理，得c=√a2+b=√(35)+(3√15) 65. 后振92A=r .∠B=90°-∠A=60°. 故c=65,∠A=30°，∠B=60. 3.B4.1 5.(3√2一3)【解析】如图，由题意可知，∠ABO =30°，∠A'B'O=45°，AB=A'B'=6m, ∴.AO=ABsin30°=3m,A'O=A'B'sin45° 3√2m,∴.AA'=A'0-AO=(3V2-3)m,即BB0 梯子的顶端沿墙面升高了(3√2一3)m. 6.C7.C 8.解：，∠A=37°，∠B=53°，∠ACB+∠A+∠B=180°， ∴.∠ACB=90°. 在Rt△ACB中，，'∠BAC=37°，AC=80m, ·AB=AC80 cos37≈0.80=100(m). 故A,B两点之间的距离约为100m 9.1.2 10.解：如图，过点B作BM⊥FD于点M. E B 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°， AC=10, ∴.∠ABC=30°，BC=ACtan60°=10√5. AB∥CF, .∴.∠BCM=∠ABC=30° 在Rt△BMC中，BM=BCsin30°=5√3，CM=BCcos30°= 15. 在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴.∠EDF=45° 又BM⊥FD,∴.∠MBD=45°=∠BDM, ,.MD=BM=5√3，.CD=CM-MD=15-53. 11.解：(1)2sina (2)证明：如图①，过点D作DM⊥EF于点M,DN⊥CF于 点N,易得DN=CDsina=号BCsina=2sine, '∠EDF=∠ABC=∠ACB=a, ∴.a+∠BED=∠EDC=a+∠CDF, .∠BED=∠CDF,.△EBDC∽△DCF 00器提 :∠EDF=∠ACB=a,∴.△EDF∽△DCF, .∠EFD=∠CFD,∴.DM=DN=2sina, 即点D到线段EF的距离为2sina. D 图①D 图② 九年级数学BS版 (3=1tane. 【解析】(1)：AB=AC,BC=4,D为BC中点， .AD⊥BC,BD=CD=2,∠BAD=∠CAD. :∠EDF=∠ABC=a,∴∠AFD=∠ADB=90°， .DF⊥AC,.点D到线段EF的距离即为DF的长 DF DF 在R△CDF中，sina=DC=2DF=2sina (3)连接AD,作DP⊥AB于点P,如图②. 设BP=1,则DP=tana, ∴.BD2=1+tan2a. AB=AC,D为BC中点， ∴.AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠ADB=90°.，∠BPD=90°，∠B=∠B ∴△BPD△BDAS BD2 1+tan'a=1+tan'a. :.AB-BP 1 同(2)易得△EBD∽△DCF∽△EDF, ∠BED=∠DEF·BDCF EB DC ∠BED=∠DEF=2∠BEF=45, ∴PE=PD=tana,∴.BE=1+tana, ..CF=BD: 1+tan'a AC AB BE 1+tan a ∴S=CF-=1+ana 教材变式专题构造直角三角形解决问题 1.A【解析】如图①、图②，分别过点A,P作AD⊥BC于点 D,PH⊥QR交QR的延长线于点H,则h1=5sin55°，h2= 5sin(180°-125°)=5sin55°，∴.h1=h2. 5 1259/ 55 ... D R 图① 图② 2.(1)3(2)2 【解析】(1)如图，过点C作CE⊥AB于点 E.设CE=x 在R△ACE中，：anA=AE=2' CE 1 ∴.AE=2x,∴.AC=CE2+AE2=√5x=√5，解得x=1, .CE=1,AE=2. 在Rt△BCE中，：sinB= 2∠B=45°， E--1 .'.AB=AE+BE=3. (2):CD是△ABC的中线BD=号AB=1.5, .'DE=BD-BE=0.5, CE 1 ÷ian∠CDE=D0.5-2, 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 由题查可知，∠CA=30,AD=号AC=5,CD- ACeos30°=2V5x5 3 ,∠BCA=75°， ∴.∠BCD=75°-30°=45°， ..CD=BD=3...AB=BD+AD=3+ √3，BC=3√2， ∴.AB+BC=3+√5+3√2≈3+1.7+3 ×1.4≈9. 故旗杆原来的高度约为9m. 4.40.0【解析】延长EB交AD于点H,如图. ,'AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN, .四边形AMND是矩形. ,四边形BEFC为矩形， .EH⊥AD, .四边形AMEH为矩形，∴.AM=EH, AH=ME. ∠ABE=152°， ∴∠ABH=180°-∠ABE=28°， .∠HAB=90°-28°=62°， 0-细218， ∴.BH≈20.0×1.88≈37.6(m), .AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m). 故“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 5.解：如图①，延长CA,DB交于点P ,∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥CD .∠C=60°，∠PBA=60° 在R△CDP中，tanC-CD PD ∴.PD=CDtan C=50W3×√3=150(m). 图① 在R△PAB中，an∠PBA=AB, PA ∴.PA=ABtan∠PBA=30V5X√5=90(m), 1 六Sm边形CDB=S△cmr-S△P4B=2X50V5X150一 2 303×90=2400√5(m2). 故这块土地的面积为2400√5m。 》一题多解法 如图②，过点A作AE⊥DB,交DB 的延长线于点E,作AF⊥CD于 点F. ∠ABD=120°，∴∠ABE=60, ∴.∠BAE=30°. 图2 ,AB=30√/3m,∴.AE=ABsin ∠ABE=45m, BE=ABsin∠BAE=l5V3m. 由题意可知，四边形AEDF为矩形 ∴.FD=AE=45m, ∴.CF=CD-FD=(50√3-45)m. ,AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120°， .∠ACD=60°， ∴.AF=CFtan∠ACD=(150-45√3)m, 1 二S得边影B=S阳商形nE一SAABE=2X（45十50V5) ×(150-45V5)-2×15v5×45=2400V5(m). 故这块土地的面积为2400√3m2. 6.解：(1)如图①，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G, 交DE的延长线于点H. :∠C=∠D=90°， .四边形GCDH为矩形， ∴.GH=CD=120cm,DH=CG,∠H= 90°.在Rt△ABG中，∠ABG=a=30°，160cm AB=30 cm, 120cm ..AG=15 cm.BG=15/3 cm, D ∴.AH=120-15=105(cm). 图① AE⊥AB,.∠EAH=30 又：∠H=90°，∴.EH=AHtan30°=35V5cm, ∴.DE=DH-HE=BC+BG-HE=160+15√3-35√3≈ 125.4(cm). (2)①BF=DE ②如图②，连接BD.在Rt△BCD中， BD=BC2+CD*=200 cm, 120 六sim∠1=200=0.6∠1≈36.9 160cm 在Rt△BAD中，AB=30cm, 120cm3 AB 30 D(E) 六sin∠2=BD200=0.15. 图② ∠2≈8.6°，.∠3≈90°-8.6=81.4， .a=180°-∠1-∠3≈180°-36.9° 81.4°=61.7°. 【解析】(2)①如图③，由平移的性质可知， AB=A'F,AB∥A'F, 160cm .四边形ABFA'为平行四边形， F120 cmi ∴.BF=AA' 同理可得，四边形AEDA'为平行四边形， 图③ ∴.DE=AA',.BF=DE 3三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.C【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H 由题意，得∠BAC=180°-80°-25° N 北 =75. :80° +东 ∠ABC=45,∠AHB=90°， 个 .∠BAH=45°， 25 H .∠CAH=∠BAC-∠BAH=75 459 -45°=30°. 在Rt△ABH中，.∠B=45°，AB=3√2km,.AH=BH= 3 km. 在Rt△ACH中，，∠CAH=30°， .CH-AHtan ZCAH-3X3 (km) .∴.BC=BH+CH=(3+√3)km. 2.解：如图，过点P作PC⊥AB,垂足为C. 北 由题意可知，∠A=∠1=37°，∠B=∠2=45 在Rt△APC中，：∠A=37°，AP= 100 n mile, ∴.PC=APsin A≈100X0.60=60(n mile), AC=APcos A≈100×0.80=80(n mile). 在Rt△PBC中，.∠B=45°， ∴.BC=PC≈60 n mile, ∴.AB=AC+BC≈80+60=140(n mile). 故这时B处距离A处约140 n mile. 3.25 n mile 4.解：：点A,B均在点C的北偏东37方向，点A在点D的正 北方向，且点D在点C的正东方向， 下册详解详析